Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2018

29 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Zapište zlomkem v základním tvaru dvě pětiny z $\displaystyle \frac{30}{24}$ .

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení zlomku

Nejdříve si zlomek $\frac{30}{24}$ zjednodušíme na základní tvar. Čísla 30 a 24 jsou obě dělitelná šesti:
$ \frac{30}{24} = \frac{30 : 6}{24 : 6} = \frac{5}{4} $

Výpočet dvou pětin

Vypočítáme dvě pětiny ze zlomku $\frac{5}{4}$. Slovo „z“ v matematice u částí celku obvykle znamená násobení:
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} $

Násobení a krácení

Při násobení můžeme krátit pětky proti sobě (v čitateli a jmenovateli). Zůstanou nám dvě čtvrtiny:
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2}{4} $

Základní tvar

Zlomek $\frac{2}{4}$ ještě zkrátíme dvěma, abychom dostali základní tvar:
$ \frac{2}{4} = \mathbf{\frac{1}{2}} $

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/2

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 5 \cdot 0,6 \div 0,012=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení

Nejdříve vynásobíme první dvě čísla:
$5 \cdot 0,6 = 3$

Úprava pro dělení

Výsledek nyní budeme dělit číslem $0,012$. Pro snazší výpočet si dělení upravíme tak, abychom dělili celým číslem. Obě čísla vynásobíme $1000$ (posuneme desetinnou čárku o tři místa doprava):
$3 \div 0,012 = 3000 \div 12$

Výpočet

Nyní provedeme samotné dělení:
$3000 \div 12 = \mathbf{250}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

250

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 50- \left[ 2,7 - \left( 28,3+2,7 \right) \cdot 0 \right]-28,3=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení vnitřní části výrazu

Nejdříve se zaměříme na výraz v hranaté závorce. Vidíme, že v ní probíhá násobení nulou: $(28,3 + 2,7) \cdot 0$. Protože cokoli násobené nulou je nula, celý tento člen zmizí.
\n$2,7 - 0 = 2,7$

Dokončení výpočtu

Nyní dosadíme výsledek hranaté závorky zpět do celého příkladu:
\n$50 - 2,7 - 28,3$
\n\nVýpočet si můžeme usnadnit tím, že nejdříve sečteme obě odčítaná čísla:
\n$2,7 + 28,3 = 31$
\n\nNakonec odečteme tento součet od padesátky:
\n$50 - 31 = 19$

Závěr

Výsledná hodnota výrazu je 19.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočtete a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{4}{3}+3 \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{5} \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 15 (nejmenší společný násobek čísel 3 a 5).
$\frac{1}{3} - \frac{3}{5} = \frac{5}{15} - \frac{9}{15} = -\frac{4}{15}$

Násobení

Výsledek ze závorky vynásobíme číslem 3. Před samotným násobením můžeme krátit číslo 3 a 15 číslem 3.
$3 \cdot \left( -\frac{4}{15} \right) = 1 \cdot \left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{4}{5}$

Celkový součet

Nakonec k prvnímu zlomku přičteme získaný výsledek. Zlomky opět převedeme na společného jmenovatele 15.
$\frac{4}{3} + \left( -\frac{4}{5} \right) = \frac{20}{15} - \frac{12}{15} = \frac{8}{15}$

Závěr

Zlomek $\frac{8}{15}$ je již v základním tvaru, protože čísla 8 a 15 nemají žádného společného dělitele většího než 1.
Výsledek je tedy $\frac{8}{15}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

8/15

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtete a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{5}{6} \cdot \displaystyle \frac{4}{35} }{1+ \displaystyle \frac{1}{3} - \displaystyle \frac{2}{7} }=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

V čitateli vynásobíme dva zlomky: $\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{35}$. Před násobením můžeme krátit: číslo 5 s číslem 35 pětkou (dostaneme 1 a 7) a číslo 4 s číslem 6 dvojkou (dostaneme 2 a 3).
$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} = \mathbf{\frac{2}{21}}$

Výpočet jmenovatele

Ve jmenovateli vypočítáme výraz $1 + \frac{1}{3} - \frac{2}{7}$. Společným jmenovatelem čísel 3 a 7 je 21:
$\frac{21}{21} + \frac{7}{21} - \frac{6}{21} = \frac{21 + 7 - 6}{21} = \mathbf{\frac{22}{21}}$

Úprava složeného zlomku

Složený zlomek upravíme na součin tak, že zlomek v čitateli vynásobíme převráceným zlomkem ze jmenovatele:
$\frac{\frac{2}{21}}{\frac{22}{21}} = \frac{2}{21} \cdot \frac{21}{22}$

Výsledek

Součin zkrátíme (číslo 21 s číslem 21 a číslo 2 s číslem 22) a dostaneme konečný výsledek:
$\frac{2}{22} = \mathbf{\frac{1}{11}}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1/11

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

2 m² $\displaystyle -$ 50 cm² $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ dm²

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Převod na společné jednotky

Víme, že výsledek má být v decimetrech čtverečních (dm²). Proto je nejvhodnější převést oba údaje v zadání na tyto jednotky.
Nejprve převedeme metry čtvereční: $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$, takže $2 \text{ m}^2 = 200 \text{ dm}^2$.
Poté převedeme centimetry čtvereční: $1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2$, takže $50 \text{ cm}^2 = 0,5 \text{ dm}^2$ (protože $50 : 100 = 0,5$).

Krok 2: Výpočet rozdílu

Nyní odečteme převedené hodnoty:
$200 \text{ dm}^2 - 0,5 \text{ dm}^2 = 199,5 \text{ dm}^2$

Krok 3: Závěr

Do rámečku doplníme číslo $199,5$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

199,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \left( 5- \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \right)$ minuty $\displaystyle -$ 15 sekund = 75 sekund

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjednodušení rovnosti

Ze zadání víme, že po odečtení 15 sekund od určitého času v závorce máme dostat 75 sekund. Nejdříve tedy zjistíme, kolik sekund musí být v celé závorce:
75 + 15 = 90 sekund.

Převod na minuty

Závorka je v zadání vyjádřena v minutách, proto musíme 90 sekund převést na minuty. Víme, že jedna minuta má 60 sekund:
90 : 60 = 1,5 minuty.
Hodnota v závorce tedy musí být 1,5.

Výpočet čísla v rámečku

Nyní dopočítáme neznámé číslo z rámečku tak, aby platilo:
5 – [rámeček] = 1,5
Číslo v rámečku získáme odečtením výsledku od 5:
5 – 1,5 = 3,5.

Ověření

Pro kontrolu dosadíme číslo zpět do zadání: (5 – 3,5) minuty = 1,5 minuty. To je 90 sekund. A 90 – 15 = 75 sekund. Rovnost tedy platí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3,5

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.1

Farmář Malý svou úrodu pšenice plní do malých pytlů. Do každého pytle se vejde 30 kg pšenice. Již tři čtvrtiny své úrody má v pytlích a na hromadě mu zbývá posledních 150 kg pšenice.
Farmář Velký má o polovinu vetší úrodu pšenice než farmář Malý. Celou svou úrodu pšenice již uskladnil ve velkých pytlích. Do každého pytle nasypal 50 kg pšenice.

Vypočtete, kolik malých pytlů pšenice již farmář Malý naplnil.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění množství pšenice v pytlích

Farmář už naplnil tři čtvrtiny své úrody. To znamená, že na hromadě mu zbývá jedna čtvrtina úrody (protože $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$).

Víme, že na hromadě je 150 kg pšenice, což odpovídá právě té jedné čtvrtině. Tři čtvrtiny úrody (množství v pytlích) tedy vypočítáme jako trojnásobek množství na hromadě: $3 \cdot 150 = 450$ kg.

Výpočet počtu pytlů

Do jednoho malého pytle se vejde 30 kg pšenice. Celkem má farmář v pytlích 450 kg pšenice. Počet naplněných pytlů zjistíme dělením: $450 : 30 = 15$.

Závěr

Farmář Malý již naplnil 15 malých pytlů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.2

Vypočtete, v kolika velkých pytlích uskladnil celou svou úrodu pšenice farmář Velký.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková úroda farmáře Malého

Ze zadání víme, že tři čtvrtiny úrody farmáře Malého jsou již v pytlích. Na hromadě mu zbývá posledních 150 kg pšenice, což představuje zbývající jednu čtvrtinu celkové úrody.
Celou úrodu farmáře Malého vypočítáme tak, že hmotnost jedné čtvrtiny vynásobíme čtyřmi:
$150 \cdot 4 = 600$ kg

Úroda farmáře Velkého

Farmář Velký má úrodu o polovinu větší než farmář Malý. Nejprve zjistíme, kolik činí polovina úrody farmáře Malého:
$600 : 2 = 300$ kg
Tuto polovinu přičteme k úrodě farmáře Malého:
$600 + 300 = 900$ kg
Úroda farmáře Velkého je tedy 900 kg pšenice.

Výpočet počtu velkých pytlů

Farmář Velký plní pšenici do velkých pytlů, do každého se vejde 50 kg. Počet pytlů zjistíme vydělením celkové hmotnosti jeho úrody hmotností jednoho pytle:
$900 : 50 = 18$

Závěr

Farmář Velký uskladnil celou svou úrodu v 18 velkých pytlích.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Papírový obdélník je možné beze zbytku rozstříhat na čtverce se stranou délky 17 cm.
Jedna strana tohoto obdélníku měří 68 cm, druhá strana měří méně než 100 cm.

Určete v cm obvod nejmenšího z možných obdélníků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Víme, že obdélník lze rozstříhat na čtverce o straně 17 cm. To znamená, že obě strany obdélníku musí být násobkem čísla 17. Jedna strana měří 68 cm, což je násobek 17 ($4 imes 17 = 68$).

Hledání druhé strany

Druhá strana musí být také násobkem 17 a zároveň musí být menší než 100 cm. Možné délky druhé strany jsou tedy:

$1 imes 17 = 17 ext{ cm}$
$2 imes 17 = 34 ext{ cm}$
$3 imes 17 = 51 ext{ cm}$
$4 imes 17 = 68 ext{ cm}$
$5 imes 17 = 85 ext{ cm}$

Další násobek ($6 imes 17 = 102$) už je větší než 100 cm, takže ten nevyhovuje.

Výpočet obvodu

Hledáme nejmenší z možných obdélníků. Ten bude mít nejmenší možnou druhou stranu, tedy 17 cm.
Obvod obdélníku se stranami 68 cm a 17 cm vypočítáme jako:
$O = 2 imes (68 + 17)$
$O = 2 imes 85$
$O = 170 ext{ cm}$

Výsledek

Obvod nejmenšího z možných obdélníků je 170 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

170 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Papírový obdélník je možné beze zbytku rozstříhat na čtverce se stranou délky 17 cm.
Jedna strana tohoto obdélníku měří 68 cm, druhá strana měří méně než 100 cm.

Určete, na kolik čtverců s délkou strany 17 cm je možné rozstříhat největší z možných obdélníků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Obdélník lze rozstříhat na čtverce o straně 17 cm beze zbytku. To znamená, že délky obou stran obdélníku musí být dělitelné 17 cm.

První strana měří 68 cm. Ověříme: $68 : 17 = 4$. Tato strana tedy odpovídá délce 4 čtverců.

Určení rozměrů největšího obdélníku

Druhá strana obdélníku musí být menší než 100 cm a zároveň musí být násobkem 17. Hledáme největší takové číslo:
$17, 34, 51, 68, 85, 102, \dots$
Největší možný násobek 17, který je menší než 100, je 85 cm.

Výpočet počtu čtverců

Zjistíme, kolik čtverců se vejde podél druhé strany:
$85 : 17 = 5$

Celkový počet čtverců v největším obdélníku (o rozměrech $68 \text{ cm} \times 85 \text{ cm}$) vypočítáme vynásobením počtu čtverců na obou stranách:
$4 \times 5 = \mathbf{20}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

Na stole bylo 10 světlých kuliček a o něco více tmavých kuliček.Eva a Ivo si rozdělili všech 10 světlých kuliček tak, že Eva si vzala o 4 kuličky více než Ivo.
Eva si pak vzala ještě několik tmavých kuliček a Ivo si jich vzal dvakrát více než Eva.
Dohromady obě děti odebraly jen tolik tmavých kuliček, aby měly celkový počet kuliček stejný.

Vypočtěte, kolik světlých kuliček si vzala Eva.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení 10 světlých kuliček

Dohromady si Eva a Ivo rozdělili 10 světlých kuliček (ty vidíme na obrázku v horní řadě). Víme, že Eva má o 4 kuličky více než Ivo. Nejdříve si tedy dáme stranou ty 4 kuličky, které má Eva navíc.

Krok 1: Výpočet stejného dílu

Zbývajících 6 kuliček ($10 - 4 = 6$) si děti rozdělily na polovinu. Každý tedy dostal 3 kuličky ($6 : 2 = 3$).

Krok 2: Určení počtu kuliček pro Evu

Ivo má jen tyto 3 kuličky, ale Eva k nim dostala ještě ty 4 kuličky, které jsme si dali na začátku stranou. Eva si tedy vzala:

3 + 4 = 7

světlých kuliček.

Ověření

Zkontrolujeme si výsledek: Eva má 7 a Ivo 3 kuličky. Dohromady je to $7 + 3 = 10$, což sedí. Rozdíl mezi nimi je $7 - 3 = 4$, což také odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.2

Vypočtěte, kolik tmavých kuliček si vzal Ivo.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení světlých kuliček

Dohromady bylo 10 světlých kuliček. Eva si vzala o 4 kuličky více než Ivo. Pokud by si vzali stejně, měl by každý 5 kuliček. Protože si Eva vzala o 4 více, odebereme tyto 4 kuličky z celkového počtu ($10 - 4 = 6$) a zbytek rozdělíme napůl ($6 : 2 = 3$). Ivo má tedy 3 světlé kuličky a Eva má $3 + 4 = 7$ světlých kuliček.

Rozdělení tmavých kuliček

Eva si vzala několik tmavých kuliček a Ivo si jich vzal dvakrát více. To znamená, že Ivo má o jednu „dávku“ tmavých kuliček více než Eva.

Výpočet pro stejný počet kuliček

Na konci mají oba stejný celkový počet kuliček. Eva má náskok 4 světlé kuličky ($7 - 3 = 4$). Aby ji Ivo dohnal, musí si vzít právě o ty 4 tmavé kuličky více než Eva. Protože víme, že Ivo si vzal o jednu „dávku“ více, musí tato jedna dávka odpovídat 4 kuličkám.

Závěr

Jedna dávka jsou 4 kuličky. Ivo si vzal dvě tyto dávky, tedy $2 \cdot 4 = 8$ tmavých kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.3

Vypočtěte, kolik kuliček si celkem vzala Eva.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení světlých kuliček

Eva a Ivo si rozdělili 10 světlých kuliček tak, že Eva má o 4 více než Ivo. Pokud od 10 kuliček odečteme tento rozdíl (4 kuličky), zbude nám 6 kuliček, které si rozdělili rovným dílem. Každý má tedy 3 kuličky a Eva k nim dostala ty 4 navíc:

Ivo má 3 světlé kuličky.
Eva má 3 + 4 = 7 světlých kuliček.

Rozdělení tmavých kuliček

Eva si vzala několik tmavých kuliček a Ivo si jich vzal dvakrát tolik. Označíme-li počet kuliček pro Evu jako jeden díl, Ivo si vzal 2 stejné díly. Ivo si tedy vzal o 1 díl tmavých kuliček více než Eva. Aby měli oba na konci stejný celkový počet kuliček, musí tento jeden díl (rozdíl v tmavých kuličkách) vyrovnat rozdíl ve světlých kuličkách, který je 4:

Jeden díl tmavých kuliček odpovídá 4 kuličkám.
Eva si vzala 1 díl, tedy 4 tmavé kuličky.
Ivo si vzal 2 díly, tedy 2 · 4 = 8 tmavých kuliček.

Výpočet celkového počtu

Nyní sečteme všechny kuličky (světlé i tmavé), které si vzala Eva: 7 (světlých) + 4 (tmavé) = 11 kuliček.

Kontrola: Ivo má 3 (světlé) + 8 (tmavých) = 11 kuliček. Oba mají stejně, což odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 8

V rovině leží přímky b, c, d.

V průsečíku přímek b, c je vrchol A obdélníku ABCD. Vrchol B téhož obdélníku leží na přímce b, vrchol C na přímce c a vrchol D na přímce d.

Sestrojte chybějící vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

3 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2018, úloha 8

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 9

V rovine leží úsecka AD a bod SBC

Body A, D jsou vrcholy rovnoběžníku ABCD, bod SBC je střed strany BC tohoto rovnoběžníku.

1. Sestrojte přímku p, na níž leží chybějící vrcholy B, C rovnoběžníku ABCD.
2. Sestrojte střed S rovnoběžníku.
3. Sestrojte chybějící vrcholy rovnoběžníku ABCD a rovnoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

3 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2018, úloha 9

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 10.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová sít je tvořena čtverečky s obsahem 4 cm². Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je 40 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor čtvercové sítě

Ze zadání víme, že jeden čtvereček sítě má obsah 4 cm². To znamená, že délka strany jednoho čtverečku je 2 cm (protože $2 \times 2 = 4$).

Určení rozměrů obrazce A

Podle obrázku je obrazec A lichoběžník. Spočítejme jeho rozměry v jednotkách sítě (v počtu stran čtverečků):

Horní základna ($a$): 5 dílků
Dolní základna ($c$): 1 dílek
Výška ($v$): 4 dílky

Výpočet obsahu obrazce A

Obsah obrazce A v počtu čtverečků můžeme určit buď pomocí vzorce pro lichoběžník, nebo rozdělením na trojúhelníky a obdélník. Pomocí vzorce: $S = \frac{a + c}{2} \cdot v = \frac{5 + 1}{2} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$ čtverečků.

Nyní převedeme počet čtverečků na centimetry čtvereční. Protože jeden čtvereček má obsah 4 cm²: $12 \cdot 4\text{ cm}^2 = 48\text{ cm}^2$.

Závěr

Vypočítali jsme, že obsah obrazce A je 48 cm². Tvrzení v zadání, že obsah je 40 cm², je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová sít je tvořena čtverečky s obsahem 4 cm². Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je třikrát menší než obsah obrazce A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah jednoho čtverečku

V zadání je uvedeno, že jeden čtvereček sítě má obsah 4 cm². Pro porovnání obsahů obrazců A a B však stačí spočítat, z kolika čtverečků se každý obrazec skládá (jejich obsah v jednotkách čtverečků sítě).

Obsah obrazce A

Obrazec A je lichoběžník. Jeho horní základna má délku 6 čtverečků, spodní základna má délku 1 čtvereček a výška lichoběžníku jsou 4 čtverečky.
Obsah lichoběžníku vypočítáme jako součet základen vynásobený výškou a vydělený dvěma:
$S_A = \frac{(6 + 1) \cdot 4}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14\text{ čtverečků}$

Obsah obrazce B

Obrazec B je trojúhelník. Jeho vodorovná strana (základna) má délku 2 čtverečky a výška k této straně jsou 3 čtverečky.
Obsah trojúhelníku vypočítáme jako základnu vynásobenou výškou a vydělenou dvěma:
$S_B = \frac{2 \cdot 3}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ čtverečky}$

Porovnání obsahů

Máme určit, zda je obsah obrazce B třikrát menší než obsah obrazce A. Třikrát menší obsah než 14 čtverečků by byl:
$14 : 3 = 4\frac{2}{3}\text{ čtverečků}$
Jelikož obrazec B má obsah pouze 3 čtverečky (což je více než čtyřikrát méně než obrazec A), tvrzení v zadání je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 10.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová sít je tvořena čtverečky s obsahem 4 cm². Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce B je o 8 cm menší než obvod obrazce A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor čtvercové sítě

Ze zadání víme, že jeden čtvereček sítě má obsah 4 cm². Délka strany jednoho čtverečku (jeden dílek sítě) je tedy 2 cm (protože $2 \times 2 = 4$).

Obvod obrazce B

Obrazec B je trojúhelník. Podle popisu má horní stranu dlouhou 3 dílky a jeho dolní vrchol leží přesně pod levým koncem této strany ve vzdálenosti 4 dílků. Jedná se tedy o pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 a 4 dílky. Pomocí Pythagorovy věty určíme délku přepony: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ dílků. Celkový obvod obrazce B v dílcích sítě je: $3 + 4 + 5 = 12\text{ dílků}$. V centimetrech je to: $12 \times 2\text{ cm} = 24\text{ cm}$.

Obvod obrazce A

Obrazec A je také trojúhelník. Jeho horní strana má délku 6 dílků. Dolní vrchol leží o 4 dílky níže a je posunut o 2 dílky od levého okraje. Délky zbývajících dvou stran v dílcích sítě jsou:

Levá strana: $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \approx 4,47$ dílků
Pravá strana: $\sqrt{(6-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5,66$ dílků

Celkový obvod obrazce A v dílcích sítě je přibližně: $6 + 4,47 + 5,66 = 16,13$ dílků. V centimetrech je to přibližně: $16,13 \times 2\text{ cm} = 32,26\text{ cm}$.

Závěr

Porovnáme obvody: Obvod obrazce A je přibližně 32,26 cm, obvod obrazce B je 24 cm. Rozdíl je $32,26 - 24 = 8,26\text{ cm}$. Tvrzení v zadání uvádí, že obvod obrazce B je o 8 cm menší než obvod obrazce A. Protože vypočítaný rozdíl není přesně 8 cm, je tvrzení nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 11

V 7 h začalo pršet. Dešťová voda stékala ze střechy do jímky s dutinou tvaru kvádru.
Kvádr má podstavu o rozměrech 50 cm x 40 cm a výšku 70 cm.
Před deštěm sahala voda v jímce do výšky 10 cm.
Při dešti se za každou minutu objem vody v jímce zvětšil o 5 litrů.

Kdy začala jímka přetékat?

A) v 7 h 20 min
D) v 7 h 30 min
B) v 7 h 24 min
E) v jiném okamžiku
C) v 7 h 28 min

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový objem jímky

Jímka má tvar kvádru s podstavou 50 cm × 40 cm a výškou 70 cm. Objem vypočítáme jako součin těchto rozměrů:
$V = 50 \cdot 40 \cdot 70 = 140\,000 \text{ cm}^3$.
Protože 1 litr = 1\,000 cm³, celkový objem jímky je 140 litrů.

Voda, která už v jímce byla

Před deštěm sahala voda do výšky 10 cm. Objem této vody byl:
$V_0 = 50 \cdot 40 \cdot 10 = 20\,000 \text{ cm}^3$.
To odpovídá 20 litrům vody.

Kolik vody chybí do přetečení

Aby jímka začala přetékat, musí se naplnit zbývající volný prostor:
$140 - 20 = 120 \text{ litrů}$.
Do jímky tedy musí během deště přitéct ještě 120 litrů vody.

Jak dlouho bude pršet

Víme, že každou minutu přibude v jímce 5 litrů vody. Čas potřebný k naplnění zbývajících 120 litrů vypočítáme dělením:
$120 : 5 = 24 \text{ minut}$.

Kdy začne voda přetékat

Pršet začalo v 7:00. K tomuto času přičteme vypočtených 24 minut:
$7:00 + 24 \text{ min} = 7:24$.
Jímka začne přetékat v 7:24.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Jaký je součet velikostí α + β + γ + δ?

Velikosti úhlu neměřte.

A) menší než 340°
D) 360°
B) 340°
E) vetší než 360°
C) 350°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor úhlů u přímky

Na vodorovné přímce leží u společného vrcholu tři úhly: $\gamma$, $60^\circ$ a $\beta$. Protože tvoří přímý úhel, jejich součet musí být $180^\circ$. Můžeme tedy zapsat rovnici:
$\gamma + 60^\circ + \beta = 180^\circ$
$\gamma + \beta = 120^\circ$

Krok 2: Výpočet úhlů α a β

Zaměříme se na trojúhelník s vnitřními úhly $\beta$ a $30^\circ$. U jeho horního vrcholu (prostřední průsečík) je vlevo úhel $40^\circ$. Úhel $\alpha$ je nad ním a je tupý, tvoří s ním tedy vedlejší úhel:
$\alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$
Tento úhel $\alpha$ je vrcholový k vnitřnímu úhlu trojúhelníku, takže i vnitřní úhel u tohoto vrcholu je $140^\circ$.
Součet úhlů v trojúhelníku je $180^\circ$, tedy:
$\beta + 30^\circ + 140^\circ = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

Krok 3: Výpočet úhlu γ

Nyní se vrátíme k rovnici z prvního kroku a dosadíme vypočítanou hodnotu $\beta = 10^\circ$:
$\gamma + 10^\circ = 120^\circ$
$\gamma = 110^\circ$

Krok 4: Výpočet úhlu δ

Uvažujme druhý trojúhelník s úhlem $30^\circ$ u pravého vrcholu. Úhel u levého vrcholu je součtem dvou úhlů: $60^\circ + \beta = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ$.
Vnitřní úhel u horního vrcholu (horní průsečík) je:
$180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ$
Úhel $\delta$ je vyznačen jako „vlevo nahoře“, což je vrcholový úhel k tomuto vnitřnímu úhlu, tedy:
$\delta = 80^\circ$

Krok 5: Výsledný součet

Nyní sečteme všechny čtyři úhly dohromady:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 140^\circ + 10^\circ + 110^\circ + 80^\circ = 340^\circ$
Správná odpověď je tedy 340°.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13

Třida 7. A s 20 žáky spořila půl roku na podporu adoptovaného hrocha.
Všichni žáci přispívali rovným dílem, ale každý měsíc vyšší částkou. Příspěvek žáka se každý měsíc zvyšoval o stejnou částku.
Z grafu lze vyčíst, jak v průběhu pěti měsíců narůstala naspořená částka celé třídy 7. A.
Např. za 3 měsíce (tj. za 1., 2. a 3. měsíc) třída naspořila celkem 600 korun.

O kolik korun se každý měsíc zvýšil příspěvek každého žáka třídy 7. A?

A) o 5 korun
D) o 20 korun
B) o 10 korun
E) o více než 20 korun
C) o 15 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu

Graf zobrazuje celkovou naspořenou částku v čase (kumulativně). To znamená, že hodnota u každého měsíce zahrnuje úspory za daný měsíc i všechny měsíce předchozí.

Úspory celé třídy v jednotlivých měsících

Abychom zjistili, kolik třída naspořila v každém konkrétním měsíci, odečteme od hodnoty daného měsíce hodnotu měsíce předchozího:

1. měsíc: 100 Kč
2. měsíc: 300 − 100 = 200 Kč
3. měsíc: 600 − 300 = 300 Kč
4. měsíc: 1 000 − 600 = 400 Kč
5. měsíc: 1 500 − 1 000 = 500 Kč

Vidíme, že úspory celé třídy se každý měsíc zvýšily o 100 Kč (z 100 na 200, z 200 na 300 atd.).

Výpočet pro jednoho žáka

Ve třídě je 20 žáků a všichni přispívali rovným dílem. Měsíční nárůst úspor celé třídy (100 Kč) tedy rozdělíme mezi všech 20 žáků:
100 : 20 = 5 Kč

Závěr

Příspěvek každého žáka se každý měsíc zvýšil o 5 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Kolika korunami přispěl každý žák během půl roku (celkem za 6 měsíců)?

A) méně než 100 korunami
D) 110 korunami
B) 100 korunami
E) více než 110 korunami
C) 105 korunami

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění měsíčních příspěvků třídy

V grafu vidíme celkovou naspořenou částku v jednotlivých měsících. Odečtením předchozího měsíce zjistíme, kolik třída naspořila v každém konkrétním měsíci:

1. měsíc: 100 Kč
2. měsíc: 300 − 100 = 200 Kč
3. měsíc: 600 − 300 = 300 Kč
4. měsíc: 1000 − 600 = 400 Kč
5. měsíc: 1500 − 1000 = 500 Kč

Určení částky za 6. měsíc

Příspěvek třídy se každý měsíc zvyšoval o stejnou částku. Z předchozího kroku vidíme, že se zvyšoval vždy o 100 Kč (100, 200, 300, 400, 500).
V 6. měsíci tedy třída naspořila o 100 Kč více než v 5. měsíci:

500 + 100 = 600 Kč

Celková naspořená částka

K naspořené částce po 5 měsících (1500 Kč) přičteme příspěvek za 6. měsíc (600 Kč):

1500 + 600 = 2100 Kč

Příspěvek jednoho žáka

Ve třídě je 20 žáků a všichni přispívali rovným dílem. Celkovou naspořenou částku 2100 Kč tedy rozdělíme mezi 20 žáků:

2100 : 20 = 105 Kč

Závěr

Každý žák přispěl celkem 105 korunami.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.1

Snížení ceny svetru o 20 % znamená zlevnění o 90 korun.

Jaká je cena zlevněného svetru?

A) nižší než 300 korun
D) 340 korun
B) 300 korun
E) 360 korun
C) 320 korun
F) vyšší než 360 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet původní ceny

Ze zadání víme, že 20 % ceny svetru odpovídá 90 korunám. Původní cena představuje celých 100 %. Protože 100 % je pětkrát více než 20 %, vypočítáme původní cenu jako:
$5 \cdot 90 \text{ Kč} = 450 \text{ Kč}$

Krok 2: Výpočet ceny po slevě

Cena svetru byla snížena o 90 korun. Od původní ceny tedy tuto částku odečteme:
$450 \text{ Kč} - 90 \text{ Kč} = 360 \text{ Kč}$
Alternativně můžeme rovnou vypočítat 80 % (protože $100 \% - 20 \% = 80 \%$), což jsou čtyři pětiny původní ceny: $4 \cdot 90 \text{ Kč} = 360 \text{ Kč}$.

Krok 3: Výběr odpovědi

Zlevněný svetr stojí 360 korun. Tato hodnota přesně odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.2

Kalkulačka stojí 400 korun. Při zakoupení 4 kusů kalkulaček se získává 20% sleva z celkové ceny čtyř kalkulaček.

Jaká je průměrná cena jedné kalkulačky zakoupené se slevou?

A) nižší než 300 korun
D) 340 korun
B) 300 korun
E) 360 korun
C) 320 korun
F) vyšší než 360 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková cena bez slevy

Nejdříve vypočítáme, kolik by stály 4 kalkulačky bez slevy. Jedna kalkulačka stojí 400 Kč.
$4 \times 400 = 1600 \text{ Kč}$

Výpočet slevy

Při koupi 4 kusů získáme 20% slevu z celkové ceny (1600 Kč). 10 % z 1600 Kč je 160 Kč. 20 % je dvojnásobek, tedy:
$2 \times 160 = 320 \text{ Kč}$

Cena po slevě

Od celkové ceny odečteme slevu:
$1600 - 320 = 1280 \text{ Kč}$

Průměrná cena za kus

Celkovou cenu po slevě (1280 Kč) vydělíme počtem kalkulaček (4):
$1280 : 4 = 320 \text{ Kč}$
Průměrná cena jedné kalkulačky zakoupené se slevou je 320 korun, což odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15.3

Výrobek s 20% přirážkou stojí 360 korun.

Jaká je cena výrobku bez přirážky?

A) nižší než 300 korun
D) 340 korun
B) 300 korun
E) 360 korun
C) 320 korun
F) vyšší než 360 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Původní cena výrobku (bez přirážky) tvoří základ, tedy 100 %. Přirážka k této ceně je 20 %. Celková cena s přirážkou je tedy 120 % původní ceny (100 % + 20 % = 120 %).

Výpočet hodnoty jednoho procenta

Víme, že cena s přirážkou (120 %) je 360 korun. Jedno procento (1 %) vypočítáme tak, že tuto částku vydělíme 120:
360 : 120 = 3 koruny

Výpočet původní ceny (100 %)

Původní cenu (100 %) zjistíme vynásobením hodnoty jednoho procenta stem:
100 · 3 = 300 korun

Závěr

Cena výrobku bez přirážky je 300 korun, což odpovídá možnosti B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli. Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla zvětší – v modrém poli o 1 a v červeném o 3.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 49 a současně v červeném poli číslo 129.

Určete, jaké číslo je v modrém poli na počátku.

A) nižší než 300 korun
D) 340 korun
B) 300 korun
E) 360 korun
C) 320 korun
F) vyšší než 360 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Na začátku jsou v obou polích stejná čísla. Při každém pípnutí se číslo v modrém poli zvětší o 1 a v červeném o 3. To znamená, že s každým pípnutím se rozdíl mezi čísly v červeném a modrém poli zvětší o 2 (protože $3 - 1 = 2$).

Zjištění počtu pípnutí

Víme, že v jednu chvíli je v modrém poli 49 a v červeném 129. Rozdíl mezi těmito čísly je $129 - 49 = 80$. Protože se rozdíl s každým pípnutím zvětšil o 2, muselo proběhnout celkem $80 : 2 = 40$ pípnutí.

Výpočet počátečního čísla

V modrém poli je nyní číslo 49 po 40 pípnutích, přičemž každé pípnutí přidalo 1. Před pípnutími tam tedy muselo být číslo $49 - 40 \cdot 1 = 9$.

Pro kontrolu ověříme i červené pole: $129 - 40 \cdot 3 = 129 - 120 = 9$. Výsledek v obou polích souhlasí.

Závěr

Na počátku bylo v modrém poli číslo 9.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.2

Určete číslo v modrém poli v okamžiku, kdy je o 30 menší než číslo v červeném poli.

A) nižší než 300 korun
D) 340 korun
B) 300 korun
E) 360 korun
C) 320 korun
F) vyšší než 360 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza pípání

Na začátku jsou obě čísla stejná, rozdíl mezi nimi je tedy 0. Při každém pípnutí se číslo v modrém poli zvětší o 1 a v červeném o 3. To znamená, že při každém pípnutí se rozdíl mezi červeným a modrým polem zvětší o 2 (3 − 1 = 2).

Hledaný rozdíl

Hledáme okamžik, kdy je číslo v modrém poli o 30 menší než v červeném. To znamená, že rozdíl mezi poli musí být přesně 30.

Počet pípnutí

Protože se rozdíl při každém pípnutí zvětší o 2, zjistíme počet pípnutí od začátku tak, že celkový rozdíl vydělíme přírůstkem:
$30 : 2 = 15$
K hledanému rozdílu došlo po 15 pípnutích.

Výpočet čísla v modrém poli

Musíme ještě zjistit, jaké bylo počáteční číslo. Víme, že v jednu chvíli bylo v modrém poli 49 a v červeném 129. Rozdíl v tuto chvíli byl $129 - 49 = 80$. Tento rozdíl 80 vznikl po $80 : 2 = 40$ pípnutích.
Po 40 pípnutích je v modrém poli 49. Počáteční číslo tedy bylo: $49 - 40 = 9$.
Nyní už snadno dopočítáme číslo v modrém poli po 15 pípnutích: $9 + 15 = 24$.

Závěr

Číslo v modrém poli v okamžiku, kdy je o 30 menší než číslo v červeném poli, je 24.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 16.3

Určete číslo v červeném poli v okamžiku, kdy je součet čísel v obou polích 2 018.

A) nižší než 300 korun
D) 340 korun
B) 300 korun
E) 360 korun
C) 320 korun
F) vyšší než 360 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Na začátku jsou v obou polích stejná čísla. Při každém pípnutí se modré číslo zvětší o 1 a červené o 3. To znamená, že rozdíl mezi červeným a modrým číslem se při každém pípnutí zvětší o $2$ (protože $3 - 1 = 2$).

Určení počátečního čísla

Víme, že v určitou chvíli bylo v modrém poli 49 a v červeném 129. Rozdíl mezi nimi byl $129 - 49 = 80$. Protože se rozdíl při každém pípnutí zvětšuje o 2, muselo do této chvíle proběhnout $80 : 2 = 40$ pípnutí.

Modré číslo se za 40 pípnutí zvětšilo o 40, takže na začátku tam bylo číslo $49 - 40 = 9$. Obě čísla byla na začátku stejná, tedy i v červeném poli byla původně 9.

Výpočet počtu pípnutí

Na úplném začátku byl součet čísel $9 + 9 = 18$. Při každém pípnutí se součet zvětší o $4$ (modré o 1, červené o 3).

Chceme zjistit, kdy bude součet 2 018. Rozdíl oproti začátku je $2018 - 18 = 2000$. Počet pípnutí vypočítáme jako $2000 : 4 = 500$.

Výpočet čísla v červeném poli

Po 500 pípnutích se červené číslo zvětší o $500 \times 3 = 1500$. K původnímu číslu 9 přičteme toto zvětšení: $9 + 1500 = 1509$.

Závěr

V červeném poli bude v daný okamžik číslo 1 509.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1509

Stav úlohy

2 body