Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. náhradní termín 2025

29 úloh

Úloha 1

Plavec uplave v bazénu rovnoměrným tempem 2 kilometry za 48 minut.

Vypočtěte, za kolik minut uplave plavec tímto tempem celkem 5 padesátimetrových bazénů.

Zobrazit odpověď

6 minut

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková délka pěti bazénů

Jeden bazén měří 50 metrů. Pět takových bazénů má tedy celkovou délku:
$5 \cdot 50 = 250$ metrů

Převod vzdálenosti na metry

Plavec uplave 2 kilometry za 48 minut. Abychom mohli vzdálenosti snadno porovnat, převedeme kilometry na metry:
$2$ km $= 2\,000$ metrů

Výpočet času pro 250 metrů

Víme, že 2 000 metrů plavec uplave za 48 minut. Můžeme si to postupně zjednodušit:
  • 1 000 metrů (polovinu) uplave za 24 minut ($48 : 2 = 24$).
  • 500 metrů (další polovinu) uplave za 12 minut ($24 : 2 = 12$).
  • 250 metrů (opět polovinu) uplave za 6 minut ($12 : 2 = 6$).

Závěr

Plavec uplave pět padesátimetrových bazénů za 6 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.1

Vypočtěte

$\displaystyle (510 \div 34) - (8 + 56 \div 8) =$

Zobrazit odpověď

0

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce: $510 \div 34$. Můžeme si pomoci tím, že $10 \cdot 34 = 340$ a do $510$ nám zbývá $170$, což je přesně $5 \cdot 34$. Výsledek první závorky je tedy $10 + 5 = 15$.

Druhá závorka

V druhé závorce má přednost dělení před sčítáním. Nejdříve tedy vypočítáme $56 \div 8 = 7$ a k němu přičteme $8$. Výsledek druhé závorky je $8 + 7 = 15$.

Celkový výsledek

Nakonec od výsledku první závorky odečteme výsledek druhé závorky. Spočítáme $15 - 15 = 0$. Výsledkem celého příkladu je 0.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

Vypočtěte

$\displaystyle 10 \cdot 100 - (100 - 6 \cdot 14) : 2 =$

Zobrazit odpověď

992

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Při výpočtu příkladu se závorkou musíme nejdříve vyřešit to, co je uvnitř ní. V závorce má přednost násobení:
6 · 14 = 84

Dokončení závorky

Teď odečteme výsledek násobení od čísla 100:
100 – 84 = 16

Násobení a dělení

Nyní se podíváme na zbytek příkladu: 10 · 100 – 16 : 2. Násobení a dělení mají přednost před odčítáním:
10 · 100 = 1000
16 : 2 = 8

Konečný výsledek

Nakonec obě získaná čísla odečteme:
1000 – 8 = 992
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 2.3

Vypočtěte

$\displaystyle 72 \div 4 + 8 - 10 \div 1 + 1 =$

Zobrazit odpověď

17

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost dělení

V příkladu má přednost dělení před sčítáním a odčítáním. Nejdříve si tedy vypočítáme obě dělení:
  • $72 : 4 = 18$
  • $10 : 1 = 10$

Sestavení příkladu

Vypočítané výsledky dosadíme zpět do původního příkladu místo dělení:
$18 + 8 - 10 + 1 =$

Postupný výpočet

Nyní už jen sčítáme a odčítáme postupně zleva doprava:
  • $18 + 8 = 26$
  • $26 - 10 = 16$
  • $16 + 1 = 17$

Celkový výsledek

Výsledek celého příkladu je 17.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.1

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 12 kuliček je červených a zbývající kuličky jsou modré. Modrých kuliček má Martin o polovinu více než červených.

Určete počet všech Martinových kuliček.

Zobrazit odpověď

45 kuliček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet modrých kuliček

Víme, že červených kuliček je 12. Modrých má Martin o polovinu více než červených. Polovina z 12 je 6, takže modrých kuliček je $12 + 6 = 18$.

Červené a modré kuličky

Teď zjistíme, kolik má Martin červených a modrých kuliček dohromady: $12 + 18 = 30$.

Všechny kuličky

Jedna třetina všech kuliček je žlutých. To znamená, že zbývající dvě třetiny tvoří právě červené a modré kuličky. Pokud dvě třetiny jsou 30 kuliček, pak jedna třetina je 15 kuliček ($30 \div 2 = 15$). Všechny kuličky jsou tři třetiny, tedy $3 \cdot 15 = 45$.

Výsledek

Martin má celkem 45 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 12 kuliček je červených a zbývající kuličky jsou modré. Modrých kuliček má Martin o polovinu více než červených.

Martin dá kamarádce tolik červených kuliček, aby polovinu jeho zbylých kuliček tvořily modré kuličky.

Určete, kolik červených kuliček dá Martin kamarádce.

Zobrazit odpověď

9 červených kuliček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet modrých kuliček

Víme, že modrých kuliček má Martin o polovinu více než červených. Červených kuliček je 12, jejich polovina je 6 ($12 \div 2 = 6$). Modrých kuliček je tedy: $12 + 6 = 18$.

Počet žlutých kuliček a celkový počet

Žluté kuličky tvoří jednu třetinu všech kuliček. To znamená, že červené a modré kuličky dohromady tvoří zbývající dvě třetiny. Červené a modré dohromady: $12 + 18 = 30$. Jestliže dvě třetiny jsou 30 kuliček, jedna třetina je 15 kuliček ($30 \div 2 = 15$). Martin má tedy 15 žlutých kuliček a celkem má $15 + 30 = 45$ kuliček.

Cílový stav

Martin chce, aby modré kuličky (těch je 18) tvořily přesně polovinu všech kuliček, které mu zbudou. Pokud má být 18 kuliček polovina, musí jich po darování zbýt celkem: $18 \cdot 2 = 36$.

Výpočet darovaných kuliček

Na začátku měl Martin 45 kuliček a po darování mu jich má zbýt 36. Počet darovaných kuliček: $45 - 36 = 9$. Martin dá kamarádce 9 červených kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.1

Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým. V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

V 1. kole bylo soutěžících, kteří získali 8 bodů, o jednoho méně než těch, kteří získali 10 bodů.

Určete součet bodů celého týmu v 1. kole.

Zobrazit odpověď

91 bodů

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet soutěžících v 1. kole

Víme, že celý tým má 10 členů. Z tabulky vyčteme, že v 1. kole získalo 5 soutěžících 9 bodů. Na ostatní bodové zisky (8 a 10 bodů) tedy zbývá 5 soutěžících ($10 - 5 = 5$).

Rozdělení zbývajících soutěžících

Zadání říká, že soutěžících s 8 body bylo o jednoho méně než těch s 10 body. Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a jedno je o 1 menší než druhé. Jsou to čísla 2 a 3. Tedy 2 soutěžící získali 8 bodů a 3 soutěžící získali 10 bodů.

Výpočet celkového součtu

Nyní spočítáme body za všechny skupiny soutěžících v 1. kole:
  • 2 soutěžící po 8 bodech: $2 \cdot 8 = 16$ bodů
  • 5 soutěžících po 9 bodech: $5 \cdot 9 = 45$ bodů
  • 3 soutěžící po 10 bodech: $3 \cdot 10 = 30$ bodů
Celkový součet v 1. kole je: $16 + 45 + 30 = \mathbf{91}$ bodů.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.2

Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým. V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.

Určete, kolik soutěžících mohlo ve 2. kole získat 9 bodů.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

1 soutěžící; 3 soutěžící; 5 soutěžících

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 2. kola

V týmu je 10 soutěžících a ve 2. kole získali dohromady 95 bodů. Víme, že každý mohl získat jen 8, 9, nebo 10 bodů.

Hledání rozdílu od maxima

Kdyby všech 10 soutěžících získalo maximálních 10 bodů, měl by tým celkem 100 bodů ($10 \times 10 = 100$). Ve skutečnosti mají 95 bodů, což je o 5 bodů méně ($100 - 95 = 5$).

Rozdělení chybějících bodů

Každý soutěžící s 9 body „ubírá“ z maxima 1 bod. Každý soutěžící s 8 body „ubírá“ 2 body. Dohromady musíme těmito úbytky získat přesně chybějících 5 bodů.

Možné kombinace

Hledáme, kolikrát se v součtu 5 může vyskytovat „dvojka“ (8 bodů) a zbytek doplníme „jedničkami“ (9 bodů):
  • 0 soutěžících s 8 body: 5 bodů doženeme 5 soutěžícími s 9 body ($5 \times 1 = 5$).
  • 1 soutěžící s 8 body: ubere 2 body, zbývají 3 body, které doženeme 3 soutěžícími s 9 body ($3 \times 1 = 3$).
  • 2 soutěžící s 8 body: uberou 4 body, zbývá 1 bod, který dožene 1 soutěžící s 9 body ($1 \times 1 = 1$).
Více soutěžících s 8 body mít nemůžeme, protože 3 soutěžící by ubrali 6 bodů, což je už víc než chybějících 5 bodů.

Závěr

Ve 2. kole mohl získat 9 bodů 1, 3 nebo 5 soutěžících.
Pomohlo vám toto řešení?
3 body
Úloha 5.1

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 140 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 3 hodiny zbývajících 90 beden.

Vypočtěte o kolik kusů se liší počet beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A a počet beden odvezených za 1 hodinu robotem B.

Zobrazit odpověď

o 5 kusů

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výkon robota A

Robot A odvezl za 2 hodiny celkem 50 beden. Abychom zjistili, kolik beden odvezl za jednu hodinu, musíme celkový počet beden vydělit dvěma.
50 : 2 = 25
Robot A tedy odveze za jednu hodinu 25 beden.

Výkon robota B

Robot B odvezl za 3 hodiny celkem 90 beden. Podobně zjistíme jeho výkon za jednu hodinu tak, že počet beden vydělíme třemi.
90 : 3 = 30
Robot B tedy odveze za jednu hodinu 30 beden.

Rozdíl výkonů

Naším úkolem je zjistit, o kolik kusů se tyto výkony liší. Odečteme tedy menší počet od většího.
30 − 25 = 5
Počet beden odvezených za jednu hodinu se u obou robotů liší o 5 kusů.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.2

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 140 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 3 hodiny zbývajících 90 beden.

Vypočtěte kolikrát méně jízd vykoná za 1 hodinu robot A než robot B.

Zobrazit odpověď

2 krát

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet jízd robota A

Robot A odvezl celkem 50 beden a při každé jízdě jich vzal 5. Celkový počet jízd vypočítáme jako:
50 : 5 = 10 jízd.
Tyto jízdy vykonal za 2 hodiny.

Jízdy robota A za 1 hodinu

Víme, že za 2 hodiny vykonal 10 jízd. Za 1 hodinu tedy vykonal polovinu:
10 : 2 = 5 jízd.

Počet jízd robota B

Robot B odvezl 90 beden a při každé jízdě vzal 3 bedny. Celkový počet jízd byl:
90 : 3 = 30 jízd.
Tyto jízdy vykonal za 3 hodiny.

Jízdy robota B za 1 hodinu

Za 3 hodiny vykonal 30 jízd. Za 1 hodinu tedy vykonal:
30 : 3 = 10 jízd.

Porovnání robotů

Robot A vykoná za hodinu 5 jízd, zatímco robot B jich vykoná 10. Protože 10 : 5 = 2, vykoná robot A dvakrát méně jízd než robot B.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.3

Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 140 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 3 hodiny zbývajících 90 beden.

Vypočtěte kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.

Zobrazit odpověď

33 beden

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výkon robota A

Robot A odvezl 50 beden za 2 hodiny (což je 120 minut). Protože vozil bedny po 5 kusech, musel jet celkem 10krát ($50 : 5 = 10$). Jedna cesta mu tedy trvala 12 minut ($120 : 10 = 12$). Za 36 minut stihne robot A právě 3 cesty ($36 : 12 = 3$) a odveze tak 15 beden ($3 \cdot 5 = 15$).

Výkon robota B

Robot B odvezl 90 beden za 3 hodiny (což je 180 minut). Vozil bedny po 3 kusech, takže musel jet celkem 30krát ($90 : 3 = 30$). Jedna cesta mu tedy trvala 6 minut ($180 : 30 = 6$). Za 36 minut stihne robot B právě 6 cest ($36 : 6 = 6$) a odveze tak 18 beden ($6 \cdot 3 = 18$).

Společný provoz

Při společném provozu sečteme bedny, které za 36 minut odveze každý robot zvlášť. Robot A odveze 15 beden a robot B odveze 18 beden. Dohromady za 36 minut odvezou $15 + 18 = 33$ beden.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Na obrázku jsou obrazce A, B.
Obrazec A je obdélník složený ze 4 stejných bílých obdélníčků a 4 stejných šedých čtverečků. Obvod bílé části obrazce A je o 32 cm větší než obvod šedé části.
Obrazec B je osmiúhelník, který vznikl přeskládáním jednotlivých dílů obrazce A.

Určete kolik cm měří obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

56 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obrazec A je obdélník o rozměrech 3 × 4 malé čtvercové jednotky. Celkem se tedy skládá z $3 \times 4 = 12$ těchto jednotek. Víme, že v obdélníku jsou 4 šedé čtverečky (každý o ploše 1 jednotka) a 4 stejné bílé obdélníčky. Na bílou část zbývá $12 - 4 = 8$ jednotek plochy. Protože jsou bílé obdélníčky 4 a jsou stejné, každý musí mít plochu 2 jednotky (má tedy rozměr $1 \times 2$ nebo $2 \times 1$ jednotky).

Určení obvodů v jednotkách

Spočítáme obvody šedé a bílé části v jednotkách (jako počet stran malých čtverečků):
  • Šedá část: 4 čtverečky jsou spojené do jednoho útvaru. Když spočítáme všechny vnější strany tohoto útvaru, zjistíme, že jeho obvod je 10 jednotek.
  • Bílá část: Bílou plochu tvoří zbytek obdélníku A. Její obvod (hranice bílé části) se skládá z vnějších stran obdélníku A a z hranic s šedou částí. Celkem naměříme 18 jednotek.

Výpočet délky jedné jednotky

Rozdíl obvodů v jednotkách je $18 - 10 = 8$ jednotek. Ze zadání víme, že tento rozdíl je ve skutečnosti 32 cm.
Jedna jednotka (strana malého čtverečku) tedy měří:
$32 : 8 = 4\text{ cm}$

Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A má strany dlouhé 3 a 4 jednotky. Obvod v jednotkách je: $2 \times (3 + 4) = 14$ jednotek.
Protože jedna jednotka měří 4 cm, celkový obvod je:
$14 \times 4 = 56\text{ cm}$


Obvod obrazce A je 56 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.2

Na obrázku jsou obrazce A, B.
Obrazec A je obdélník složený ze 4 stejných bílých obdélníčků a 4 stejných šedých čtverečků. Obvod bílé části obrazce A je o 32 cm větší než obvod šedé části.
Obrazec B je osmiúhelník, který vznikl přeskládáním jednotlivých dílů obrazce A.

Určete o kolik cm se liší obvody obrazců A, B.

Zobrazit odpověď

o 8 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor obrazce A a určení strany čtverečku

Obrazec A je obdélník složený z 12 stejných polí (4 šedé čtverečky a 8 bílých čtverečků).
1. Šedá část: Skládá se ze 4 čtverečků. Z popisu a nákresu vidíme, že tyto čtverečky sdílejí 3 vnitřní strany. Obvod šedé části tedy tvoří 10 stran čtverečku ($4 \times 4 - 2 \times 3 = 10$).
2. Bílá část: Skládá se z 8 čtverečků. Její obvod tvoří vnější hranice (11 stran) a vnitřní hranice s šedou částí (7 stran). Celkem má bílá část obvod 18 stran.
3. Výpočet: Rozdíl v obvodech je $18 - 10 = 8$ stran. Víme, že tento rozdíl je 32 cm. Jedna strana čtverečku tedy měří $32 : 8 = 4$ cm.

Krok 2: Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A je obdélník o rozměrech $3 \times 4$ čtverečky.
• Obvod v počtu stran: $2 \times (3 + 4) = 14$ stran.
• Obvod v centimetrech: $14 \times 4 = 56$ cm.

Krok 3: Výpočet obvodu obrazce B

Obrazec B je osmiúhelník vzniklý přeskládáním dílů. Spočítáme počet jeho vnějších stran podle popisu sloupců:
• Levá strana: 3 strany.
• Dolní strana: 5 stran.
• Horní a pravá strana (stupňovitá): Horní hrany mají $3 + 1 + 1 = 5$ stran, pravé hrany mají $1 + 1 + 1 = 3$ strany. Celkem 8 stran.
Celkový obvod obrazce B je $3 + 5 + 8 = 16$ stran. V centimetrech: $16 \times 4 = 64$ cm.

Krok 4: Určení rozdílu obvodů

Nyní vypočítáme, o kolik se obvody liší:
$64 \text{ cm} - 56 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$.

Obvody obrazců se liší o 8 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.1

V rovině leží body K, M.

Body K, M jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Střed strany LM tohoto trojúhelníku je bod S. Přitom trojúhelník KMS je rovnostranný.

Sestrojte bod S a vrchol L trojúhelníku KLM, označte je písmeny a trojúhelník KLM narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží bod A a přímka p procházející bodem R.

Bod A je vrchol čtverce ABCD. Na přímce p leží vrchol B tohoto čtverce. Bod R má od obou vrcholů A i B stejnou vzdálenost. Bod R neleží uvnitř čtverce ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C, D čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 8.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Honza měl 22 sirek o délce 4 cm a 18 sirek o délce 5 cm.
Ze všech těchto sirek poskládal obrazce tvaru čtverce a obrazce tvaru obdélníku.
Stranu obrazce tvořila vždy jediná sirka a žádné dva obrazce neměly společnou stranu.

Rozhodněte následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Honza mohl vytvořit nejvýše 9 čtverců.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet obrazců

Honza má 22 sirek o délce 4 cm a 18 sirek o délce 5 cm. Celkem má tedy $22 + 18 = 40$ sirek. Každý obrazec (čtverec i obdélník) má 4 strany a každou stranu tvoří právě jedna sirka. To znamená, že každý obrazec spotřebuje přesně 4 sirky. Celkem tedy Honza sestavil $40 \div 4 = 10$ obrazců.

Možnosti sestavení obrazců

Čtverec musí mít všechny čtyři strany stejné. To znamená, že čtverec může být složen buď ze čtyř 4cm sirek, nebo ze čtyř 5cm sirek. Obdélník, který není čtvercem, musí mít dvě strany ze 4cm sirek a dvě strany z 5cm sirek (jiná možnost při použití všech sirek není).

Hledání maximálního počtu čtverců

Abychom měli co nejvíce čtverců, musíme mít co nejméně obdélníků. Zkusíme, zda mohl být jen 1 obdélník. Ten spotřebuje dvě 4cm sirky a dvě 5cm sirky.
  • Počet zbývajících 4cm sirek: $22 - 2 = 20$. Z nich vytvoříme $20 \div 4 = 5$ čtverců.
  • Počet zbývajících 5cm sirek: $18 - 2 = 16$. Z nich vytvoříme $16 \div 4 = 4$ čtverce.
Celkem by tedy Honza mohl vytvořit $5 + 4 = 9$ čtverců.

Ověření

Mohl by jich být i více? Pokud by mělo být 10 čtverců, nesměl by existovat žádný obdélník. Pak by ale musely být počty sirek obou délek dělitelné čtyřmi. To ale nejsou (22 ani 18 nelze rozdělit na čtverce beze zbytku). Číslo 9 je tedy skutečně maximum.

Závěr

Honza mohl vytvořit nejvýše 9 čtverců. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Honza měl 22 sirek o délce 4 cm a 18 sirek o délce 5 cm.
Ze všech těchto sirek poskládal obrazce tvaru čtverce a obrazce tvaru obdélníku.
Stranu obrazce tvořila vždy jediná sirka a žádné dva obrazce neměly společnou stranu.

Rozhodněte následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Honza mohl vytvořit stejný počet čtverců a obdélníků.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet obrazců

Honza má celkem $22 + 18 = 40$ sirek. Každý čtverec i obdélník se skládá ze 4 sirek (protože každou stranu tvoří právě jedna sirka). Jelikož Honza použil všechny sirky a žádné dva obrazce neměly společnou stranu, musel sestavit celkem $40 \div 4 = 10$ obrazců.

Počet čtverců a obdélníků

Pokud by Honza vytvořil stejný počet čtverců a obdélníků, muselo by jich být od každého druhu přesně 5 (protože $5 + 5 = 10$).

Složení obdélníků

Obdélníky, které nejsou čtverci, musí mít dvě a dvě strany stejně dlouhé. To znamená, že každý takový obdélník musí mít 2 sirky délky 4 cm a 2 sirky délky 5 cm. Na 5 obdélníků by Honza spotřeboval $5 \cdot 2 = 10$ sirek délky 4 cm a $5 \cdot 2 = 10$ sirek délky 5 cm.

Zbývající sirky pro čtverce

Po složení 5 obdélníků by Honzovi zbylo:
  • $22 - 10 = 12$ sirek délky 4 cm
  • $18 - 10 = 8$ sirek délky 5 cm
Ze 12 sirek o délce 4 cm složíme přesně $12 \div 4 = 3$ čtverce. Z 8 sirek o délce 5 cm složíme přesně $8 \div 4 = 2$ čtverce. Celkem by to tedy bylo $3 + 2 = 5$ čtverců.

Závěr

Vidíme, že je možné sestavit přesně 5 obdélníků a 5 čtverců a přitom spotřebovat všechny dostupné sirky. Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Honza měl 22 sirek o délce 4 cm a 18 sirek o délce 5 cm.
Ze všech těchto sirek poskládal obrazce tvaru čtverce a obrazce tvaru obdélníku.
Stranu obrazce tvořila vždy jediná sirka a žádné dva obrazce neměly společnou stranu.

Rozhodněte následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Honza mohl vytvořit obrazce tak, že právě jeden z nich byl čtverec a všechny ostatní byly obdélníky.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet obrazců

Honza má k dispozici 22 sirek o délce 4 cm a 18 sirek o délce 5 cm, což je dohromady $22 + 18 = 40$ sirek. Každý obrazec (čtverec i obdélník) má 4 strany a v tomto případě každou stranu tvoří právě jedna sirka. To znamená, že každý obrazec spotřebuje 4 sirky. Celkem tedy Honza sestavil $40 \div 4 = 10$ obrazců.

Jak se pozná čtverec a obdélník

Čtverec musí mít všechny 4 strany stejně dlouhé. To znamená, že musí být složen buď ze čtyř 4cm sirek, nebo ze čtyř 5cm sirek. Obdélník, který není čtvercem, musí mít dvě a dvě strany stejně dlouhé. Jediná možnost, jak takový obdélník z Honzových sirek složit, je použít dvě 4cm sirky a dvě 5cm sirky.

Zkouška pro 1 čtverec a 9 obdélníků

Zkusíme, zda mohl Honza sestavit 9 obdélníků (ne-čtverců) a 1 čtverec:
  • Na 9 obdélníků by spotřeboval $9 \cdot 2 = 18$ sirek délky 4 cm a $9 \cdot 2 = 18$ sirek délky 5 cm.
  • Po složení těchto obdélníků mu zbude: $22 - 18 = 4$ sirky délky 4 cm a $18 - 18 = 0$ sirek délky 5 cm.
  • Ze zbývajících čtyř sirek o délce 4 cm sestaví právě jeden čtverec.
Podmínka, že právě jeden obrazec je čtverec a ostatní jsou obdélníky, je splněna.

Závěr

Je tedy možné sestavit obrazce tak, aby byl právě jeden čtverec a devět obdélníků. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 9

V obchodě prodávají ve 2 různých sadách figurky dvou druhů dinosaurů, T-rex a Velociraptor. Velká sada stojí 180 korun a obsahuje 8 figurek druhu T-rex a 5 figurek druhu Velociraptor. Malá sada stojí 54 korun a obsahuje 2 figurky druhu T-rex a 2 figurky druhu Velociraptor. Standa koupil 2 velké sady a několik malých sad. Celkem tak získal 70 nových figurek dinosaurů.

Kolik korun utratil Standa za nákup figurek dinosaurů?

  • A) 900 korun
  • D) 1008 korun
  • B) 954 korun
  • E) jinou částku
  • C) 988 korun
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (6 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet figurek ve velkých sadách

V jedné velké sadě je dohromady 13 figurek ($8 + 5 = 13$). Standa koupil 2 velké sady, takže v nich má $2 \times 13 = 26$ figurek.

Počet figurek z malých sad

Dohromady má Standa 70 figurek. Když odečteme ty z velkých sad, zbude nám $70 - 26 = 44$ figurek, které musely být v malých sadách.

Počet malých sad

V jedné malé sadě jsou 4 figurky ($2 + 2 = 4$). Aby Standa získal 44 figurek z malých sad, musel jich koupit $44 \div 4 = 11$.

Cena za velké sady

Dvě velké sady stály $2 \times 180 = 360$ korun.

Cena za malé sady

Jedenáct malých sad stálo $11 \times 54 = 594$ korun. Výpočet si můžeme usnadnit: $10 \times 54 = 540$ a $1 \times 54 = 54$, tedy $540 + 54 = 594$ korun.

Celková útrata

Standa celkem utratil $360 + 594 = 954$ korun.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 10

Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.

O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?

  • A) o 8 vagonů
  • D) o 13 vagonů
  • B) o 10 vagonů
  • E) o 14 vagonů
  • C) o 11 vagonů
Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztahy mezi vlaky

Ze zadání víme, že:
  • Vlak na 2. koleji má o 3 vagony více než vlak na 1. koleji.
  • Vlak na 3. koleji má dvakrát více vagonů než vlak na 2. koleji (protože vlak na 2. koleji jich má dvakrát méně).

Výpočet počtu vagonů

Zkusíme si představit, kolik vagonů by vlaky měly, kdyby měly všechny stejně jako ten první:
  • 2. vlak má o 3 vagony více než 1. vlak.
  • 3. vlak má dvakrát více než 2. vlak. Tedy má dvakrát (1. vlak + 3 vagony), což je jako dva první vlaky a k tomu ještě 6 vagonů ($2 \cdot 3 = 6$).
Dohromady mají všechny tři vlaky: jeden 1. vlak + (druhý 1. vlak + 3) + (další dva 1. vlaky + 6). Celkem jsou to tedy čtyři stejné díly (odpovídající 1. vlaku) a 9 vagonů navíc ($3 + 6 = 9$).

Víme, že celkem je vagonů 41. Odečteme ty, které jsou navíc: $41 - 9 = 32$. Čtyři stejné díly (čtyřnásobek 1. vlaku) tvoří 32 vagonů. Jeden díl (1. vlak) má tedy: $32 : 4 = 8$ vagonů.

Počty vagonů na kolejích

Nyní můžeme určit počty vagonů pro každý vlak:
  • 1. kolej: 8 vagonů
  • 2. kolej: $8 + 3 = 11$ vagonů
  • 3. kolej: $11 \cdot 2 = 22$ vagonů
Pro kontrolu sečteme: $8 + 11 + 22 = 41$ vagonů, což souhlasí se zadáním.

Závěrečné porovnání

Otázka zní, o kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než na první koleji: $22 - 8 = 14$

Vlak na třetí koleji má o 14 vagonů více.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 11

Lucka si ukládala do kasičky jen desetikoruny. Na konci každého měsíce všechny peníze v kasičce spočítala, celou částku zaokrouhlila na stovky korun a zaznamenala do grafu.
Následující graf zobrazuje tyto zaokrouhlené částky v prvních čtyřech měsících roku.
V tomto období Lucka peníze pouze ukládala, z kasičky nic nevybírala.

Jakou nejvyšší částku mohla mít Lucka v kasičce na konci března?

  • A) 650 korun
  • D) 750 korun
  • B) 690 korun
  • E) jinou částku
  • C) 740 korun
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu a zaokrouhlování

Z grafu vyčteme, že na konci března byla částka v kasičce po zaokrouhlení na stovky přesně 700 korun. Aby se číslo po zaokrouhlení na stovky rovnalo 700, musí ležet v rozmezí od 650 do 749.

Podmínka desetikorun

V zadání je uvedeno, že Lucka do kasičky ukládala pouze desetikoruny. To znamená, že skutečná částka v kasičce musí být násobkem deseti (musí končit číslicí 0).

Hledání nejvyšší částky

Hledáme nejvyšší násobek deseti v rozmezí od 650 do 749 korun.
  • Číslo 749 je nejvyšší v rozmezí, ale není to násobek deseti.
  • Nejbližší nižší násobek deseti je 740.
Částka 750 by se už zaokrouhlila nahoru na 800 korun, proto je 740 korun skutečně nejvyšší možná částka.

Závěr

Nejvyšší částka, kterou mohla mít Lucka v kasičce na konci března, je 740 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

Lucka si ukládala do kasičky jen desetikoruny. Na konci každého měsíce všechny peníze v kasičce spočítala, celou částku zaokrouhlila na stovky korun a zaznamenala do grafu.
Následující graf zobrazuje tyto zaokrouhlené částky v prvních čtyřech měsících roku.
V tomto období Lucka peníze pouze ukládala, z kasičky nic nevybírala.

Které z následujících tvrzení není pravdivé?

  • A) Na konci ledna měla Lucka v kasičce méně než 450 korun.
  • D) Během dubna se částka v Lucčině kasičce mohla zvýšit o 100 korun.
  • B) Během února uložila Lucka do kasičky více než 100 korun.
  • E) Na konci dubna mohla mít Lucka v kasičce jinou částku než na konci března.
  • C) V březnu uložila Lucka do kasičky alespoň jednu desetikorunu.
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip zaokrouhlování

Lucka si ukládá desetikoruny, takže všechny částky v kasičce jsou násobky deseti (končí nulou). Zaokrouhlování na stovky funguje tak, že od 50 výše zaokrouhlujeme nahoru a pod 50 dolů. Z grafu vyčteme tyto zaokrouhlené hodnoty a k nim odpovídající rozmezí skutečných částek:
  • Leden: 400 Kč (skutečně 350 až 440 Kč)
  • Únor: 600 Kč (skutečně 550 až 640 Kč)
  • Březen: 700 Kč (skutečně 650 až 740 Kč)
  • Duben: 700 Kč (skutečně 650 až 740 Kč)

Ověření tvrzení A a B

Tvrzení A: V lednu mohla mít Lucka maximálně 440 Kč. To je méně než 450 Kč. Tvrzení A je pravdivé. Tvrzení B: Na konci ledna měla nejvýše 440 Kč a na konci února měla aspoň 550 Kč. Rozdíl je minimálně $550 - 440 = 110$ Kč. Lucka tedy uložila více než 100 Kč. Tvrzení B je pravdivé.

Ověření tvrzení C

Tvrzení C: Na konci února měla Lucka nejvýše 640 Kč. Aby se zaokrouhlená částka v březnu zvedla na 700 Kč, musela mít na konci března alespoň 650 Kč. Musela tedy v březnu uložit alespoň $650 - 640 = 10$ Kč, což je jedna desetikoruna. Tvrzení C je pravdivé.

Ověření tvrzení D a E

Tvrzení E: V březnu i dubnu byla zaokrouhlená částka 700 Kč. Skutečná částka v dubnu mohla být jiná než v březnu (např. v březnu 660 Kč a v dubnu 700 Kč). Tvrzení E je pravdivé. Tvrzení D: Aby se částka v dubnu zvýšila o 100 Kč a obě (březnová i dubnová) se zaokrouhlily na 700 Kč, musely by obě ležet v rozmezí 650–740 Kč. Největší možný rozdíl v tomto rozmezí je však pouze $740 - 650 = 90$ Kč. Částka se tedy o 100 Kč zvýšit nemohla. Tvrzení D není pravdivé.

Závěr

Jako nepravdivé jsme vyhodnotili tvrzení D.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.1

Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.

Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.

Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.

Kolik kostek uvnitř pyramidy nebylo vidět z žádné strany?

  • A) méně než 15 kostek
  • D) 21 kostek
  • B) 15 kostek
  • E) 26 kostek
  • C) 18 kostek
  • F) více než 26 kostek
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza stavby pyramidy

Pyramida je pravidelná stavba složená ze čtyř pater krychlí. Abychom zjistili počet neviditelných kostek, musíme nejdříve určit rozměry jednotlivých pater:
  • 1. patro (základna): čtverec $4 \times 4$ krychle (celkem 16 kostek)
  • 2. patro: čtverec $3 \times 3$ krychle (celkem 9 kostek)
  • 3. patro: čtverec $2 \times 2$ krychle (celkem 4 kostky)
  • 4. patro (vrchol): 1 krychle
Celkem je v pyramidě 30 kostek (což odpovídá i počtu kostek v ostatních stavbách).

Které kostky nejsou vidět

Kostka není vidět z žádné strany, pokud jsou všechny její stěny zakryty sousedními kostkami nebo podložkou. To se týká kostek, které nejsou na vnějším obvodu stavby a zároveň jsou shora zakryty dalším patrem:
  • V 1. patře (4×4): Vnitřní část tvoří čtverec $2 \times 2$, tedy 4 kostky. Tyto kostky jsou ze všech čtyř stran obklopeny obvodovými kostkami 1. patra a shora jsou kompletně zakryty 2. patrem ($3 \times 3$).
  • V 2. patře (3×3): Vnitřní část tvoří právě 1 kostka. Tato kostka je obklopena obvodovými kostkami 2. patra a shora je zakryta 3. patrem ($2 \times 2$).
  • V 3. a 4. patře: Všechny kostky se nacházejí na obvodu nebo na vrcholu, takže mají alespoň jednu boční nebo horní stěnu volnou.

Závěr

Sečteme neviditelné kostky z jednotlivých pater: $4 + 1 = 5$. V pyramidě tedy bylo celkem 5 kostek, které nebyly vidět z žádné strany. Protože 5 je méně než 15, správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.2

Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.

Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.

Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.

Kolik kostek v Jitčině stavbě se dotýkalo podložky?

  • A) méně než 15 kostek
  • D) 21 kostek
  • B) 15 kostek
  • E) 26 kostek
  • C) 18 kostek
  • F) více než 26 kostek
Zobrazit odpověď

F

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kostek

Nejdříve musíme zjistit, kolik kostek je v celém souboru. Víme, že pyramida byla postavena ze všech kostek a má 4 patra ve tvaru čtverců:
  • 1. patro (dole): $4 \times 4 = 16$ kostek
  • 2. patro: $3 \times 3 = 9$ kostek
  • 3. patro: $2 \times 2 = 4$ kostky
  • 4. patro (nahoře): $1$ kostka
Celkem má tedy stavebnice $16 + 9 + 4 + 1 = 30$ kostek.

Rozbor Jitčiny stavby

Jitčina stavba je tvořena stejnými 30 kostkami. Z obrázku vidíme její profil (přední stěnu), který má tvar schodů:
  • V dolní řadě jsou 3 kostky.
  • V prostřední řadě jsou 2 kostky.
  • V horní řadě je 1 kostka.
Jeden takový profil („vrstva“) se tedy skládá z $3 + 2 + 1 = 6$ kostek.

Hloubka stavby

Protože stavba nemá žádné mezery a profil je po celé hloubce stejný, můžeme vypočítat, kolik takových vrstev má stavba za sebou:
$30 : 6 = 5$
Stavba je tedy hluboká 5 kostek.

Výpočet kostek na podložce

V každé z 5 vrstev se podložky dotýkají právě ty kostky, které jsou v nejnižší řadě. V jedné vrstvě jsou to 3 kostky. Celkem se tedy podložky dotýká:
$5 \times 3 = 15$ kostek.

Závěr

V Jitčině stavbě se podložky dotýkalo 15 kostek, což odpovídá možnosti B.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.3

Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.

Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.

Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.

Kolik kostek dohromady obsahují spodní dvě patra Emilovy stavby?

  • A) méně než 15 kostek
  • D) 21 kostek
  • B) 15 kostek
  • E) 26 kostek
  • C) 18 kostek
  • F) více než 26 kostek
Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kostek

Nejdříve musíme zjistit, kolik kostek tvoří celou stavebnici. Podle obrázku a popisu pyramidy má tato stavba čtvercovou základnu o straně 4 kostky (16 kostek), prostřední vrstvu 3×3 (9 kostek), horní vrstvu 2×2 (4 kostky) a na úplném vrcholu 1 kostku.
Celkem je tedy ve stavebnici: $16 + 9 + 4 + 1 = 30$ kostek.

Rozbor Emilovy stavby

Emilova stavba je vysoká 6 pater a z popisu víme, jak vypadají její horní patra:
  • 1. patro (vrchol): 1 kostka.
  • 2. až 4. patro: Každé tvoří kříž o šířce 3 kostek, což odpovídá 5 kostkám (1 středová a 4 v ramenech).
Dohromady tato čtyři horní patra, která vidíme na obrázku vpravo, obsahují: $1 + 5 + 5 + 5 = 16$ kostek.

Výpočet spodních dvou pater

Emil použil všech 30 kostek ze stavebnice. Na spodní dvě patra (5. a 6. patro) mu tedy zbývá:
$30 - 16 = 14$ kostek.
Z popisu Emilovy stavby si to můžeme i ověřit:
  • 5. patro: Je stejné jako patra nad ním, má tedy 5 kostek.
  • 6. patro (základna): Tvoří kříž o šířce 5 kostek, má tedy 9 kostek (1 středová a 8 v ramenech).
Součet za spodní dvě patra je skutečně: $5 + 9 = 14$ kostek.

Závěr

Spodní dvě patra Emilovy stavby obsahují celkem 14 kostek. To odpovídá možnosti A (méně než 15 kostek).
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 14.1

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech rozdíl mezi délkami úseček BK a BL.

Zobrazit odpověď

6 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Úsečka $AC$ je v nákresu svislá a rovnoběžná se stranou $KL$ obdélníkového hřiště. To znamená, že vzdálenost bodu $A$ od vrcholu $K$ (na horní straně) je stejná jako vzdálenost bodu $C$ od vrcholu $L$ (na dolní straně). Můžeme tedy říct, že úsečky $AK$ a $LC$ jsou stejně dlouhé.

Vyjádření délek tras

Z textu známe délky dvou částí soutěžní trasy:
  • Trasa $AKB$ (z bodu $A$ přes vrchol $K$ do bodu $B$) měří $45\text{ m}$. To znamená, že $AK + BK = 45\text{ m}$.
  • Trasa $BLC$ (z bodu $B$ přes vrchol $L$ do bodu $C$) měří $39\text{ m}$. To znamená, že $BL + LC = 39\text{ m}$.

Výpočet rozdílu

Víme, že $AK$ je stejně dlouhá jako $LC$. Pokud bychom v druhé trase nahradili úsečku $LC$ úsečkou $AK$, celková délka by se nezměnila. Máme tedy:
  1. $AK + BK = 45\text{ m}$
  2. $AK + BL = 39\text{ m}$
První součet je o $6\text{ m}$ větší než druhý ($45 - 39 = 6$). Protože v obou součtech vystupuje stejná délka $AK$, musí být rozdíl způsoben délkami úseček $BK$ a $BL$. Úsečka $BK$ je tedy o $6\text{ m}$ delší než $BL$.

Závěr

Rozdíl mezi délkami úseček $BK$ a $BL$ je $6\text{ m}$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.2

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech délku kratší strany hřiště.

Zobrazit odpověď

30 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor délek úseků

Soutěžní trasa vede po obvodu obdélníkového hřiště. Ze zadání víme, že úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště. Šedý obrazec je čtverec, což znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé: AN = ND.

Výpočet délky horní strany

Úsek AKB měří 45 m a skládá se z části horní strany (AK) a části levé strany (KB). Protože je úsečka BD rovnoběžná s vodorovnými stranami, je délka KB stejná jako délka ND. Vzhledem k tomu, že AK + AN tvoří celou horní stranu hřiště a AN = ND = KB, platí, že délka horní strany hřiště (KN) je rovna úseku AKB, tedy 45 m.

Výpočet délky svislé strany

Úsek CMD měří 30 m a skládá se z části dolní strany (CM) a části pravé strany (MD). Protože je úsečka AC rovnoběžná se svislými stranami, je délka CM stejná jako délka AN. Protože AN = ND, je délka CM rovna délce ND. Celá pravá strana hřiště (NM) se skládá z úseků ND + MD. Jelikož ND = CM, je délka strany NM rovna úseku CMD, tedy 30 m.

Určení kratší strany

Hřiště má jednu stranu dlouhou 45 m a druhou stranu dlouhou 30 m. Kratší strana hřiště má tedy délku 30 m.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.3

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech obvod hřiště.

Zobrazit odpověď

150 m

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a zadání víme, že úsečky $AC$ a $BD$ jsou rovnoběžné se stranami hřiště. To znamená, že protilehlé úseky na stranách jsou stejně dlouhé:
  • Úsek $AK$ je stejně dlouhý jako $LC$.
  • Úsek $CM$ je stejně dlouhý jako $AN$.
  • Úsek $KB$ je stejně dlouhý jako $ND$.
  • Úsek $BL$ je stejně dlouhý jako $MD$.
Navíc víme, že šedý obrazec u vrcholu $N$ je čtverec, takže jeho strany $AN$ a $ND$ jsou stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že všechny čtyři úseky $AN$, $CM$, $ND$ a $KB$ mají stejnou délku.

Porovnání tras

Máme zadané délky tří úseků soutěžní trasy:
  1. Úsek $AKB$: $AK + KB = 45\text{ m}$
  2. Úsek $BLC$: $BL + LC = 39\text{ m}$ (protože $LC = AK$, můžeme psát $BL + AK = 39\text{ m}$)
  3. Úsek $CMD$: $CM + MD = 30\text{ m}$ (protože $CM = KB$ a $MD = BL$, můžeme psát $KB + BL = 30\text{ m}$)

Výpočet délek úseků

Porovnáme první dvě trasy:
$AK + KB = 45\text{ m}$
$AK + BL = 39\text{ m}$

Rozdíl mezi nimi je $6\text{ metrů}$ ($45 - 39 = 6$). Protože v obou trasách je stejný úsek $AK$, musí být úsek $KB$ o $6\text{ metrů}$ delší než úsek $BL$.

Víme také, že $KB + BL = 30\text{ m}$ (ze třetí trasy). Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je $30$ a rozdíl je $6$. Jsou to čísla $18$ a $12$.
Úsek $KB$ měří $18\text{ m}$ a úsek $BL$ měří $12\text{ m}$.
Dále dopočítáme $AK$: $45 - 18 = 27\text{ m}$.

Výpočet obvodu hřiště

Strany obdélníku (hřiště) jsou tvořeny součtem vypočítaných úseků:
Strana $KL$ (šířka) $= KB + BL = 18 + 12 = 30\text{ m}$
Strana $LM$ (délka) $= LC + CM = 27 + 18 = 45\text{ m}$ (protože $LC = AK$ a $CM = KB$)

Obvod hřiště vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran:
$2 \cdot (30 + 45) = 2 \cdot 75 = 150\text{ m}$

Závěr

Obvod hřiště je $150$ metrů.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.4

Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.

Vypočtěte v metrech vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.

Zobrazit odpověď

18 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Hřiště má tvar obdélníku $KLMN$. Uvnitř jsou vyznačená stanoviště $A, B, C, D$. Úsečky $AC$ a $BD$ rozdělují hřiště na čtyři menší obdélníky. Víme, že ten v pravém horním rohu (ohraničený body $A, N, D$ a průsečíkem) je čtverec. To znamená, že jeho strany jsou stejně dlouhé, tedy vzdálenost $AN$ je stejná jako $ND$. Tuto délku si označíme jako "stranu čtverce" ($s$).

Co tvoří zadané úseky

Známe délky tří částí trasy:
  • Úsek $AKB$ (z $A$ přes $K$ do $B$) měří 45 m. Skládá se z vodorovné části $AK$ a svislé části $KB$.
  • Úsek $BLC$ (z $B$ přes $L$ do $C$) měří 39 m. Skládá se ze svislé části $BL$ a vodorovné části $LC$.
  • Úsek $CMD$ (z $C$ přes $M$ do $D$) měří 30 m. Skládá se z vodorovné části $CM$ a svislé části $MD$.
Z vlastností obdélníků vyplývá, že:
  • Svislá část $KB$ je stejně dlouhá jako hledaná vzdálenost $ND$ (strana čtverce $s$).
  • Vodorovná část $CM$ je stejně dlouhá jako vzdálenost $AN$ (strana čtverce $s$).
  • Vodorovná část $LC$ je stejně dlouhá jako $AK$.
  • Svislá část $MD$ je stejně dlouhá jako $BL$.

Výpočet

Z údajů můžeme sestavit tyto vztahy:
  1. $AK + s = 45$ m (úsek $AKB$)
  2. $BL + AK = 39$ m (úsek $BLC$)
  3. $s + BL = 30$ m (úsek $CMD$)
Z prvního vztahu vidíme, že $AK = 45 - s$.
Z třetího vztahu vidíme, že $BL = 30 - s$.
Když tyto dvě hodnoty dosadíme do druhého vztahu ($BL + AK = 39$), dostaneme:
$(30 - s) + (45 - s) = 39$
$75 - 2 \cdot s = 39$ $2 \cdot s = 75 - 39$ $2 \cdot s = 36$ $s = 18$ Strana čtverce je tedy 18 metrů.

Závěr

Vzdálenost stanoviště $D$ od vrcholu $N$ odpovídá straně čtverce, kterou jsme vypočítali. Vzdálenost je 18 m.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod