Přijímací testy 7. ročník
Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2019
30 úloh
Vypočtěte, kolik procent je 150 gramů ze tří čtvrtin kilogramu.
Zobrazit odpověď
20
Vypočtěte:
$\displaystyle 25 \cdot 0,2 - 0,2 \cdot 15 =$
Zobrazit odpověď
2
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor výrazu
Krok 1: Využití společného činitele
$0,2 \cdot (25 - 15)$
Krok 2: Výpočet v závorce
$25 - 15 = 10$
Krok 3: Dokončení výpočtu
$0,2 \cdot 10 = 2$
Závěr
Vypočtěte:
$\displaystyle 0,03 \div \left( -0,12 \right) -0,5=$
Zobrazit odpověď
-0,75
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor výrazu
Krok 1: Dělení
Pro snadnější výpočet si můžeme obě čísla vynásobit stem (posunout desetinnou čárku o dvě místa doprava):
$3 \div (-12) = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$
V desetinných číslech je to $-0,25$.
Krok 2: Odčítání
$-0,25 - 0,5 = -0,75$
Závěr
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \frac{6}{7} \cdot \left( \frac{5}{6}- \frac{3}{4} \right) -1=$
Zobrazit odpověď
-13/14
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Krok 1: Výpočet závorky
$\frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$
Krok 2: Násobení
$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{14}$
Krok 3: Odečtení jedničky
$\frac{1}{14} - 1 = \frac{1}{14} - \frac{14}{14} = -\frac{13}{14}$
Závěr
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{9}{4} \div \frac{15}{2} }{\displaystyle 3 \cdot \frac{2}{15}+ \frac{2}{5} } =$
Zobrazit odpověď
3/8
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Krok 1: Výpočet čitatele
$\frac{9}{4} \div \frac{15}{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{18}{60}$
Zlomek vykrátíme číslem 6:
$\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$
Krok 2: Výpočet jmenovatele
$3 \cdot \frac{2}{15} + \frac{2}{5} = \frac{6}{15} + \frac{2}{5}$
Zlomek $\frac{6}{15}$ vykrátíme číslem 3:
$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$
Krok 3: Celkový výsledek
$\frac{\frac{3}{10}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{10} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{40}$
Výsledek zapíšeme zlomkem v základním tvaru (vykrátíme číslem 5):
$\frac{15}{40} = \mathbf{\frac{3}{8}}$
Automobil široký 1 770 mm jel v jízdním pruhu širokém 3 m 25 cm. Jízdní pruh se zúžil o půl metru.
Vypočtěte, o kolik centimetrů je zúžený jízdní pruh širší než automobil.
Zobrazit odpověď
98
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Šířka jízdního pruhu v centimetrech
3 m = 300 cm
300 cm + 25 cm = 325 cm
Zúžení jízdního pruhu
325 cm - 50 cm = 275 cm
Šířka automobilu v centimetrech
1 770 mm = 177 cm
Výpočet rozdílu
275 cm - 177 cm = 98 cm
Výsledek
Cesta z Prahy do Žiliny autobusem trvala 6 hodin a 20 minut, vlakem jen 4 hodiny a 45 minut.
Vypočtěte, o kolik minut trvala cesta autobusem déle než vlakem.
Zobrazit odpověď
95
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Čas cesty autobusem
Čas cesty vlakem
Rozdíl v časech
Výsledek
Martin má krok dlouhý 60 cm a jeho tatínek 90 cm. Od školy k nim domů vede jediná cesta a Martin na ní udělá 1 200 kroků.
Vypočtěte, kolik kroků na této cestě udělá tatínek.
Zobrazit odpověď
800
Martin má krok dlouhý 60 cm a jeho tatínek 90 cm. Od školy k nim domů vede jediná cesta a Martin na ní udělá 1 200 kroků.
Tatínek vyrazil z domova naproti Martinovi, který šel touto cestou od školy domů. Než se setkali, udělali oba stejný počet kroků.
Vypočtěte, kolik kroků udělal Martin od školy k místu setkání.
Zobrazit odpověď
480
Všechny modré a červené kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C po 120 kuličkách. Ve skupině A jsou jen modré kuličky a ve skupině B jen červené kuličky. Skupina C obsahuje čtvrtinu z celkového počtu modrých kuliček a zbytek červených.
Určete počet modrých kuliček ve skupině C.
Zobrazit odpověď
40
Všechny modré a červené kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C po 120 kuličkách. Ve skupině A jsou jen modré kuličky a ve skupině B jen červené kuličky. Skupina C obsahuje čtvrtinu z celkového počtu modrých kuliček a zbytek červených.
Určete počet všech červených kuliček.
Zobrazit odpověď
200
Všechny modré a červené kuličky jsou rozděleny do tří stejně početných skupin A, B, C po 120 kuličkách. Ve skupině A jsou jen modré kuličky a ve skupině B jen červené kuličky. Skupina C obsahuje čtvrtinu z celkového počtu modrých kuliček a zbytek červených.
Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu modrých a počtu červených kuliček ve skupině C (v uvedeném pořadí).
Zobrazit odpověď
1 : 2
Ze dvou krychlí s hranou délky 10 cm jsme vytvořili dvě nová tělesa. První těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru kvádru. Druhé těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru trojbokého hranolu. Nejkratší hrana prvního i druhého tělesa měří 7 cm.
Vypočtěte v cm³ objem prvního tělesa.
Zobrazit odpověď
700 cm³
Ze dvou krychlí s hranou délky 10 cm jsme vytvořili dvě nová tělesa. První těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru kvádru. Druhé těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru trojbokého hranolu. Nejkratší hrana prvního i druhého tělesa měří 7 cm.
Vypočtěte v cm³ objem druhého tělesa.
Zobrazit odpověď
850 cm³
V rovině leží bod P a úhel TCU.
Sestrojte a označte písmenem osu o úhlu TCU.
Zobrazit odpověď
V rovině leží bod P a úhel TCU.
Bod C je vrchol rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB. Ramena AC a BC tohoto trojúhelníku leží na polopřímkách CT a CU. Bod P leží na straně AB.
Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.
Zobrazit odpověď
V rovině leží kružnice k se středem S, přímka p a bod D.
Bod D je vrchol obdélníku ABCD. Na přímce p leží strana AB tohoto obdélníku. Vrchol C leží na kružnici k.
Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy obdélníku ABCD a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.
Zobrazit odpověď
Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod 1. obrazce je 32 cm.
(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Obsah 1. obrazce je 48 cm².
Zobrazit odpověď
Ano
Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod 1. obrazce je 32 cm.
(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Obvod 2. obrazce je větší než 48 cm.
Zobrazit odpověď
Ne
Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Obvod 1. obrazce je 32 cm.
(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)
Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Obvod 3. obrazce je 44 cm.
Zobrazit odpověď
Ano
Jaká je velikost úhlu β?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
- A) menší než 75°
- D) 85°
- B) 75°
- E) větší než 85°
- C) 80°
Zobrazit odpověď
C
Na jaře se konal dětský plavecký závod smíšených štafet. Každá štafeta uplavala celkem 48 bazénů. Ve štafetě A bylo o 6 dívek více než chlapců. Každá dívka uplavala 1 bazén a každý chlapec 2 bazény.
Kolik dětí bylo ve štafetě A?
- A) méně než 34 dětí
- D) 38 dětí
- B) 34 dětí
- E) více než 38 dětí
- C) 36 dětí
Zobrazit odpověď
B
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Krok 1: Odstranění přebytku = to, co je navíc, si odložíme „na stranu“.
- Co udělat: „Na stranu“ si odložíme děti, které jsou v počtu navíc. Ze zadání víme, že dívek bylo o 6 více než chlapců. Těchto 6 dívek si tedy zatím odložíme a spočítáme, kolik bazénů uplavaly.
- Výpočet: Každá dívka uplavala 1 bazén. Těchto 6 dívek navíc tedy uplavalo 6 $\cdotnbsp;1 = 6 bazénů. Celkem se ve štafetě uplavalo 48 bazénů. Po odečtení přebytku nám zbývá 48 - 6 = 42 bazénů.
- Proč to děláme? Odstraněním přebytku jsme dosáhli stavu, kdy nám ve zbytku bazénů zůstane přesně stejný počet chlapců i dívek.
Krok 2: Vytvořte stejný pár
- Co udělat: Vezmeme vždy jednoho chlapce a jednu dívku a myšlenkově je spojíme do jedné dvojice (páru). Spočítáme, kolik bazénů takový pár uplave dohromady.
- Výpočet: Jeden chlapec uplave 2 bazény a jedna dívka 1 bazén. Dohromady tedy pár uplave 2 + 1 = 3 bazény.
- Proč to děláme: Protože chlapců a dívek je v tuto chvíli ve výpočtu stejný počet, mohou utvořit dvojice, se kterými se nám bude lépe počítat.
Krok 3: Spočítejte páry
- Co udělat: Zbylý počet bazénů (42) vydělíme počtem bazénů, které uplave jeden pár (3).
- Výpočet: 42 : 3 = 14 párů.
- Proč to děláme? Výsledek nám říká, kolik máme základních párů. Nyní víme, že v této části výpočtu máme přesně 14 chlapců a 14 dívek.
Krok 4: Vraťte schovaný přebytek (závěrečné počítání)
- Co udělat: Vezmeme počet dětí z párů a přičteme k nim ty, které jsme na začátku odložili „na stranu“.
- Výpočet: Chlapců je 14. Dívek je 14 základních + 6, které jsme na začátku odložili. Dívek je tedy 14 + 6 = 20.
- Celkový počet dětí: Ve štafetě A bylo dohromady 14 + 20 = 34 dětí.
Závěr
Graf udává počty žáků jedné třídy v průběhu šesti let. Některé údaje v grafu chybí.
Po doplnění chybějících údajů odpovězte na následující otázky. Při řešení vycházejte pouze z doplněného grafu.
Kolikrát došlo k meziroční změně počtu chlapců v období od 1. do 6. roku?
- A) jedenkrát
- D) čtyřikrát
- B) dvakrát
- E) pětkrát
- C) třikrát
Zobrazit odpověď
B
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Doplnění chybějících údajů o chlapcích
- 2. rok: 25 žáků celkem − 10 dívek = 15 chlapců
- 4. rok: 30 žáků celkem − 14 dívek = 16 chlapců
- 6. rok: 22 žáků celkem − 10 dívek = 12 chlapců
Porovnání meziročních změn
- Z 1. do 2. roku: z 15 na 15 (beze změny)
- Ze 2. do 3. roku: z 15 na 16 (změna)
- Ze 3. do 4. roku: z 16 na 16 (beze změny)
- Z 4. do 5. roku: z 16 na 16 (beze změny)
- Z 5. do 6. roku: z 16 na 12 (změna)
Závěr
Graf udává počty žáků jedné třídy v průběhu šesti let. Některé údaje v grafu chybí.
Po doplnění chybějících údajů odpovězte na následující otázky. Při řešení vycházejte pouze z doplněného grafu.
Ve kterém roce byl počet chlapců o čtvrtinu větší než počet dívek?
- A) v 1. roce
- D) ve 4. roce
- B) ve 2. roce
- E) v 5. roce
- C) ve 3. roce
Zobrazit odpověď
A
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor grafu
Hledání správného roku
1. rok Z grafu přímo přečteme, že dívek bylo 12 a chlapců 15. Vypočítáme čtvrtinu z počtu dívek: $12 : 4 = 3$. Počet chlapců má být o tuto čtvrtinu větší než počet dívek: $12 + 3 = 15$. Výsledek se přesně shoduje s počtem chlapců v 1. roce, který jsme vyčetli z grafu. Podmínka je tedy hned v 1. roce splněna.
Ukázka pro další rok
Závěr
Zájezd stojí 14 000 korun. Prvnímu zákazníkovi byla poskytnuta 25% sleva.
Jaká byla cena zájezdu pro prvního zákazníka?
- A) 9 000 korun
- D) 10 000 korun
- B) 9 500 korun
- E) 10 500 korun
- C) 9 600 korun
- F) jiná cena
Zobrazit odpověď
E
Zájezd stojí 12 000 korun. Cena zájezdu se skládá ze dvou položek: ceny za pobyt a ceny za dopravu. Cena za dopravu je stejná jako pětina ceny za pobyt.
Jaká je cena za samotný pobyt?
- A) 9 000 korun
- D) 10 000 korun
- B) 9 500 korun
- E) 10 500 korun
- C) 9 600 korun
- F) jiná cena
Zobrazit odpověď
D
Cena zájezdu je 18 000 korun. Předem je třeba zaplatit zálohu, která tvoří dvě třetiny ceny zájezdu. Cena za ubytování je stejná jako 75 % zálohy na zájezd.
Jaká je cena za ubytování?
- A) 9 000 korun
- D) 10 000 korun
- B) 9 500 korun
- E) 10 500 korun
- C) 9 600 korun
- F) jiná cena
Zobrazit odpověď
A
Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.
Vypočtěte, kolik polí čtvercové sítě obsahuje 4. labyrint.
Zobrazit odpověď
64
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor 1. labyrintu
Pravidlo růstu labyrintu
Určení rozměrů 4. labyrintu
- 1. labyrint: strana 2 pole
- 2. labyrint: strana 4 pole
- 3. labyrint: strana 6 polí
- 4. labyrint: strana 8 polí
Výpočet počtu polí
Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.
Vypočtěte, o kolik polí čtvercové sítě je 7. labyrint větší než 6. labyrint.
Zobrazit odpověď
52
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Rozbor labyrintů
- 1. labyrint (nejmenší) má rozměry $2 \times 2$ pole, obsahuje tedy $2 \cdot 2 = 4$ pole.
- 2. labyrint má rozměry $4 \times 4$ pole, obsahuje tedy $4 \cdot 4 = 16$ polí.
- 3. labyrint má rozměry $6 \times 6$ pole, obsahuje tedy $6 \cdot 6 = 36$ polí.
Určení počtu polí pro 6. a 7. labyrint
- 6. labyrint má stranu $2 \cdot 6 = 12$ polí. Počet polí je $12 \cdot 12 = 144$.
- 7. labyrint má stranu $2 \cdot 7 = 14$ polí. Počet polí je $14 \cdot 14 = 196$.
Výpočet rozdílu
7. labyrint je o 52 polí větší než 6. labyrint.
Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.
Vypočtěte, kolik sirek musíme přidat, chceme-li zvětšit 9. labyrint na 10. labyrint.
Zobrazit odpověď
80
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.
Krok 1: Analýza počtu sirek v labyrintech
- 1. labyrint (mřížka 2×2): úseky mají délky 2, 2, 2, 1, 1. Celkem $2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8$ sirek.
- 2. labyrint (mřížka 4×4): úseky mají délky 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Celkem $4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 24$ sirek.
- 3. labyrint (mřížka 6×6): úseky mají délky 6, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Celkem $6 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 48$ sirek.
Krok 2: Určení přírůstku sirek
- Mezi 1. a 2. labyrintem přibylo: $24 - 8 = 16$ sirek.
- Mezi 2. a 3. labyrintem přibylo: $48 - 24 = 24$ sirek.
Krok 3: Odvození pravidla pro zvětšování
- Při zvětšení na 2. labyrint jsme přidali $2 \cdot 8 = 16$ sirek.
- Při zvětšení na 3. labyrint jsme přidali $3 \cdot 8 = 24$ sirek.