Přijímací testy 7. ročník

Podkategorie: Matematika 7. ročník — 1. řádný termín 2015

33 úloh

Úloha 1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot 10-15=-85$

Zobrazit odpověď

-7

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pracujeme pozpátku

V zadání máme rovnost s neznámým číslem v rámečku: $\Box \cdot 10 - 15 = -85$. Abychom zjistili, co do rámečku patří, budeme postupovat od výsledku směrem k neznámé (pozpátku).

Odstranění odčítání

Víme, že po odečtení čísla 15 od součinu vlevo dostaneme $-85$. To znamená, že samotný součin (číslo v rámečku krát 10) musí být o 15 větší než $-85$. Vypočítáme ho tedy takto: $-85 + 15 = -70$.

Výpočet neznámého čísla

Nyní hledáme číslo, které po vynásobení deseti dává $-70$. Číslo v rámečku tedy získáme tak, že $-70$ vydělíme deseti: $-70 : 10 = -7$.

Výsledek

Do rámečku patří číslo $-7$. Správnost si můžeme ověřit dosazením do původního zadání: $-7 \cdot 10 - 15 = -70 - 15 = -85$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 3,2+0,01 \cdot \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} =3,5$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor rovnosti

Máme rovnici $3,2 + 0,01 \cdot \boxed{\phantom{x}} = 3,5$. Naším úkolem je najít číslo, které patří do rámečku. Nejprve zjistíme, kolik musíme přičíst k číslu $3,2$, abychom dostali $3,5$.

Výpočet rozdílu

Vypočítáme rozdíl mezi pravou stranou a prvním sčítancem na levé straně:
$3,5 - 3,2 = 0,3$
To znamená, že celý výraz $0,01 \cdot \boxed{\phantom{x}}$ se musí rovnat $0,3$.

Nalezení čísla v rámečku

Hledáme tedy číslo, které po vynásobení $0,01$ (což je jedna setina) dá výsledek $0,3$. Toho docílíme tak, že $0,3$ vydělíme $0,01$:
$0,3 : 0,01 = 30 : 1 = 30$
(Při dělení $0,01$ posuneme v obou číslech desetinnou čárku o dvě místa doprava).

Ověření

Zkusíme dosadit číslo $30$ zpět do zadání:
$3,2 + 0,01 \cdot 30 = 3,2 + 0,3 = 3,5$
Rovnost platí.

Závěr

Do rámečku patří číslo $30$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Vypočtěte a výsledek uveďte zlomkem v základním tvaru:

$\displaystyle 5 \cdot \left( 0,5 - \frac{3}{5} \right) =$

Zobrazit odpověď

-1/2

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na zlomky

Nejdříve si převedeme desetinné číslo $0,5$ na zlomek, abychom mohli snadno počítat v závorce.
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Výpočet v závorce

V závorce odečteme zlomky. Musíme je převést na společného jmenovatele, kterým je číslo $10$.
$\frac{1}{2} - \frac{3}{5} = \frac{5}{10} - \frac{6}{10} = -\frac{1}{10}$

Násobení a výsledek

Nyní výsledek závorky vynásobíme číslem $5$ a zlomek upravíme do základního tvaru.
$5 \cdot \left( -\frac{1}{10} \right) = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$
Výsledkem je tedy zlomek $-\frac{1}{2}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte a výsledek uveďte zlomkem v základním tvaru:

$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{2}{5}- \displaystyle \frac{5}{2} }{-3} =$

Zobrazit odpověď

7/10

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet čitatele

Nejdříve vypočítáme čitatel složeného zlomku. Musíme odečíst dva zlomky s různými jmenovateli, proto je převedeme na společného jmenovatele, kterým je číslo 10:
$\frac{2}{5} - \frac{5}{2} = \frac{4 - 25}{10} = -\frac{21}{10}$

Dělení jmenovatelem

Nyní výsledek z čitatele vydělíme jmenovatelem, což je číslo $-3$. Dělit číslem $-3$ je stejné jako násobit převrácenou hodnotou $-\frac{1}{3}$:
$(-\frac{21}{10}) : (-3) = -\frac{21}{10} \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{21}{30}$

Základní tvar

Získaný zlomek $\frac{21}{30}$ musíme uvést v základním tvaru. Zlomek tedy vykrátíme číslem 3:
$\frac{21}{30} = \frac{7}{10}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Všechny osoby skupiny A postupně přešly na stanoviště X nebo Y tak, jak znázorňuje schéma.
Ze skupiny A odešla $\displaystyle \frac{1}{3}$ osob na stanoviště X, zbytek osob se přesunul na přechodné stanoviště P. Na přechodné stanoviště P se dostalo 60 osob. Z něj pak přešla $\displaystyle \frac{1}{3}$ osob na stanoviště X, ostatní na stanoviště Y.

Určete konečný počet osob na stanovišti Y.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

Ze zadání a schématu vidíme, že na přechodné stanoviště P se dostalo 60 osob. Tyto osoby se dále dělí na ty, které jdou na stanoviště X, a ty, které jdou na stanoviště Y.

Výpočet osob na stanovišti Y

Víme, že ze stanoviště P přešla $\frac{1}{3}$ osob na stanoviště X. Zbytek osob (všechny ostatní) se přesunul na stanoviště Y. Tento zbytek tvoří:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Počet osob na stanovišti Y tedy vypočítáme jako $\frac{2}{3}$ ze 60:

$60 \cdot \frac{2}{3} = \frac{120}{3} = 40$

Závěr

Na stanovišti Y je konečný počet 40 osob.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Určete původní počet osob ve skupině A.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

Ze skupiny A odešla $\frac{1}{3}$ osob přímo na stanoviště X. Zbytek osob, což jsou $\frac{2}{3}$ původního počtu ($1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$), se přesunul na přechodné stanoviště P.

Výpočet počtu osob

Víme, že na stanoviště P se dostalo 60 osob. Těchto 60 osob tedy představuje $\frac{2}{3}$ celkového počtu osob ve skupině A.
Pokud $\frac{2}{3}$ odpovídají 60 osobám, pak $\frac{1}{3}$ odpovídá polovině, tedy 30 osobám ($60 : 2 = 30$).

Celkový počet osob

Celá skupina A se skládá ze tří třetin. Původní počet osob ve skupině A tedy vypočítáme jako $3 \cdot 30 = 90$ (nebo sečteme lidi v P a lidi, co šli přímo do X: $60 + 30 = 90$).

Závěr

Původní počet osob ve skupině A byl 90.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.1

Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jaká část osob skupiny A se dostala na stanoviště:

Zobrazit odpověď

5/9

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

Ze skupiny A odchází $\frac{1}{3}$ osob přímo na stanoviště X. Zbytek, tedy $\frac{2}{3}$ skupiny A, jde na stanoviště P. Ve schématu vidíme, že na stanoviště P přišlo 60 osob.

Cesta ze stanoviště P

Ze stanoviště P odchází $\frac{1}{3}$ tamějších osob na stanoviště X. Musíme tedy zjistit, jakou část celé skupiny A tvoří tito lidé. Je to $\frac{1}{3}$ ze $\frac{2}{3}$ (které přišly na P), což vypočítáme jako:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

Celková část osob na stanovišti X

Na stanoviště X se lidé dostali dvěma cestami: přímo z A ($\frac{1}{3}$ osob) a přes stanoviště P ($\frac{2}{9}$ osob). Tyto části sečteme:
$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$

Výsledek

Na stanoviště X se dostalo $\frac{5}{9}$ osob ze skupiny A.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jaká část osob skupiny A se dostala na stanoviště:

Zobrazit odpověď

4/9

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Část osob přesunujících se na stanoviště P

Ze skupiny A odešla $\frac{1}{3}$ osob na stanoviště X. Zbytek osob se přesunul na stanoviště P. Zbytek vypočítáme jako celek mínus odešlá část:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Na stanoviště P se tedy dostaly $\frac{2}{3}$ osob ze skupiny A.

Část osob přesunujících se ze stanoviště P na Y

Ze stanoviště P přešla $\frac{1}{3}$ osob na stanoviště X a ostatní na stanoviště Y. Zjistíme, jaká část ze stanoviště P pokračovala na Y:
$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Na stanoviště Y se tedy dostaly $\frac{2}{3}$ z těch osob, které byly na stanovišti P.

Výpočet celkové části pro stanoviště Y

Chceme zjistit, jaká část celé skupiny A se dostala na stanoviště Y. Musíme tedy vypočítat $\frac{2}{3}$ z $\frac{2}{3}$ skupiny A. To provedeme vynásobením zlomků:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Závěr

Na stanoviště Y se dostaly $\frac{4}{9}$ osob skupiny A. Zlomek je v základním tvaru.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.1

Pavel měl sraz s kamarádem. Z postele vstal hned po zazvonění budíku. Ranní hygienu zvládl za $\displaystyle \frac{1}{5}$ hodiny, 5 minut se oblékal, snídal $\displaystyle \frac{1}{3}$ hodiny a cesta na sraz mu trvala $\displaystyle \frac{1}{10}$ hodiny.
Na sraz přišel v 9:20.

Vypočtěte, kolik minut Pavlovi trvala ranní hygiena.

Zobrazit odpověď

12 minut

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jednotky času

Víme, že ranní hygiena Pavlovi trvala $\frac{1}{5}$ hodiny. Abychom zjistili počet minut, musíme si nejdříve uvědomit, že jedna hodina má 60 minut.

Výpočet minut

Vypočítáme $\frac{1}{5}$ ze 60 minut. To provedeme tak, že celkový počet minut v hodině (60) vydělíme pěti:
$60 \div 5 = 12$

Výsledek

Ranní hygiena Pavlovi trvala 12 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik minut uplynulo od zazvonění budíku k příchodu Pavla na sraz.

Zobrazit odpověď

43 minut

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si všechny časy uvedené ve zlomcích hodiny převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut.

Ranní hygiena: $\frac{1}{5}$ hodiny = $60 : 5 = 12$ minut
Snídaně: $\frac{1}{3}$ hodiny = $60 : 3 = 20$ minut
Cesta na sraz: $\frac{1}{10}$ hodiny = $60 : 10 = 6$ minut

Celkový čas

Nyní sečteme všechny doby, které uplynuly od zazvonění budíku až po příchod na sraz:

Hygiena: 12 minut
Oblékání: 5 minut
Snídaně: 20 minut
Cesta: 6 minut

$12 + 5 + 20 + 6 = 43$ minut.

Závěr

Od zazvonění budíku k příchodu na sraz uplynulo 43 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Vypočtěte, v kolik hodin zazvonil budík.

Zobrazit odpověď

08:37

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času na minuty

Nejdříve si všechny časy vyjádřené zlomkem hodiny převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut:

Hygiena ($\frac{1}{5}$ hodiny): $60 \div 5 = 12$ minut
Snídaně ($\frac{1}{3}$ hodiny): $60 \div 3 = 20$ minut
Cesta na sraz ($\frac{1}{10}$ hodiny): $60 \div 10 = 6$ minut

Celková doba přípravy

Sečteme všechny časy, které Pavel ráno potřeboval:
$12 \text{ (hygiena)} + 5 \text{ (oblékání)} + 20 \text{ (snídaně)} + 6 \text{ (cesta)} = 43$ minut.
Celkem mu tedy ranní příprava a cesta trvaly 43 minut.

Čas zazvonění budíku

Pavel přišel na sraz v 9:20. Abychom zjistili, v kolik hodin mu zazvonil budík, musíme od času příchodu odečíst 43 minut:
Nejdříve odečteme 20 minut: $9:20 - 20 \text{ min} = 9:00$.
Potom odečteme zbývajících 23 minut ($43 - 20 = 23$): $9:00 - 23 \text{ min} = 8:37$.
Budík zazvonil v 8:37.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 7.1

Na tribuně je 840 sportovních diváků. Dospělých je mezi nimi o 420 více než dětí.

Vypočtěte, kolik dospělých bylo mezi sportovními diváky.

Zobrazit odpověď

630

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Víme, že celkem je na tribuně 840 diváků. Diváci se dělí na dospělé a děti. Dospělých je o 420 více než dětí. To znamená, že kdybychom od celkového počtu odečetli tento rozdíl (420), zbylý počet diváků by se rozdělil rovnoměrně mezi dospělé a děti.

Výpočet počtu dětí

Nejdříve odečteme rozdíl od celkového počtu:
840 − 420 = 420
Tento zbytek nyní rozdělíme na dvě stejné části (jedna část pro děti, druhá pro dospělé):
420 : 2 = 210
Zjistili jsme, že dětí je 210.

Výpočet počtu dospělých

Dospělých je o 420 více než dětí. K počtu dětí tedy přičteme tento rozdíl:
210 + 420 = 630

Zkouška

Ověříme, zda součet dospělých a dětí odpovídá celkovému počtu diváků:
630 + 210 = 840
Výpočet je správný.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.2

Na tribuně je 840 sportovních diváků. Dospělých je mezi nimi o 420 více než dětí.

Určete v základním tvaru poměr:

počet lidí : počet dospělých

Zobrazit odpověď

1:3

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet počtu dětí a dospělých

Celkem je na tribuně 840 diváků. Dospělých je o 420 více než dětí. Pokud od celkového počtu 840 odečteme tento rozdíl 420, zbude nám $840 - 420 = 420$ diváků, které si děti a dospělí rozdělí rovným dílem.
Počet dětí je tedy $420 : 2 = 210$.
Počet dospělých je o 420 vyšší než počet dětí: $210 + 420 = 630$.
(Kontrola: $210 + 630 = 840$)

Sestavení poměru

Máme určit poměr počtu dětí k počtu dospělých. Dosadíme vypočítané hodnoty:
$210 : 630$

Krácení na základní tvar

Poměr $210 : 630$ nejprve vykrátíme 10, čímž získáme $21 : 63$.
Obě čísla jsou dělitelná 21 ($63 = 3 \cdot 21$). Po vydělení 21 dostaneme výsledný poměr v základním tvaru:
$1 : 3$

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8

Čtverečkovaný papír tvaru obdélníku je potištěn čarami, které rozdělují plochu na malé čtverečky se stranou délky 0,4 cm. Rozměry papíru jsou 48 cm a 32 cm.

Určete počet všech malých čtverečků na čtverečkovaném papíře.

Zobrazit odpověď

9600

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor rozměrů

Papír má tvar obdélníku s rozměry 48 cm a 32 cm. Celá plocha je rozdělena na malé čtverečky o straně 0,4 cm. Abychom zjistili celkový počet čtverečků, musíme nejprve vypočítat, kolik se jich vejde na šířku a kolik na výšku papíru.

Počet čtverečků na šířku a výšku

Počet čtverečků podél delší strany (48 cm) vypočítáme tak, že délku strany vydělíme délkou strany jednoho čtverečku:
$48 : 0,4 = 480 : 4 = 120$ čtverečků.

Počet čtverečků podél kratší strany (32 cm) vypočítáme obdobně:
$32 : 0,4 = 320 : 4 = 80$ čtverečků.

Celkový počet čtverečků

Celkový počet čtverečků na papíře vypočítáme vynásobením počtu čtverečků v řadě a ve sloupci:
$120 \cdot 80 = 9\,600$

Na čtverečkovaném papíře je celkem 9 600 malých čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 9

Čtverečkovaný papír tvaru obdélníku je potištěn čarami, které rozdělují plochu na malé čtverečky se stranou délky 0,4 cm. Rozměry papíru jsou 48 cm a 32 cm.

Obtažením některých čar je možné celou plochu čtverečkovaného papíru rozdělit na větší shodné čtverce.

Určete nejmenší počet shodných čtverců pokrývajících celou plochu papíru.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Papír má rozměry 48 cm a 32 cm. Je rozdělen na malé čtverečky o straně 0,4 cm. Větší čtverce, které budeme tvořit, musí mít stranu, která je násobkem 0,4 cm a zároveň dělí oba rozměry papíru (48 cm i 32 cm).

Převod na počty čtverečků

Nejdříve zjistíme, kolik malých čtverečků se vejde na délku a na šířku papíru:
Na délku: $48 : 0,4 = 120$ čtverečků
Na šířku: $32 : 0,4 = 80$ čtverečků

Hledání největšího čtverce

Chceme-li nejmenší počet shodných čtverců, musí být tyto čtverce co největší. Hledáme tedy největšího společného dělitele (NSD) čísel 120 a 80.
Rozklad na součin prvočísel:
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$
NSD(120, 80) = $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 40$
Strana velkého čtverce tedy bude tvořena 40 malými čtverečky.

Výpočet počtu čtverců

Na délku papíru (120 čtverečků) se vejdou $120 : 40 = 3$ velké čtverce.
Na šířku papíru (80 čtverečků) se vejdou $80 : 40 = 2$ velké čtverce.
Celkový počet velkých čtverců je:
$3 \cdot 2 = 6$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10.1

V rovině je dán trojúhelník RST. Vrcholy R, S leží na přímce o.

Sestrojte bod P, který je obrazem bodu R ve středové souměrnosti se středem S.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 10.2

V rovině je dán trojúhelník RST. Vrcholy R, S leží na přímce o.

Sestrojte bod O, který je obrazem bodu T v osové souměrnosti s osou o.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 10.3

V rovině je dán trojúhelník RST. Vrcholy R, S leží na přímce o.

Sestrojte chybějící vrchol Q rovnoběžníku OPQR a rovnoběžník narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 11.1

Rozhodněte o následujícím výpočtu, zda je proveden správně (A), či nikoli (N).

3 kg $\displaystyle -$ 20 g $\displaystyle =$ 280 g

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Abychom mohli příklad vypočítat, musíme mít obě hodnoty ve stejných jednotkách. Nejdříve si tedy převedeme kilogramy na gramy. Víme, že $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$, takže $3\text{ kg} = 3000\text{ g}$.

Odečítání

Nyní od převedených $3000\text{ g}$ odečteme $20\text{ g}$:

$3000 - 20 = 2980\text{ g}$

Porovnání s výsledkem

Vypočítali jsme, že správný výsledek je $2980\text{ g}$. V zadání je však uveden výsledek $280\text{ g}$, což je jiná hodnota.

Závěr

Výpočet je proveden nesprávně, správná odpověď je tedy N.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 11.2

Rozhodněte o následujícím výpočtu, zda je proveden správně (A), či nikoli (N).

5 km $\displaystyle -$ 72 m $\displaystyle =$ 4 928 m

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Abychom mohli správně odčítat, musíme mít obě hodnoty ve stejných jednotkách. Nejdříve si převedeme kilometry na metry. Víme, že 1 km = 1000 m, tedy:
5 km = 5000 m

Výpočet rozdílu

Nyní od 5000 metrů odečteme 72 metrů. Výpočet můžeme provést i písemně pod sebou:
5000 − 72 = 4928

Závěr

Vypočítali jsme, že výsledek je 4928 m. To přesně odpovídá hodnotě uvedené v zadání. Výpočet je tedy proveden správně.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 11.3

Rozhodněte o následujícím výpočtu, zda je proveden správně (A), či nikoli (N).

14 m² $\displaystyle +$ 3,2 dm² + 5 cm² $\displaystyle =$ 140 325 cm²

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod metrů čtverečních

Nejdříve si převedeme metry čtvereční na centimetry čtvereční. Víme, že $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2$ a $1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2$, tedy $1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$.

$14\text{ m}^2 = 14 \cdot 10\,000\text{ cm}^2 = 140\,000\text{ cm}^2$

Převod decimetrů čtverečních

Dále si převedeme decimetry čtvereční na centimetry čtvereční.

$3,2\text{ dm}^2 = 3,2 \cdot 100\text{ cm}^2 = 320\text{ cm}^2$

Součet a porovnání

Nyní všechny hodnoty v centimetrech čtverečních sečteme:

$140\,000 + 320 + 5 = 140\,325\text{ cm}^2$

Výsledek odpovídá hodnotě uvedené v zadání.

Závěr

Výpočet je proveden správně, správná odpověď je tedy A.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.1

Čtverec ABCD je dvěma úsečkami rozdělen na čtyři části: čtverec s obvodem 8 cm, čtverec s obvodem 24 cm a dva tmavé obdélníky.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Oba tmavé obdélníky jsou shodné.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strany malých čtverců

Ze zadání víme, že velký čtverec je rozdělen na dva menší čtverce a dva tmavé obdélníky. Nejdříve určíme délky stran obou malých čtverců z jejich obvodů:

Čtverec s obvodem 8 cm má stranu délky $8 : 4 = 2\text{ cm}$.
Čtverec s obvodem 24 cm má stranu délky $24 : 4 = 6\text{ cm}$.

Rozměry tmavých obdélníků

Podle obrázku určíme rozměry tmavých obdélníků:

Levý horní obdélník má stejnou šířku jako čtverec pod ním (6 cm) a stejnou výšku jako čtverec vedle něj (2 cm). Jeho rozměry jsou tedy $6\text{ cm} \times 2\text{ cm}$.
Pravý dolní obdélník má stejnou šířku jako čtverec nad ním (2 cm) a stejnou výšku jako čtverec vedle něj (6 cm). Jeho rozměry jsou tedy $2\text{ cm} \times 6\text{ cm}$.

Závěr

Oba tmavé obdélníky mají stejné délky stran (2 cm a 6 cm). Jsou tedy shodné, liší se pouze svým otočením. Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.2

Čtverec ABCD je dvěma úsečkami rozdělen na čtyři části: čtverec s obvodem 8 cm, čtverec s obvodem 24 cm a dva tmavé obdélníky.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod čtverce ABCD je 36 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza obrázku

Velký čtverec $ABCD$ je rozdělen jednou vodorovnou a jednou svislou čarou na čtyři části. Podle zadání jsou dvě z těchto částí čtverce (vlevo dole a vpravo nahoře) a zbývající dvě jsou tmavé obdélníky.

Výpočet stran malých čtverců

Známe obvody obou malých čtverců, ze kterých můžeme vypočítat délky jejich stran:

První čtverec má obvod $8\text{ cm}$, jeho strana je tedy $8 : 4 = 2\text{ cm}$.
Druhý čtverec má obvod $24\text{ cm}$, jeho strana je tedy $24 : 4 = 6\text{ cm}$.

Určení strany čtverce ABCD

Strana velkého čtverce $ABCD$ je tvořena součtem stran obou menších čtverců. Délka strany čtverce $ABCD$ je tedy $2 + 6 = 8\text{ cm}$.

Výpočet obvodu čtverce ABCD

Obvod čtverce vypočítáme jako čtyřnásobek délky jeho strany: $o = 4 \cdot 8 = 32\text{ cm}$.

Závěr

Vypočítali jsme, že obvod čtverce $ABCD$ je $32\text{ cm}$. Tvrzení v zadání uvádí hodnotu $36\text{ cm}$, což neodpovídá našemu výsledku. Tvrzení je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.3

Čtverec ABCD je dvěma úsečkami rozdělen na čtyři části: čtverec s obvodem 8 cm, čtverec s obvodem 24 cm a dva tmavé obdélníky.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah plochy tvořené oběma bílými čtverci je 40 cm².

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strany bílých čtverců

Ze zadání víme obvody obou bílých čtverců. Nejdříve vypočítáme délku strany každého z nich vydělením obvodu čtyřmi:

První čtverec: $a_1 = 8 : 4 = 2\text{ cm}$
Druhý čtverec: $a_2 = 24 : 4 = 6\text{ cm}$

Obsahy bílých čtverců

Nyní vypočítáme obsahy obou čtverců pomocí vzorce $S = a \cdot a$:

Obsah prvního čtverce: $S_1 = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}^2$
Obsah druhého čtverce: $S_2 = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2$

Celkový obsah a závěr

Sečtením obsahů obou bílých čtverců získáme celkovou plochu:
$S = 4 + 36 = 40\text{ cm}^2$
Vypočítaný obsah odpovídá hodnotě v tvrzení, proto je tvrzení pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13

Obrazec, který představuje síť krychle, má obvod 28 cm.

Jaký je objem krychle?

A) méně než 9 cm³
D) 27 cm³
B) 9 cm³
E) více než 27 cm³
C) 16 cm³

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza sítě krychle

Síť krychle se skládá ze 6 shodných čtverců. Pro určení délky hrany krychle musíme zjistit, kolik vnějších stran těchto čtverců tvoří obvod celé sítě. Při pohledu na rozloženou síť (křížový tvar) spočítáme vnější úsečky: horizontální řada čtyř čtverců má nahoře a dole dohromady 8 stran, plus dvě boční strany (celkem 10). Připojené čtverce nahoře a dole přidávají další strany, ale zároveň zakrývají části stran původní řady. U standardní sítě krychle tvoří obvod přesně 14 stran čtverců.

Výpočet délky hrany

Víme, že celkový obvod sítě je 28 cm. Protože obvod tvoří 14 stejných hran čtverců, délku jedné hrany ($a$) vypočítáme jako: $a = 28 : 14 = 2 \text{ cm}$

Výpočet objemu krychle

Objem krychle ($V$) se vypočítá jako součin délek jejích tří hran ($V = a \cdot a \cdot a$): $V = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \text{ cm}^3$

Závěr a výběr odpovědi

Vypočítaný objem krychle je $8 \text{ cm}^3$. Tato hodnota odpovídá možnosti A, protože 8 je méně než 9.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14

Jakou velikost má úhel β ?

A) 32°
D) 48°
B) 36°
E) jinou velikost
C) 42°

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Na obrázku vidíme dvě vodorovné rovnoběžné přímky a mezi nimi trojúhelník. Horní vrchol trojúhelníku leží přímo na horní přímce. U tohoto vrcholu jsou vyznačeny dva úhly:

vnější úhel vlevo o velikosti $64^\circ$,
vnitřní úhel trojúhelníku o velikosti $68^\circ$.

Výpočet doplňkového úhlu

Horní přímka tvoří v místě vrcholu trojúhelníku přímý úhel, jehož velikost je celkem $180^\circ$. Můžeme tedy dopočítat velikost úhlu vpravo od vnitřního úhlu (tedy úhel mezi horní přímkou a pravou stranou trojúhelníku):

$180^\circ - 64^\circ - 68^\circ = 48^\circ$

Využití vlastností rovnoběžek

Protože jsou obě vodorovné přímky rovnoběžné, platí, že střídavé úhly mají stejnou velikost. Úhel $\beta$ u dolní přímky je střídavý k úhlu, který jsme právě vypočítali u horní přímky ($48^\circ$).

Proto platí:

$\beta = 48^\circ$

Závěr

Velikost úhlu $\beta$ je $48^\circ$. Tato hodnota odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15

V grafu jsou znázorněny počty dětí ve všech 7. třídách školy kromě počtu dívek v 7. C.Počet dětí v 7. C je aritmetickým průměrem počtu dětí v 7. A a 7. B.

Kolik dívek je ve třídě 7. C?

A) méně než 12
D) 14
B) 12
E) více než 14
C) 13

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu dětí v 7. A a 7. B

Z grafu vyčteme počty chlapců a dívek v obou třídách a sečteme je:

7. A: 12 chlapců + 14 dívek = 26 dětí
7. B: 18 chlapců + 12 dívek = 30 dětí

Výpočet počtu dětí v 7. C

V zadání se píše, že počet dětí v 7. C je aritmetickým průměrem počtu dětí v 7. A a 7. B. Průměr vypočítáme tak, že oba počty sečteme a výsledek vydělíme dvěma:
$(26 + 30) : 2 = 56 : 2 = $ 28 dětí

Výpočet počtu dívek v 7. C

Z grafu vidíme, že v 7. C je 16 chlapců. Počet dívek zjistíme tak, že od celkového počtu dětí v této třídě odečteme počet chlapců:
$28 - 16 = $ 12 dívek

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.1

Které číslo získáme zvětšením čísla 400 o 20 %?

A) 400
D) 480
B) 432
E) 500
C) 450
F) žádné z uvedených

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet 20 % z čísla 400

Nejdříve musíme zjistit, kolik je 20 % ze základu, kterým je číslo 400. Můžeme si to představit tak, že 100 % je 400. Jedno procento (1 %) vypočítáme tak, že základ vydělíme stem: $400 : 100 = 4$. Protože chceme 20 %, vynásobíme tuto hodnotu dvaceti: $20 \cdot 4 = 80$.

Zvětšení původního čísla

V zadání se píše, že máme číslo 400 zvětšit o 20 %. K původnímu číslu tedy přičteme vypočítanou část: $400 + 80 = 480$.

Závěr

Hledané číslo je 480. Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.2

Které číslo se po odečtení čísla 100 zmenší o 20 %?

A) 400
D) 480
B) 432
E) 500
C) 450
F) žádné z uvedených

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Zadání říká, že odečtením čísla 100 se původní číslo zmenší o 20 %. To znamená, že číslo 100 odpovídá přesně 20 % z hledaného celku.

Výpočet celku

Když víme, kolik je 20 %, můžeme vypočítat základ (100 %):
20 % ... 100
1 % ... $100 : 20 = 5$
100 % ... $100 \cdot 5 = 500$

Alternativně můžeme uvážit, že 20 % je jedna pětina celku. Pokud jedna pětina je 100, pak celý celek je $5 \cdot 100 = 500$.

Ověření

Zkusíme, zda výsledek sedí: Pokud od 500 odečteme 100, dostaneme 400. Rozdíl 100 je skutečně pětina (tedy 20 %) z původních 500.

Závěr

Hledané číslo je 500. V nabízených možnostech mu odpovídá varianta E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.3

Které číslo je třeba zvětšit o 20 %, aby vzniklo číslo 540?

A) 400
D) 480
B) 432
E) 500
C) 450
F) žádné z uvedených

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Hledáme původní číslo, které představuje základ, tedy 100 %. Víme, že toto číslo zvětšíme o 20 %. Výsledné číslo 540 tedy odpovídá $100\ % + 20\ % = 120\ %$ původního čísla.

Výpočet 1 %

Pokud $120\ %$ je $540$, můžeme vypočítat hodnotu jednoho procenta tak, že číslo $540$ vydělíme $120$: $540 : 120 = 54 : 12 = 4{,}5$ Jedno procento hledaného čísla je tedy $4{,}5$.

Určení původního čísla (100 %)

Původní číslo (základ) je $100\ %$. Vynásobíme tedy hodnotu jednoho procenta stem: $100 \cdot 4{,}5 = 450$

Hledané číslo je $450$.

Závěr a kontrola

Pro kontrolu můžeme ověřit: $20\ %$ ze $450$ je $90$ (pětina ze $450$). $450 + 90 = 540$, což odpovídá zadání. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 17.1

Na cestě od startu S do cíle C kolem vodní plochy je možné postupovat pouze po čarách čtvercové sítě. Na plánku je vyznačena jedna cesta z S do C kolem vodní plochy, ale existují i kratší cesty.

Zakreslete jednu cestu, která vede kolem vodní plochy z S do C a má nejkratší možnou délku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor situace

Naším úkolem je najít nejkratší cestu z bodu $S$ do bodu $C$ v mřížce tak, aby neprocházela šedou plochou (jezerem). Bod $S$ se nachází v levém dolním rohu $(0,0)$ a bod $C$ je o 5 polí doprava a 5 polí nahoru $(5,5)$. Bez překážek by nejkratší cesta měla délku 10 jednotek ($5$ doprava + $5$ nahoru).

Hledání nejkratší cesty

Jelikož jezero blokuje přímé cesty, musíme ho obejít. Nejkratší možná cesta kolem tohoto jezera má délku 12 jednotek. Každá cesta, která obsahuje pouze kroky doprava a nahoru, má délku 10. Pokud musíme udělat jeden krok 'zpět' (např. dolů nebo doleva), abychom se vyhnuli překážce, délka cesty se zvětší o 2 jednotky (jedna za krok zpět a jedna za krok, kterým se musíme vrátit na původní úroveň).

Příklad řešení

Jedna z možných nejkratších cest vede po horním okraji sítě:

Z bodu $S$ půjdeme 6 polí nahoru až na úplný horní okraj sítě.
Poté půjdeme 5 polí doprava podél tohoto horního okraje.
Nakonec se vrátíme 1 pole dolů přímo do cílového bodu $C$.

Celková délka této cesty je $6 + 5 + 1 = 12$ jednotek. Tato cesta je kratší než ta, která byla původně vyznačena na plánku, protože se vyhýbá zbytečnému kličkování.

Závěr

Správným řešením je jakákoliv cesta, která vede po mřížových čarách, neprochází šedou plochou a má celkovou délku 12 jednotek. Příkladem je cesta popsaná v předchozím kroku.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 17.2

Pokud existuje větší počet různých cest kolem vodní plochy z S do C s nejkratší možnou délkou, další dvě z těchto cest zakreslete.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Bod startu S se nachází v levém dolním rohu a cíl C je od něj vzdálen 5 jednotek vpravo a 5 jednotek nahoru. Vyznačená cesta v zadání má délku 12 dílků (mřížkových úseků). Protože se cíl nachází v relativní pozici [+5, +5], nejkratší možná cesta by měla mít pouze $5 + 5 = 10$ dílků, pokud se budeme pohybovat pouze směrem doprava a nahoru.

Hledání nejkratších cest

Aby byla cesta co nejkratší (10 dílků), nesmíme se v žádném bodě vracet (tedy jít doleva nebo dolů). Musíme najít takové trasy, které vedou pouze vpravo a nahoru a přitom neprocházejí šedě vyznačenou vodní plochou. Po hranici této plochy se však pohybovat můžeme.

První řešení

Jedna z nejkratších cest vede po vnějším okraji sítě: ze startu S půjdeme 5 dílků doprava po spodní hraně a poté 5 dílků nahoru po pravé hraně přímo do cíle C. Tato cesta má délku 10 dílků a šedému útvaru se zcela vyhne.

Druhé řešení

Další nejkratší cesta vede symetricky po levém a horním okraji: ze startu S půjdeme nejprve 5 dílků nahoru a poté 5 dílků doprava přímo do cíle C. I tato cesta měří 10 dílků.

Závěr

Existuje celkem 8 různých nejkratších cest o délce 10 dílků. Pro splnění úkolu stačí do připravených polí v záznamovém archu zakreslit libovolné dvě z nich (jiné než je ta v zadání).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 17.3

Určete počet všech různých cest z S do C kolem vodní plochy, které mají nejkratší možnou délku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza plánku a určení délky cesty

Bod S (start) se nachází v levém dolním rohu mřížky a bod C (cíl) je o 5 polí doprava a 5 polí nahoru. Přímá cesta (nejkratší možná bez překážek) by měla délku 10 jednotek (5 vpravo + 5 nahoru). Vodní plocha však blokuje všechny přímé cesty o délce 10 jednotek, a proto musíme volit delší trasu. Podle rozboru možných cest kolem vodní plochy je nejkratší možná délka cesty 12 jednotek (tedy o 2 jednotky více než přímá vzdušná vzdálenost po mříži).

Hledání nejkratších cest

Všechny nejkratší cesty o délce 12 jednotek musí obsahovat jeden „obchvat“ (detour), kdy se musíme od cíle vzdálit a následně se k němu vrátit (např. jít o jedno pole výše na horní okraj mřížky a pak se vrátit o jedno pole dolů do cíle). Vzhledem k tomu, že vodní plocha (šedý útvar) blokuje většinu pravé a spodní části mřížky, vedou tyto cesty především podél levého a horního okraje.

Systematické určení počtu cest

Při systematickém vyhledávání všech variant cest, které se vyhýbají vodní ploše a mají délku právě 12 jednotek, najdeme celkem 8 různých možností. Tyto cesty se liší v tom, ve kterém bodě odbočují z levého svislého okraje směrem doprava a jakým způsobem se napojují na horní vodorovnou hranu mřížky, po které musí dojít nad úroveň cíle a následně k němu klesnout.

Závěr

Celkový počet všech různých nejkratších cest z bodu S do bodu C kolem vodní plochy je 8.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body