Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2018

28 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte, kolik procent je 400 mililitrů z 5 litrů.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sjednocení jednotek

Abychom mohli určit, kolik procent tvoří jedna část z celku, musíme mít obě hodnoty ve stejných jednotkách. Převedeme si 5 litrů na mililitry. Víme, že 1 litr má 1000 mililitrů.
5 l = 5000 ml

Výpočet procent

Nyní hledáme, kolik procent tvoří 400 ml ze základu 5000 ml (což je 100 %).
Jedno procento (1 %) ze základu vypočítáme jako 5000 : 100 = 50 ml.
Počet procent pak zjistíme tak, že 400 ml vydělíme hodnotou jednoho procenta:
400 : 50 = 8

Závěr

400 mililitrů je 8 % z 5 litrů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \frac{1}{4}$ hodiny $\displaystyle +$ 300 sekund = $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ minut.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod čtvrt hodiny

Jedna hodina má 60 minut. Čtvrtinu hodiny vypočítáme tak, že 60 minut vydělíme čtyřmi:
60 : 4 = 15 minut

Převod sekund

Jedna minuta má 60 sekund. Počet minut v 300 sekundách zjistíme dělením šedesáti:
300 : 60 = 5 minut

Výpočet výsledku

Nyní obě hodnoty v minutách sečteme:
15 + 5 = 20 minut

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \frac{1}{2}$ km $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 40 m

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Nejdříve si převedeme kilometry na metry, abychom měli na obou stranách stejné jednotky. Víme, že 1 kilometr má 1000 metrů. Polovina kilometru ($\frac{1}{2}$ km) je tedy:
1000 m : 2 = 500 m

Sestavení výpočtu

Nyní hledáme číslo, kterým musíme vynásobit 40 metrů, aby nám vyšlo 500 metrů. Výpočet si tedy zapíšeme jako dělení:
500 : 40 = ?

Výpočet výsledku

Při dělení číslem, které končí nulou, si můžeme práci usnadnit a obě čísla vydělit deseti (škrtnout jednu nulu). Budeme tedy počítat:
50 : 4 = 12,5

Závěr

Do rámečku patří číslo 12,5.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

12,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 0,25 - \frac{1}{4} \cdot \left( 2 - \frac{2}{3} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení na zlomky a první součin

Nejdříve si desetinné číslo $0,25$ převedeme na zlomek v základním tvaru:
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Nyní vypočítáme první součin v příkladu:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Výpočet závorky

Vypočítáme hodnotu výrazu v závorce. Číslo $2$ si vyjádříme jako zlomek se jmenovatelem $3$:
$2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

Druhý součin a odečtení

Výsledek ze závorky vynásobíme zlomkem $\frac{1}{4}$:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Nakonec odečteme výsledky obou částí příkladu. Pro odečítání musíme zlomky převést na společného jmenovatele ($6$):
$\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$

Závěrečný výsledek

Výsledek příkladu zapsaný zlomkem v základním tvaru je:
$-\frac{1}{6}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/6

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{2+3}{6-2} \div \displaystyle \frac{15}{16} }{ \displaystyle \frac{3 \cdot 5}{3+5} - \displaystyle \frac{1}{8} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

V horní části hlavního zlomku (v čitateli) máme výraz:
$\frac{2+3}{6-2} \div \frac{15}{16}$ Nejdříve vypočítáme hodnotu prvního zlomku:
$\frac{2+3}{6-2} = \frac{5}{4}$ Nyní provedeme dělení (zlomek vynásobíme převrácenou hodnotou dělitele):
$\frac{5}{4} \div \frac{15}{16} = \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{15}$ Zlomky vykrátíme (5 proti 15 číslem 5 a 16 proti 4 číslem 4) a dostaneme:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$

Výpočet jmenovatele

V dolní části hlavního zlomku (ve jmenovateli) máme výraz:
$\frac{3 \cdot 5}{3+5} - \frac{1}{8}$ Nejdříve vypočítáme první zlomek:
$\frac{3 \cdot 5}{3+5} = \frac{15}{8}$ Zlomky mají stejného jmenovatele, můžeme je tedy rovnou odečíst:
$\frac{15}{8} - \frac{1}{8} = \frac{14}{8}$ Výsledek zkrátíme dvěma:
$\frac{14}{8} = \mathbf{\frac{7}{4}}$

Celkový výsledek

Nyní vydělíme výsledek z čitatele výsledkem ze jmenovatele (složený zlomek):
$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{3} \div \frac{7}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{7} = \mathbf{\frac{16}{21}}$ Zlomek $\frac{16}{21}$ již nelze dále krátit, je tedy v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

16/21

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Maminka dala všechny upečené koláče na dva talíře ve stejném počtu. Jarda z prvního talíře 5 koláčů snědl a potom na něj přendal 3 koláče z druhého talíře. Emilka pak z talíře s větším počtem koláčů odebrala třetinu koláčů a dala si je do krabičky. Odnesla si tak v krabičce celkem 5 koláčů.

Určete počet všech upečených koláčů (tj. na obou talířích dohromady).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet koláčů u Emilky

Emilka si vzala třetinu koláčů z talíře, na kterém jich bylo více. V krabičce měla 5 koláčů. Pokud 5 koláčů tvoří jednu třetinu, pak na celém talíři muselo být třikrát více koláčů:
3 · 5 = 15 koláčů

Původní počet na jednom talíři

Na talíři, ze kterého Emilka brala, bylo 15 koláčů. Tento počet tam byl poté, co na něj Jarda přendal 3 koláče z druhého talíře. Před tímto přendáním tam tedy bylo:
15 – 3 = 12 koláčů
Těchto 12 koláčů tam zbylo poté, co Jarda 5 koláčů snědl. Na začátku tedy na tomto talíři muselo být:
12 + 5 = 17 koláčů

Celkový počet upečených koláčů

Maminka rozdělila všechny koláče na dva talíře tak, aby na obou byl stejný počet. Na prvním talíři bylo na začátku 17 koláčů, na druhém tedy muselo být také 17 koláčů. Celkem maminka upekla:
17 + 17 = 34 koláčů

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Určete počet koláčů, které zbyly na druhém talíři.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kolik bylo na talíři před Emilkou

Emilka si vzala z talíře s větším počtem koláčů jednu třetinu a bylo to 5 koláčů. Celý tento talíř tedy musel obsahovat $3 \cdot 5 = 15$ koláčů.

Který talíř měl více koláčů

Na začátku měly oba talíře stejný počet koláčů. Jarda z prvního talíře 5 snědl a 3 na něj přidal (celkem mu ubyly 2 koláče). Z druhého talíře Jarda jen 3 koláče vzal (ubyly mu 3 koláče). Více koláčů tedy zůstalo na prvním talíři, a to právě těch 15.

Počet koláčů na začátku

Jestliže na prvním talíři bylo 15 koláčů a víme, že z něj celkem 2 ubyly, muselo jich tam být na začátku $15 + 2 = 17$. Na druhém talíři bylo na začátku také 17 koláčů.

Zbytek na druhém talíři

Z druhého talíře Jarda odebral 3 koláče a dal je na první talíř. Emilka si brala koláče z prvního talíře, takže druhého se už nedotkla. Na druhém talíři tedy zbylo $17 - 3 = 14$ koláčů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 5

Jana si nahrála na několik CD všechny lekce němčiny, a to postupně od první lekce do poslední. Jednotlivá CD zaplňovala rovněž v pořadí od prvního do posledního CD. Na každém CD je stejný počet lekcí – nejméně 5, ale nejvíce 10. Jen jediná dvojice ze čtyř lekcí 11, 13, 31 a 33 je nahrána na stejném CD.

Určete, kolik lekcí může být na jednom CD.

Uveďte všechna možná řešení.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Víme, že na každém CD je stejný počet lekcí, a to 5 až 10. Lekce jsou nahrávány postupně. Pokud je na jednom CD n lekcí, pak:

1. CD obsahuje lekce 1 až n,
2. CD obsahuje lekce n+1 až 2n,
atd.

Lekce s číslem L se nachází na CD s pořadovým číslem, které získáme jako výsledek dělení L/n zaokrouhlený nahoru.

Ověření možností pro 5, 6 a 7 lekcí

Hledáme takový počet lekcí n, pro který je ze čtveřice lekcí (11, 13, 31, 33) právě jedna dvojice na stejném CD.

Pro 5 lekcí: Lekce 11 a 13 jsou na 3. CD (11–15), lekce 31 a 33 jsou na 7. CD (31–35). Máme dvě dvojice na stejném CD.
Pro 6 lekcí: Lekce 11 je na 2. CD (7–12), lekce 13 na 3. CD (13–18). Lekce 31 a 33 jsou na 6. CD (31–36). Máme právě jednu dvojici (31 a 33).
Pro 7 lekcí: Lekce 11 a 13 jsou na 2. CD (8–14), lekce 31 a 33 jsou na 5. CD (29–35). Máme dvě dvojice.

Ověření možností pro 8, 9 a 10 lekcí

Pokračujeme v ověřování zbývajících možností:

Pro 8 lekcí: Lekce 11 a 13 jsou na 2. CD (9–16). Lekce 31 je na 4. CD (25–32), lekce 33 je na 5. CD (33–40). Máme právě jednu dvojici (11 a 13).
Pro 9 lekcí: Lekce 11 a 13 jsou na 2. CD (10–18), lekce 31 a 33 jsou na 4. CD (28–36). Máme dvě dvojice.
Pro 10 lekcí: Lekce 11 a 13 jsou na 2. CD (11–20), lekce 31 a 33 jsou na 4. CD (31–40). Máme dvě dvojice.

Závěr

Podmínku ze zadání splňují dva případy: buď je na každém CD 6 lekcí, nebo 8 lekcí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

6, 8

Stav úlohy

3 body

Úloha 6.1

Těleso bylo sestaveno ze dvou krychlí ze stejného materiálu. Ke krychli s délkou hrany 8 cm je přilepena krychle s délkou hrany 4 cm. Přilepená stěna menší krychle nepřečnívá přes vetší krychli. Menší krychle váží 400 g.

Vypočtěte v gramech hmotnost tělesa.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr objemů a hmotností

Hrana větší krychle (8 cm) je dvakrát delší než hrana menší krychle (4 cm). Objem krychle vypočítáme jako $V = a \cdot a \cdot a$. Pokud je hrana dvakrát delší, objem se zvětší $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$krát. Protože jsou obě krychle ze stejného materiálu, bude i hmotnost větší krychle 8krát větší než hmotnost menší krychle.

Hmotnost větší krychle

Hmotnost menší krychle je 400 g. Hmotnost větší krychle vypočítáme jako:
8 · 400 g = 3200 g

Celková hmotnost tělesa

Těleso je tvořeno oběma krychlemi dohromady. Jejich celkovou hmotnost získáme součtem:
3200 g + 400 g = 3600 g

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3600 g

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Vypočtěte v cm² povrch tělesa (včetně dolní stěny větší krychle).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Povrch větší krychle

Větší krychle má délku hrany 8 cm. Nejdříve si vypočítáme její celkový povrch (všech 6 stěn):
S₁ = 6 · 8 · 8 = 384 cm²

Krok 2: Povrch menší krychle

Menší krychle má délku hrany 4 cm. Stejným způsobem vypočítáme i její celkový povrch:
S₂ = 6 · 4 · 4 = 96 cm²

Krok 3: Odečtení zakryté plochy

Když menší krychli přilepíme k větší, jedna stěna menší krychle se úplně zakryje a přestane být součástí povrchu. Zároveň tato stěna zakryje stejně velkou plochu na horní stěně větší krychle. Obsah jedné stěny menší krychle je 16 cm² (4 · 4). Celkem se tedy povrch zmenší o dvě tyto plochy:
2 · 16 = 32 cm²

Krok 4: Výpočet celkového povrchu

Dohromady povrch celého tělesa vypočítáme tak, že od součtu povrchů obou krychlí odečteme zakrytou část:
S = 384 + 96 − 32 = 448 cm²

Krok 5: Výsledek

Povrch tělesa je 448 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

448 cm²

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky.Jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů.

Vypočtěte, o kolik gramů méně váží jedna topinka než jedna houska.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl u dvou dvojic

Víme, že dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky. To znamená, že kdybychom dali na jednu misku vah dvě housky a na druhou dvě topinky, museli bychom k topinkám přidat závaží 10 gramů, aby byly váhy v rovnováze.

Rozdíl u jednoho kusu

Protože máme na obou stranách stejný počet kusů (dvě housky a dvě topinky), bude u jednoho kusu rozdíl přesně poloviční. Polovina z 10 gramů je 5 gramů ($10 \div 2 = 5$). Jedna houska je tedy o 5 gramů těžší než jedna topinka.

Závěr

Otázka zní, o kolik gramů méně váží jedna topinka než jedna houska. Protože je houska o 5 gramů těžší, topinka musí vážit o 5 gramů méně.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky.Jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů.

Vypočtěte, kolik gramů váží tři topinky.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi houskou a topinkou

Ze zadání víme, že dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky. Z toho vyplývá, že jedna houska váží o 5 gramů více než jedna topinka ($10 \div 2 = 5$).

Nahrazení housky topinkou

Víme, že jedna houska a dvě topinky váží dohromady 110 gramů. Pokud bychom místo housky vzali topinku, byla by celková váha o 5 gramů nižší (protože topinka je o 5 gramů lehčí než houska).

Váha tří topinek

Tři topinky tedy váží dohromady o 5 gramů méně než 110 gramů:
$110 - 5 = 105$
Tři topinky váží 105 gramů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

105

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.3

Dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky.Jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů.

Vypočtěte, kolik gramů váží jedna houska.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání housek a topinek

Ze zadání víme, že dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky. To znamená, že dvě topinky váží stejně jako dvě housky, od kterých bychom odečetli 10 gramů.

Nahrazení v celkové váze

Víme, že jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů. Když dvě topinky nahradíme dvěma houskami (které jsou ale dohromady o 10 gramů těžší než dvě topinky), bude celková váha tří housek o 10 gramů vyšší než původních 110 gramů.

Váha tří housek

Tři housky tedy váží dohromady: $110 + 10 = 120$ gramů.

Výpočet pro jednu housku

Váhu jedné housky zjistíme tak, že celkovou váhu tří housek vydělíme třemi:
$120 \div 3 = 40$ gramů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 8

V rovině leží různoběžky o, p a bod D na přímce o.

Bod D je vrchol kosočtverce ABCD. Přímka o je osou souměrnosti tohoto kosočtverce a další dva vrcholy A, B leží na přímce p.

Sestrojte a popište chybějící vrcholy A, B, C kosočtverce ABCD a kosočtverec narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

3 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovině leží přímka AB a mimo ni bod T.

Body A, B jsou vrcholy trojúhelníku ABC a bod T je jeho těžiště.

Sestrojte a popište chybějící vrchol C trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

3 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová sít je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm. Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je stejný jako obsah obrazce B.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A si můžeme rozdělit na jednodušší části nebo jej doplnit na obdélník a odečíst přebývající části. Doplníme-li obrazec A na obdélník o stranách 4 cm a 5 cm, jeho obsah bude $4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2$. Od tohoto obsahu odečteme dva trojúhelníky, které leží mimo obrazec A:
1. Trojúhelník vpravo dole se základnou 2 cm a výškou 5 cm: $(2 \cdot 5) : 2 = 5 \text{ cm}^2$.
2. Trojúhelník vlevo nahoře se základnou 1 cm a výškou 3 cm: $(1 \cdot 3) : 2 = 1{,}5 \text{ cm}^2$.
Obsah obrazce A je tedy: $20 - 5 - 1{,}5 = 13{,}5 \text{ cm}^2$.

Obsah obrazce B

Obrazec B je rovnoběžník. Jeho obsah vypočítáme jako součin délky strany a výšky k této straně ($S = a \cdot v_a$). Z obrázku vidíme, že vodorovná strana má délku 3 cm a výška obrazce je 5 cm. Obsah obrazce B je tedy: $3 \cdot 5 = 15 \text{ cm}^2$.

Porovnání a závěr

Obsah obrazce A je $13{,}5 \text{ cm}^2$ a obsah obrazce B je $15 \text{ cm}^2$. Obsahy se tedy nerovnají, což znamená, že tvrzení je nepravdivé.
Výsledek: N

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová sít je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm. Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je vetší než 12 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Ze zadání a z obrázku víme, že jeden čtvereček sítě má stranu dlouhou $1\text{ cm}$. Z obrázku vyčteme rozměry obrazce A.

Jde o lichoběžník, jehož základny (vodorovné strany) jsou dlouhé $1\text{ cm}$ (dole) a $3\text{ cm}$ (nahoře). Výška tohoto lichoběžníku (vzdálenost mezi základnami) je $6\text{ cm}$ (6 čtverečků).

Výpočet obsahu

Obsah lichoběžníku vypočítáme podle vzorce $S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}$, kde $a$ a $c$ jsou délky základen a $v$ je výška.

Dosadíme naše hodnoty:
$S = \frac{(1 + 3) \cdot 6}{2}$
$S = \frac{4 \cdot 6}{2}$
$S = \frac{24}{2} = 12\text{ cm}^2$

Alternativní postup: Můžeme také obrazec doplnit na obdélník $4 \times 6$ (obsah $24\text{ cm}^2$) a odečíst od něj dva prázdné pravoúhlé trojúhelníky po stranách. Levý má obsah $\frac{1 \cdot 6}{2} = 3\text{ cm}^2$, pravý má obsah $\frac{3 \cdot 6}{2} = 9\text{ cm}^2$. Obsah obrazce A je pak $24 - 3 - 9 = 12\text{ cm}^2$.

Závěr

Vypočítali jsme, že obsah obrazce A je přesně $12\text{ cm}^2$. Tvrzení ze zadání říká, že obsah je větší než $12\text{ cm}^2$.

To není pravda, takže tvrzení neplatí (N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová sít je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm. Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce A je vetší než obvod obrazce B.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obvod obrazce zjistíme tak, že sečteme délky všech jeho stran. Ze zadání víme, že strana jednoho čtverečku v síti měří 1 cm.

Z obrázku snadno určíme délky tří ze čtyř stran obrazce A:

levá svislá strana: 4 cm
horní vodorovná strana: 3 cm
dolní vodorovná strana: 1 cm

Součet délek těchto tří stran je $4 + 3 + 1 = 8$ cm. Čtvrtá strana je šikmá. Pokud si pod ní představíme pravoúhlý trojúhelník, překonává tato strana vodorovnou vzdálenost 2 cm a svislou vzdálenost 4 cm. Podle trojúhelníkové nerovnosti platí, že nejdelší strana trojúhelníku musí být kratší než součet obou zbývajících stran (odvěsen). Tato šikmá strana je tedy určitě kratší než $2 + 4 = 6$ cm.

Celkový obvod obrazce A je proto menší než $8 + 6 = 14$ cm.

Rozbor obrazce B

Stejným způsobem vyčteme z čtvercové sítě délky dvou vodorovných stran u obrazce B:

horní vodorovná strana: 2 cm
dolní vodorovná strana: 2 cm

Jejich součet je $2 + 2 = 4$ cm. Zbývající dvě šikmé strany obrazce B jsou stejně dlouhé. Každá z nich překonává svislou vzdálenost 5 cm a vodorovnou vzdálenost 2 cm. V takovém pomyslném pravoúhlém trojúhelníku je šikmá strana nejdelší, proto musí být delší než její svislá část, tedy delší než 5 cm. Obě tyto šikmé strany tak mají dohromady víc než 10 cm.

Celkový obvod obrazce B je tvořen 4 cm a dvěma šikmými stranami. Zjistili jsme tak, že obvod je zaručeně větší než $4 + 10 = 14$ cm.

Závěr

Dospěli jsme k tomu, že obvod obrazce A je kratší než 14 cm, zatímco obvod obrazce B je bezpečně delší než 14 cm. Obvod obrazce A je tedy menší než obvod obrazce B.

Tvrzení v zadání je proto nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

Úhly neměřte, ale vypočtěte.

Jaká je velikost úhlu φ?

A) 40°
D) 70°
B) 50°
E) jiná velikost
C) 60°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení úhlu u horního vrcholu

Z nákresu vidíme, že horní vrchol trojúhelníku je tvořen průsečíkem dvou přímek. Nad tímto vrcholem je vyznačen vrcholový úhel o velikosti $70^\circ$. Protože vrcholové úhly jsou shodné, je i vnitřní úhel trojúhelníku u tohoto vrcholu roven $70^\circ$.

Krok 2: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku

Součet všech tří vnitřních úhlů v každém trojúhelníku je vždy $180^\circ$.

Krok 3: Výpočet úhlu $\phi$

V trojúhelníku známe velikosti dvou vnitřních úhlů: horní úhel má velikost $70^\circ$ a úhel v levém dolním rohu má velikost $60^\circ$. Velikost úhlu $\phi$ v pravém dolním rohu trojúhelníku tedy vypočítáme tak, že od celkového součtu $180^\circ$ odečteme oba známé úhly:
$\phi = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ$
$\phi = 180^\circ - 130^\circ$
$\phi = 50^\circ$

Úhel $\phi$ má velikost $50^\circ$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

V pondělí znečištěná plocha pokrývala šestnáctinu plochy hladiny rybníka.
V každém z dalších dnů byla velikost znečištěné plochy na hladině rybníka vždy dvakrát větší než o den dříve.

Ve kterém dnu v týdnu znečištěná plocha pokryla polovinu plochy hladiny rybníka?

A) ve čtvrtek
D) v neděli
B) v pátek
E) v jiném dnu
C) v sobotu

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Víme, že v pondělí byla znečištěná plocha rybníka jedna šestnáctina ($\frac{1}{16}$) hladiny. Každý další den se tato plocha zdvojnásobila (byla dvakrát větší než předchozí den).

Postupný výpočet

Budeme postupně zdvojnásobovat plochu pro jednotlivé dny:

Pondělí: $\frac{1}{16}$
Úterý: $2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$
Středa: $2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Čtvrtek: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}}$

Závěr

Polovinu plochy hladiny rybníka ($\frac{1}{2}$) pokryla znečištěná plocha ve čtvrtek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Sedmé třídy (7. A a 7. B) uspořádaly sběr papíru. Každý žák přinesl stejné množství papíru.
V jednotlivých třídách je počet žáků větší než 20 a menší než 30.
V 7. A nasbírali žáci celkem 580 kg papíru, přičemž chlapci nasbírali o 100 kg méně než dívky.
V 7. B je celkem 24 dětí a mezi nimi je dvakrát více chlapců než dívek.

Kolik kg papíru nasbíraly dívky 7. A?

A) 300 kg
D) 360 kg
B) 320 kg
E) jiný počet kg
C) 340 kg

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání pro 7. A

Ze zadání víme, že žáci 7. A nasbírali celkem 580 kg papíru. Také víme, že chlapci nasbírali o 100 kg méně než dívky. To lze říci i obráceně: dívky nasbíraly o 100 kg více než chlapci.

Výpočet množství papíru

Celkové množství (580 kg) si můžeme představit jako dvě části. Kdyby obě skupiny nasbíraly stejně, každá by měla polovinu z celku: 580 : 2 = 290 kg

Protože je ale mezi skupinami rozdíl 100 kg, musíme tento rozdíl rozdělit na dvě poloviny (50 kg) a jednu polovinu k průměru přičíst (pro dívky) a druhou odečíst (pro chlapce): Dívky: 290 + 50 = 340 kg Chlapci: 290 - 50 = 240 kg

Kontrola výsledku

Ověříme, zda výsledky odpovídají zadání: Součet: 340 + 240 = 580 kg (v pořádku) Rozdíl: 340 - 240 = 100 kg (v pořádku, chlapci mají o 100 kg méně)

Závěr

Dívky ze třídy 7. A nasbíraly celkem 340 kg papíru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Kolik kg papíru nasbírali chlapci 7. B?

A) 300 kg
D) 360 kg
B) 320 kg
E) jiný počet kg
C) 340 kg

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Množství papíru na jednoho žáka

Ze zadání víme, že každý žák přinesl stejné množství papíru. Ve třídě 7. A nasbírali celkem 580 kg a počet žáků v této třídě je číslo mezi 20 a 30. Musíme tedy najít dělitele čísla 580 v tomto rozmezí.
Číslo 580 můžeme rozložit: $580 = 10 \cdot 58 = 10 \cdot 2 \cdot 29 = 20 \cdot 29$.
Jediný dělitel mezi 20 a 30 je tedy číslo 29. Ve třídě 7. A je 29 žáků a každý z nich přinesl:
$580 : 29 = 20$ kg.

Počet chlapců v 7. B

V 7. B je celkem 24 dětí a víme, že chlapců je dvakrát více než dívek. Počet dětí si tedy můžeme rozdělit na stejné díly:

dívky: 1 díl
chlapci: 2 díly
celkem: $1 + 2 = 3$ díly

Jeden díl odpovídá: $24 : 3 = 8$ dětem.
Chlapců je 2 díly, tedy: $2 \cdot 8 = 16$.

Celkové množství papíru chlapců z 7. B

Nyní už jen vynásobíme počet chlapců v 7. B množstvím papíru, které přinesl každý žák:
$16 \cdot 20 = 320$ kg.

Chlapci ze třídy 7. B nasbírali celkem 320 kg papíru.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Které číslo získáme zmenšením čísla 350 o 60 %?

A) 90
D) 150
B) 120
E) 160
C) 140
F) 210

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet 60 % z čísla 350

Číslo 350 představuje celek, tedy 100 %. Abychom zjistili, kolik je 60 %, můžeme si nejdříve vypočítat 10 % (tak, že číslo vydělíme deseti):
$350 : 10 = 35$
Nyní vypočítáme 60 % tak, že tuto hodnotu vynásobíme šesti:
$6 \cdot 35 = 210$

Krok 2: Zmenšení čísla o vypočtenou část

V zadání se píše, že máme číslo 350 zmenšit o 60 %. To znamená, že od původního čísla odečteme vypočtených 210:
$350 - 210 = 140$

Krok 3: Výběr správné odpovědi

Získali jsme číslo 140. Při pohledu na nabízené možnosti vidíme, že tato hodnota odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Pro které číslo platí, že 75 % z jeho poloviny je 60?

A) 90
D) 150
B) 120
E) 160
C) 140
F) 210

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet poloviny čísla

Víme, že 75 % z poloviny hledaného čísla je 60. Nejdříve si tedy vypočítáme, kolik je celá tato polovina (100 %).

Pokud 75 % je 60, pak 25 % (jedna čtvrtina) je 20 (60 : 3 = 20). Celých 100 % (čtyři čtvrtiny) je tedy 80 (20 · 4 = 80).

Určení hledaného čísla

Číslo 80 představuje polovinu hledaného čísla. Abychom našli celé číslo, musíme tuto hodnotu vynásobit dvěma: 80 · 2 = 160

Závěr

Hledané číslo je 160. Správná je tedy možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Kolik je $\displaystyle \frac{5}{6}$ z takového čísla, které je rovno $\displaystyle \frac{2}{3}$ z 270?

A) 90
D) 150
B) 120
E) 160
C) 140
F) 210

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet prvního čísla

Nejdříve musíme zjistit, o jaké číslo se jedná. Víme, že toto číslo je rovno $\frac{2}{3}$ z 270.
Jedna třetina z 270 je: $270 : 3 = 90$.
Dvě třetiny jsou tedy: $90 \cdot 2 = 180$.
Hledané číslo je 180.

Výpočet finálního výsledku

Nyní máme vypočítat $\frac{5}{6}$ z tohoto čísla (tedy ze 180).
Jedna šestina ze 180 je: $180 : 6 = 30$.
Pět šestin je tedy: $30 \cdot 5 = 150$.

Závěr

Hledaný výsledek je 150, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Ze stejně velkých čtverečků se podle jednotného pravidla sestavují obdélníky.První obdélník obsahuje 2 čtverečky. Každý další obdélník vznikne tak, že se k předchozímu obdélníku přidá nejprve dole jedna řada tmavých čtverečků a poté vpravo jeden sloupec bílých čtverečků. Číslo nahoře nad obdélníkem vždy uvádí počet všech čtverečků v obdélníku, číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců. U každého z následujících obdélníků je chybějící počet nahrazen otazníkem.

Obdélník obsahuje celkem 110 čtverečků.

Určete počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidla

Podle obrázku a zadání vidíme, jak se obdélníky zvětšují. Číslo nahoře uvádí celkový počet čtverečků. Číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v posledním přidaném sloupci.

U 1. obdélníku je celkem 2 čtverečky (horní číslo) a vpravo by bylo číslo 1. Platí: $2 = 1 × 2$.
U 2. obdélníku je celkem 6 čtverečků a vpravo je číslo 2. Platí: $6 = 2 × 3$.
U 3. obdélníku je celkem 12 čtverečků a vpravo je číslo 3. Platí: $12 = 3 × 4$.
U 4. obdélníku je celkem 20 čtverečků a vpravo je číslo 4. Platí: $20 = 4 × 5$.

Celkový počet čtverečků tedy vždy vypočítáme tak, že číslo vpravo vynásobíme číslem o jedna větším.

Výpočet pro 110 čtverečků

Šířka obdélníku je vždy o jeden čtvereček větší než jeho výška. Platí $110 = 10 \times 11$: 11 desítek je 110. Rozměry jsou tedy 10 řad a 11 sloupců. Menší výška by dala menší obdélník a větší výška větší obdélník, takže tento výsledek je jediný. Poslední bílý sloupec má 10 čtverečků.

Závěr

V obdélníku, který obsahuje celkem 110 čtverečků, je v nejdelším z přidaných sloupců 10 bílých čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Nejdelší z přidaných sloupců obsahuje 20 bílých čtverečků.

Určete počet všech čtverečků v obdélníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a pravidla

Když se podíváme na první čtyři obdélníky v zadání, můžeme si všimnout, jak se postupně zvětšují:

1. obdélník: má 1 řadu a 2 sloupce (celkem $1 \cdot 2 = 2$ čtverečky).
2. obdélník: má 2 řady a 3 sloupce (celkem $2 \cdot 3 = 6$ čtverečků). Číslo vpravo je 2.
3. obdélník: má 3 řady a 4 sloupce (celkem $3 \cdot 4 = 12$ čtverečků). Číslo vpravo je 3.
4. obdélník: má 4 řady a 5 sloupců (celkem $4 \cdot 5 = 20$ čtverečků). Číslo vpravo je 4.

Odhalili jsme důležité pravidlo:

Číslo vpravo (počet bílých čtverečků v nejdelším sloupci) je stejné jako celkový počet řad v obdélníku.
Počet sloupců obdélníku je vždy o 1 větší než počet řad.
Celkový počet všech čtverečků zjistíme, když vynásobíme počet řad počtem sloupců.

Výpočet čtverečků

Zadání po nás chce zjistit celkový počet čtverečků v obdélníku, kde nejdelší z přidaných sloupců obsahuje 20 bílých čtverečků. Toto číslo je napsáno vpravo vedle obdélníku.

Podle našeho pravidla to znamená, že tento velký obdélník má přesně 20 řad. Sloupců bude o 1 více, tedy $20 + 1 = 21$ sloupců.

Celkový počet všech čtverečků vypočítáme vynásobením počtu řad a sloupců:
$20 \cdot 21 = 420$

Závěr

Tento obdélník obsahuje celkem 420 čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

420

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Počet čtverečků v obdélníku je vetší než 900, ale menší než 1 000.

Určete přesný počet čtverečků v obdélníku.

Najděte všechna možná řešení.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Podle zadání a obrázku si můžeme zapsat rozměry prvních několika obdélníků:

1. obdélník: má strany $2$ a $1$, celkem je v něm $2 \cdot 1 = 2$ čtverečky.
2. obdélník: má strany $3$ a $2$, celkem je v něm $3 \cdot 2 = 6$ čtverečků.
3. obdélník: má strany $4$ a $3$, celkem je v něm $4 \cdot 3 = 12$ čtverečků.
4. obdélník: má strany $5$ a $4$, celkem je v něm $5 \cdot 4 = 20$ čtverečků.

Nalezení pravidla

Vidíme, že celkový počet čtverečků v obdélníku získáme vždy vynásobením dvou čísel jdoucích hned po sobě (délky a šířky obdélníku).

Hledání řešení

Obdélník má vždy o jeden sloupec více než řad. Čtverec $30 \times 30$ má 900 políček. Obdélník nad touto mezí proto musí mít alespoň 30 řad. Čtverec $32 \times 32$ má 1024 políček, tedy více než 1000; obdélník proto musí mít méně než 32 řad. Výška tak patří do přesně určeného rozmezí 30 až 31 řad. Tomu odpovídají rozměry 30 × 31 a 31 × 32 a počty $30 \times 31 = 930$ a $31 \times 32 = 992$. Oba leží v požadovaném rozmezí; žádná další celočíselná výška mezi 30 a 31 není.

Závěr

Obdélník může mít buď $930$, nebo $992$ čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

930, 992

Stav úlohy

2 body