Geometrie v rovině

132 úloh

Doporučení: začněte cvičnými úlohami

S výběrem „Typ úloh: vše“ jsou smíchané úlohy z testů i úlohy k procvičení. Pro první průchod doporučujeme přepnout na cvičné úlohy a testové si nechat na celé cvičné testy nanečisto.

Roky testů:

2015

2025

Roky testů:

2015

2025

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úsečkami na dva bílé čtverce a dva stejné tmavé trojúhelníky.
Délka strany malého čtverce je o čtvrtinu menší než délka strany velkého čtverce.
Obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

9 cm

Stav úlohy

2 body

Vypočtěte v cm obvod velkého čtverce.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

48 cm

Stav úlohy

1 bod

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

2 krát

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Obvody obou čtverců se liší o 12 cm. Protože obvod čtverce tvoří čtyři stejné strany, liší se délky stran těchto čtverců o 3 cm ($12 : 4 = 3$).

Víme, že strana malého čtverce je o čtvrtinu menší než strana velkého čtverce. Tento rozdíl (jedna čtvrtina) tedy odpovídá 3 cm.

Strana velkého čtverce: $4 \cdot 3 = 12$ cm Strana malého čtverce: $12 - 3 = 9$ cm

Krok 2: Určení stran trojúhelníků

Obvod malého čtverce je $4 \cdot 9 = 36$ cm. Podle zadání je obvod jednoho tmavého trojúhelníku také 36 cm.

Tmavé trojúhelníky jsou v obrazci umístěny tak, že jejich dvě kratší strany (odvěsny) sousedí se stranami čtverců. Každý trojúhelník má tedy odvěsny o délkách 12 cm a 9 cm.

Délka třetí strany (přepony) trojúhelníku: $36 - (12 + 9) = 36 - 21 = 15$ cm

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod celého šestiúhelníku se skládá z vnějších stran obou čtverců a obou trojúhelníků:

dvě strany malého čtverce: $2 \cdot 9 = 18$ cm
dvě strany velkého čtverce: $2 \cdot 12 = 24$ cm
dvě nejdelší strany trojúhelníků: $2 \cdot 15 = 30$ cm

Celkový obvod šestiúhelníku: $18 + 24 + 30 = 72$ cm

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní zjistíme, kolikrát je obvod šestiúhelníku (72 cm) větší než obvod malého čtverce (36 cm):
$72 : 36 = 2$

Obvod šestiúhelníku je 2krát větší.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

2 body

Šestiúhelník tvaru domečku má obvod 24 cm.
Domeček lze rozdělit na dva čtyřúhelníky – střechu a přízemí.
Oba tyto čtyřúhelníky mají stejný obvod.
Střecha je složena ze tří rovnostranných trojúhelníků, přízemí má tvar obdélníku.

Vypočtěte v cm obvod čtyřúhelníku představujícího střechu.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

20 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Střecha se skládá ze tří stejných rovnostranných trojúhelníků. Označme délku strany jednoho trojúhelníku jako 1 dílek. Obvod střechy (čtyřúhelníku) tvoří horní strana (1 dílek), dvě šikmé strany (2 dílky) a spodní strana, která nasedá na přízemí (2 dílky). Celkem má tedy obvod střechy 5 dílků.

Přízemí je obdélník. Jeho horní a spodní strana mají délku 2 dílky (protože nasedají na dvě strany trojúhelníků). Boční stěny přízemí označíme jako výšku.

Porovnání obvodů

Víme, že střecha i přízemí mají stejný obvod.

Obvod střechy = 5 dílků
Obvod přízemí = 2 dílky (horní) + 2 dílky (spodní) + 2 $\times$ výška = 4 dílky + 2 $\times$ výška

Aby se obvody rovnaly, musí platit: 5 dílků = 4 dílky + 2 $\times$ výška. Z toho vyplývá, že 1 dílek = 2 $\times$ výška. Tedy výška přízemí odpovídá polovině strany trojúhelníku.

Výpočet ze zadaného obvodu domečku

Obvod celého domečku (vnější okraj) tvoří:

Střecha: 3 strany trojúhelníků (horní a dvě šikmé) = 3 dílky
Přízemí: spodní strana (2 dílky) a dvě boční výšky

Celkem je to tedy 5 dílků + 2 $\times$ výška. Protože víme, že 2 $\times$ výška = 1 dílek, je obvod domečku celkem 6 dílků.

6 dílků = 24 cm
1 dílek = 24 : 6 = 4 cm

Výpočet obvodu střechy

Obvod střechy tvoří 5 dílků (stran trojúhelníků).

5 $\times$ 4 cm = 20 cm

Obvod čtyřúhelníku představujícího střechu je 20 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

2 body

Šestiúhelník tvaru domečku má obvod 24 cm.
Domeček lze rozdělit na dva čtyřúhelníky – střechu a přízemí.
Oba tyto čtyřúhelníky mají stejný obvod.
Střecha je složena ze tří rovnostranných trojúhelníků, přízemí má tvar obdélníku.

Vypočtěte v cm délku kratší strany obdélníku představujícího přízemí.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

2 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor střechy a přízemí

Střecha se skládá ze tří rovnostranných trojúhelníků. Označíme-li délku strany takového trojúhelníku jako a, pak střecha (ve tvaru lichoběžníku) má horní stranu a, dvě šikmé boční strany a a spodní stranu (která tvoří hranici s přízemím) o délce 2a.
Obvod střechy je tedy: $a + a + a + 2a = 5a$.

Přízemí má tvar obdélníku. Jeho horní strana (společná se střechou) má délku 2a, stejně tak i jeho dolní strana. Boční strany obdélníku označíme jako b.
Obvod přízemí je: $2a + b + 2a + b = 4a + 2b$.

Vztah mezi stranami a a b

V zadání je uvedeno, že oba čtyřúhelníky (střecha i přízemí) mají stejný obvod. Můžeme tedy sestavit rovnici:
$5a = 4a + 2b$
Po odečtení $4a$ od obou stran dostaneme:
a = 2b
To znamená, že strana trojúhelníku je dvakrát delší než kratší strana obdélníku.

Výpočet z obvodu celého domečku

Obvod celého domečku (vnější šestiúhelník) tvoří spodní strana obdélníku (2a), dvě boční strany obdélníku (2b), dvě šikmé strany střechy (2a) a horní strana střechy (a).
Celkový obvod je: $2a + 2b + 2a + a = 5a + 2b$.

Víme, že tento obvod je 24 cm. Dosadíme za a námi zjištěný vztah a = 2b:
$5 \cdot (2b) + 2b = 24$
$10b + 2b = 24$
$12b = 24$
b = 2 cm

Závěr

Délka kratší strany obdélníku představujícího přízemí je 2 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

2 body

Ve čtvercové síti jsou zakresleny trojúhelníky ABC, KLM a čtverec DEFG.
Vrcholy všech těchto obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

O kolik cm se liší obvod trojúhelníku ABC a obvod čtverce DEFG?

A) o méně než 2 cm
D) o 4 cm
B) o 2 cm
E) o jinou délku
C) o 3 cm

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obvod čtverce DEFG

Strana čtverce $DEFG$ je úhlopříčkou malého obdélníku o stranách 1 cm a 2 cm. Její délka je tedy o něco více než 2 cm (přesně je to $\sqrt{5} \doteq 2,24$ cm). Celý obvod čtverce tvoří čtyři takové strany, takže je to přibližně $4 \times 2,24 = 8,96$ cm.

Obvod trojúhelníku ABC

Strana $AB$ leží na lince sítě a měří přesně 4 cm. Strany $AC$ a $BC$ jsou úhlopříčkami obdélníku o stranách 2 cm a 5 cm. Každá z nich je tedy o něco delší než 5 cm (přesně je to $\sqrt{29} \doteq 5,39$ cm). Obvod trojúhelníku je tedy $4 + 5,39 + 5,39 = 14,78$ cm.

Rozdíl obvodů

Nyní porovnáme oba obvody: $14,78 - 8,96 = 5,82$ cm. Vidíme, že rozdíl je přibližně 5,8 cm. Protože výsledkem není 2 cm, 3 cm ani 4 cm, správná odpověď je jiná délka.

Závěr

Obvody se liší o jinou délku než 2, 3 nebo 4 cm. Správná je tedy možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

2 body

O kolik cm² se liší obsah trojúhelníku ABC a obsah trojúhelníku KLM?

A) o 1 cm²
D) o 4 cm²
B) o 2 cm²
E) o jiný obsah
C) o 3 cm²

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah trojúhelníku ABC

Trojúhelník ABC má základnu AB o délce 4 cm (leží na vodorovné lince mřížky). Vrchol C leží 5 cm nad touto základnou, což odpovídá výšce trojúhelníku.
Obsah vypočítáme pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku:
$S = \frac{a \cdot v_a}{2}$
$S_{ABC} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \mathbf{10\text{ cm}^2}$

Obsah trojúhelníku KLM

Trojúhelník KLM nemá žádnou stranu vodorovnou ani svislou, proto jeho obsah určíme pomocí opsaného obdélníku. Vrchol L je o 3 cm vpravo a 1 cm níže než K. Vrchol M je o 1 cm vpravo a 4 cm výše než K.
Opsaný obdélník má šířku 3 cm a výšku 5 cm (od úrovně bodu L po úroveň bodu M). Jeho obsah je $3 \cdot 5 = 15\text{ cm}^2$.
Od tohoto obsahu odečteme tři pravoúhlé trojúhelníky v rozích obdélníku:
1. trojúhelník (u vrcholů K a L): $\frac{3 \cdot 1}{2} = 1,5\text{ cm}^2$
2. trojúhelník (u vrcholů L a M): $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5\text{ cm}^2$
3. trojúhelník (u vrcholů M a K): $\frac{1 \cdot 4}{2} = 2\text{ cm}^2$
Celkem odečteme: $1,5 + 5 + 2 = 8,5\text{ cm}^2$.
$S_{KLM} = 15 - 8,5 = \mathbf{6,5\text{ cm}^2}$

Výpočet rozdílu

Nyní zjistíme, o kolik se oba obsahy liší, odečtením menšího od většího:
$10 - 6,5 = \mathbf{3,5\text{ cm}^2}$

Závěr

Rozdíl obsahů je 3,5 cm². Protože tento výsledek neodpovídá žádné z hodnot v možnostech A–D (1, 2, 3 nebo 4 cm²), je správnou odpovědí možnost E (o jiný obsah).

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

2 body

Na obrázku jsou obrazce A, B.
Obrazec A je obdélník složený ze 4 stejných bílých obdélníčků a 4 stejných šedých čtverečků. Obvod bílé části obrazce A je o 32 cm větší než obvod šedé části.
Obrazec B je osmiúhelník, který vznikl přeskládáním jednotlivých dílů obrazce A.

Určete kolik cm měří obvod obrazce A.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

56 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obrazec A je obdélník o rozměrech 3 × 4 malé čtvercové jednotky. Celkem se tedy skládá z $3 \times 4 = 12$ těchto jednotek. Víme, že v obdélníku jsou 4 šedé čtverečky (každý o ploše 1 jednotka) a 4 stejné bílé obdélníčky. Na bílou část zbývá $12 - 4 = 8$ jednotek plochy. Protože jsou bílé obdélníčky 4 a jsou stejné, každý musí mít plochu 2 jednotky (má tedy rozměr $1 \times 2$ nebo $2 \times 1$ jednotky).

Určení obvodů v jednotkách

Spočítáme obvody šedé a bílé části v jednotkách (jako počet stran malých čtverečků):

Šedá část: 4 čtverečky jsou spojené do jednoho útvaru. Když spočítáme všechny vnější strany tohoto útvaru, zjistíme, že jeho obvod je 10 jednotek.
Bílá část: Bílou plochu tvoří zbytek obdélníku A. Její obvod (hranice bílé části) se skládá z vnějších stran obdélníku A a z hranic s šedou částí. Celkem naměříme 18 jednotek.

Výpočet délky jedné jednotky

Rozdíl obvodů v jednotkách je $18 - 10 = 8$ jednotek. Ze zadání víme, že tento rozdíl je ve skutečnosti 32 cm.
Jedna jednotka (strana malého čtverečku) tedy měří:

$32 : 8 = 4\text{ cm}$

Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A má strany dlouhé 3 a 4 jednotky. Obvod v jednotkách je: $2 \times (3 + 4) = 14$ jednotek.
Protože jedna jednotka měří 4 cm, celkový obvod je:

$14 \times 4 = 56\text{ cm}$

Obvod obrazce A je 56 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

2 body

Určete o kolik cm se liší obvody obrazců A, B.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

o 8 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrazce A a určení strany čtverečku

Obrazec A je obdélník složený z 12 stejných polí (4 šedé čtverečky a 8 bílých čtverečků).
1. Šedá část: Skládá se ze 4 čtverečků. Z popisu a nákresu vidíme, že tyto čtverečky sdílejí 3 vnitřní strany. Obvod šedé části tedy tvoří 10 stran čtverečku ($4 \times 4 - 2 \times 3 = 10$).
2. Bílá část: Skládá se z 8 čtverečků. Její obvod tvoří vnější hranice (11 stran) a vnitřní hranice s šedou částí (7 stran). Celkem má bílá část obvod 18 stran.
3. Výpočet: Rozdíl v obvodech je $18 - 10 = 8$ stran. Víme, že tento rozdíl je 32 cm. Jedna strana čtverečku tedy měří $32 : 8 = 4$ cm.

Krok 2: Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A je obdélník o rozměrech $3 \times 4$ čtverečky.
• Obvod v počtu stran: $2 \times (3 + 4) = 14$ stran.
• Obvod v centimetrech: $14 \times 4 = 56$ cm.

Krok 3: Výpočet obvodu obrazce B

Obrazec B je osmiúhelník vzniklý přeskládáním dílů. Spočítáme počet jeho vnějších stran podle popisu sloupců:
• Levá strana: 3 strany.
• Dolní strana: 5 stran.
• Horní a pravá strana (stupňovitá): Horní hrany mají $3 + 1 + 1 = 5$ stran, pravé hrany mají $1 + 1 + 1 = 3$ strany. Celkem 8 stran.
Celkový obvod obrazce B je $3 + 5 + 8 = 16$ stran. V centimetrech: $16 \times 4 = 64$ cm.

Krok 4: Určení rozdílu obvodů

Nyní vypočítáme, o kolik se obvody liší:
$64 \text{ cm} - 56 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$.

Obvody obrazců se liší o 8 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

1 bod

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Kontrola odpovědiPřipravuji zadání…

Zobrazit odpověď

6 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:

Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:

$AK + BK = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Stav úlohy

1 bod