Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2017

28 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( -3-2 \right) \cdot \left( 21-3 \cdot 8 \right) =$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v první závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce:
$-3 - 2 = -5$

Výpočet ve druhé závorce

Ve druhé závorce má násobení přednost před odčítáním:
$21 - 3 \cdot 8 = 21 - 24 = -3$

Vynásobení výsledků

Nakonec výsledky z obou závorek vynásobíme. Součin dvou záporných čísel je číslo kladné:
$(-5) \cdot (-3) = 15$

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,25 \cdot 400+0,4 \div 0,01 =$

Zobrazit odpověď

140

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část: Součin

Nejdříve vypočítáme první část výrazu, tedy součin:
$0,25 \cdot 400$
Desetinné číslo $0,25$ si můžeme představit jako jednu čtvrtinu. Jedna čtvrtina ze $400$ je $100$.
$0,25 \cdot 400 = 100$

Druhá část: Podíl

Potom vypočítáme druhou část výrazu, tedy podíl:
$0,4 : 0,01$
Při dělení desetinným číslem si můžeme obě čísla vynásobit stem (posunout desetinnou čárku o dvě místa doprava), abychom dělili celým číslem:
$40 : 1 = 40$

Celkový výsledek

Nakonec oba výsledky sečteme dohromady:
$100 + 40 = 140$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek uveďte zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{5}{4} \cdot \left( \displaystyle \frac{1}{5}+ \displaystyle \frac{3}{7} \right) =$

Zobrazit odpověď

11/14

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme součet zlomků v závorce. Abychom mohli zlomky sečíst, musíme je převést na společného jmenovatele. Pro čísla 5 a 7 je nejmenším společným násobkem číslo 35.
$\frac{1}{5} + \frac{3}{7} = \frac{7}{35} + \frac{15}{35} = \frac{22}{35}$

Násobení zlomků

Nyní vynásobíme zlomek před závorkou výsledkem, který nám vyšel v předchozím kroku. Před samotným násobením je výhodné zlomky pokrátit (číslo 5 v čitateli proti 35 ve jmenovateli pěti a číslo 22 v čitateli proti 4 ve jmenovateli dvěma).
$\frac{5}{4} \cdot \frac{22}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{7} = \frac{11}{14}$

Základní tvar

Výsledný zlomek $\frac{11}{14}$ již nelze dále krátit, je tedy v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek uveďte zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{1 \div \displaystyle \frac{3}{2}+ \displaystyle \frac{1}{3} }{ \displaystyle \frac{5}{6}+ \displaystyle \frac{1}{4} } =$

Zobrazit odpověď

12/13

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatele celého zlomku. Musíme dodržet přednost operací, takže první provedeme dělení: $1 : \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Krok 2: Výpočet jmenovatele

Nyní vypočítáme jmenovatele celého zlomku. Najdeme společného jmenovatele pro čísla 6 a 4, což je 12: $\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$

Krok 3: Celkový výsledek

Nakonec vydělíme čitatele jmenovatelem. Dělit zlomkem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou: $1 : \frac{13}{12} = 1 \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{13}$

Zlomek $\frac{12}{13}$ je již v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Vyškrtnutím tří číslic z osmiciferného čísla 42 680 153 vznikne pěticiferné číslo
(např. vyškrtnutím číslic 6, 0, 1 dostaneme 42 853).

Vyškrtněte tři číslice tak, abyste dostali co nejmenší číslo.

Zobrazit odpověď

20 153

1 bod

Úloha 4.2

Vyškrtnutím tří číslic z osmiciferného čísla 42 680 153 vznikne pěticiferné číslo
(např. vyškrtnutím číslic 6, 0, 1 dostaneme 42 853).

Vyškrtněte tři číslice tak, abyste dostali co nejmenší číslo dělitelné pěti.

Zobrazit odpověď

26 015

1 bod

Úloha 5.1

Na první číselné ose jsou vyznačeny tři stejně velké díly, na druhé ose čtyři. A, B, C, D představují čtyři neznámá čísla.

Určete neznámá čísla A a B.

Zobrazit odpověď

18, 24

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení čísla A

Na první číselné ose vede šipka od čísla A k číslu 36 a je označena násobením dvěma. Platí tedy: $A \cdot 2 = 36$ $A = 36 \div 2 = 18$

Velikost jednoho dílu

Mezi číslem A a číslem 36 jsou vyznačeny tři stejně velké díly. Rozdíl těchto čísel je: $36 - 18 = 18$ Jeden díl má tedy velikost: $18 \div 3 = 6$

Určení čísla B

Číslo B leží o jeden díl vpravo od čísla A. Přičteme tedy velikost jednoho dílu: $18 + 6 = 24$ Číslo B je 24.

Závěr

Neznámá čísla jsou A = 18 a B = 24.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Na první číselné ose jsou vyznačeny tři stejně velké díly, na druhé ose čtyři. A, B, C, D představují čtyři neznámá čísla.

Určete neznámá čísla C a D.

Zobrazit odpověď

32, 59

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Velikost jednoho dílu

Na druhé číselné ose vede šipka od prvního dílku k číslu D a je označena přičtením 36. Tato vzdálenost je rozdělena na čtyři stejně velké díly. $36 \div 4 = 9$ Jeden díl má tedy velikost 9.

Určení čísla C

Číslo C leží o dva díly vlevo od čísla 50. Odečteme proto dva díly: $50 - 2 \cdot 9 = 50 - 18 = 32$ Číslo C je 32.

Určení čísla D

Číslo D leží o jeden díl vpravo od čísla 50. Přičteme proto jeden díl: $50 + 9 = 59$ Číslo D je 59.

Závěr

Neznámá čísla jsou C = 32 a D = 59.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Tři různé tyče měří 24 cm, 60 cm a 84 cm. Úkolem je rozřezat beze zbytku všechny tři tyče na co nejmenší počet stejně dlouhých dílů. Po rozřezání tyčí se všechny plochy vzniklé po řezu obarví.

Vypočtěte v cm délku jednoho dílu.

Zobrazit odpověď

12 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Největší možná délka

Abychom získali co nejmenší počet dílů, musíme tyče rozřezat na co nejdelší možné kusy. Všechny kusy musí být stejně dlouhé a tyče musíme rozřezat beze zbytku. Hledáme tedy největší číslo, kterým jsou všechna tři čísla (24, 60 a 84) dělitelná.

Společní dělitelé

Budeme hledat největšího společného dělitele čísel 24, 60 a 84.

Číslo 24 je dělitelné čísly: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Číslo 60 je dělitelné čísly: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Číslo 84 je dělitelné čísly: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

Výpočet délky

Největší společný dělitel čísel 24, 60 a 84 je číslo 12. To znamená, že nejdelší možný díl, na který můžeme všechny tyče rozřezat beze zbytku, měří 12 cm.

Závěr

Délka jednoho dílu je 12 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Určete, kolik dílů bude třeba obarvit z obou stran.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka jednoho dílu

Abychom získali co nejmenší počet dílů, musí být každý díl co nejdelší. Hledáme tedy největší číslo, kterým jsou délky všech tří tyčí (24 cm, 60 cm a 84 cm) dělitelné beze zbytku (tzv. největší společný dělitel).
Číslo 24 můžeme zapsat jako $2 \cdot 12$, číslo 60 jako $5 \cdot 12$ a číslo 84 jako $7 \cdot 12$. Největší společná délka dílu je tedy 12 cm.

Počet dílů z každé tyče

Nyní vypočítáme, na kolik dílů rozřežeme jednotlivé tyče:

Tyč 24 cm: $24 : 12 = 2$ díly
Tyč 60 cm: $60 : 12 = 5$ dílů
Tyč 84 cm: $84 : 12 = 7$ dílů

Díly obarvené z obou stran

Obarvují se pouze plochy vzniklé řezem. To znamená, že původní konce tyčí zůstanou neobarvené. Z obou stran bude obarven pouze ten díl, který má oba své konce vytvořené řezem – tedy díl, který nebyl na kraji původní tyče.

Z tyče o 2 dílech nebude z obou stran obarven žádný díl (oba jsou krajní).
Z tyče o 5 dílech budou z obou stran obarveny 3 díly (všechny kromě dvou krajních: $5 - 2 = 3$).
Z tyče o 7 dílech bude z obou stran obarvených 5 dílů ($7 - 2 = 5$).

Celkový počet

Sečteme všechny vnitřní díly ze všech tří tyčí: $0 + 3 + 5 = 8$.
Celkem bude třeba obarvit z obou stran 8 dílů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 7.1

Běžec udržuje stálé tempo. Každých 0,2 km uběhne za 45 s.

Určete v minutách a sekundách, za jak dlouho uběhne 1 km.

Zobrazit odpověď

03:45 minut

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet úseků

Běžec uběhne 0,2 km za 45 sekund. Nejprve zjistíme, kolikrát se tento úsek vejde do 1 kilometru:
1 km = 1000 m
0,2 km = 200 m
$1000 \div 200 = 5$
Běžec musí úsek o délce 0,2 km uběhnout celkem pětkrát.

Celkový čas v sekundách

Jeden úsek trvá 45 sekund. Pět takových úseků tedy bude trvat pětkrát déle:
$5 \cdot 45 = 225$ sekund

Převod na minuty a sekundy

Výsledek máme uvést v minutách a sekundách. Víme, že jedna minuta má 60 sekund:
$225 = 180 + 45$
$180 \div 60 = 3$
Dostáváme tedy 3 minuty a 45 sekund.

Výsledek

Běžec uběhne 1 km za 3 minuty 45 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.2

Běžec udržuje stálé tempo. Každých 0,2 km uběhne za 45 s.

Určete počet metrů, které uběhne za 9 minut.

Zobrazit odpověď

2400

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na metry

Ze zadání víme, že běžec každých 0,2 km uběhne za 45 sekund. Protože se nás otázka ptá na počet metrů, převedeme si nejdříve vzdálenost na metry. Víme, že 1 km má 1 000 metrů, takže:
$0,2 \text{ km} = 200 \text{ metrů}$

Převod na sekundy

Dále si musíme převést celkový čas 9 minut na sekundy, abychom mohli počítat ve stejných jednotkách (v sekundách). Víme, že 1 minuta má 60 sekund, tedy:
$9 \cdot 60 = 540 \text{ sekund}$

Počet úseků

Nyní zjistíme, kolikrát běžec uběhne úsek 200 metrů během celkových 540 sekund. Celkový čas vydělíme časem jednoho úseku:
$540 : 45 = 12$
Běžec tedy uběhne 12 takových úseků.

Celková vzdálenost

Každý z 12 úseků měří 200 metrů. Celkovou vzdálenost v metrech tedy vypočítáme vynásobením počtu úseků jejich délkou:
$12 \cdot 200 = 2400 \text{ metrů}$

Závěr

Běžec za 9 minut uběhne celkem 2400 metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 8.1

V každém rohu papírového čtverce odstřihneme bílý čtverec o obsahu 4 dm². Přehneme hrany, složíme krabici a spoje přelepíme izolepou. Dno krabice má obsah 25 dm².

Vypočtěte v dm obvod papírového čtverce (před odstřižením v rozích).

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 8.2

V každém rohu papírového čtverce odstřihneme bílý čtverec o obsahu 4 dm². Přehneme hrany, složíme krabici a spoje přelepíme izolepou. Dno krabice má obsah 25 dm².

Vypočtěte v dm³ objem krabice.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 9

V rovině leží pravoúhlý trojúhelník ABC.

Vrcholy trojúhelníku ABC jsou současně vrcholy rovnoběžníku ABCD.

1. Sestrojte chybějící vrchol D rovnoběžníku ABCD a rovnoběžník narýsujte.
2. V trojúhelníku ABC sestrojte výšku na stranu AB. Průsečík výšky a přímky AB označte P. Bod P se nazývá pata výšky.
3. V trojúhelníku ABD sestrojte výšku na stranu AB a patu výšky označte Q.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 10

V rovině leží přímka q, na ní bod C a mimo ni bod P.

Bod C je vrchol pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Strana AC leží na přímce q. Bod P je pata výšky na stranu AB.

Sestrojte chybějící vrcholy A, B trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 11.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtverec je rozdělen na tmavé a světlé díly. Všechny díly mají stejný obsah. Podíl tmavé (světlé) části ve čtverci lze vyjádřit zlomkem nebo desetinným číslem.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zlomek vyjadřující podíl tmavé části ve čtverci je roven součtu $\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{1}{8}$ .

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 11.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtverec je rozdělen na tmavé a světlé díly. Všechny díly mají stejný obsah. Podíl tmavé (světlé) části ve čtverci lze vyjádřit zlomkem nebo desetinným číslem.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Světlá část tvoří 0,3 čtverce.

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 11.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtverec je rozdělen na tmavé a světlé díly. Všechny díly mají stejný obsah. Podíl tmavé (světlé) části ve čtverci lze vyjádřit zlomkem nebo desetinným číslem.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Když $\displaystyle \frac{1}{5}$ tmavé části nahradíme světlou, světlá část vyplní $\displaystyle \frac{1}{2}$ čtverce.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 12

Obrazec se skládá z trojúhelníku a obdélníku. Obrazec je osově souměrný podle osy souměrnosti o.

Jaký je obsah obrazce?

A) 37 cm²
D) 40 cm²
B) 38 cm²
E) větší než 40 cm²
C) 39 cm²

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor rozměrů a výška trojúhelníku

Obrazec se skládá z obdélníku a trojúhelníku. Známe celkovou výšku obrazce (9 cm) a výšku samotného obdélníku (5 cm). Výšku trojúhelníku vypočítáme jako rozdíl těchto hodnot:
$v = 9 - 5 = 4\text{ cm}$

Obsah obdélníku

Obrazec je osově souměrný podle osy o. Vzdálenost od osy k okraji obdélníku je 1,5 cm. Celá šířka obdélníku je tedy dvojnásobek:
$s = 1,5 + 1,5 = 3\text{ cm}$
Obsah obdélníku vypočítáme vynásobením šířky a výšky:
$S_1 = 3 \cdot 5 = 15\text{ cm}^2$

Obsah trojúhelníku

Známe vzdálenost od okraje obdélníku k cípu trojúhelníku (4 cm). Vzdálenost od osy k cípu trojúhelníku je součtem poloviny šířky obdélníku a tohoto přesahu:
$r = 1,5 + 4 = 5,5\text{ cm}$
Celá základna trojúhelníku je tedy:
$z = 5,5 + 5,5 = 11\text{ cm}$
Obsah trojúhelníku vypočítáme podle vzorce:
$S_2 = \frac{z \cdot v}{2} = \frac{11 \cdot 4}{2} = 22\text{ cm}^2$

Celkový obsah

Celkový obsah obrazce dostaneme sečtením obsahů obou částí:
$S = S_1 + S_2 = 15 + 22 = \mathbf{37\text{ cm}^2}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13

Rovinný obrazec ABCD je lichoběžník.

Úhel β neměřte, ale vypočtěte.

Jaká je velikost úhlu β?

A) menší než 55°
D) 60°
B) 55°
E) 63°
C) 57°

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 14

Katka strávila prázdniny na několika místech.
Nejprve byla doma.
Na táboře strávila o třetinu více času než doma.
U babičky byla o čtvrtinu kratší dobu než na táboře.
Pak zůstala u kamarádky.
Od ní odjela na chatu, kde pobývala o polovinu delší dobu než u kamarádky.
V grafu je vyznačen tmavými pásy počet dnů strávených doma a na chatě, další údaje chybí.

Kolik dnů strávila Katka u babičky?

A) 6 dnů
D) 9 dnů
B) 7 dnů
E) jiný počet dnů
C) 8 dnů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme počet dnů strávených doma. Pruh pro položku doma končí na svislé čáře, která odpovídá hodnotě 9. Katka tedy strávila doma 9 dnů.

Výpočet času na táboře

Na táboře strávila o třetinu více času než doma. Nejdříve vypočítáme třetinu z 9 dnů:
9 : 3 = 3 dny.
Tento čas přičteme k počtu dnů strávených doma:
9 + 3 = 12 dnů na táboře.

Výpočet času u babičky

U babičky byla o čtvrtinu kratší dobu než na táboře. Vypočítáme čtvrtinu z času na táboře (12 dnů):
12 : 4 = 3 dny.
Tuto dobu odečteme od času na táboře:
12 - 3 = 9 dnů.

Závěr

Katka strávila u babičky celkem 9 dnů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15

Kolik dnů strávila Katka u kamarádky?

A) 6 dnů
D) 9 dnů
B) 7 dnů
E) jiný počet dnů
C) 8 dnů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu dnů z grafu

Z grafu zjistíme délku vyplněných (šedých) pruhů. U kategorie doma končí pruh na hodnotě 9 a u kategorie na chatě končí na hodnotě 12. Víme tedy, že Katka byla doma 9 dnů a na chatě 12 dnů.

Krok 2: Výpočet času na táboře

Podle zadání byla na táboře o třetinu déle než doma. Třetina z 9 dnů jsou 3 dny ($9 : 3 = 3$). Na táboře tedy strávila o 3 dny více než doma:
$9 + 3 = 12$ dnů.

Krok 3: Výpočet času u babičky

U babičky byla o čtvrtinu kratší dobu než na táboře. Čtvrtina z 12 dnů jsou 3 dny ($12 : 4 = 3$). U babičky tedy byla o 3 dny méně než na táboře:
$12 - 3 = 9$ dnů.

Krok 4: Výpočet času u kamarádky

Ze zadání víme, že na chatě pobývala o polovinu delší dobu než u kamarádky. To znamená, že doba na chatě (12 dnů) odpovídá době u kamarádky plus jedné její polovině.
Pokud si dobu u kamarádky rozdělíme na dva stejné díly (dvě poloviny), doba na chatě pak odpovídá třem takovým dílům ($2 + 1 = 3$).
Tři díly = 12 dnů.
Jeden díl = $12 : 3 = 4$ dny.
U kamarádky (dva díly) = $4 \times 2 = 8$ dnů.

Krok 5: Závěr

Katka strávila u kamarádky 8 dnů. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.1

Ve třídě je 16 chlapců a 9 dívek.

Kolik procent žáků třídy tvoří dívky?

A) 30 %
D) 40 %
B) 35 %
E) 45 %
C) 36 %
F) jiný výsledek

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 16.2

Z plné bonboniéry dostal Radek $\displaystyle \frac{2}{5}$ bonbónů a Ivan $\displaystyle \frac{1}{4}$ bonbónů.

Kolik procent z původního počtu bonbónů v bonboniéře zbylo?

A) 30 %
D) 40 %
B) 35 %
E) 45 %
C) 36 %
F) jiný výsledek

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 16.3

V oddílu se zvýšil počet členů ze 40 na 58.

O kolik procent se zvýšil počet členů?

A) 30 %
D) 40 %
B) 35 %
E) 45 %
C) 36 %
F) jiný výsledek

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 17.1

Obrazovka monitoru je prázdná. Po zaznění zvukového signálu se každou sedmou sekundu objeví na obrazovce 4 nová kolečka. Každou jedenáctou sekundu naopak 3 kolečka z obrazovky zmizí. Pokud by měly obě akce proběhnout ve stejném okamžiku, počet koleček na obrazovce se nezmění.

Určete počet koleček na obrazovce 1 minutu po zaznění zvukového signálu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přibývání koleček

Jedna minuta má 60 sekund. Kolečka přibývají každou sedmou sekundu, tedy v časech 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 a 56 sekund. To se stane celkem 8krát. Při každém takovém okamžiku přibudou 4 kolečka: $8 \cdot 4 = 32$.

Mizení koleček

Kolečka mizí každou jedenáctou sekundu, tedy v časech 11, 22, 33, 44 a 55 sekund. To se stane celkem 5krát. Při každém zmizení ubydou 3 kolečka: $5 \cdot 3 = 15$.

Celkový počet

Na začátku byla obrazovka prázdná. Po jedné minutě vypočítáme počet koleček tak, že od všech přibylých koleček odečteme ta, která zmizela:

$32 - 15 = 17$

Všimneme si, že v první minutě se žádné časy nepřekrývají (nejmenší společný násobek 7 a 11 je až 77), takže na obrazovce bude 17 koleček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 17.2

Určete počet koleček na obrazovce 5 minut po zaznění zvukového signálu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času

Nejdříve si převedeme 5 minut na sekundy, abychom mohli počítat v jednotkách, ve kterých se objevují a mizí kolečka.
5 minut = 5 × 60 sekund = 300 sekund.

Přidávání koleček

Kolečka se objevují každou sedmou sekundu. Zjistíme, kolikrát se tak stane během 300 sekund:
300 : 7 = 42 (zbytek 6)
Kolečka přibudou celkem 42krát. Protože pokaždé přibudou 4 nová kolečka, celkem by jich přibylo:
42 × 4 = 168 koleček.

Mizení koleček

Kolečka mizí každou jedenáctou sekundu. Zjistíme, kolikrát během 300 sekund proběhne tato akce:
300 : 11 = 27 (zbytek 3)
Kolečka zmizí celkem 27krát. Pokaždé zmizí 3 kolečka, takže celkem by jich ubylo:
27 × 3 = 81 koleček.

Společné okamžiky

Nyní musíme určit, kolikrát se obě akce potkají ve stejnou sekundu. To se stane v násobcích společného nejmenšího násobku čísel 7 a 11, což je 77 (7 × 11 = 77).
Násobky 77 do 300 jsou: 77, 154 a 231. To jsou celkem 3 okamžiky.
V zadání je uvedeno, že v těchto společných okamžicích se počet koleček nezmění. My jsme ale pro tyto časy v předchozích krocích započítali jak přidání 4 koleček, tak zmizení 3 koleček (což je dohromady +1). Aby se počet nezměnil, musíme tuto „jedničku“ pro každý ze 3 případů odečíst.

Výsledný počet

Od celkového počtu přidaných koleček odečteme ta, která zmizela, a nakonec opravíme výsledek o společné okamžiky:
168 − 81 − 3 = 84
Po 5 minutách bude na obrazovce 84 koleček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body