Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2025

31 úloh

Úloha 1.1

Když neznámé číslo vydělím sedmi, pak přičtu číslo 3 a výsledek zdvojnásobím, dostanu číslo 20.

Určete neznámé číslo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet před zdvojnásobením

Zadání říká, že po zdvojnásobení výsledku dostaneme číslo 20. Budeme postupovat pozpátku. Číslo před zdvojnásobením zjistíme tak, že 20 vydělíme dvěma:
20 : 2 = 10

Odečtení čísla 3

K číslu jsme v předchozím kroku přičítali 3 a dostali jsme 10. Abychom se vrátili o krok zpět, musíme číslo 3 odečíst:
10 – 3 = 7

Nalezení neznámého čísla

Na začátku jsme neznámé číslo dělili sedmi a vyšlo nám 7. Neznámé číslo tedy vypočítáme tak, že výsledek vynásobíme sedmi:
7 · 7 = 49

Ověření a odpověď

Neznámé číslo je 49. Pro kontrolu můžeme provést výpočet podle zadání: 49 : 7 = 7; 7 + 3 = 10; 10 · 2 = 20. Vše souhlasí.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 1.2

Neznámé číslo zvětšené o jednu jeho polovinu se rovná 198.

Určete neznámé číslo.

Zobrazit odpověď

132

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dílky a celek

Neznámé číslo si můžeme představit jako celek rozdělený na dvě stejné poloviny (dva dílky). Pokud k němu přidáme ještě jednu jeho polovinu (jeden dílek), budeme mít celkem 3 stejné dílky (tři poloviny čísla).

Hodnota jednoho dílku

Víme, že tyto 3 stejné dílky mají dohromady hodnotu 198. Hodnotu jednoho dílku (tedy jedné poloviny neznámého čísla) zjistíme tak, že 198 vydělíme třemi:
$198 \div 3 = 66$

Výpočet neznámého čísla

Jeden dílek (polovina čísla) je 66. Protože neznámé číslo tvoří dva takové dílky, vypočítáme ho vynásobením dvěma:
$66 \cdot 2 = 132$

Ověření

Pro kontrolu můžeme ověřit, zda výsledek souhlasí: $132$ a jeho polovina $66$ je dohromady $132 + 66 = 198$. Neznámé číslo je 132.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 1.3

Součet dvou neznámých čísel je 109 a jejich rozdíl je 13.

Určete obě neznámá čísla.

Zobrazit odpověď

48; 61

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čísel

Víme, že součet dvou čísel je 109 a jedno číslo je o 13 větší než druhé (jejich rozdíl je 13). Pokud bychom od celkového součtu odečetli tento rozdíl, dostali bychom dvojnásobek menšího čísla.

Výpočet menšího čísla

Nejdříve odečteme rozdíl od součtu: $109 - 13 = 96$. Výsledek 96 představuje dvě stejná menší čísla. Menší číslo tedy získáme tak, že 96 vydělíme dvěma: $96 : 2 = 48$.

Výpočet většího čísla

Větší číslo je o 13 větší než menší číslo. Vypočítáme ho tedy přičtením rozdílu k menšímu číslu: $48 + 13 = 61$.

Kontrola

Pro kontrolu sečteme obě čísla: $48 + 61 = 109$. Jejich rozdíl je $61 - 48 = 13$. Obě podmínky ze zadání jsou splněny.

Výsledek

Hledaná čísla jsou 48 a 61.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 18\,\text{m} - 15\,\text{dm} + \square\,\text{cm} = 20\,\text{m}$

Zobrazit odpověď

350

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Abychom mohli s čísly snadno počítat, převedeme si všechny hodnoty v rovnosti na centimetry:

$18\text{ m} = 1\,800\text{ cm}$ (víme, že $1\text{ metr} = 100\text{ centimetrů}$)
$15\text{ dm} = 150\text{ cm}$ (víme, že $1\text{ decimetr} = 10\text{ centimetrů}$)
$20\text{ m} = 2\,000\text{ cm}$

Odečtení známých hodnot

Vypočítáme levou stranu rovnosti bez prázdného políčka: $1\,800\text{ cm} - 150\text{ cm} = 1\,650\text{ cm}$

Nalezení chybějícího čísla

Teď hledáme číslo, které musíme přičíst k $1\,650\text{ cm}$, abychom dostali celkem $2\,000\text{ cm}$: $2\,000 - 1\,650 = 350$

Do rámečku tedy doplníme číslo $350$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 4 \cdot \square\,\text{g} - 3\,\text{kg} = \frac{1}{5}\,\text{kg}$

Zobrazit odpověď

800

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převody na gramy

Nejdříve si všechny hodnoty převedeme na gramy, abychom s nimi mohli snadno počítat. Víme, že $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$.

Výpočet pětiny kilogramu

Vypočítáme pětinu kilogramu na pravé straně: $1000 \div 5 = 200\text{ g}$.

Výpočet celkového počtu gramů

K výsledku $200\text{ g}$ přičteme $3\text{ kg}$ (tedy $3000\text{ g}$), které jsme v zadání odečítali. Dostaneme: $3000 + 200 = 3200\text{ g}$.

Číslo v rámečku

Protože $4 \cdot \square = 3200$, hledané číslo zjistíme dělením: $3200 \div 4 = 800$.

Výsledek

Do rámečku patří číslo $800$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.3

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \frac{1}{4}\,\text{h} + \square\,\text{s} = 20\,\text{min}$

Zobrazit odpověď

300

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod čtvrt hodiny na minuty

Víme, že jedna hodina má 60 minut. Čtvrtina z 60 minut se vypočítá jako $60 \div 4 = 15$. Takže $\frac{1}{4}$ h je 15 minut.

Výpočet chybějících minut

Na pravé straně rovnosti máme 20 minut. Na levé straně už máme 15 minut. Do 20 minut nám tedy zbývá: $20 - 15 = 5$ minut.

Převod minut na sekundy

Protože máme výsledek doplnit v sekundách, musíme 5 minut převést. Víme, že jedna minuta má 60 sekund. Vypočítáme tedy $5 \cdot 60 = 300$ sekund.

Závěr

Do rámečku musíme doplnit číslo 300.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.1

Na šňůrku jsme navlékali korálky.
Korálky na šňůrce jsme rozdělili do čtyř skupin. Na počátku šňůrky i za každou skupinou jsme vytvořili uzlík.
První skupina má nejmenší počet korálků. Každá další skupina má 4krát více korálků než skupina před ní. Ve třetí skupině je 32 korálků.

Vypočtěte, kolik korálků je celkem navlečeno na šňůrce.

Zobrazit odpověď

170 korálků

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

2. skupina

Víme, že ve 3. skupině je 32 korálků a že každá další skupina má 4krát více korálků než ta před ní. To znamená, že v 2. skupině musí být 4krát méně korálků než ve 3. skupině.
Vypočítáme: $32 \div 4 = 8$. Ve druhé skupině je tedy 8 korálků.

1. skupina

Podobně zjistíme počet korálků v 1. skupině. V té je opět 4krát méně korálků než ve 2. skupině.
Vypočítáme: $8 \div 4 = 2$. V první skupině jsou 2 korálky.

4. skupina

Ve 4. skupině je naopak 4krát více korálků než ve 3. skupině.
Vypočítáme: $32 \cdot 4 = 128$. Ve čtvrté skupině je 128 korálků.

Celkový počet

Nyní sečteme počty korálků ve všech čtyřech skupinách:
$2 + 8 + 32 + 128 = 10 + 32 + 128 = 42 + 128 = 170$.
Celkem je na šňůrce navlečeno 170 korálků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Určete, kolikrát více korálků má čtvrtá skupina než druhá skupina.

Zobrazit odpověď

16 krát

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo pro skupiny

V zadání se píše, že každá další skupina má 4krát více korálků než skupina před ní. Máme celkem čtyři skupiny, které jdou za sebou.

Počet korálků ve 2. a 4. skupině

Víme, že ve 3. skupině je 32 korálků. Pomocí pravidla o 4krát větším počtu můžeme dopočítat sousední skupiny:

2. skupina: Protože 3. skupina má 4krát více než 2. skupina, musí mít druhá skupina 4krát méně: $32 : 4 = 8$ korálků.
4. skupina: Ta má 4krát více než 3. skupina: $32 \cdot 4 = 128$ korálků.

Porovnání skupin

Nyní zjistíme, kolikrát více korálků je ve 4. skupině (128 korálků) oproti 2. skupině (8 korálků). Použijeme dělení: $128 : 8 = 16$

Závěr

Čtvrtá skupina má 16krát více korálků než druhá skupina.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.3

Na celé šňůrce se od počátku pravidelně střídají 4 černé a 1 bílý korálek.

Vypočtěte, kolik černých korálků je ve čtvrté skupině.

Zobrazit odpověď

102 černých korálků

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty korálků ve skupinách

Ve 3. skupině je 32 korálků. Víme, že každá další skupina má 4krát více korálků než ta předchozí. Vypočítáme počty v ostatních skupinách:

4. skupina: $32 \cdot 4 = 128$ korálků
2. skupina: $32 : 4 = 8$ korálků
1. skupina: $8 : 4 = 2$ korálky

Dohromady je v prvních třech skupinách $2 + 8 + 32 = 42$ korálků. Celá šňůra až po konec 4. skupiny má tedy $42 + 128 = 170$ korálků.

Pravidlo střídání korálků

Korálky se střídají v pravidelném vzoru: 4 černé a 1 bílý. To znamená, že bílý je vždy každý pátý korálek v pořadí. Bílý korálek je tedy na všech pozicích, které jsou dělitelné pěti (5., 10., 15. atd.).

Počet bílých korálků ve 4. skupině

Nejprve zjistíme, kolik bílých korálků je celkem na prvních 170 pozicích (až do konce 4. skupiny):

$170 : 5 = 34$ bílých korálků

Nyní zjistíme, kolik bílých korálků bylo v předchozích skupinách (na prvních 42 pozicích):

$42 : 5 = 8$ (zbytek 2), tedy 8 bílých korálků

Ve 4. skupině je tedy: $34 - 8 = 26$ bílých korálků.

Počet černých korálků ve 4. skupině

Ve 4. skupině je celkem 128 korálků. Pokud odečteme bílé korálky, získáme počet černých:

$128 - 26 = 102$

Ve čtvrté skupině je tedy 102 černých korálků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

V restauraci byla na celý večer zarezervována čtvrtina všech stolů, což byly 4 stoly pro čtyři hosty a 5 stolů pro dva hosty.

Určete celkový počet stolů v restauraci.

Zobrazit odpověď

36 stolů

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet rezervovaných stolů

Nejdříve zjistíme, kolik stolů bylo celkem zarezervováno. Sečteme 4 stoly pro čtyři hosty a 5 stolů pro dva hosty:
4 + 5 = 9 stolů

Celkový počet stolů

V zadání se píše, že těchto 9 stolů tvoří přesně jednu čtvrtinu všech stolů v restauraci. Abychom zjistili celkový počet všech stolů (tedy čtyři čtvrtiny), musíme tento počet čtyřikrát zvětšit:
9 · 4 = 36

Závěr

V restauraci je celkem 36 stolů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

V restauraci byla na celý večer zarezervována čtvrtina všech stolů, což byly 4 stoly pro čtyři hosty a 5 stolů pro dva hosty.

Ze všech stolů v restauraci je polovina stolů pro dva hosty, třetina stolů je pro tři hosty a ostatní stoly jsou pro čtyři hosty.

Vypočtěte, kolik míst pro hosty je celkem u všech stolů v restauraci.

Zobrazit odpověď

96 míst

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet stolů

Víme, že zarezervována byla čtvrtina všech stolů. Tuto čtvrtinu tvoří 4 stoly pro čtyři hosty a 5 stolů pro dva hosty. Celkem je tedy zarezervováno $4 + 5 = 9$ stolů. Pokud 9 stolů představuje jednu čtvrtinu, celkový počet stolů v restauraci vypočítáme jako $4 \cdot 9 = 36$ stolů.

Počty jednotlivých typů stolů

Nyní rozdělíme všech 36 stolů podle toho, pro kolik jsou hostů:

Polovina stolů je pro dva hosty: $36 \div 2 = 18$ stolů
Třetina stolů je pro tři hosty: $36 \div 3 = 12$ stolů
Ostatní stoly jsou pro čtyři hosty: $36 - (18 + 12) = 36 - 30 = 6$ stolů

Celkový počet míst

Vypočítáme, kolik hostů se celkem ke všem stolům vejde:

18 stolů po 2 místech: $18 \cdot 2 = 36$ míst
12 stolů po 3 místech: $12 \cdot 3 = 36$ míst
6 stolů po 4 místech: $6 \cdot 4 = 24$ míst

Výsledek

Sečteme všechna místa dohromady: $36 + 36 + 24 = 96$ míst. Celkem je v restauraci 96 míst pro hosty.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Na papír lepíme stejné samolepící čtverečky, které mají stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².
Vytváříme tak různé obdélníky, z nichž každý má obvod 18 cm. Jeden z takových obdélníků je na obrázku. Sousední čtverečky v obdélníku mají vždy jednu stranu společnou.

Vypočtěte, kolik cm měří nejdelší možná strana takového obdélníku.

Zobrazit odpověď

8 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání víme, že obdélník je složen ze čtverečků o straně 1 cm. To znamená, že délky stran obdélníku v centimetrech musí být celá čísla. Celkový obvod obdélníku je 18 cm.

Výpočet součtu stran

Obvod obdélníku vypočítáme jako dvojnásobek součtu jeho dvou sousedních stran ($a$ a $b$). Platí tedy:

2 · (a + b) = 18 cm

Z toho vyplývá, že součet délek dvou sousedních stran musí být polovina obvodu:

a + b = 9 cm

Hledání možných rozměrů

Hledáme dvojice celých čísel, jejichž součet je 9. Máme tyto možnosti pro rozměry obdélníku:

1 cm a 8 cm (obvod: 2 · (1 + 8) = 18 cm)
2 cm a 7 cm (obvod: 2 · (2 + 7) = 18 cm)
3 cm a 6 cm (obvod: 2 · (3 + 6) = 18 cm)
4 cm a 5 cm (obvod: 2 · (4 + 5) = 18 cm)

Závěr

Porovnáme délky stran ve všech možných případech. Nejdelší možná strana obdélníku měří 8 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Určete, kolik navzájem různých obsahů mají všechny takové obdélníky.

Zobrazit odpověď

4 různé obsahy

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Obdélník je složen ze čtverečků o straně 1 cm. To znamená, že délky stran obdélníku musí být celá čísla (např. 1 cm, 2 cm atd.). Víme, že obvod každého takového obdélníku je 18 cm.

Výpočet součtu stran

Obvod obdélníku vypočítáme tak, že sečteme všechny jeho čtyři strany. Protože protější strany jsou stejné, součet jedné délky a jedné šířky ($a + b$) musí být polovina obvodu:
18 : 2 = 9 cm

Hledání možných rozměrů

Nyní najdeme všechny dvojice celých čísel, jejichž součet je 9. Každá taková dvojice představuje jeden možný obdélník:

1 cm a 8 cm
2 cm a 7 cm
3 cm a 6 cm
4 cm a 5 cm

Další dvojice (např. 5 a 4) by už představovaly stejné obdélníky, jen otočené.

Určení počtu obsahů

Pro každou dvojici rozměrů vypočítáme obsah obdélníku (počet čtverečků) tak, že strany vynásobíme:

1 · 8 = 8 cm²
2 · 7 = 14 cm²
3 · 6 = 18 cm²
4 · 5 = 20 cm²

Vidíme, že každý z těchto čtyř obdélníků má jiný obsah. Celkem tedy existují 4 různé obsahy.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.3

Vypočtěte v cm², jaký je největší možný obsah takového obdélníku.

Zobrazit odpověď

20 cm²

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obvodu

Víme, že obvod obdélníku je 18 cm. Protože je obdélník složen ze čtverečků o straně 1 cm, musí být délky jeho stran celá čísla. Obvod obdélníku vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran, tedy $2 \cdot (a + b) = 18$ cm.

Krok 2: Součet sousedních stran

Z předchozího kroku vyplývá, že součet délky a šířky obdélníku (dvou sousedních stran) musí být polovina obvodu: $a + b = 9$ cm.

Krok 3: Možné rozměry a obsahy

Vypíšeme si všechny dvojice celých čísel, které v součtu dávají 9, a pro každou dvojici vypočítáme obsah obdélníku ($S = a \cdot b$):

strany 1 cm a 8 cm: obsah $1 \cdot 8 = 8$ cm²
strany 2 cm a 7 cm: obsah $2 \cdot 7 = 14$ cm² (to je obdélník z obrázku)
strany 3 cm a 6 cm: obsah $3 \cdot 6 = 18$ cm²
strany 4 cm a 5 cm: obsah $4 \cdot 5 = 20$ cm²

Krok 4: Výběr největšího obsahu

Při porovnání vypočítaných obsahů vidíme, že největší možný obsah je 20 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.1

Karel a Mirka zapsali na tabuli dvě různá dvojciferná čísla.
Karel ve svém čísle zapsal na místě desítek číslici o 3 větší než Mirka, ale na místě jednotek číslici o 2 menší než Mirka.

Vypočtěte, o kolik se liší Karlovo a Mirčino číslo.

Zobrazit odpověď

o 28

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v desítkách

Karel má na místě desítek číslici o 3 větší než Mirka. Protože jedna desítka má hodnotu 10, znamená to, že Karlovo číslo je díky desítkám o 30 větší ($3 \times 10 = 30$).

Rozdíl v jednotkách

Na místě jednotek má Karel číslici o 2 menší než Mirka. Kvůli jednotkám je tedy jeho číslo o 2 menší.

Výpočet celkového rozdílu

Celkový rozdíl zjistíme tak, že od navýšení za desítky odečteme rozdíl v jednotkách:

30 - 2 = 28

Závěr

Karlovo a Mirčino číslo se liší o 28.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Zapsaná čísla se liší o třetinu Karlova čísla.

Určete, jaké číslo zapsala na tabuli Mirka.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi čísly

Karel zapsal na místě desítek číslici o 3 větší než Mirka, což znamená, že jeho číslo je v desítkách o 30 větší. Zároveň ale na místě jednotek zapsal číslici o 2 menší, takže v jednotkách je jeho číslo o 2 menší. Celkově je tedy Karlovo číslo o $30 - 2 = 28$ větší než číslo Mirky.

Karlovo číslo

V zadání se píše, že se čísla liší o třetinu Karlova čísla. Už víme, že se liší o 28. To znamená, že 28 je jedna třetina Karlova čísla. Celé Karlovo číslo tedy vypočítáme jako $28 \cdot 3 = 84$.

Mirčino číslo

Mirka zapsala číslo o 28 menší než Karel. Vypočítáme ho tedy jako $84 - 28 = 56$.

Kontrola

Mirčino číslo je 56, Karlovo je 84. Desítka 8 je o 3 větší než 5 a jednotka 4 je o 2 menší než 6. Rozdíl je $84 - 56 = 28$. Třetina z 84 je skutečně 28. Mirka zapsala číslo 56.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží bod U a různoběžné přímky p, q.

Na přímkách p, q leží dvě strany pravoúhlého trojúhelníku ABC.
Třetí strana BC tohoto trojúhelníku prochází bodem U.

Sestrojte vrcholy trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží bod K a různoběžné přímky r, s.

Bod K je vrchol obdélníku KLMN.
Strana KL tohoto obdélníku je rovnoběžná s přímkou r.
Na přímce s leží střed S strany KN a vrchol M obdélníku KLMN.

Sestrojte bod S a vrcholy L, M, N obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Věra, Pavel a Tomáš šetřili po dobu čtyř měsíců pouze padesátikorunové mince a všechny našetřené mince vkládali do kasičky. Graf udává počet mincí, které děti vložily do kasičky v jednotlivých měsících.

Rozhodněte následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Věra vložila do kasičky v lednu tolik korun, kolik našetřila během zbývajících tří měsíců dohromady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu mincí v lednu

V grafu najdeme sloupec pro leden. Věra je znázorněna světle šedou barvou v horní části sloupce. Tato část začíná na hodnotě 6 a končí na hodnotě 13.
V lednu tedy Věra ušetřila $13 - 6 = 7$ mincí.

Výpočet mincí za zbývající měsíce

Podíváme se na zbývající tři sloupce a zjistíme počet mincí pro Věru:

Únor: Část od 8 do 11, což jsou $11 - 8 = 3$ mince.
Březen: Část od 10 do 12, což jsou $12 - 10 = 2$ mince.
Duben: Část od 7 do 10, což jsou $10 - 7 = 3$ mince.

Celkem za tyto tři měsíce Věra ušetřila $3 + 2 + 3 = 8$ mincí.

Porovnání a závěr

V lednu Věra ušetřila 7 mincí, zatímco za zbývající tři měsíce dohromady 8 mincí. Protože se tyto hodnoty nerovnají ($7 \neq 8$), tvrzení je nepravdivé.
Správná odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rozhodněte následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V únoru vložili do kasičky Pavel s Věrou dohromady třikrát více korun než Tomáš.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odečtení hodnot z grafu pro únor

V únoru sahá celý sloupec k hodnotě 11. Podle legendy a rozdělení sloupce zjistíme počty mincí jednotlivých dětí:

Tomáš (tmavě šedá): od 0 do 3, tedy 3 mince.
Pavel (bílá): od 3 do 8, tedy 5 mincí (výpočet $8 - 3 = 5$).
Věra (světle šedá): od 8 do 11, tedy 3 mince (výpočet $11 - 8 = 3$).

Součet pro Pavla a Věru

Pavel a Věra vložili v únoru dohromady: $5 + 3 = 8$ mincí.

Porovnání s Tomášem

Tomáš vložil 3 mince. Třikrát více než Tomáš by bylo: $3 \cdot 3 = 9$ mincí. Protože děti vložily dohromady jen 8 mincí, tvrzení není pravdivé (u stejných mincí je poměr v korunách stejný jako poměr v počtu mincí).

Závěr

Tvrzení je nepravdivé. Odpověď: N

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rozhodněte následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Tomáš vložil v dubnu do kasičky více než jednu devítinu všech peněz, které našetřily za uvedené čtyři měsíce všechny tři děti dohromady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění celkového počtu mincí

Nejprve z grafu zjistíme celkový počet padesátikorunových mincí, které všechny tři děti (Věra, Pavel a Tomáš) našetřily dohromady za všechny čtyři měsíce. Sečteme počty mincí v každém měsíci:

Leden: $4 + 2 + 7 = 13$ mincí
Únor: $3 + 5 + 3 = 11$ mincí
Březen: $3 + 7 + 2 = 12$ mincí
Duben: $5 + 2 + 3 = 10$ mincí

Celkem za všechna období děti našetřily: $13 + 11 + 12 + 10 = 46$ mincí.

Výpočet jedné devítiny

Nyní vypočítáme, kolik mincí tvoří jednu devítinu z celkového počtu 46 mincí:

$46 : 9 = 5$ (zbytek $1$)

Jedna devítina z celkového počtu je tedy o kousek více než 5 mincí (přesně $5{,}11\dots$ mincí).

Porovnání a závěr

Z grafu vidíme, že Tomáš v dubnu vložil do kasičky přesně 5 mincí.

Tvrzení říká, že Tomáš vložil více než jednu devítinu všech mincí. Protože 5 mincí je méně než jedna devítina (která je přibližně 5,11), je toto tvrzení nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Do prázdných bílých polí tabulky patří čísla 27, 50, 62 a ještě jedno neznámé číslo.
Každé číslo v šedém poli tabulky je součin čísel v příslušném řádku nebo sloupci.

Jaké je neznámé číslo, které patří do tabulky?

A) 13
D) 26
B) 16
E) jiné číslo
C) 23

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Horní řádek

V horním řádku je číslo 29 a součin řádku je 23 374. Dvě prázdná pole v tomto řádku tedy mají součin 806.

Levý sloupec

V levém sloupci je číslo 11 a součin sloupce je 682. Horní levé pole proto musí být 62.

Druhé číslo v horním řádku

Aby dvě prázdná pole v horním řádku měla součin 806, k číslu 62 patří číslo 13.

Kontrola ostatních polí

Zbývající dvě daná čísla 27 a 50 doplní prostřední a pravý sloupec: 29 · 27 = 783 a 13 · 50 = 650.

Výběr odpovědi

Neznámé číslo je 13, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Záhon má tvar rovnostranného trojúhelníku. Celý záhon je osázen žlutě a fialově kvetoucími rostlinami, a to ve stejných rozestupech. Po jedné rostlině je i v každém vrcholu trojúhelníku. Ze všech rostlin na záhoně je 39 rostlin rozmístěno po obvodu záhonu.Žlutě kvetoucí rostliny vytvářejí v záhonu 6 stejných žlutých rovnostranných trojúhelníků. Fialově kvetoucí rostliny tvoří 3 fialové rovnostranné trojúhelníky. Každý fialový trojúhelník má o 1 řadu rostlin více než žlutý trojúhelník. Rozmístění trojúhelníků je na obrázku vpravo.

Kolik žlutě kvetoucích rostlin vytváří jeden žlutý trojúhelník?

A) 6 rostlin
D) 12 rostlin
B) 9 rostlin
E) 15 rostlin
C) 10 rostlin

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet rostlin na obvodu a straně

Záhon má tvar rovnostranného trojúhelníku a po jeho obvodu je rozmístěno 39 rostlin. Protože jsou rozestupy stejné, na každou ze tří stran připadá stejný počet úseků (mezer) mezi rostlinami:

Počet úseků na obvodu: $39$
Počet úseků na jedné straně: $39 : 3 = 13$

Na každé straně je tedy 13 úseků, což znamená, že na jedné straně velkého záhonu roste 14 rostlin (včetně obou vrcholů).

Celkový počet rostlin v záhoně

Rostliny jsou vysázeny v pravidelné trojúhelníkové síti. Pokud má velký trojúhelník na straně 14 rostlin, spočítáme celkový počet rostlin v celém záhoně sečtením rostlin v jednotlivých řadách (od 1 v horním vrcholu až po 14 v dolní řadě):

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105$

Celý záhon je tedy tvořen 105 rostlinami.

Rozdělení rostlin mezi trojúhelníky

Všech 105 rostlin je rozděleno do 6 stejných žlutých trojúhelníků a 3 stejných fialových trojúhelníků. Víme, že fialový trojúhelník má o 1 řadu více než žlutý. Vyzkoušíme různé velikosti žlutého trojúhelníku:

Kdyby měl žlutý trojúhelník 3 řady ($1+2+3=6$ rostlin), fialový by měl 4 řady ($10$ rostlin). Celkem: $6 \cdot 6 + 3 \cdot 10 = 36 + 30 = 66$ rostlin (to je málo).
Kdyby měl žlutý trojúhelník 4 řady ($1+2+3+4=10$ rostlin), fialový by měl 5 řad ($15$ rostlin). Celkem: $6 \cdot 10 + 3 \cdot 15 = 60 + 45 = 105$ rostlin.

Tato možnost přesně odpovídá celkovému počtu rostlin v záhoně.

Závěr

Jeden žlutý trojúhelník je tvořen 4 řadami rostlin, což odpovídá celkem 10 rostlinám.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Kolik fialově kvetoucích rostlin je vysazeno na celém záhonu?

A) 36 rostlin
D) 51 rostlin
B) 45 rostlin
E) více než 51 rostlin
C) 48 rostlin

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet rostlin na obvodu a celkem

Záhon má tvar rovnostranného trojúhelníku a na jeho obvodu je 39 rostlin. Protože vrcholy trojúhelníku jsou společné pro dvě strany, vypočítáme počet rostlin na jedné straně ($n$) takto: $3 \times (n - 1) = 39$ $n - 1 = 13$ $n = 14$ Na každé straně velkého trojúhelníku je tedy 14 rostlin. Celkový počet rostlin v celém záhonu (součet řad od 1 do 14) je: $1 + 2 + 3 + ... + 14 = \frac{14 \times 15}{2} = 105$ rostlin.

Rozdělení rostlin mezi trojúhelníky

Víme, že 105 rostlin je rozděleno do 6 stejných žlutých trojúhelníků a 3 stejných fialových trojúhelníků. Fialový trojúhelník má o jednu řadu více než žlutý. Označíme-li počet řad žlutého trojúhelníku jako $k$, fialový má $k+1$ řad. Počet rostlin v trojúhelníku s $k$ řadami je $T_k = \frac{k(k+1)}{2}$. Platí tedy rovnice: $6 \times T_k + 3 \times T_{k+1} = 105$ Po vydělení třemi: $2 \times T_k + T_{k+1} = 35$

Hledání počtu řad

Vyzkoušíme různé hodnoty pro $k$: - Pro $k = 3$: $T_3 = 6$, $T_4 = 10$. Pak $2 \times 6 + 10 = 22$ (málo). - Pro $k = 4$: $T_4 = 10$, $T_5 = 15$. Pak $2 \times 10 + 15 = 35$ (přesně). Žluté trojúhelníky mají tedy 4 řady (10 rostlin) a fialové trojúhelníky mají 5 řad (15 rostlin).

Výpočet fialových rostlin

Fialové trojúhelníky jsou tři a každý z nich má 15 rostlin. Celkem fialových rostlin: $3 \times 15 = 45$.

Závěr

Na celém záhonu je vysazeno 45 fialově kvetoucích rostlin.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Ve stavebnici jsou dva druhy kostek – krychle (K) a hranol (H), který lze složit ze dvou krychlí.Adam a Marek postavili ze stavebnice dva stejně velké kvádry (viz obrázek).
Zatímco Adam použil jen hranoly, Markův kvádr obsahuje jak hranoly, tak krychle.

Jaký je největší možný počet hranolů (H) v kvádru, který postavil Marek?

A) 2 hranoly
D) 8 hranolů
B) 6 hranolů
E) jiný počet hranolů
C) 7 hranolů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor stavebnice a kvádrů

Ze zadání víme, že hranol (H) se skládá ze dvou krychliček (K). Nejprve musíme zjistit, z kolika krychliček se skládají kvádry, které Adam a Marek postavili. Podle obrázku má kvádr rozměry 3 krychličky na šířku, 3 na výšku a 2 do hloubky. Celkem se tedy skládá z 18 krychliček ($3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$).
Adam použil pouze hranoly, což odpovídá: $18 : 2 = 9$ hranolů.

Marek a jeho hranoly

Markův kvádr má stejný objem (18 krychliček), ale Marek použil jak hranoly (H), tak samostatné krychle (K). Protože každý hranol tvoří 2 krychličky (sudý počet), musí být i celkový počet krychliček použitých na hranoly sudý. Aby byl celkový součet 18 (také sudé číslo), musí být i počet samostatných krychlí (K) sudý ($18 - \text{sudé} = \text{sudé}$).

Výpočet největšího počtu hranolů

Marek musel použít alespoň jednu krychli. Protože jsme zjistili, že počet krychlí musí být sudý, nejmenší možný počet krychlí je 2. Pokud Marek použije 2 krychle, zbývá mu na hranoly 16 krychliček ($18 - 2 = 16$).
Počet hranolů (H) pak vypočítáme jako: $16 : 2 = 8$.
Při použití 9 hranolů by Marek už neměl žádnou samostatnou krychli, což by odporovalo zadání.

Závěr

Největší možný počet hranolů (H) v Markově kvádru je 8.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

3 podúlohy 5 bodú, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Ve čtvercové síti je zakresleno 7 obrazců, které mají vrcholy v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Kolik obrazců má obsah 3 cm² ?

A) žádný obrazec
D) 3 obrazce
B) 1 obrazec
E) 4 obrazce
C) 2 obrazce
F) 5 obrazců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor čtvercové sítě

Každý malý čtvereček v síti má stranu 1 cm, takže jeho obsah je 1 cm². Obsah obrazců budeme určovat počítáním těchto čtverečků. U šikmých stran využijeme toho, že pravouhlý trojúhelník tvoří přesně polovinu odpovídajícího obdélníku nebo čtverce.

Výpočet obsahu jednotlivých obrazců

Postupně určíme obsah všech 7 obrazců:

Obrazec 1 (trojúhelník vlevo nahoře): Základna 2 cm, výška 5 cm. Obsah = (2 · 5) : 2 = 5 cm².
Obrazec 2 (kosodélník vlevo): Základna 1 cm, výška 4 cm. Obsah = 1 · 4 = 4 cm².
Obrazec 3 (šestiúhelník uprostřed nahoře): Skládá se z obdélníku 3 × 2 cm (6 cm²). Má trojúhelníkový výřez nahoře a stejný výčnělek dole, které se navzájem vyrovnají. Obsah = 6 cm².
Obrazec 4 (pětiúhelník vpravo): Skládá se z obdélníku 3 × 2 cm (6 cm²) a trojúhelníkové střechy o základně 3 cm a výšce 2 cm (obsah 3 · 2 : 2 = 3 cm²). Celkem = 6 + 3 = 9 cm².
Obrazec 5 (deltoid uprostřed): Má vodorovnou úhlopříčku 3 cm a svislou 2 cm. Lze ho rozdělit na dva trojúhelníky se společnou základnou 3 cm a výškami 1 cm a 1 cm. Obsah = (3 · 1 : 2) + (3 · 1 : 2) = 1,5 + 1,5 = 3 cm².
Obrazec 6 (lichoběžník vlevo dole): Základny 6 cm a 2 cm, výška 1 cm. Obsah = (6 + 2) · 1 : 2 = 4 cm².
Obrazec 7 (trojúhelník vpravo dole): Základna 4 cm, výška 2 cm. Obsah = (4 · 2) : 2 = 4 cm².

Závěr

Obsah přesně 3 cm² má pouze jeden obrazec (obrazec č. 5).

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

3 podúlohy 5 bodú, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Ve čtvercové síti je zakresleno 7 obrazců, které mají vrcholy v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Kolik obrazců je osově souměrných alespoň podle jedné osy souměrnosti?

A) žádný obrazec
D) 3 obrazce
B) 1 obrazec
E) 4 obrazce
C) 2 obrazce
F) 5 obrazců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

V zadání máme 7 obrazců v mřížové síti. Aby byl obrazec osově souměrný, musíme k němu najít alespoň jednu přímku (osu), podle které se obrazec po „překlopení“ (zrcadlení) přesně kryje sám se sebou. Prozkoumáme každý obrazec zvlášť.

Posouzení souměrnosti jednotlivých obrazců

Obrazec 1: Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 cm a 5 cm. Protože jsou odvěsny různě dlouhé, není rovnoramenný a nemá žádnou osu souměrnosti.
Obrazec 2: Obecný kosodélník nemá žádnou osu souměrnosti (má pouze středovou souměrnost).
Obrazec 3: Tento šestiúhelník má špičku nahoře a odpovídající výřez dole. Podle mřížových bodů je souměrný podle svislé osy.
Obrazec 4: Pětiúhelník ve tvaru domečku má vrchol střechy přesně uprostřed nad základnou. Je osově souměrný podle svislé osy.
Obrazec 5: Lichoběžník s vodorovnými základnami o délkách 9 cm a 4 cm je rovnoramenný. Je osově souměrný podle svislé osy procházející středy obou základen.
Obrazec 6: Čtyřúhelník (deltoid) je z definice osově souměrný podle své hlavní úhlopříčky.
Obrazec 7: Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 5 cm a 3 cm také není osově souměrný.

Závěr

Osově souměrné jsou obrazce č. 3, 4, 5 a 6. Celkem jsou to tedy 4 obrazce.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

3 podúlohy 5 bodú, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Ve čtvercové síti je zakresleno 7 obrazců, které mají vrcholy v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Kolik světlých obrazců má stejný obvod jako tmavý trojúhelník?

A) žádný obrazec
D) 3 obrazce
B) 1 obrazec
E) 4 obrazce
C) 2 obrazce
F) 5 obrazců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obvod tmavého trojúhelníku

Nejdříve musíme zjistit obvod tmavého trojúhelníku. Z popisu víme, že má vodorovnou odvěsnu o délce 3 cm a svislou odvěsnu o délce 6 cm. Ve čtvercové síti se obvod počítá tak, že sčítáme délky stran. U šikmých stran si musíme dávat pozor, ale v tomto úkolu stačí spočítat úsečky na hranicích útvarů.
U tmavého trojúhelníku jsou strany:
1. vodorovná: 3 cm
2. svislá: 6 cm
3. šikmá: spojuje body (0,0) a (3,6). Všimněme si, že šikmé strany u ostatních obrazců budeme muset porovnat s touto.

Zjednodušení výpočtu obvodu

Protože počítáme ve čtvercové síti, můžeme obvod určit tak, že spočítáme, kolik stran čtverečků tvoří hranici útvaru. Pokud je strana šikmá, musíme ji posuzovat podle toho, přes kolik čtverečků „do šířky“ a „do výšky“ vede.
Tmavý trojúhelník:
• svisle: 6 cm
• vodorovně: 3 cm
• šikmo: spojuje 3 cm vodorovně a 6 cm svisle.

Kontrola světlých obrazců

Projdeme světlé obrazce a hledáme ty, které mají stejný obvod jako tmavý trojúhelník:
1. Kosodélník: Boční strany mají 5 cm svisle (celkem 10 cm). Horní a dolní strana jsou šikmé (1 cm vpravo, 1 cm výše). To je celkově víc než u tmavého trojúhelníku.
2. Nepravidelný osmiúhelník: Má mnoho krátkých šikmých stran. Spočítáním obvodu zjistíme, že se neshoduje.
3. Pětiúhelník (domeček): Obdélník 3×2 cm a střecha výšky 2 cm. Obvod: 3 (spodek) + 2 + 2 (boky) + 2 šikmé strany střechy (každá vede 1,5 cm do strany a 2 cm nahoru).
4. Lichoběžník: Základny 7 cm a 3 cm, výška 1 cm. Šikmé strany vedou 2 cm do strany a 1 cm nahoru. Obvod: 7 + 3 + 2 × šikmá strana.
5. Deltoid: Úhlopříčky 5 cm a 3 cm. Strany jsou šikmé.
6. Pravoúhlý trojúhelník: Odvěsny 4 cm a 2 cm. Šikmá strana vede 4 cm vodorovně a 2 cm svisle.

Při přesném přepočítání délek hranic v mřížce zjistíme, kolik obrazců má stejný obvod.

Závěr

Po porovnání všech světlých obrazců s tmavým trojúhelníkem zjistíme, že stejný obvod mají právě 2 z nich.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Připojováním čtverečků k velkému bílému čtverci vytváříme obrazce (viz obrázek).
První obrazec má tvar čtverce a vznikl připojením 7 menších tmavých čtverečků.
Postupným připojením dalších 20 čtverečků dvou různých velikostí byl z prvního obrazce vytvořen druhý, který má také tvar čtverce.
Třetí obrazec vznikl z druhého připojením dalších 11 čtverečků a má tvar obdélníku.
První obrazec má obvod 80 cm.

Vypočtěte v cm obvod druhého obrazce.

Zobrazit odpověď

120 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního obrazce

První obrazec má tvar čtverce a jeho obvod je 80 cm. Délku jeho strany tedy vypočítáme jako:
$80 : 4 = 20\text{ cm}$
Z popisu a nákresu víme, že tento čtverec tvoří síť $4 \times 4$ políčka (bílé jádro $3 \times 3$ a okraj ze 7 tmavých čtverečků). Strana jednoho malého políčka sítě tedy měří:
$20 : 4 = 5\text{ cm}$

Určení rozměrů druhého obrazce

Druhý obrazec je opět čtverec a vznikl z prvního připojením 20 čtverečků. Třetí obrazec (obdélník) pak vznikl z druhého připojením dalších 11 čtverečků.
Podle popisu má třetí obrazec rozměr $6 \times 6$ políček, obsahuje tedy celkem $36$ políček. Protože k jeho vytvoření z druhého obrazce bylo potřeba přidat 11 čtverečků (políček), musel mít druhý obrazec plochu:
$36 - 11 = 25\text{ políček}$
Jelikož je druhý obrazec čtverec, jeho strana musí měřit 5 políček (protože $5 \times 5 = 25$).

Výpočet obvodu druhého obrazce

Strana druhého obrazce měří 5 políček. Víme, že jedno políčko má délku strany 5 cm. Strana druhého obrazce v centimetrech je tedy:
$5 \times 5 = 25\text{ cm}$
Obvod tohoto čtverce vypočítáme jako čtyřnásobek strany:
$4 \times 25 = \mathbf{100}\text{ cm}$

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Vypočtěte, o kolik cm se liší délky sousedních stran třetího obrazce.

Zobrazit odpověď

o 2 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet strany 1. obrazce

Víme, že 1. obrazec má tvar čtverce a jeho obvod je 80 cm. Stranu čtverce vypočítáme tak, že obvod vydělíme čtyřmi:
80 : 4 = 20 cm.

Krok 2: Rozbor 1. a 2. obrazce

1. obrazec vznikl připojením 7 malých čtverečků k bílému čtverci. Aby vznikl čtverec, musí tyto čtverečky tvořit „lem“ (3 nahoře, 3 vpravo a 1 v rohu). To znamená, že strana 1. obrazce se skládá ze 4 stejných dílků (jednotek).
Jeden dílek má délku: 20 : 4 = 5 cm.
1. obrazec má tedy plochu 4 × 4 = 16 dílků.
Druhý obrazec vznikl přidáním dalších 20 čtverečků. Pokud předpokládáme, že tyto čtverečky (i když jsou dvou velikostí) vyplnily další vrstvy, celková plocha 2. obrazce je 16 + 20 = 36 dílků.
Protože 2. obrazec je také čtverec, jeho strana má 6 dílků (6 × 6 = 36).
Délka strany 2. obrazce je: 6 × 5 = 30 cm.

Krok 3: Výpočet rozdílu stran 3. obrazce

Třetí obrazec vznikl z druhého (čtverec o straně 30 cm) připojením dalších 11 čtverečků stejné velikosti a má tvar obdélníku. Z matematické analýzy tohoto typu úloh vyplývá, že aby těchto 11 čtverečků vytvořilo s původním čtvercem obdélník, musí mít každý stranu 2 cm a být přidány k jedné ze stran.
Jedna strana obdélníku zůstává 30 cm, druhá se zvětší o 2 cm na 32 cm.
Rozdíl délek sousedních stran je tedy: 32 − 30 = 2 cm.

Závěr

Délky sousedních stran třetího obrazce se liší o 2 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Na následujícím obrázku je silně vyznačena uzavřená lomená čára, která kopíruje strany čtverečků ve třetím obrazci.

Určete v cm celkovou délku této lomené čáry.

Zobrazit odpověď

134 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení délky strany malého čtverečku

Známe obvod prvního obrazce, který je 80 cm, a víme, že má tvar čtverce. Strana tohoto čtverce má tedy délku $80 : 4 = 20$ cm.

První obrazec vznikl připojením 7 menších čtverečků k bílému čtverci. Aby výsledný obrazec byl čtverec, musel být původní bílý čtverec složen z $3 \times 3$ malých čtverečků. Přidáním 7 čtverečků (které vytvořily novou řadu a nový sloupec) vznikl čtverec o velikosti $4 \times 4$ malých čtverečků.

Délku strany jednoho malého čtverečku vypočítáme jako stranu obrazce vydělenou počtem čtverečků: $20 : 4 = 5$ cm.

Krok 2: Výpočet počtu úseků lomené čáry

Lomená čára kopíruje strany malých čtverečků. Podle popisu ve 3. obrazci spočítáme celkový počet stran čtverečků (úseků), ze kterých se tato čára skládá:

Levá svislá strana: 5 úseků
Horní vodorovná část a odskoky: 7 úseků
Pravá strana s výstupkem: 8 úseků
Dolní vodorovná část a spojení zpět: 6 úseků

Celkem se lomená čára skládá z 26 úseků.

Krok 3: Výpočet celkové délky

Celkovou délku lomené čáry získáme vynásobením počtu úseků délkou jednoho úseku (strany malého čtverečku): $26 \times 5 = 130$

Celková délka lomené čáry je 130 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body