Číslo a početní operace

193 úloh

Doporučení: začněte cvičnými úlohami

S výběrem „Typ úloh: vše“ jsou smíchané úlohy z testů i úlohy k procvičení. Pro první průchod doporučujeme přepnout na cvičné úlohy a testové si nechat na celé cvičné testy nanečisto.

Roky testů:

2015

2025

Roky testů:

2015

2025

Děti doplňovaly jednu dvojici závorek do následujícího příkladu:
$ \displaystyle 9 \cdot 8 - 6 \div 2 = $
Každé z dětí doplnilo závorky jiným způsobem a vypočetlo správný výsledek svého příkladu.
Pouze Jarda doplnil závorky více způsoby, ale všechny jeho zápisy vedly k témuž výsledku.
Např. jeden z Jardových zápisů vypadal takto: $ \displaystyle (9 \cdot 8 - 6 \div 2) = $
Dětí bylo přesně tolik, kolik různých výsledků lze získat.

Určete Jardův výsledek.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možnosti umístění závorek

Musíme najít všechny způsoby, jak do výrazu $9 \cdot 8 - 6 \div 2$ doplnit jednu dvojici závorek tak, aby ohraničovaly alespoň jednu operaci. Možné zápisy jsou:

$(9 \cdot 8) - 6 \div 2$
$9 \cdot (8 - 6) \div 2$
$9 \cdot 8 - (6 \div 2)$
$(9 \cdot 8 - 6) \div 2$
$9 \cdot (8 - 6 \div 2)$
$(9 \cdot 8 - 6 \div 2)$

Výpočet výsledků

Vypočítáme hodnotu pro každý zapsaný příklad:

$(9 \cdot 8) - 6 \div 2 = 72 - 3 = 69$
$9 \cdot (8 - 6) \div 2 = 9 \cdot 2 \div 2 = 18 \div 2 = 9$
$9 \cdot 8 - (6 \div 2) = 72 - 3 = 69$
$(9 \cdot 8 - 6) \div 2 = (72 - 6) \div 2 = 66 \div 2 = 33$
$9 \cdot (8 - 6 \div 2) = 9 \cdot (8 - 3) = 9 \cdot 5 = 45$
$(9 \cdot 8 - 6 \div 2) = 72 - 3 = 69$

Jardův výsledek

Zadání říká, že pouze Jarda mohl doplnit závorky více způsoby a vždy mu vyšel stejný výsledek. Vidíme, že výsledek 69 jsme získali třemi různými způsoby, zatímco výsledky 9, 33 a 45 se objevily vždy jen jednou. Jarda tedy musel dospět k výsledku 69.

Ověření

Různé výsledky jsou celkem čtyři: $69, 9, 33$ a $45$. Protože dětí bylo přesně tolik, kolik je různých výsledků, byly děti 4. To přesně odpovídá naší úvaze (Jarda a další tři děti). Jardův výsledek je tedy 69.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Uveďte zápisy příkladů s doplněnými závorkami a vypočtenými výsledky všech dětí s výjimkou Jardy (tedy Jardovy zápisy neuvádějte).

Zobrazit odpověď

9 * (8 - 6 : 2) = 45; (9 * 8 - 6) : 2 = 33; 9 * (8 - 6) : 2 = 9

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možné výsledky

Nejdříve si musíme uvědomit, jaké výsledky můžeme dostat, když do příkladu $9 \cdot 8 - 6 \div 2$ doplníme jednu dvojici závorek. Bez závorek platí přednost násobení a dělení, takže vyjde $72 - 3 = 69$.

Změna pořadí operací

Zkusíme závorky umístit tak, aby se pořadí výpočtů změnilo:

Pokud dáme závorku kolem $8 - 6$, vypočítáme nejdříve odčítání: $9 \cdot (8 - 6) \div 2 = 9 \cdot 2 \div 2 = 18 \div 2 = 9$.
Pokud dáme závorku kolem $9 \cdot 8 - 6$, odečteme šestku ještě před dělením: $(9 \cdot 8 - 6) \div 2 = (72 - 6) \div 2 = 66 \div 2 = 33$.
Pokud dáme závorku kolem $8 - 6 \div 2$, vypočítáme nejdříve tento výraz a pak jím vynásobíme devítku: $9 \cdot (8 - 6 \div 2) = 9 \cdot (8 - 3) = 9 \cdot 5 = 45$.

Jardův výsledek

Jarda dostal výsledek 69, a to hned několika způsoby (např. $(9 \cdot 8) - 6 \div 2 = 69$ nebo $(9 \cdot 8 - 6 \div 2) = 69$). Protože dětí bylo tolik, kolik je různých výsledků (celkem 4), zbývají nám tři děti s výsledky 9, 33 a 45.

Zápisy ostatních dětí

Zápisy příkladů a výsledky ostatních dětí (kromě Jardy) jsou:
$9 \cdot (8 - 6) \div 2 = 9$
$(9 \cdot 8 - 6) \div 2 = 33$
$9 \cdot (8 - 6 \div 2) = 45$

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Písmena K, L představují dvě různé číslice.
V zápise součtu dvou trojciferných čísel se písmena nahradí číslicemi a místo hvězdiček se zapíšou chybějící číslice součtu tak, aby byl výpočet správný.

$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} & K & L & L \\ & K & L & K \\ \hline \ast & \ast & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena K, L, a zapište je v tomto pořadí.

Zobrazit odpověď

6, 5

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního a druhého sloupečku

Postupujeme jako při klasickém sčítání pod sebou zprava doleva. V pravém (prvním) sloupečku sčítáme písmena L a K. Pod čarou je výsledek 1. Součet dvou číslic může končit jedničkou, pokud je to 1, nebo 11. Podívejme se na druhý sloupeček: sčítáme dvě stejná písmena (L + L). Součet dvou stejných číslic je vždy sudé číslo (např. 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6). Pod čarou je ale výsledek 1 (liché číslo). Jak ze součtu dvou stejných čísel získáme liché číslo? Jedině tak, že k nim přidáme jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího sloupečku. To znamená, že součet L + K v prvním sloupečku musí být 11.

Zjištění číslice L

Ve druhém sloupečku sčítáme L + L a k tomu přidáme zapamatovanou jedničku. Pod čarou chceme mít opět výsledek končící na 1. Může to být jedině 11 (číslo 1 nepřipadá v úvahu, protože po odečtení paměťové jedničky by bylo L + L = 0, takže L = 0. V prvním sloupci by pak muselo být 0 + K = 11, ale jednociferná číslice nemůže být 11). Platí tedy, že L + L + 1 = 11. Když odečteme jedničku, zjistíme, že L + L = 10. Číslice L je tedy 5, protože 5 + 5 = 10.

Zjištění číslice K a zkouška

Když už víme, že L = 5, vrátíme se k prvnímu sloupečku. Tam platilo, že L + K = 11. Dosadíme za L pětku: 5 + K = 11. Kolik chybí do 11? Chybí 6. Číslice K je tedy 6. Uděláme si zkoušku celého příkladu. Za K dosadíme 6 a za L pětku: 655 + 656 = 1311. Výsledek končí na 11, což přesně odpovídá zadání. Písmena nahradíme číslicemi v zadaném pořadí K, L.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Písmena S, T, U představují tři navzájem různé číslice.
V zápise součtu tří dvouciferných čísel se písmena nahradí číslicemi tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrr} & S & T \\ & S & T \\ & T & U \\ \hline 2 & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena S, T, U, a zapište je v tomto pořadí.

Najděte všechna tři řešení.

Zobrazit odpověď

9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sloupečků

Sčítáme tři dvouciferná čísla pod sebou. Začneme levým sloupečkem (desítkami), abychom omezili možnosti. V levém sloupečku sčítáme dvě číslice $S$ a jednu číslici $T$. Nesmíme ale zapomenout na to, že z pravého sloupečku (z jednotek) se nám může převést nějaké číslo – takzvaný přenos. V pravém sloupečku sčítáme $T+T+U$, a protože největší jednociferné číslo je 9, maximální součet je $9+9+9=27$. Přenos do desítek tedy může být 0, 1 nebo 2. Součet v desítkách dává dohromady $21$. Tedy $S + S + T + \text{přenos} = 21$. Z toho poznáme, že číslice $S$ musí být dostatečně velká. Kdyby bylo např. $S=4$, tak $4+4 = 8$ a i s největším možným $T=9$ a přenosem $2$ bychom se dostali nejvýše na $19$. Číslice $S$ tedy musí být 5, 6, 7, 8 nebo 9.

Zkoušení možností pro S = 5 a S = 6

Budeme postupně zkoušet možnosti pro písmeno $S$.

Pokud $S = 5$: Součet desítek je $5 + 5 + T + \text{přenos} = 21$. Abychom se dostali na 21, musí chybět 11. To znamená, že musí být $T = 9$ a přenos přesně 2. V pravém sloupečku (jednotky) pak počítáme $T+T+U$, tedy $9+9+U = 18+U$. Výsledek má končit na jedničku a jít přes 20 (kvůli přenosu 2), musí to být tedy 21. Z rovnice $18+U = 21$ nám vychází $U = 3$. Zkontrolujeme číslice $5, 9, 3$ – jsou různé a výpočet $59 + 59 + 93 = 211$ platí. Máme první řešení.
Pokud $S = 6$: V desítkách máme $6+6+T+\text{přenos} = 21$, takže $12+T+\text{přenos} = 21$, chybí 9. Pokud by byl přenos $2$, muselo by být $T=7$. V jednotkách by pak bylo $7+7+U = 14+U$, což by se muselo rovnat 21 (protože přenos je 2). Pak by $U=7$, ale my hledáme různé číslice, $T$ a $U$ nesmí být stejné. Pokud by byl přenos $1$, tak $T=8$. V jednotkách $8+8+U = 16+U$. Aby výsledek končil na jedničku a přenos byl jen 1, musel by součet být 11, což nepůjde (protože $16+U$ je více než 11). Pro $S=6$ tedy řešení nenajdeme.

Zkoušení možností pro S = 7, 8 a 9

Pokud $S = 7$: V desítkách $7+7+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $14+T+\text{přenos}=21$, takže $T+\text{přenos} = 7$. Pokud by byl přenos $1$, bylo by $T=6$. V jednotkách $6+6+U=12+U$, chtěli bychom součet 11, což nejde. Pokud by byl přenos 2, tak $T=5$. V jednotkách $5+5+U=10+U$, chtěli bychom součet 21. Pak by $U=11$, ale to není jednociferné číslo.
Pokud $S = 8$: V desítkách $8+8+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $16+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 5$. Zkusme přenos $1$. Pak $T=4$. V jednotkách budeme počítat $4+4+U = 8+U$. Součet má končit na 1 s přenosem 1, má tedy být 11. $8+U = 11$, z toho plyne $U = 3$. Číslice $8, 4, 3$ jsou různé a zkouška $84+84+43 = 211$ vychází. Máme druhé řešení.
Pokud $S = 9$: V desítkách $9+9+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $18+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 3$. Zkusíme opět přenos $1$. Pak by $T=2$. V jednotkách budeme počítat $2+2+U = 4+U$, součet má být 11 (aby končil na 1 s přenosem 1). Pak $U = 7$. Číslice $9, 2, 7$ jsou různé a zkouška $92+92+27 = 211$ vychází. Máme třetí řešení.

Závěr

Podařilo se nám najít všechny tři hledané trojice číslic. Písmena $S, T, U$ nahradíme číslicemi takto:

první možnost: $5, 9, 3$
druhá možnost: $8, 4, 3$
třetí možnost: $9, 2, 7$

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \square : 11 = (5 + 5 \cdot 20) - 101$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve vypočítáme hodnotu výrazu na pravé straně rovnosti. V závorce začneme násobením, které má přednost:
$5 \cdot 20 = 100$

Dokončení výrazu v závorce

K získanému číslu přičteme 5:
$5 + 100 = 105$

Celková hodnota pravé strany

Od výsledku závorky odečteme číslo 101:
$105 - 101 = 4$

Určení čísla v rámečku

Rovnost nyní vypadá takto: $\square : 11 = 4$. Hledáme číslo, které když vydělíme 11, vyjde nám 4. To zjistíme tak, že výsledek 4 vynásobíme dělitelem 11:
$4 \cdot 11 = 44$

Do rámečku tedy patří číslo 44.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle (188 - 152) : (1 + \square ) = 4 + 20 \div 4$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve vypočítáme pravou stranu rovnosti. Musíme pamatovat, že dělení má přednost před sčítáním:
$4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9$

Rozdíl v první závorce

Dále vypočítáme hodnotu první závorky na levé straně:
$188 - 152 = 36$

Zjednodušená rovnost

Po dosazení vypočítaných hodnot vypadá rovnost takto:
$36 : (1 + \square) = 9$

Výpočet druhé závorky

Hledáme číslo, kterým musíme vydělit 36, aby výsledek byl 9. Protože $36 : 4 = 9$, musí být hodnota závorky $(1 + \square)$ rovna 4.

Hledané číslo

Pokud má být výsledek v závorce 4, pak do rámečku patří číslo 3, protože $1 + 3 = 4$. Hledaným číslem je tedy 3.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Tabulka má obsahovat všechna celá čísla od 0 do 8. Do prázdných polí tabulky se doplní chybějící čísla tak, aby byl součet v každém sloupci i v každém řádku stejný.

Určete číslo, které patří do prostředního pole tabulky.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součet v řádku nebo sloupci

V tabulce mají být všechna čísla od 0 do 8. Jejich součet je 36, takže při třech stejně velkých řádcích musí mít každý řádek součet 12. Stejný součet má i každý sloupec.

Doplnění spodního řádku

Ve spodním řádku jsou čísla 1 a 3. Aby byl součet 12, chybí tam číslo 8.

Doplnění levého sloupce

V levém sloupci je nahoře 0 a dole 8. Aby byl součet 12, chybí uprostřed číslo 4.

Určení prostředního pole

V prostředním řádku už je vlevo 4 a vpravo 2. Do prostředního pole proto patří číslo 6.

Závěr

Do prostředního pole tabulky patří číslo 6.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete obě čísla doplněná do prázdných kroužků.

Zobrazit odpověď

45; 135

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Úlohu můžeme vyřešit prostou logickou úvahou nebo pomocí metody systematického zkoušení, kterou si zde ukážeme. Spočívá ve dvou cvičných odhadech a následném logickém dopočtení správného čísla. Cílem je najít číslo pro levý kroužek takové, aby po přičtení 90 a následném vydělení 3 vyšlo na konci opět to samé výchozí číslo.

Krok 1: První odhad

Vyzkoušení čísla namátkou.

Zvolíme si libovolné číslo pro prázdný kroužek vlevo. My vyzkoušíme například číslo 15.

Provedeme výpočet cyklu: Horní šipkou přičteme 90: 15 + 90 = 105. Spodní šipka nás vrací zpět dělením: 105 : 3 = 35.
Zjištění odchylky: Výsledek na konci cyklu měl být stejný jako na začátku (tedy 15). Nám ale vyšlo 35. Spočítáme rozdíl: 35 - 15 = 20.
Závěr 1. kroku: Trefili jsme se tak, že na konci nám přebývá hodnota 20.

Krok 2: Druhý odhad

Úprava čísla a sledování změny.

Tipované číslo o kousek zvýšíme, například o dalších 15 (tedy na 30), a celý postup zopakujeme.

Provedeme výpočet cyklu: 30 + 90 = 120. Spodní šipka: 120 : 3 = 40.
Zjištění odchylky: Měli jsme se vrátit na 30, ale vyšlo nám 40. Rozdíl je 40 - 30 = 10.
Závěr 2. kroku: Trefili jsme se tak, že na konci nám přebývá už jen hodnota 10.

Krok 3: Finální dopočet

Nalezení výsledku pomocí logiky (už bez tipování).

Nyní porovnáme, co se stalo mezi prvním a druhým krokem, a rovnou spočítáme výsledek. Cílem je dostat naši odchylku na nulu.

Co jsme zjistili: Zvýšení tipu o 15 (z 15 na 30) snížilo přebývající odchylku o 10 (z 20 na 10).
Co potřebujeme: Snížit zbývající odchylku 10 úplně na nulu.
Výpočet: Protože pro odstranění 10 bodů odchylky musíme k našemu tipu přidat číslo 15, přidáme k našemu poslednímu tipu přesně 15.
Závěr: 30 + 15 = 45.

Levý kroužek je tedy 45. Pravý kroužek získáme prvním výpočtem: 45 + 90 = 135.

Můžeme si udělat i zkoušku správnosti: 135 : 3 = 45. Výpočty ve směru obou šipek jsou správné!

Alternativní řešení (Metoda dílků)

Úlohu můžeme vyřešit i rychlejší logickou úvahou. Spodní šipka nám říká, že číslo v pravém kroužku musíme vydělit třemi, abychom dostali levý kroužek. To znamená, že pravý kroužek je 3× větší než levý. Pokud si levý kroužek představíme jako 1 dílek, pravý kroužek tvoří 3 dílky.

Horní šipka ukazuje, že rozdíl mezi nimi je 90. V dílcích je rozdíl 3 dílky − 1 dílek = 2 dílky.

Víme tedy, že 2 dílky = 90. Jeden dílek (levý kroužek) je 90 : 2 = 45. Pravý kroužek (3 dílky) je 45 + 90 = 135.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte

$\displaystyle (510 \div 34) - (8 + 56 \div 8) =$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce: $510 \div 34$. Můžeme si pomoci tím, že $10 \cdot 34 = 340$ a do $510$ nám zbývá $170$, což je přesně $5 \cdot 34$. Výsledek první závorky je tedy $10 + 5 = 15$.

Druhá závorka

V druhé závorce má přednost dělení před sčítáním. Nejdříve tedy vypočítáme $56 \div 8 = 7$ a k němu přičteme $8$. Výsledek druhé závorky je $8 + 7 = 15$.

Celkový výsledek

Nakonec od výsledku první závorky odečteme výsledek druhé závorky. Spočítáme $15 - 15 = 0$. Výsledkem celého příkladu je 0.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Vypočtěte

$\displaystyle 10 \cdot 100 - (100 - 6 \cdot 14) : 2 =$

Zobrazit odpověď

992

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Při výpočtu příkladu se závorkou musíme nejdříve vyřešit to, co je uvnitř ní. V závorce má přednost násobení:
6 · 14 = 84

Dokončení závorky

Teď odečteme výsledek násobení od čísla 100:
100 – 84 = 16

Násobení a dělení

Nyní se podíváme na zbytek příkladu: 10 · 100 – 16 : 2. Násobení a dělení mají přednost před odčítáním:
10 · 100 = 1000
16 : 2 = 8

Konečný výsledek

Nakonec obě získaná čísla odečteme:
1000 – 8 = 992

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod