Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2019

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vypočtěte, kolik procent je 150 gramů ze tří čtvrtin kilogramu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sjednocení jednotek

Abychom mohli určit, kolik procent tvoří jedna část z celku, musíme mít obě hodnoty ve stejných jednotkách. Převedeme si tři čtvrtiny kilogramu na gramy. Víme, že 1 kilogram má 1000 gramů.
$\frac{3}{4} \text{ kg} = (1000 : 4) \cdot 3 = 250 \cdot 3 = 750 \text{ g}$

Výpočet procent

Nyní hledáme, kolik procent tvoří 150 g ze základu 750 g (což je 100 %).
Jedno procento (1 %) ze základu vypočítáme jako:
$750 : 100 = 7,5 \text{ g}$
Počet procent pak zjistíme tak, že 150 g vydělíme hodnotou jednoho procenta:
$150 : 7,5 = 1500 : 75 = \mathbf{20}$

Závěr

150 gramů je 20 % ze tří čtvrtin kilogramu.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 25 \cdot 0,2 - 0,2 \cdot 15 =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor výrazu

Máme vypočítat hodnotu výrazu $25 \cdot 0,2 - 0,2 \cdot 15$. Všimneme si, že v obou částech výrazu (součinech) se vyskytuje stejné číslo $0,2$. To nám dává možnost využít výhodnějšího postupu.

Krok 1: Využití společného činitele

Číslo $0,2$ můžeme „vytknout“ před závorku. Tím se celý výpočet zjednoduší na násobení deseti:
$0,2 \cdot (25 - 15)$

Krok 2: Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme rozdíl čísel v závorce:
$25 - 15 = 10$

Krok 3: Dokončení výpočtu

Nakonec vynásobíme číslo $0,2$ výsledkem ze závorky:
$0,2 \cdot 10 = 2$

Závěr

Výsledkem celého výrazu je číslo 2.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,03 \div \left( -0,12 \right) -0,5=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor výrazu

V zadaném výrazu $0,03 \div (-0,12) - 0,5$ má přednost dělení před odčítáním. Budeme tedy postupovat podle pravidel o přednosti operací.

Krok 1: Dělení

Nejdříve vypočítáme dělení: $0,03 \div (-0,12)$. Výsledek bude záporný, protože dělíme kladné číslo číslem záporným.
Pro snadnější výpočet si můžeme obě čísla vynásobit stem (posunout desetinnou čárku o dvě místa doprava):
$3 \div (-12) = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
V desetinných číslech je to $-0,25$.

Krok 2: Odčítání

Nyní k výsledku dělení odečteme číslo $0,5$:

$-0,25 - 0,5 = -0,75$

Závěr

Výsledkem celého výrazu je číslo $-0,75$ (nebo $-\frac{3}{4}$).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-0,75

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{6}{7} \cdot \left( \frac{5}{6}- \frac{3}{4} \right) -1=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme rozdíl v závorce. Společným jmenovatelem čísel 6 a 4 je 12.
$\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$

Krok 2: Násobení

Zlomek před závorkou vynásobíme výsledkem ze závorky. Při násobení můžeme krátit čitatele 6 a jmenovatele 12 číslem 6.
$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{14}$

Krok 3: Odečtení jedničky

Nakonec od výsledku odečteme 1. Jedničku si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem 14.
$\frac{1}{14} - 1 = \frac{1}{14} - \frac{14}{14} = -\frac{13}{14}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $-\frac{13}{14}$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

-13/14

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9}{4} \div \frac{15}{2} }{\displaystyle 3 \cdot \frac{2}{15}+ \frac{2}{5} } =$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatel složeného zlomku. Dělení zlomků převedeme na násobení převrácenou hodnotou druhého zlomku:
$\frac{9}{4} \div \frac{15}{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{18}{60}$
Zlomek vykrátíme číslem 6:
$\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$

Krok 2: Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme jmenovatel složeného zlomku. Nejdříve vynásobíme celé číslo se zlomkem a poté přičteme druhý zlomek:
$3 \cdot \frac{2}{15} + \frac{2}{5} = \frac{6}{15} + \frac{2}{5}$
Zlomek $\frac{6}{15}$ vykrátíme číslem 3:
$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

Krok 3: Celkový výsledek

Nakonec vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele:
$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{10} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{40}$
Výsledek zapíšeme zlomkem v základním tvaru (vykrátíme číslem 5):
$\frac{15}{40} = \mathbf{\frac{3}{8}}$
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3/8

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

Automobil široký 1 770 mm jel v jízdním pruhu širokém 3 m 25 cm. Jízdní pruh se zúžil o půl metru.

Vypočtěte, o kolik centimetrů je zúžený jízdní pruh širší než automobil.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Šířka jízdního pruhu v centimetrech

Původní šířka jízdního pruhu je 3 m 25 cm. Pro snadnější výpočet si ji převedeme na centimetry:
3 m = 300 cm
300 cm + 25 cm = 325 cm

Zúžení jízdního pruhu

Jízdní pruh se zúžil o půl metru, což je 50 cm. Novou šířku pruhu zjistíme odečtením:
325 cm - 50 cm = 275 cm

Šířka automobilu v centimetrech

Šířka automobilu je 1 770 mm. Převedeme ji na centimetry (10 mm = 1 cm):
1 770 mm = 177 cm

Výpočet rozdílu

Nakonec zjistíme, o kolik centimetrů je zúžený pruh širší než automobil:
275 cm - 177 cm = 98 cm

Výsledek

Zúžený jízdní pruh je o 98 cm širší než automobil.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

98

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Cesta z Prahy do Žiliny autobusem trvala 6 hodin a 20 minut, vlakem jen 4 hodiny a 45 minut.

Vypočtěte, o kolik minut trvala cesta autobusem déle než vlakem.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas cesty autobusem

Nejdříve si oba časy převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Cesta autobusem trvala 6 hodin a 20 minut, což vypočítáme jako: $6 \cdot 60 + 20 = 360 + 20 = 380$ minut.

Čas cesty vlakem

Podobně převedeme i čas cesty vlakem. Ta trvala 4 hodiny a 45 minut: $4 \cdot 60 + 45 = 240 + 45 = 285$ minut.

Rozdíl v časech

Nyní zjistíme rozdíl v minutách tak, že od delší cesty odečteme tu kratší: $380 - 285 = 95$ minut.

Výsledek

Cesta autobusem trvala o 95 minut déle než cesta vlakem.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

95

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Martin má krok dlouhý 60 cm a jeho tatínek 90 cm. Od školy k nim domů vede jediná cesta a Martin na ní udělá 1 200 kroků.

Vypočtěte, kolik kroků na této cestě udělá tatínek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor úlohy

Martinův krok je dlouhý 60 cm a na cestě jich udělá 1 200. Tatínkův krok je delší (90 cm), proto jich na stejné cestě udělá méně. Jedná se o nepřímou úměrnost: čím delší je krok, tím méně kroků je potřeba na stejnou vzdálenost.

Výpočet délky cesty

Nejprve vypočítáme celkovou délku cesty od školy domů v centimetrech. Martinův počet kroků vynásobíme délkou jednoho jeho kroku:
$1200 \cdot 60 = 72\,000$ cm

Výpočet počtu tatínkových kroků

Celkovou délku cesty nyní vydělíme délkou tatínkova kroku (90 cm):
$72\,000 : 90 = 800$

Závěr

Tatínek na cestě od školy domů udělá 800 kroků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

800

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Martin má krok dlouhý 60 cm a jeho tatínek 90 cm. Od školy k nim domů vede jediná cesta a Martin na ní udělá 1 200 kroků.

Tatínek vyrazil z domova naproti Martinovi, který šel touto cestou od školy domů. Než se setkali, udělali oba stejný počet kroků.

Vypočtěte, kolik kroků udělal Martin od školy k místu setkání.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Celková vzdálenost

Martin ujde celou cestu ze školy domů za 1 200 kroků. Jeden jeho krok měří 60 cm. Celkovou délku cesty vypočítáme vynásobením počtu kroků délkou jednoho kroku:
$1\,200 \times 60 = 72\,000$ cm

Krok 2: Společný pohyb

Martin a tatínek jdou po stejné cestě proti sobě. Víme, že než se setkali, udělali oba stejný počet kroků. Označme si tento počet kroků jako x.
Martinův ušlý kus cesty: $x \times 60$ cm
Tatínkův ušlý kus cesty: $x \times 90$ cm

Krok 3: Výpočet počtu kroků

Dohromady ušli celou cestu, která měří 72 000 cm. Sečteme tedy jejich ušlé vzdálenosti a výsledek musí být roven celkové délce cesty:
$60x + 90x = 72\,000$
$150x = 72\,000$
$x = 72\,000 : 150$
$x = 480$

Krok 4: Závěr

Martin udělal od školy k místu setkání 480 kroků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

480

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Všechny modré a červené kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C po 120 kuličkách. Ve skupině A jsou jen modré kuličky a ve skupině B jen červené kuličky. Skupina C obsahuje čtvrtinu z celkového počtu modrých kuliček a zbytek červených.

Určete počet modrých kuliček ve skupině C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor skupin

V zadání je uvedeno, že kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C. Každá skupina obsahuje 120 kuliček.

Počet modrých kuliček v A a B

Ve skupině A jsou jen modré kuličky, tedy je jich tam 120. Ve skupině B jsou jen červené kuličky, takže v ní není žádná modrá kulička.

Výpočet celkového počtu modrých kuliček

Ve skupině C se nachází čtvrtina z celkového počtu modrých kuliček. To znamená, že zbylé tři čtvrtiny (3/4) všech modrých kuliček se musí nacházet v ostatních skupinách, tedy v A a B dohromady. Už víme, že v těchto skupinách je celkem 120 modrých kuliček (120 v A a 0 v B).

Výpočet počtu modrých kuliček v C

Jestliže tři čtvrtiny z celkového počtu modrých kuliček tvoří 120 kuliček, pak jednu čtvrtinu (což je právě počet ve skupině C) vypočítáme tak, že 120 vydělíme třemi:
120 : 3 = 40

Závěr

Ve skupině C je 40 modrých kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Všechny modré a červené kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C po 120 kuličkách. Ve skupině A jsou jen modré kuličky a ve skupině B jen červené kuličky. Skupina C obsahuje čtvrtinu z celkového počtu modrých kuliček a zbytek červených.

Určete počet všech červených kuliček.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kuliček a skupin

Kuličky jsou rozděleny do tří skupin A, B, C po 120 kuličkách. Celkový počet všech kuliček je tedy $3 \times 120 = 360$.

Počet modrých kuliček

Víme, že skupina A obsahuje pouze modré kuličky (120 modrých). Skupina C obsahuje čtvrtinu ze všech modrých kuliček. Pokud označíme celkový počet modrých kuliček jako $M$, pak ve skupině C je $\frac{1}{4} M$ modrých kuliček. Ostatní modré kuličky jsou v ostatních skupinách. Protože v B jsou jen červené, musí být zbývající modré kuličky v A. Tedy $120 = \frac{3}{4} M$. Z toho vypočítáme $M = 120 : 3 \times 4 = 160$.

Počet červených kuliček

Celkový počet červených kuliček získáme odečtením modrých kuliček od celkového počtu všech kuliček: $360 - 160 = 200$.

Závěr

Celkový počet červených kuliček je 200.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

200

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Všechny modré a červené kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C po 120 kuličkách. Ve skupině A jsou jen modré kuličky a ve skupině B jen červené kuličky. Skupina C obsahuje čtvrtinu z celkového počtu modrých kuliček a zbytek červených.

Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu modrých a počtu červených kuliček ve skupině C (v uvedeném pořadí).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor skupin

Máme tři stejně početné skupiny A, B a C, každá má 120 kuliček. Celkem je tedy v osudí $3 \cdot 120 = 360$ kuliček.
  • Ve skupině A je 120 modrých kuliček (jsou tam jen modré).
  • Ve skupině B je 120 červených kuliček (jsou tam jen červené).

Výpočet počtu modrých kuliček

Víme, že ve skupině C je čtvrtina ze všech modrých kuliček. Pokud označíme celkový počet modrých kuliček jako $m$, pak ve skupině C jich je $\frac{1}{4} m$. Zbývající tři čtvrtiny modrých kuliček musí být v ostatních skupinách. Protože v B nejsou žádné modré, všech těchto $\frac{3}{4} m$ kuliček je ve skupině A.
Tedy: $\frac{3}{4} m = 120$.
Celkový počet modrých kuliček: $m = (120 : 3) \cdot 4 = 160$.
Ve skupině C je tedy $160 : 4 = 40$ modrých kuliček.

Počet červených kuliček ve skupině C

Skupina C má celkem 120 kuliček. Jestliže jsme vypočítali, že modrých kuliček je v ní 40, zbytek musí být červené:
$120 - 40 = 80$ červených kuliček.

Určení poměru

Máme vyjádřit poměr počtu modrých a červených kuliček ve skupině C v základním tvaru.
Modré : Červené = $40 : 80$.
Obě čísla v poměru můžeme vydělit jejich největším společným dělitelem, což je číslo 40.
Získáme tak základní tvar poměru: 1 : 2.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1 : 2

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

Ze dvou krychlí s hranou délky 10 cm jsme vytvořili dvě nová tělesa. První těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru kvádru. Druhé těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru trojbokého hranolu. Nejkratší hrana prvního i druhého tělesa měří 7 cm.

Vypočtěte v cm³ objem prvního tělesa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor prvního tělesa

Původní těleso byla krychle o hraně 10 cm. První těleso z ní vzniklo odříznutím části ve tvaru kvádru tak, že zbytek je opět kvádr. Z obrázku a popisu vidíme, že podstava zůstala stejná jako u původní krychle, tedy čtverec o straně 10 cm. Změnila se pouze výška tělesa. Protože nejkratší hrana měří 7 cm, je výška tohoto kvádru právě 7 cm.

Krok 2: Výpočet objemu

Objem kvádru vypočítáme jako součin jeho tří rozměrů (délka, šířka, výška):
V = a · b · c
V = 10 cm · 10 cm · 7 cm
V = 700 cm³

Krok 3: Výsledek

Objem prvního tělesa je 700 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

700 cm³

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.2

Ze dvou krychlí s hranou délky 10 cm jsme vytvořili dvě nová tělesa. První těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru kvádru. Druhé těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru trojbokého hranolu. Nejkratší hrana prvního i druhého tělesa měří 7 cm.

Vypočtěte v cm³ objem druhého tělesa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza původní krychle

Původní krychle měla délku hrany 10 cm. Její objem vypočítáme jako součin všech tří rozměrů:
$V = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000 \text{ cm}^3$

Popis druhého tělesa

Druhé těleso vzniklo z krychle odříznutím horní části (trojbokého hranolu). Z obrázku a popisu vidíme, že:
  • Základna tělesa je čtverec o rozměrech 10 cm × 10 cm.
  • Levá svislá hrana měří 10 cm.
  • Pravá svislá hrana je nejkratší a měří 7 cm.

Výpočet objemu

Těleso můžeme vnímat jako kolmý hranol, jehož podstavou je lichoběžník (přední stěna).
Obsah tohoto lichoběžníku vypočítáme jako:
$S = \frac{10 + 7}{2} \cdot 10 = 17 \cdot 5 = 85 \text{ cm}^2$

Objem celého tělesa získáme vynásobením obsahu podstavy a hloubky tělesa (10 cm):
$V = 85 \cdot 10 = 850 \text{ cm}^3$

Závěr

Objem druhého tělesa je 850 cm³.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

850 cm³

Stav úlohy
2 body
Úloha 8.1

V rovině leží bod P a úhel TCU.

Sestrojte a označte písmenem osu o úhlu TCU.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2019, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.2

V rovině leží bod P a úhel TCU.

Bod C je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB. Ramena AC a BC tohoto trojúhelníku leží na polopřímkách CT a CU. Bod P leží na straně AB.

Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 8.1 a 8.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 3 bodů.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2019, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 9

V rovině leží kružnice k se středem S, přímka p a bod D.

Bod D je vrchol obdélníku ABCD. Na přímce p leží strana AB tohoto obdélníku. Vrchol C leží na kružnici k.

Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy obdélníku ABCD a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

2 řešení

1 řešení

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2019, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 10.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod 1. obrazce je 32 cm.(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah 1. obrazce je 48 cm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor 1. obrazce

Z popisu a zadání víme, že 1. obrazec se skládá ze tří shodných čtverců (a neobsahuje žádný trojúhelník). Dva čtverce leží vedle sebe na základně a třetí je položen na pravém čtverci. Celý obrazec má tvar písmene „L“ otočeného doleva. Obvod tohoto obrazce tvoří celkem 8 stejných stran čtverce.

Krok 2: Výpočet délky strany čtverce

Obvod 1. obrazce je 32 cm. Protože se skládá z 8 shodných stran, délku jedné strany ($a$) vypočítáme jako:
$a = 32 / 8 = 4$ cm.

Krok 3: Výpočet obsahu obrazce

Obrazec je složen ze tří shodných čtverců. Obsah jednoho čtverce je:
$S_1 = a \cdot a = 4 \cdot 4 = 16$ cm².
Obsah celého 1. obrazce (tří čtverců) je tedy:
$S = 3 \cdot 16 = 48$ cm².

Krok 4: Závěr

Vypočítaný obsah 1. obrazce je skutečně 48 cm². Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod 1. obrazce je 32 cm.(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod 2. obrazce je větší než 48 cm.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 10.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod 1. obrazce je 32 cm.(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod 3. obrazce je 44 cm.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strana čtverce

Z 1. obrazce určíme délku strany čtverce. Obvod 1. obrazce je 32 cm a tvoří ho 8 shodných stran čtverců. Jedna strana čtverce tedy měří:
32 : 8 = 4 cm.

Krok 2: Rozměry trojúhelníku

Všechny trojúhelníky jsou shodné a rovnoramenné. Z popisu 2. obrazce víme, že výška trojúhelníku je zhruba dvojnásobkem strany čtverce (tedy asi 8 cm). To odpovídá trojúhelníku, který má ramena dlouhá 8 cm a základnu dlouhou 4 cm.

Krok 3: Obvod 3. obrazce

3. obrazec se skládá ze tří čtverců (uspořádání 2 dole, 1 nahoře) a jednoho trojúhelníku. Samotné čtverce mají 8 vnějších stran. K hornímu čtverci je ale přiložen trojúhelník svým ramenem (8 cm).
Tím se jedna strana čtverce (4 cm) schová dovnitř, ale na obvod přibudou:
  • přečnívající části přiloženého ramene: 8 − 4 = 4 cm,
  • druhé rameno trojúhelníku: 8 cm,
  • základna trojúhelníku: 4 cm.

Krok 4: Celkový výpočet

Obvod 3. obrazce spočítáme jako součet 7 zbývajících stran čtverce a tří stran trojúhelníku (respektive jejich částí):
O = (7 × 4) + 4 + 8 + 4 = 28 + 16 = 44 cm.
Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 11

Jaká je velikost úhlu β?

Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.

  • A) menší než 75°
  • D) 85°
  • B) 75°
  • E) větší než 85°
  • C) 80°
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrázku a vztahy mezi úhly

Obrázek obsahuje dvě rovnoběžky protnuté dvěma příčkami, které se protínají v prostoru mezi rovnoběžkami. Tato soustava tvoří trojúhelník s vrcholy v průsečíku příček a v průsečících příček s dolní rovnoběžkou. Vnitřní úhly v tomto trojúhelníku jsou:
  • U dolní rovnoběžky a strmější příčky je vnitřní úhel $2\alpha$ (díky tomu, že je vyznačen jako vnitřní úhel směřující vpravo nahoru).
  • U dolní rovnoběžky a méně strmé příčky je vnitřní úhel rovněž $\alpha$ (je to vrcholový úhel k vyznačenému úhlu $\alpha$ směřujícímu dolů).
  • U průsečíku obou příček je vnitřní úhel $\alpha + 20^\circ$ (podle popisu úhlu směřujícího doleva).

Krok 2: Výpočet hodnoty $\alpha$

Víme, že součet vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je $180^\circ$. Sestavíme tedy rovnici:
$2\alpha + \alpha + (\alpha + 20^\circ) = 180^\circ$

Nyní rovnici vyřešíme:
$4\alpha + 20^\circ = 180^\circ$
$4\alpha = 160^\circ$
$\alpha = 40^\circ$

Krok 3: Určení velikosti úhlu $\beta$

Úhel $\beta$ se nachází u průsečíku horní rovnoběžky a strmější příčky. Protože jsou obě vodorovné přímky rovnoběžné, je úhel $\beta$ střídavý k vnitřnímu úhlu u dolní rovnoběžky na téže příčce. Velikost tohoto úhlu je $2\alpha$. Dosadíme vypočtenou hodnotu $\alpha = 40^\circ$:
$\beta = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$

Krok 4: Závěr

Velikost úhlu $\beta$ je $80^\circ$. To odpovídá možnosti C.

Odpověď: 80°
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Na jaře se konal dětský plavecký závod smíšených štafet. Každá štafeta uplavala celkem 48 bazénů. Ve štafetě A bylo o 6 dívek více než chlapců. Každá dívka uplavala 1 bazén a každý chlapec 2 bazény.

Kolik dětí bylo ve štafetě A?

  • A) méně než 34 dětí
  • D) 38 dětí
  • B) 34 dětí
  • E) více než 38 dětí
  • C) 36 dětí
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Odstranění přebytku = to, co je navíc, si odložíme „na stranu“.

  • Co udělat: „Na stranu“ si odložíme děti, které jsou v počtu navíc. Ze zadání víme, že dívek bylo o 6 více než chlapců. Těchto 6 dívek si tedy zatím odložíme a spočítáme, kolik bazénů uplavaly.
  • Výpočet: Každá dívka uplavala 1 bazén. Těchto 6 dívek navíc tedy uplavalo 6 $\cdot
    nbsp;1 = 6 bazénů.     Celkem se ve štafetě uplavalo 48 bazénů. Po odečtení přebytku nám zbývá 48 - 6 = 42 bazénů.
  • Proč to děláme? Odstraněním přebytku jsme dosáhli stavu, kdy nám ve zbytku bazénů zůstane přesně stejný počet chlapců i dívek.

Krok 2: Vytvořte stejný pár

  • Co udělat: Vezmeme vždy jednoho chlapce a jednu dívku a myšlenkově je spojíme do jedné dvojice (páru). Spočítáme, kolik bazénů takový pár uplave dohromady.
  • Výpočet: Jeden chlapec uplave 2 bazény a jedna dívka 1 bazén. Dohromady tedy pár uplave 2 + 1 = 3 bazény.
  • Proč to děláme: Protože chlapců a dívek je v tuto chvíli ve výpočtu stejný počet, mohou utvořit dvojice, se kterými se nám bude lépe počítat.

Krok 3: Spočítejte páry

  • Co udělat: Zbylý počet bazénů (42) vydělíme počtem bazénů, které uplave jeden pár (3).
  • Výpočet: 42 : 3 = 14 párů.
  • Proč to děláme? Výsledek nám říká, kolik máme základních párů. Nyní víme, že v této části výpočtu máme přesně 14 chlapců a 14 dívek.

Krok 4: Vraťte schovaný přebytek (závěrečné počítání)

  • Co udělat: Vezmeme počet dětí z párů a přičteme k nim ty, které jsme na začátku odložili „na stranu“.
  • Výpočet: Chlapců je 14. Dívek je 14 základních + 6, které jsme na začátku odložili. Dívek je tedy 14 + 6 = 20.
  • Celkový počet dětí: Ve štafetě A bylo dohromady 14 + 20 = 34 dětí.

Závěr

Ve štafetě A bylo celkem 34 dětí. Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 13

Graf udává počty žáků jedné třídy v průběhu šesti let. Některé údaje v grafu chybí.Po doplnění chybějících údajů odpovězte na následující otázky. Při řešení vycházejte pouze z doplněného grafu.

Kolikrát došlo k meziroční změně počtu chlapců v období od 1. do 6. roku?

  • A) jedenkrát
  • D) čtyřikrát
  • B) dvakrát
  • E) pětkrát
  • C) třikrát
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doplnění chybějících údajů o chlapcích

Ze sloupcového grafu známe u každého roku celkový počet žáků. U některých roků chybí počet chlapců, ale známe počet dívek. Počet chlapců dopočítáme tak, že od všech žáků odečteme dívky:
  • 2. rok: 25 žáků celkem − 10 dívek = 15 chlapců
  • 4. rok: 30 žáků celkem − 14 dívek = 16 chlapců
  • 6. rok: 22 žáků celkem − 10 dívek = 12 chlapců

Porovnání meziročních změn

Nyní máme počty chlapců pro všech šest let: 15, 15, 16, 16, 16, 12. Budeme porovnávat vždy dva po sobě jdoucí roky a hledat, kdy se počet chlapců změnil:
  • Z 1. do 2. roku: z 15 na 15 (beze změny)
  • Ze 2. do 3. roku: z 15 na 16 (změna)
  • Ze 3. do 4. roku: z 16 na 16 (beze změny)
  • Z 4. do 5. roku: z 16 na 16 (beze změny)
  • Z 5. do 6. roku: z 16 na 12 (změna)
Vidíme, že počet chlapců se meziročně změnil dvakrát.

Závěr

K meziroční změně počtu chlapců došlo dvakrát.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 14

Graf udává počty žáků jedné třídy v průběhu šesti let. Některé údaje v grafu chybí.Po doplnění chybějících údajů odpovězte na následující otázky. Při řešení vycházejte pouze z doplněného grafu.

Ve kterém roce byl počet chlapců o čtvrtinu větší než počet dívek?

  • A) v 1. roce
  • D) ve 4. roce
  • B) ve 2. roce
  • E) v 5. roce
  • C) ve 3. roce
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

V grafu máme pro každý rok uvedený celkový počet žáků a sloupce pro počty chlapců a dívek. Pokud některý údaj o chlapcích nebo dívkách chybí, můžeme ho snadno dopočítat. Součet chlapců a dívek totiž musí dát celkový počet žáků v daném roce.

Porovnání počtů dívek a chlapců

Z grafu a odečtením od celkového počtu dostaneme počty dívek a chlapců v jednotlivých letech:
  • 1. rok: 12 dívek a 15 chlapců, rozdíl 3.
  • 2. rok: 10 dívek a 15 chlapců, rozdíl 5.
  • 3. rok: 12 dívek a 16 chlapců, rozdíl 4.
  • 4. rok: 14 dívek a 16 chlapců, rozdíl 2.
  • 5. rok: 13 dívek a 16 chlapců, rozdíl 3.
  • 6. rok: 10 dívek a 12 chlapců, rozdíl 2.

Určení čtvrtiny

Rozdíl je čtvrtinou počtu dívek právě tehdy, když čtyři takové rozdíly dají počet dívek. Čtyřnásobky rozdílů v jednotlivých letech jsou 12, 20, 16, 8, 12 a 8. S počty dívek 12, 10, 12, 14, 13 a 10 se shoduje jen první údaj. V 1. roce je tedy chlapců o 3 více a 3 jsou čtvrtinou z 12.

Závěr

Počet chlapců byl o čtvrtinu větší než počet dívek v 1. roce.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.1

Zájezd stojí 14 000 korun. Prvnímu zákazníkovi byla poskytnuta 25% sleva.

Jaká byla cena zájezdu pro prvního zákazníka?

  • A) 9 000 korun
  • D) 10 000 korun
  • B) 9 500 korun
  • E) 10 500 korun
  • C) 9 600 korun
  • F) jiná cena
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Původní cena zájezdu je 14 000 Kč. Tato částka představuje základ, tedy 100 %. Zákazníkovi je poskytnuta sleva 25 %.

Výpočet výše slevy

Sleva 25 % je jedna čtvrtina z celku. Výši slevy v korunách vypočítáme tak, že původní cenu vydělíme čtyřmi:
$14\,000 : 4 = 3\,500$ Kč

Výpočet ceny po slevě

Cenu po slevě získáme tak, že od původní ceny odečteme vypočítanou slevu:
$14\,000 - 3\,500 = 10\,500$ Kč

Závěr

Cena zájezdu pro prvního zákazníka byla 10 500 Kč. Správná je tedy možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.2

Zájezd stojí 12 000 korun. Cena zájezdu se skládá ze dvou položek: ceny za pobyt a ceny za dopravu. Cena za dopravu je stejná jako pětina ceny za pobyt.

Jaká je cena za samotný pobyt?

  • A) 9 000 korun
  • D) 10 000 korun
  • B) 9 500 korun
  • E) 10 500 korun
  • C) 9 600 korun
  • F) jiná cena
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Celková cena zájezdu je 12 000 Kč a skládá se ze dvou položek: pobytu a dopravy. Ze zadání víme, že cena za dopravu je stejná jako pětina ceny za pobyt.

Rozdělení na dílky

Pro snazší výpočet si můžeme cenu pobytu představit jako celek rozdělený na 5 stejných dílků. Protože doprava tvoří pětinu pobytu, odpovídá doprava právě 1 takovému dílku.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Celý zájezd (pobyt + doprava) dohromady tvoří $5 + 1 = 6$ stejných dílků. Těchto 6 dílků odpovídá celkové ceně 12 000 Kč. Jeden dílek tedy vypočítáme jako:
$12\ 000 : 6 = 2\ 000$ Kč.

Výpočet ceny za pobyt

Cena za pobyt odpovídá 5 dílkům. Vynásobíme tedy hodnotu jednoho dílku pěti:
$5 \cdot 2\ 000 = 10\ 000$ Kč.

Závěr

Cena za samotný pobyt je 10 000 korun. Správná je tedy možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 15.3

Cena zájezdu je 18 000 korun. Předem je třeba zaplatit zálohu, která tvoří dvě třetiny ceny zájezdu. Cena za ubytování je stejná jako 75 % zálohy na zájezd.

Jaká je cena za ubytování?

  • A) 9 000 korun
  • D) 10 000 korun
  • B) 9 500 korun
  • E) 10 500 korun
  • C) 9 600 korun
  • F) jiná cena
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet zálohy

Celková cena zájezdu je 18 000 korun. Záloha tvoří dvě třetiny z této částky. Výpočet provedeme tak, že celkovou cenu vydělíme třemi a výsledek vynásobíme dvěma:
$18\,000 : 3 \cdot 2 = 6\,000 \cdot 2 = 12\,000$ korun.

Výpočet ceny za ubytování

Cena za ubytování je 75 % ze zálohy (z 12 000 korun). Víme, že 75 % odpovídá třem čtvrtinám ($\frac{3}{4}$). Částku tedy vydělíme čtyřmi a výsledek vynásobíme třemi:
$12\,000 : 4 \cdot 3 = 3\,000 \cdot 3 = 9\,000$ korun.

Závěr

Cena za ubytování je 9 000 korun. Tomu odpovídá možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 16.1

Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.

Vypočtěte, kolik polí čtvercové sítě obsahuje 4. labyrint.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 1. labyrintu

Ze zadání víme, že 1. labyrint obsahuje 4 pole a je tvořen 8 sirkami. Protože se jedná o čtvercový labyrint se středem v uzlovém bodě sítě, musí mít tvar čtverce o straně 2 pole ($2 \times 2 = 4$ pole).

Pravidlo růstu labyrintu

Labyrinty se zvětšují přidáváním dalších úseků sirek, které tvoří spirálu. Aby byl zachován střed a labyrint zůstal čtvercový, musí se strana čtverce v každém kroku zvětšit o 2 pole (vždy o jednu vrstvu polí na každé straně).

Určení rozměrů 4. labyrintu

Sledujeme, jak roste délka strany čtverce v jednotlivých fázích:
  • 1. labyrint: strana 2 pole
  • 2. labyrint: strana 4 pole
  • 3. labyrint: strana 6 polí
  • 4. labyrint: strana 8 polí

Výpočet počtu polí

Počet polí ve čtverci o straně 8 polí vypočítáme jako $8 \times 8 = 64$. 4. labyrint tedy obsahuje 64 polí čtvercové sítě.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

64

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.2

Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.

Vypočtěte, o kolik polí čtvercové sítě je 7. labyrint větší než 6. labyrint.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor labyrintů

Z textu a popisu obrázků vyplývá, že labyrinty jsou čtvercové a jejich velikost se pravidelně zvětšuje:
  • 1. labyrint (nejmenší) má rozměry $2 \times 2$ pole, obsahuje tedy $2 \cdot 2 = 4$ pole.
  • 2. labyrint má rozměry $4 \times 4$ pole, obsahuje tedy $4 \cdot 4 = 16$ polí.
  • 3. labyrint má rozměry $6 \times 6$ pole, obsahuje tedy $6 \cdot 6 = 36$ polí.
Všimneme si, že strana čtverce je vždy dvojnásobkem pořadí labyrintu. Pro $n$-tý labyrint je tedy strana $2 \cdot n$ polí.

Určení počtu polí pro 6. a 7. labyrint

Pomocí nalezeného pravidla vypočítáme počet polí pro labyrinty ze zadání:
  • 6. labyrint má stranu $2 \cdot 6 = 12$ polí. Počet polí je $12 \cdot 12 = 144$.
  • 7. labyrint má stranu $2 \cdot 7 = 14$ polí. Počet polí je $14 \cdot 14 = 196$.

Výpočet rozdílu

Máme vypočítat, o kolik polí je 7. labyrint větší než 6. labyrint. Odečteme tedy jejich obsahy:
$196 - 144 = 52$

7. labyrint je o 52 polí větší než 6. labyrint.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

52

Stav úlohy
1 bod
Úloha 16.3

Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.

Vypočtěte, kolik sirek musíme přidat, chceme-li zvětšit 9. labyrint na 10. labyrint.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza počtu sirek v labyrintech

Nejdříve si spočítáme, kolik sirek tvoří první tři labyrinty uvedené na obrázku (jedna sirka odpovídá jedné straně čtverečku mřížky):
  • 1. labyrint (mřížka 2×2): úseky mají délky 2, 2, 2, 1, 1. Celkem $2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8$ sirek.
  • 2. labyrint (mřížka 4×4): úseky mají délky 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Celkem $4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 24$ sirek.
  • 3. labyrint (mřížka 6×6): úseky mají délky 6, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Celkem $6 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 48$ sirek.

Krok 2: Určení přírůstku sirek

Podíváme se, o kolik sirek musíme každý labyrint zvětšit, abychom získali následující:
  • Mezi 1. a 2. labyrintem přibylo: $24 - 8 = 16$ sirek.
  • Mezi 2. a 3. labyrintem přibylo: $48 - 24 = 24$ sirek.

Krok 3: Odvození pravidla pro zvětšování

Při každém zvětšení přibude kolem labyrintu jedna vrstva polí, takže strana naroste o 2 pole. Devátý labyrint má stranu $9 \cdot 2 = 18$ polí a desátý $10 \cdot 2 = 20$ polí. Sledujme prodloužení spirály z levého dolního konce devátého labyrintu: přidáme 1 sirku dolů, potom 19 doprava, 20 nahoru, 20 doleva a 20 dolů. Tím skončíme opět v levém dolním rohu nového čtverce.

Krok 4: Výpočet pro 10. labyrint

Sečteme délky přidaných úseků: $1 + 19 + 20 + 20 + 20 = 80$ sirek.

Závěr

K vytvoření 10. labyrintu z 9. labyrintu musíme přidat 80 sirek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

80

Stav úlohy
2 body