Geometrie v rovině

132 úloh

Doporučení: začněte cvičnými úlohami

S výběrem „Typ úloh: vše“ jsou smíchané úlohy z testů i úlohy k procvičení. Pro první průchod doporučujeme přepnout na cvičné úlohy a testové si nechat na celé cvičné testy nanečisto.

Roky testů:

2015

2025

Roky testů:

2015

2025

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úsečkami na dva bílé čtverce a dva stejné tmavé trojúhelníky.
Délka strany malého čtverce je o čtvrtinu menší než délka strany velkého čtverce.
Obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Zobrazit odpověď

9 cm

2 body

Vypočtěte v cm obvod velkého čtverce.

Zobrazit odpověď

48 cm

1 bod

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Zobrazit odpověď

2 krát

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Obvody obou čtverců se liší o 12 cm. Protože obvod čtverce tvoří čtyři stejné strany, liší se délky stran těchto čtverců o 3 cm ($12 : 4 = 3$).

Víme, že strana malého čtverce je o čtvrtinu menší než strana velkého čtverce. Tento rozdíl (jedna čtvrtina) tedy odpovídá 3 cm.

Strana velkého čtverce: $4 \cdot 3 = 12$ cm Strana malého čtverce: $12 - 3 = 9$ cm

Krok 2: Určení stran trojúhelníků

Obvod malého čtverce je $4 \cdot 9 = 36$ cm. Podle zadání je obvod jednoho tmavého trojúhelníku také 36 cm.

Tmavé trojúhelníky jsou v obrazci umístěny tak, že jejich dvě kratší strany (odvěsny) sousedí se stranami čtverců. Každý trojúhelník má tedy odvěsny o délkách 12 cm a 9 cm.

Délka třetí strany (přepony) trojúhelníku: $36 - (12 + 9) = 36 - 21 = 15$ cm

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod celého šestiúhelníku se skládá z vnějších stran obou čtverců a obou trojúhelníků:

dvě strany malého čtverce: $2 \cdot 9 = 18$ cm
dvě strany velkého čtverce: $2 \cdot 12 = 24$ cm
dvě nejdelší strany trojúhelníků: $2 \cdot 15 = 30$ cm

Celkový obvod šestiúhelníku: $18 + 24 + 30 = 72$ cm

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní zjistíme, kolikrát je obvod šestiúhelníku (72 cm) větší než obvod malého čtverce (36 cm): $72 : 36 = 2$

Obvod šestiúhelníku je 2krát větší.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Šestiúhelník tvaru domečku má obvod 24 cm.
Domeček lze rozdělit na dva čtyřúhelníky – střechu a přízemí.
Oba tyto čtyřúhelníky mají stejný obvod.
Střecha je složena ze tří rovnostranných trojúhelníků, přízemí má tvar obdélníku.

Vypočtěte v cm obvod čtyřúhelníku představujícího střechu.

Zobrazit odpověď

20 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Střecha se skládá ze tří stejných rovnostranných trojúhelníků. Označme délku strany jednoho trojúhelníku jako 1 dílek. Obvod střechy (čtyřúhelníku) tvoří horní strana (1 dílek), dvě šikmé strany (2 dílky) a spodní strana, která nasedá na přízemí (2 dílky). Celkem má tedy obvod střechy 5 dílků.

Přízemí je obdélník. Jeho horní a spodní strana mají délku 2 dílky (protože nasedají na dvě strany trojúhelníků). Boční stěny přízemí označíme jako výšku.

Porovnání obvodů

Víme, že střecha i přízemí mají stejný obvod.

Obvod střechy = 5 dílků
Obvod přízemí = 2 dílky (horní) + 2 dílky (spodní) + 2 $\times$ výška = 4 dílky + 2 $\times$ výška

Aby se obvody rovnaly, musí platit: 5 dílků = 4 dílky + 2 $\times$ výška. Z toho vyplývá, že 1 dílek = 2 $\times$ výška. Tedy výška přízemí odpovídá polovině strany trojúhelníku.

Výpočet ze zadaného obvodu domečku

Obvod celého domečku (vnější okraj) tvoří:

Střecha: 3 strany trojúhelníků (horní a dvě šikmé) = 3 dílky
Přízemí: spodní strana (2 dílky) a dvě boční výšky

Celkem je to tedy 5 dílků + 2 $\times$ výška. Protože víme, že 2 $\times$ výška = 1 dílek, je obvod domečku celkem 6 dílků.

6 dílků = 24 cm
1 dílek = 24 : 6 = 4 cm

Výpočet obvodu střechy

Obvod střechy tvoří 5 dílků (stran trojúhelníků).

5 $\times$ 4 cm = 20 cm

Obvod čtyřúhelníku představujícího střechu je 20 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Šestiúhelník tvaru domečku má obvod 24 cm.
Domeček lze rozdělit na dva čtyřúhelníky – střechu a přízemí.
Oba tyto čtyřúhelníky mají stejný obvod.
Střecha je složena ze tří rovnostranných trojúhelníků, přízemí má tvar obdélníku.

Vypočtěte v cm délku kratší strany obdélníku představujícího přízemí.

Zobrazit odpověď

2 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor střechy a přízemí

Střecha se skládá ze tří rovnostranných trojúhelníků. Označíme-li délku strany takového trojúhelníku jako a, pak střecha (ve tvaru lichoběžníku) má horní stranu a, dvě šikmé boční strany a a spodní stranu (která tvoří hranici s přízemím) o délce 2a.
Obvod střechy je tedy: $a + a + a + 2a = 5a$.

Přízemí má tvar obdélníku. Jeho horní strana (společná se střechou) má délku 2a, stejně tak i jeho dolní strana. Boční strany obdélníku označíme jako b.
Obvod přízemí je: $2a + b + 2a + b = 4a + 2b$.

Vztah mezi stranami a a b

V zadání je uvedeno, že oba čtyřúhelníky (střecha i přízemí) mají stejný obvod. Můžeme tedy sestavit rovnici:
$5a = 4a + 2b$
Po odečtení $4a$ od obou stran dostaneme:
a = 2b
To znamená, že strana trojúhelníku je dvakrát delší než kratší strana obdélníku.

Výpočet z obvodu celého domečku

Obvod celého domečku (vnější šestiúhelník) tvoří spodní strana obdélníku (2a), dvě boční strany obdélníku (2b), dvě šikmé strany střechy (2a) a horní strana střechy (a).
Celkový obvod je: $2a + 2b + 2a + a = 5a + 2b$.

Víme, že tento obvod je 24 cm. Dosadíme za a námi zjištěný vztah a = 2b:
$5 \cdot (2b) + 2b = 24$
$10b + 2b = 24$
$12b = 24$
b = 2 cm

Závěr

Délka kratší strany obdélníku představujícího přízemí je 2 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Ve čtvercové síti jsou zakresleny trojúhelníky ABC, KLM a čtverec DEFG.
Vrcholy všech těchto obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

O kolik cm se liší obvod trojúhelníku ABC a obvod čtverce DEFG?

A) o méně než 2 cm
D) o 4 cm
B) o 2 cm
E) o jinou délku
C) o 3 cm

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obvod čtverce DEFG

Strana čtverce $DEFG$ je úhlopříčkou malého obdélníku o stranách 1 cm a 2 cm. Její délka je tedy o něco více než 2 cm (přesně je to $\sqrt{5} \doteq 2,24$ cm). Celý obvod čtverce tvoří čtyři takové strany, takže je to přibližně $4 \times 2,24 = 8,96$ cm.

Obvod trojúhelníku ABC

Strana $AB$ leží na lince sítě a měří přesně 4 cm. Strany $AC$ a $BC$ jsou úhlopříčkami obdélníku o stranách 2 cm a 5 cm. Každá z nich je tedy o něco delší než 5 cm (přesně je to $\sqrt{29} \doteq 5,39$ cm). Obvod trojúhelníku je tedy $4 + 5,39 + 5,39 = 14,78$ cm.

Rozdíl obvodů

Nyní porovnáme oba obvody: $14,78 - 8,96 = 5,82$ cm. Vidíme, že rozdíl je přibližně 5,8 cm. Protože výsledkem není 2 cm, 3 cm ani 4 cm, správná odpověď je jiná délka.

Závěr

Obvody se liší o jinou délku než 2, 3 nebo 4 cm. Správná je tedy možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

O kolik cm² se liší obsah trojúhelníku ABC a obsah trojúhelníku KLM?

A) o 1 cm²
D) o 4 cm²
B) o 2 cm²
E) o jiný obsah
C) o 3 cm²

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah trojúhelníku ABC

Trojúhelník ABC má základnu AB o délce 4 cm (leží na vodorovné lince mřížky). Vrchol C leží 5 cm nad touto základnou, což odpovídá výšce trojúhelníku.
Obsah vypočítáme pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku:
$S = \frac{a \cdot v_a}{2}$
$S_{ABC} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \mathbf{10\text{ cm}^2}$

Obsah trojúhelníku KLM

Trojúhelník KLM nemá žádnou stranu vodorovnou ani svislou, proto jeho obsah určíme pomocí opsaného obdélníku. Vrchol L je o 3 cm vpravo a 1 cm níže než K. Vrchol M je o 1 cm vpravo a 4 cm výše než K.
Opsaný obdélník má šířku 3 cm a výšku 5 cm (od úrovně bodu L po úroveň bodu M). Jeho obsah je $3 \cdot 5 = 15\text{ cm}^2$.
Od tohoto obsahu odečteme tři pravoúhlé trojúhelníky v rozích obdélníku:
1. trojúhelník (u vrcholů K a L): $\frac{3 \cdot 1}{2} = 1,5\text{ cm}^2$
2. trojúhelník (u vrcholů L a M): $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5\text{ cm}^2$
3. trojúhelník (u vrcholů M a K): $\frac{1 \cdot 4}{2} = 2\text{ cm}^2$
Celkem odečteme: $1,5 + 5 + 2 = 8,5\text{ cm}^2$.
$S_{KLM} = 15 - 8,5 = \mathbf{6,5\text{ cm}^2}$

Výpočet rozdílu

Nyní zjistíme, o kolik se oba obsahy liší, odečtením menšího od většího:
$10 - 6,5 = \mathbf{3,5\text{ cm}^2}$

Závěr

Rozdíl obsahů je 3,5 cm². Protože tento výsledek neodpovídá žádné z hodnot v možnostech A–D (1, 2, 3 nebo 4 cm²), je správnou odpovědí možnost E (o jiný obsah).

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Na obrázku jsou obrazce A, B.
Obrazec A je obdélník složený ze 4 stejných bílých obdélníčků a 4 stejných šedých čtverečků. Obvod bílé části obrazce A je o 32 cm větší než obvod šedé části.
Obrazec B je osmiúhelník, který vznikl přeskládáním jednotlivých dílů obrazce A.

Určete kolik cm měří obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

56 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obrazec A je obdélník o rozměrech 3 × 4 malé čtvercové jednotky. Celkem se tedy skládá z $3 \times 4 = 12$ těchto jednotek. Víme, že v obdélníku jsou 4 šedé čtverečky (každý o ploše 1 jednotka) a 4 stejné bílé obdélníčky. Na bílou část zbývá $12 - 4 = 8$ jednotek plochy. Protože jsou bílé obdélníčky 4 a jsou stejné, každý musí mít plochu 2 jednotky (má tedy rozměr $1 \times 2$ nebo $2 \times 1$ jednotky).

Určení obvodů v jednotkách

Spočítáme obvody šedé a bílé části v jednotkách (jako počet stran malých čtverečků):

Šedá část: 4 čtverečky jsou spojené do jednoho útvaru. Když spočítáme všechny vnější strany tohoto útvaru, zjistíme, že jeho obvod je 10 jednotek.
Bílá část: Bílou plochu tvoří zbytek obdélníku A. Její obvod (hranice bílé části) se skládá z vnějších stran obdélníku A a z hranic s šedou částí. Celkem naměříme 18 jednotek.

Výpočet délky jedné jednotky

Rozdíl obvodů v jednotkách je $18 - 10 = 8$ jednotek. Ze zadání víme, že tento rozdíl je ve skutečnosti 32 cm.
Jedna jednotka (strana malého čtverečku) tedy měří:

$32 : 8 = 4\text{ cm}$

Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A má strany dlouhé 3 a 4 jednotky. Obvod v jednotkách je: $2 \times (3 + 4) = 14$ jednotek.
Protože jedna jednotka měří 4 cm, celkový obvod je:

$14 \times 4 = 56\text{ cm}$

Obvod obrazce A je 56 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Určete o kolik cm se liší obvody obrazců A, B.

Zobrazit odpověď

o 8 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrazce A a určení strany čtverečku

Obrazec A je obdélník složený z 12 stejných polí (4 šedé čtverečky a 8 bílých čtverečků).
1. Šedá část: Skládá se ze 4 čtverečků. Z popisu a nákresu vidíme, že tyto čtverečky sdílejí 3 vnitřní strany. Obvod šedé části tedy tvoří 10 stran čtverečku ($4 \times 4 - 2 \times 3 = 10$).
2. Bílá část: Skládá se z 8 čtverečků. Její obvod tvoří vnější hranice (11 stran) a vnitřní hranice s šedou částí (7 stran). Celkem má bílá část obvod 18 stran.
3. Výpočet: Rozdíl v obvodech je $18 - 10 = 8$ stran. Víme, že tento rozdíl je 32 cm. Jedna strana čtverečku tedy měří $32 : 8 = 4$ cm.

Krok 2: Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A je obdélník o rozměrech $3 \times 4$ čtverečky.
• Obvod v počtu stran: $2 \times (3 + 4) = 14$ stran.
• Obvod v centimetrech: $14 \times 4 = 56$ cm.

Krok 3: Výpočet obvodu obrazce B

Obrazec B je osmiúhelník vzniklý přeskládáním dílů. Spočítáme počet jeho vnějších stran podle popisu sloupců:
• Levá strana: 3 strany.
• Dolní strana: 5 stran.
• Horní a pravá strana (stupňovitá): Horní hrany mají $3 + 1 + 1 = 5$ stran, pravé hrany mají $1 + 1 + 1 = 3$ strany. Celkem 8 stran.
Celkový obvod obrazce B je $3 + 5 + 8 = 16$ stran. V centimetrech: $16 \times 4 = 64$ cm.

Krok 4: Určení rozdílu obvodů

Nyní vypočítáme, o kolik se obvody liší:
$64 \text{ cm} - 56 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$.

Obvody obrazců se liší o 8 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Zobrazit odpověď

6 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:

Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:

$AK + BK = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod