Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2016

31 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle 0,01 \cdot 1000 + 10 \cdot \frac{1}{0,1}=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výrazu

Nejdříve vypočítáme součin desetinného čísla a čísla 1000. Při násobení tisícem posouváme desetinnou čárku o tři místa doprava:
$0,01 \cdot 1000 = 10$

Druhá část výrazu

Dále vypočítáme druhou část. Zlomek $\frac{1}{0,1}$ vyjadřuje dělení. Protože $0,1$ je jedna desetina, dělení tímto číslem je stejné jako násobení deseti:
$\frac{1}{0,1} = 10$
Následně vynásobíme výsledek deseti:
$10 \cdot 10 = 100$

Součet

Nakonec oba dílčí výsledky sečteme:
$10 + 100 = 110$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

110

Stav úlohy

1 bod

Úloha 2

Vypočtěte, kolikrát je třeba k číslu 820 přičíst číslo 10, abychom získali číslo 8 200.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi čísly

Nejprve zjistíme, o kolik se musí číslo 820 zvětšit, abychom dostali cílové číslo 8 200. Vypočítáme tedy jejich rozdíl:
$8\,200 - 820 = 7\,380$

Počet přičtení desítky

Potřebujeme zjistit, kolikrát musíme přičíst číslo 10, abychom získali vypočítaný rozdíl 7 380. To zjistíme tak, že rozdíl vydělíme deseti:
$7\,380 \div 10 = 738$

Závěr

K číslu 820 je třeba přičíst číslo 10 celkem 738krát.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

738krát

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek uveďte zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle 0,2 \cdot \left( \frac{1}{9} + \frac{7}{12} \right) - \frac{1}{4} =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme součet zlomků v závorce. Společným jmenovatelem čísel 9 a 12 je 36.
$\frac{1}{9} + \frac{7}{12} = \frac{4}{36} + \frac{21}{36} = \frac{25}{36}$

Násobení desetinným číslem

Desetinné číslo $0,2$ si převedeme na zlomek: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Nyní vynásobíme výsledek z prvního kroku:
$\frac{1}{5} \cdot \frac{25}{36} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 36} = \frac{5}{36}$

Odčítání a základní tvar

Od získaného zlomku odečteme $\frac{1}{4}$. Společným jmenovatelem je 36 (protože $\frac{1}{4} = \frac{9}{36}$).
$\frac{5}{36} - \frac{9}{36} = -\frac{4}{36}$
Zlomek ještě vykrátíme číslem 4, abychom dostali základní tvar:
$-\frac{4}{36} = -\frac{1}{9}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

-1/9

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek uveďte zlomkem v základním tvaru.

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{1}{2}- \left( \displaystyle \frac{2}{3}- \displaystyle \frac{5}{6} \right) }{ \displaystyle \frac{1}{2} } =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce: $\frac{2}{3} - \frac{5}{6}$. Zlomky převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo $6$.
$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$
$\frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$

Úprava čitatele

Nyní dosadíme výsledek závorky zpět do čitatele hlavního zlomku: $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{6})$. Odčítání záporného čísla je totéž jako přičítání.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Výpočet složeného zlomku

Zbývá vypočítat složený zlomek: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}}$. Dělení zlomkem provedeme jako násobení jeho převrácenou hodnotou.
$\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$

Závěr

Výsledný zlomek v základním tvaru je $\frac{4}{3}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4/3

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Zapište převrácené číslo k číslu $\displaystyle 2 \frac{1}{3}$ .

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na zlomek

Nejdříve si smíšené číslo $2 \frac{1}{3}$ převedeme na nepravý zlomek. Celou část (2) vynásobíme jmenovatelem (3) a přičteme čitatel (1):
$2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Určení převráceného čísla

Převrácené číslo ke zlomku získáme tak, že zaměníme čitatel se jmenovatelem. Převrácené číslo k $\frac{7}{3}$ je tedy $\frac{3}{7}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3/7

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.2

Vypočtěte číslo, které musíme odečíst od čísla $\displaystyle 2 \frac{1}{3}$ , abychom dostali číslo opačné k číslu $\displaystyle 2 \frac{1}{3}$ .

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení zadaného a opačného čísla

Zadané číslo je $2 \frac{1}{3}$. Opačné číslo k jakémukoli číslu má stejnou absolutní hodnotu, ale opačné znaménko. Tedy k číslu $2 \frac{1}{3}$ je opačné číslo $-2 \frac{1}{3}$.

Sestavení výpočtu

Hledáme číslo, které musíme odečíst od $2 \frac{1}{3}$, abychom dostali $-2 \frac{1}{3}$. To můžeme zapsat rovnicí:
$2 \frac{1}{3} - x = -2 \frac{1}{3}$
Hledané číslo $x$ tedy vypočítáme jako rozdíl zadaného čísla a výsledku:
$x = 2 \frac{1}{3} - (-2 \frac{1}{3})$

Výpočet výsledku

Odečíst záporné číslo je totéž jako přičíst číslo kladné:
$x = 2 \frac{1}{3} + 2 \frac{1}{3} = 4 \frac{2}{3}$
Výsledek můžeme zapsat i jako zlomek: $4 \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

14/3

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.1

Ve třech sedmých třídách je celkem 75 žáků. Počty dívek a chlapců jsou v poměru 8 : 7. Počet žáků třídy 7. A tvoří třetinu všech žáků sedmých tříd.
Ve třídě 7. B je o čtyři žáky více než ve třídě 7. C.

Vypočtěte celkový počet chlapců v 7. třídách.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza poměru

Celkový počet žáků (75) je rozdělen na dívky a chlapce v poměru 8 : 7. Nejdříve musíme zjistit, z kolika dílů se tento celek skládá. Sečteme oba členy poměru:
8 + 7 = 15 dílů

Výpočet jednoho dílu

Nyní vypočítáme, kolik žáků připadá na jeden takový díl. Celkový počet žáků vydělíme celkovým počtem dílů:
75 : 15 = 5 žáků

Celkový počet chlapců

Chlapci tvoří v poměru 7 dílů. Počet chlapců tedy získáme vynásobením počtu dílů hodnotou jednoho dílu:
7 · 5 = 35 chlapců

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

Ve třech sedmých třídách je celkem 75 žáků. Počty dívek a chlapců jsou v poměru 8 : 7.
Počet žáků třídy 7. A tvoří třetinu všech žáků sedmých tříd.
Ve třídě 7. B je o čtyři žáky více než ve třídě 7. C

Vypočtěte počet žáků v 7. C.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků v 7. A

Celkem je v sedmých třídách 75 žáků. Třída 7. A tvoří třetinu z tohoto počtu. To vypočítáme vydělením třemi:
75 : 3 = 25
V 7. A je tedy 25 žáků.

Společný počet žáků v 7. B a 7. C

Když od celkového počtu 75 odečteme 25 žáků ze 7. A, zbude nám počet žáků v 7. B a 7. C dohromady:
75 − 25 = 50

Výpočet počtu žáků v 7. C

Víme, že v 7. B je o 4 žáky více než v 7. C. Pokud bychom od společného počtu 50 odečetli tyto 4 žáky, dostali bychom stav, kdy by v obou třídách byl stejný počet žáků (jako v 7. C):
50 − 4 = 46
Tento zbytek rozdělíme na dvě poloviny:
46 : 2 = 23
V 7. C je tedy 23 žáků.

Závěr

Pro kontrolu můžeme vypočítat i 7. B: 23 + 4 = 27 žáků. Součet všech tříd pak musí být 75: 25 (7. A) + 27 (7. B) + 23 (7. C) = 75.
Odpověď: 23

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Na lanové dráze jezdí mezi horní a dolní stanicí dvě kabiny proti sobě. Z obou míst vyjíždějí kabiny ve stejném okamžiku a míjejí se pravidelně v polovině doby jízdy.

Hodiny ukazují 16:38 a kabiny se minuly před 3 minutami. Do stanic přijedou v 16:40, tam setrvají 5 minut a pak je čeká poslední jízda zpět.

Vypočtěte, jak dlouho trvá jízda kabiny mezi horní a dolní stanicí.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas setkání

Kabiny se minuly před 3 minutami. Pokud je nyní 16:38, znamená to, že se minuly v čase:
16:38 − 3 minuty = 16:35

Doba od setkání do cíle

Víme, že kabiny přijedou do stanic v 16:40. Od okamžiku, kdy se minuly (16:35), do příjezdu do stanic (16:40) uplyne:
16:40 − 16:35 = 5 minut

Celková doba jízdy

V zadání je uvedeno, že se kabiny míjejí přesně v polovině doby jízdy. To znamená, že cesta od setkání do cíle trvá stejnou dobu jako cesta ze startu k místu setkání.
Jestliže druhá polovina cesty trvá 5 minut, celá jízda trvá:
$5 + 5 = 10$ minut

Výsledek

Jízda kabiny mezi horní a dolní stanicí trvá 10 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

10min

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.2

Určete přesný čas, kdy se kabiny minou při jízdě zpět.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka jedné jízdy

Víme, že kabiny se minuly v 16:35 (protože v 16:38 to bylo před 3 minutami) a do stanic přijedou v 16:40. Protože se míjejí přesně v polovině doby jízdy, trvá cesta od místa setkání do stanice 5 minut ($16:40 - 16:35 = 5$). Celá jízda jedním směrem tedy trvá 10 minut ($5 \cdot 2 = 10$).

Čas odjezdu na cestu zpět

Kabiny přijedou do stanic v 16:40 a čekají tam 5 minut. Na poslední jízdu zpět tedy vyrazí v 16:45 ($16:40 + 5 \text{ min} = 16:45$).

Setkání při jízdě zpět

Kabiny se opět minou přesně v polovině své cesty. Protože celá jízda trvá 10 minut, polovina je 5 minut. K času odjezdu (16:45) přičteme 5 minut a získáme čas setkání: 16:50.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

16:50

Stav úlohy

2 body

Úloha 7

Karel stavěl věže z kostek. Když na každou věž použil 6 kostek, žádná kostka mu nezbyla. Když vše zboural a na každou novou věž použil 8 kostek, také mu žádná kostka nezbyla.
Karel stavěl z více než 60 a méně než ze 100 kostek.

Vypočtěte, z kolika kostek mohl Karel stavět.

Uveďte všechny možnosti.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hledání společného násobku

Počet kostek musí být dělitelný číslem 6 i číslem 8 beze zbytku, protože v obou případech Karlovi žádná kostka nezbyla. Hledáme tedy společné násobky těchto dvou čísel.

Nejmenší společný násobek

V osmičce kostek je dostatek dvojek pro dělení šesti, ale chybí skupina po třech. Proto musí být počet osmiček násobkem 3. Nejmenší společná skupina má $8 \times 3 = 24$ kostek; všechny možné počty jsou násobky 24.

Výběr správných možností

Počet celých skupin po 24 odvodíme dělením mezí: $60 : 24 = 2$ se zbytkem 12, takže potřebujeme nejméně 3 skupiny. Dále $100 : 24 = 4$ se zbytkem 4, takže se vejdou nejvýše 4 skupiny. Přípustný počet skupin je tedy od 3 do 4. Dostaneme $3 \times 24 = 72$ a $4 \times 24 = 96$ kostek.

Závěr

Zadaným podmínkám (rozmezí 60 až 100 kostek) vyhovují čísla 72 a 96. Karel mohl stavět ze 72 nebo 96 kostek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

72, 96

Stav úlohy

2 body

Úloha 8.1

Cesta na nádraží po silnici je dlouhá 1 500 m a Mirkovi trvala 20 minut. Nyní Mirek chodí lesní pěšinou, a cestu si tak zkrátil o 225 m.

Mirek chodí stále stejně rychle. Délka každého jeho kroku je $\displaystyle \frac{3}{4}$ metru.

Vypočtěte, o kolik kroků si Mirek zkrátil cestu na nádraží.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění délky zkrácení

Ze zadání přímo víme, že Mirek si cestu lesní pěšinou zkrátil o 225 m.

Výpočet počtu kroků

Jeden Mirkův krok měří $\frac{3}{4}$ metru. Abychom zjistili, o kolik kroků je cesta kratší, musíme ušetřenou vzdálenost (225 m) vydělit délkou jednoho kroku ($\frac{3}{4}$ m).

Provedení výpočtu

Počítáme příklad: $225 : \frac{3}{4}$.
Dělení zlomkem nahradíme násobením převrácenou hodnotou:
$225 \cdot \frac{4}{3} = \frac{225}{3} \cdot 4 = 75 \cdot 4 = 300$.

Závěr

Mirek si cestu na nádraží zkrátil o 300 kroků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

o 300 kroků

Stav úlohy

1 bod

Úloha 8.2

Vypočtěte, o kolik minut si Mirek zkrátil cestu na nádraží.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Víme, že původní cesta byla dlouhá 1 500 m a trvala 20 minut. Mirek chodí stále stejně rychle. Cesta lesem je o 225 m kratší. Potřebujeme zjistit, o kolik minut dříve Mirek dojde na nádraží díky tomuto zkrácení.

Zjištění rychlosti

Nejdříve vypočítáme, jakou rychlostí Mirek chodí. Zjistíme, kolik metrů urazí za jednu minutu:
$1\,500 : 20 = 75$ m/min.

Výpočet úspory času

Protože Mirek chodí stále stejně rychle, vypočítáme, kolik času by mu trvalo ujít ušetřenou vzdálenost 225 metrů:
$225 : 75 = 3$ minuty.

Odpověď

Mirek si cestu na nádraží zkrátil o 3 minuty.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

o 3 minuty

Stav úlohy

2 body

Úloha 9.1

Těleso je slepeno ze dvou shodných kvádrů s délkami hran 3 cm, 3 cm a 5 cm.

Vypočtěte v cm³ objem slepeného tělesa.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Těleso se skládá ze dvou shodných kvádrů o rozměrech 3 cm, 3 cm a 5 cm. Protože jsou kvádry k sobě pouze přilepeny a nepronikají do sebe, celkový objem tělesa získáme jako součet objemů obou těchto kvádrů.

Výpočet objemu jednoho kvádru

Objem kvádru vypočítáme vynásobením délek jeho tří hran:
V₁ = a · b · c
V₁ = 3 · 3 · 5 = 45 cm³

Výpočet celkového objemu

Protože je těleso složeno ze dvou takových kvádrů, celkový objem (V) bude:
V = 2 · V₁
V = 2 · 45 = 90 cm³

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

V = 90 cm³

Stav úlohy

1 bod

Úloha 9.2

Těleso je slepeno ze dvou shodných kvádrů s délkami hran 3 cm, 3 cm a 5 cm.

Vypočtěte v cm ² povrch slepeného tělesa.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Těleso je slepeno ze dvou shodných kvádrů s rozměry 3 cm, 3 cm a 5 cm. Abychom vypočítali povrch celého tělesa, musíme si uvědomit, že povrch není jen součtem povrchů obou kvádrů. Při slepení se část jejich stěn překryje a tyto plochy už nejsou součástí vnějšího povrchu.

Výpočet povrchu jednoho kvádru

Povrch jednoho kvádru ($S_1$) vypočítáme podle vzorce $S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$, kde strany jsou 3 cm, 3 cm a 5 cm.
$S_1 = 2 \cdot (3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2 \cdot (9 + 15 + 15) = 2 \cdot 39 = 78$ cm².

Určení styčné plochy

Z nákresu vidíme, že kvádry jsou k sobě přilepeny částí své boční stěny. Styčná plocha ($S_{st}$) je čtverec o rozměrech 3 cm × 3 cm (podle hloubky a výšky nižší části). Tato plocha je schovaná uvnitř tělesa na obou kvádrech.
$S_{st} = 3 \cdot 3 = 9$ cm².

Celkový povrch tělesa

Celkový povrch ($S_{celk}$) získáme tak, že sečteme povrchy obou kvádrů a odečteme plochu, kterou jsou k sobě přilepeny. Protože styčná plocha zmizí z povrchu obou kvádrů, musíme ji odečíst dvakrát.
$S_{celk} = 2 \cdot S_1 - 2 \cdot S_{st} = 2 \cdot 78 - 2 \cdot 9 = 156 - 18 = 138$ cm².

Závěr

Povrch slepeného tělesa je 138 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

S = 138 cm²

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

V rovině leží přímka AB a mimo ni bod U.

1. Sestrojte chybějící vrchol C trojúhelníku ABC, jestliže velikost úhlu ABC je β = 70°, strana BC má délku 8 cm a bod U leží uvnitř trojúhelníku ABC. Trojúhelník ABC narýsujte.
2. Sestrojte osu úsečky AB a označte ji o.
3. Sestrojte chybějící vrchol D rovnoramenného lichoběžníku ABCD se základnami AB, CD a lichoběžník narýsujte.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 5 bodů.

10.1 · +2 body: Vzorové řešení výše.
10.2 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
10.3 · +2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2016, úloha 10

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

4 body

Úloha 11.1

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

75 g je 3krát více než $\displaystyle \frac{1}{4}$ kg.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na gramy

Nejdříve si převedeme čtvrt kilogramu na gramy. Víme, že jeden kilogram má 1000 gramů.

Výpočet čtvrtiny

$\frac{1}{4}$ kg vypočítáme jako $1000 \div 4 = 250$ g.

Porovnání hodnot

Tvrzení říká, že 75 g je 3krát více než $\frac{1}{4}$ kg (tedy 250 g). To je však nemožné, protože 75 g je mnohem méně než 250 g (ve skutečnosti je to méně než jedna třetina).

Závěr

Tvrzení je nepravdivé. Správná odpověď je Ne.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 11.2

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

450 sekund je 2krát méně než čtvrt hodiny.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čtvrt hodiny v minutách

Nejdříve si vypočítáme, kolik minut je čtvrt hodiny. Celá hodina má 60 minut, takže čtvrtinu zjistíme dělením čtyřmi: $60 \div 4 = 15$ minut.

Převod na sekundy

Teď převedeme 15 minut na sekundy. Protože jedna minuta má 60 sekund, vynásobíme počet minut šedesáti: $15 \cdot 60 = 900$ sekund.

Porovnání a závěr

V zadání se tvrdí, že 450 sekund je 2krát méně než čtvrt hodiny (tedy 900 sekund). Ověříme to tak, že 900 sekund vydělíme dvěma: $900 \div 2 = 450$ sekund. Hodnota souhlasí, takže tvrzení je pravdivé.

Odpověď: Ano (A)

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 11.3

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obrazec, který lze rozdělit na 4 čtverce se stranou délky 50 cm, má obsah 1 m².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah jednoho čtverce

Nejdříve vypočítáme obsah jednoho malého čtverce se stranou délky 50 cm. Obsah čtverce se vypočítá jako součin jeho dvou stran:
50 cm × 50 cm = 2 500 cm²

Obsah celého obrazce

Obrazec se skládá ze 4 takových čtverců. Celkový obsah tedy získáme vynásobením obsahu jednoho čtverce čtyřmi:
4 × 2 500 cm² = 10 000 cm²

Převod na metry čtvereční

Nyní musíme převést centimetry čtvereční na metry čtvereční. Víme, že 1 m má 100 cm, takže 1 m² má 100 × 100 = 10 000 cm².
Tedy: 10 000 cm² = 1 m²

Závěr

Vypočítaný obsah obrazce je přesně 1 m². Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.
Odpověď: A

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 12.1

Oddělením dvou trojúhelníků AFD a BCE z obdélníku ABCD vznikne bílý obrazec ABEF. Obsah trojúhelníku BCE je 3 cm².Všechny uvedené body jsou v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah trojúhelníku AFD je 2 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza čtvercové sítě

Z obrázku a popisu vidíme, že obdélník $ABCD$ je rozdělen na čtvercovou síť. Výška obdélníku (strany $AD$ a $BC$) odpovídá 3 políčkům sítě. Trojúhelník $BCE$ je pravoúhlý s odvěsnami o délce 3 dílky (výška $BC$) a 3 dílky (základna $CE$ na horní straně obdélníku).

Určení měřítka plochy

Obsah trojúhelníku $BCE$ v dílcích sítě je:$\frac{3 \cdot 3}{2} = 4,5 \text{ čtverečků}$Víme, že tento obsah je roven $3 \text{ cm}^2$. Jeden čtvereček sítě má tedy obsah:$\frac{3}{4,5} = \frac{2}{3} \text{ cm}^2$

Výpočet obsahu trojúhelníku AFD

Trojúhelník $AFD$ je také pravoúhlý. Jeho odvěsny mají délku 3 dílky (výška $AD$) a 2 dílky (základna $DF$). Obsah v dílcích sítě je:$\frac{2 \cdot 3}{2} = 3 \text{ čtverečky}$Nyní převedeme tento obsah na $\text{cm}^2$ pomocí dříve zjištěného měřítka:$3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \text{ cm}^2$

Závěr

Obsah trojúhelníku $AFD$ je skutečně $2 \text{ cm}^2$. Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

1 bod

Úloha 12.2

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah bílého obrazce ABEF je 13,5 cm².

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního trojúhelníku

Nejprve potřebujeme zjistit, jakému obsahu v centimetrech čtverečních odpovídá jeden čtvereček sítě. Z obrázku vidíme, že pravoúhlý trojúhelník BCE má odvěsny dlouhé 2 a 3 dílky čtvercové sítě. Jeho obsah vypočítáme jako polovinu obsahu obdélníku: $(2 \cdot 3) : 2 = 3$ čtverečky sítě. V zadání je uvedeno, že obsah trojúhelníku BCE je $3\text{ cm}^2$. To znamená, že 3 čtverečky sítě mají obsah $3\text{ cm}^2$, takže 1 čtvereček sítě má obsah $1\text{ cm}^2$.

Výpočet obsahu obdélníku a druhého trojúhelníku

Nyní spočítáme obsah celého obdélníku a druhého šedého trojúhelníku. Celý obdélník ABCD má šířku 6 dílků a výšku 3 dílky. Jeho obsah je $6 \cdot 3 = 18$ čtverečků. Druhý pravoúhlý trojúhelník AFD má odvěsny dlouhé 1 a 3 dílky. Jeho obsah vypočítáme jako $(1 \cdot 3) : 2 = 1{,}5$ čtverečku.

Obsah bílého obrazce

Bílý obrazec ABEF tvoří zbytek obdélníku ABCD po odečtení obou šedých trojúhelníků (AFD a BCE). Od celého obdélníku (18 čtverečků) odečteme trojúhelník BCE (3 čtverečky) a trojúhelník AFD ($1{,}5$ čtverečku). $18 - 3 - 1{,}5 = 13{,}5$ čtverečku. Protože už víme, že 1 čtvereček sítě odpovídá $1\text{ cm}^2$, je obsah bílého obrazce $13{,}5\text{ cm}^2$.

Závěr

Vypočítali jsme, že obsah bílého obrazce ABEF je skutečně $13{,}5\text{ cm}^2$. Uvedené tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 12.3

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod bílého obrazce ABEF je stejný jako součet obvodů trojúhelníků AFD a BCE.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Velikost jednoho dílku sítě

Zadání uvádí, že obsah trojúhelníku BCE je $3\text{ cm}^2$.

Z obrázku vidíme, že trojúhelník BCE je pravoúhlý. Jeho první odvěsna BC (výška obdélníku) měří 3 dílky sítě a druhá odvěsna CE měří 2 dílky sítě.

Vzorec pro obsah pravoúhlého trojúhelníku je $S = \frac{a \cdot b}{2}$. V dílcích sítě je obsah $\frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ čtverečky.

Protože 3 čtverečky sítě odpovídají $3\text{ cm}^2$, obsah jednoho čtverečku je $1\text{ cm}^2$ a délka jeho strany je $1\text{ cm}$. Můžeme tedy v celé úloze počítat rovnou s tím, že 1 dílek sítě odpovídá $1\text{ cm}$.

Rozbor obvodu bílého obrazce

Obvod bílého obrazce ABEF tvoří úsečky na jeho obrysu: AB, BE, EF a FA.

Z obrázku víme:

Spodní strana AB (délka obdélníku) měří $6\text{ cm}$.
Horní strana obdélníku DC měří také $6\text{ cm}$. Skládá se z úseček DF ($1\text{ cm}$), FE a EC ($2\text{ cm}$). Z toho dopočítáme, že délka strany EF je $6 - 1 - 2 = 3\text{ cm}$.

Šikmé strany FA a BE zatím nebudeme počítat, jen si je do součtu zapíšeme. Obvod obrazce ABEF se tedy rovná $6 + 3 + FA + BE = \mathbf{9 + FA + BE}$.

Rozbor součtu obvodů trojúhelníků

Nyní se podíváme na obvody obou trojúhelníků:

Trojúhelník AFD tvoří úsečky AD (výška $3\text{ cm}$), DF ($1\text{ cm}$) a šikmá strana FA. Jeho obvod je $3 + 1 + FA = \mathbf{4 + FA}$.
Trojúhelník BCE tvoří úsečky BC (výška $3\text{ cm}$), CE ($2\text{ cm}$) a šikmá strana BE. Jeho obvod je $3 + 2 + BE = \mathbf{5 + BE}$.

Když oba tyto obvody sečteme, dostaneme: $(4 + FA) + (5 + BE) = \mathbf{9 + FA + BE}$.

Závěr

Z předchozích kroků jsme zjistili:

Obvod bílého obrazce ABEF je $\mathbf{9 + FA + BE}$.
Součet obvodů trojúhelníků AFD a BCE je také $\mathbf{9 + FA + BE}$.

Oba výrazy jsou naprosto stejné, obvody se tedy rovnají. Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

1 bod

Úloha 13

Trojúhelník ABC je rozdělen na dva rovnoramenné trojúhelníky.

Jaká je velikost úhlu α?

Úhel α neměřte, ale vypočtěte.

A) 48°
D) 64°
B) 52°
E) jiná velikost
C) 58°

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet třetího úhlu v pravém trojúhelníku

Zadání říká, že velký trojúhelník je rozdělen na dva menší rovnoramenné trojúhelníky. Podívejme se na ten pravý. Z obrázku víme, že má dva úhly o velikosti 29°. Součet úhlů v každém trojúhelníku je vždy 180°. Třetí úhel (ten, co leží na základně a doplňuje první dva) spočítáme takto: 180° − 29° − 29° = 122°.

Výpočet úhlu φ (fí)

Oba menší trojúhelníky leží na stejné přímce (spodní straně velkého trojúhelníku). Úhly u rozdělujícího bodu tak spolu tvoří přímý úhel, který měří celkem 180°. Úhel označený symbolem φ (fí) v levém trojúhelníku tak leží hned vedle úhlu 122°. Spočítáme ho jednoduše: φ = 180° − 122° = 58°.

Výpočet úhlu α (alfa)

Nyní se zaměříme na levý trojúhelník. Z obrázku víme, že má dva stejné úhly označené jako φ. Právě jsme zjistili, že úhel φ měří 58°. Díky dvěma stejným úhlům je i levý trojúhelník rovnoramenný. Opět využijeme pravidlo, že součet úhlů v trojúhelníku je 180°, a spočítáme poslední úhel α: α + 58° + 58° = 180° α + 116° = 180° α = 180° − 116° = 64°

Úhel α má velikost 64°.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 14

Při vydatném dešti napršelo na záhon o rozloze jeden metr čtvereční 30 litrů vody. Toto množství vody by naplnilo 2,5 kbelíku.

Jaký je objem jednoho kbelíku?

A) 0, 012 m³
D) 12 m³
B) 0, 075 m³
E) jiný objem
C) 7,5 m³

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet objemu jednoho kbelíku v litrech

Ze zadání víme, že $2{,}5$ kbelíku pojme $30$ litrů vody. Objem jednoho kbelíku zjistíme tak, že celkové množství vody vydělíme počtem kbelíků:
$30 : 2{,}5 = 300 : 25 = 12$
Jeden kbelík má tedy objem $12$ litrů.

Převod litrů na metry krychlové

Možnosti odpovědí jsou uvedeny v metrech krychlových ($\text{m}^3$), proto musíme výsledek převést. Víme, že $1$ litr odpovídá $1\,\text{dm}^3$. Dále víme, že $1\,\text{m}^3$ obsahuje $1\,000\,\text{dm}^3$ (protože $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000$).
Převod z litrů na metry krychlové provedeme vydělením tisícem:
$12 : 1\,000 = 0{,}012\,\text{m}^3$

Výsledek

Objem jednoho kbelíku je $0{,}012\,\text{m}^3$, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 15

V prvním čtvrtletí byla cena výrobku 120 Kč.
Během roku se cena výrobku třikrát snížila, a to vždy na přelomu čtvrtletí.

Kdy došlo ke snížení předchozí ceny výrobku o 20 %?

A) ani jednou
D) na přelomu 3. a 4. čtvrtletí
B) na přelomu 1. a 2. čtvrtletí
E) pokaždé
C) na přelomu 2. a 3. čtvrtletí

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme cenu výrobku v jednotlivých čtvrtletích:

1. čtvrtletí: 120 Kč
2. čtvrtletí: 100 Kč
3. čtvrtletí: 80 Kč
4. čtvrtletí: 60 Kč

Přelom 1. a 2. čtvrtletí

Předchozí cena (1. čtvrtletí) byla 120 Kč. Vypočítáme, kolik by byl pokles o 20 %:

100 % = 120 Kč
10 % = 12 Kč
20 % = 24 Kč

Cena by se musela snížit o 24 Kč na 96 Kč (120 − 24 = 96). Skutečná cena ve 2. čtvrtletí je ale 100 Kč. Ke snížení o 20 % tedy nedošlo.

Přelom 2. a 3. čtvrtletí

Předchozí cena (2. čtvrtletí) byla 100 Kč. Vypočítáme pokles o 20 %:

100 % = 100 Kč
20 % = 20 Kč

Cena by se musela snížit o 20 Kč na 80 Kč (100 − 20 = 80). Skutečná cena ve 3. čtvrtletí je přesně 80 Kč. Ke snížení o 20 % došlo právě zde.

Přelom 3. a 4. čtvrtletí

Předchozí cena (3. čtvrtletí) byla 80 Kč. Vypočítáme pokles o 20 %:

100 % = 80 Kč
10 % = 8 Kč
20 % = 16 Kč

Cena by se musela snížit o 16 Kč na 64 Kč (80 − 16 = 64). Skutečná cena ve 4. čtvrtletí je ale 60 Kč (pokles byl o 20 Kč, což je 25 %). Ani zde k poklesu o přesně 20 % nedošlo.

Závěr

Ke snížení předchozí ceny o 20 % došlo pouze na přelomu 2. a 3. čtvrtletí. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.1

Petr utratil 30 % z 30 Kč.

Kolik Kč mu zbylo?

A) 14
D) 21
B) 18
E) 24
C) 20
F) jiný výsledek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet utracené části

Petr utratil 30 % z 30 Kč. Nejdříve si spočítáme, kolik je 1 % ze 30 Kč:
$30 : 100 = 0,3$ Kč

Utracených 30 % pak vypočítáme jako:
$30 \cdot 0,3 = 9$ Kč

Zjištění zbývající částky

Abychom zjistili, kolik Petrovi zbylo, odečteme utracenou částku od původního obnosu:
$30 - 9 = 21$ Kč

Závěr

Petrovi po nákupu zbylo 21 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.2

Zatím přišlo jen 12 dětí. Na zbývajících 60 % dětí se čeká.

Na kolik dětí se čeká?

A) 14
D) 21
B) 18
E) 24
C) 20
F) jiný výsledek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení procent dětí, které přišly

Víme, že na 60 % dětí se ještě čeká. Celý počet dětí představuje 100 %. Děti, které již přišly, tedy tvoří zbývajících 40 % ($100\ % - 60\ % = 40\ %$). Těchto 40 % odpovídá 12 dětem.

Výpočet počtu dětí pro 10 %

Abychom zjistili, kolik dětí připadá na 60 %, nejdříve si vypočítáme, kolik dětí tvoří 10 %. Jestliže 40 % je 12 dětí, pak 10 % vypočítáme jako $12 : 4 = 3$. Na každých 10 % dětí tedy připadají 3 děti.

Výpočet počtu dětí, na které se čeká

Nyní vypočítáme 60 % dětí, na které se čeká. Víme, že 10 % jsou 3 děti. Proto 60 % je $6 \cdot 3 = 18$ dětí.

Výběr správné odpovědi

Zjistili jsme, že se čeká na 18 dětí. Tato hodnota odpovídá možnosti B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 16.3

Výrobek zdražený o tři čtvrtiny původní ceny stojí 28 Kč.

Kolik Kč by stál výrobek zdražený jen o 50 % původní ceny?

A) 14
D) 21
B) 18
E) 24
C) 20
F) jiný výsledek

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet původní ceny

Víme, že výrobek byl zdražen o tři čtvrtiny původní ceny. Původní cena představuje celek ($100\ \%$, neboli $\frac{4}{4}$). Pokud k ní přičteme tři čtvrtiny, nová cena odpovídá $\frac{7}{4}$ původní ceny:
$\frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ původní ceny.

Tato nová cena je 28 Kč. Můžeme tedy zapsat:
$\frac{7}{4} \text{ celku} = 28 \text{ Kč}$
$\frac{1}{4} \text{ celku} = 28 : 7 = 4 \text{ Kč}$

Původní cena (celek, neboli $\frac{4}{4}$) byla:
$4 \cdot 4 = 16 \text{ Kč}$

Výpočet ceny po 50% zdražení

Nyní máme zjistit, kolik by výrobek stál, kdyby byl zdražen jen o $50\ \%$ původní ceny. Původní cena je 16 Kč.

$50\ \%$ z 16 Kč je polovina:
$16 : 2 = 8 \text{ Kč}$

Nová cena po zdražení o $50\ \%$ bude součtem původní ceny a zdražení:
$16 + 8 = 24 \text{ Kč}$

Závěr

Výrobek zdražený o $50\ \%$ původní ceny by stál 24 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 17.1

Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.

Vypočtěte délku strany čtverce, který má celkem 9 tmavých čtverečků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza počtu čtverečků

Víme, že tmavé čtverečky pokrývají obě úhlopříčky čtverce. Pokud má čtverec lichý počet čtverečků na straně, obě úhlopříčky se protnou v jednom společném středovém čtverečku. Pokud má čtverec na straně 5 čtverečků (jako na levém obrázku v zadání), každá úhlopříčka má 5 čtverečků. Celkový počet tmavých čtverečků je tedy $5 + 5 - 1 = 9$ (středový čtvereček počítáme jen jednou).

Určení rozměrů

Z analýzy vyplývá, že čtverec s 9 tmavými čtverečky na úhlopříčkách má na každé straně právě 5 malých čtverečků. Zadání uvádí, že každý malý tmavý čtvereček má délku strany 4 cm.

Výpočet délky strany

Délku strany celého čtverce vypočítáme tak, že vynásobíme počet čtverečků na straně délkou strany jednoho malého čtverečku:
$5 \times 4\text{ cm} = 20\text{ cm}$

Závěr

Délka strany čtverce je 20 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

20 cm

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 17.1 a 17.2 a 17.3 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 4 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 4 bodů.

17.1 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
17.2 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
17.3 · +2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2016, úloha 17

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

1 bod

Úloha 17.2

Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.

Vypočtěte délku strany čtverce, který má celkem 69 tmavých čtverečků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor počtu čtverečků

Tmavé čtverečky tvoří obě úhlopříčky velkého čtverce. Protože se úhlopříčky uprostřed protínají, sdílejí jeden společný středový čtvereček. Pokud je celkový počet tmavých čtverečků lichý (zde 69), znamená to, že úhlopříčky mají společný právě tento jeden středový čtvereček.

Výpočet počtu čtverečků na straně

Označme si počet malých čtverečků na straně velkého čtverce jako $n$. Na každé úhlopříčce je také $n$ čtverečků. Celkový počet čtverečků na obou úhlopříčkách vypočítáme jako součet čtverečků na obou úhlopříčkách minus ten jeden, který jsme započítali dvakrát (středový).
Tedy: $n + n - 1 = 69$.
Z toho vyplývá: $2n = 70$, tedy $n = 35$.
Velký čtverec má tedy stranu tvořenou 35 malými čtverečky.

Výpočet délky strany čtverce

Víme, že strana jednoho malého tmavého čtverečku má délku 4 cm. Celkovou délku strany velkého čtverce vypočítáme vynásobením počtu čtverečků délkou jejich strany:
$35 \times 4\text{ cm} = 140\text{ cm}$.

Závěr

Délka strany čtverce je 140 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

140 cm

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 17.1 a 17.2 a 17.3 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 4 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 4 bodů.

17.1 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
17.2 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
17.3 · +2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2016, úloha 17

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

1 bod

Úloha 17.3

Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.

Vypočtěte celkový počet tmavých čtverečků, je-li délka strany čtverce 884 cm.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání a obrázku

Zadání uvádí, že velký čtverec má délku strany 884 cm. Tmavé čtverečky, které pokrývají obě úhlopříčky, mají délku strany 4 cm. Nejdříve musíme zjistit, kolik takových malých čtverečků se vejde podél jedné strany velkého čtverce.

Výpočet počtu čtverečků na jedné straně

Délku strany velkého čtverce vydělíme délkou strany malého čtverečku:
884 : 4 = 221
Na každé straně (a tedy i na každé úhlopříčce) velkého čtverce je přesně 221 malých čtverečků.

Výpočet celkového počtu tmavých čtverečků

Čtverec má dvě úhlopříčky. Kdyby se neprotínaly, byl by celkový počet 221 + 221 = 442 čtverečků. Protože je ale počet čtverečků na úhlopříčce lichý (221), obě úhlopříčky mají jeden společný čtvereček přesně uprostřed (podobně jako u vzoru 5x5 na obrázku).
Tento prostřední čtvereček jsme započítali do obou úhlopříček, proto ho musíme jednou odečíst:
221 + 221 − 1 = 442 − 1 = 441

Závěr

Celkový počet tmavých čtverečků ve čtverci o straně 884 cm je 441.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

441 čtverečků

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 17.1 a 17.2 a 17.3 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 4 body.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 4 bodů.

17.1 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
17.2 · +1 bod: Vzorové řešení výše.
17.3 · +2 body: Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2016, úloha 17

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

2 body