Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2025

28 úloh

Úloha 1.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \square : 11 = (5 + 5 \cdot 20) - 101$

Zobrazit odpověď

44

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve vypočítáme hodnotu výrazu na pravé straně rovnosti. V závorce začneme násobením, které má přednost:
$5 \cdot 20 = 100$

Dokončení výrazu v závorce

K získanému číslu přičteme 5:
$5 + 100 = 105$

Celková hodnota pravé strany

Od výsledku závorky odečteme číslo 101:
$105 - 101 = 4$

Určení čísla v rámečku

Rovnost nyní vypadá takto: $\square : 11 = 4$. Hledáme číslo, které když vydělíme 11, vyjde nám 4. To zjistíme tak, že výsledek 4 vynásobíme dělitelem 11:
$4 \cdot 11 = 44$

Do rámečku tedy patří číslo 44.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 1.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle (188 - 152) : (1 + \square ) = 4 + 20 \div 4$

Zobrazit odpověď

3

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve vypočítáme pravou stranu rovnosti. Musíme pamatovat, že dělení má přednost před sčítáním:
$4 + 20 : 4 = 4 + 5 = 9$

Rozdíl v první závorce

Dále vypočítáme hodnotu první závorky na levé straně:
$188 - 152 = 36$

Zjednodušená rovnost

Po dosazení vypočítaných hodnot vypadá rovnost takto:
$36 : (1 + \square) = 9$

Výpočet druhé závorky

Hledáme číslo, kterým musíme vydělit 36, aby výsledek byl 9. Protože $36 : 4 = 9$, musí být hodnota závorky $(1 + \square)$ rovna 4.

Hledané číslo

Pokud má být výsledek v závorce 4, pak do rámečku patří číslo 3, protože $1 + 3 = 4$. Hledaným číslem je tedy 3.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.1

Tabulka má obsahovat všechna celá čísla od 0 do 8. Do prázdných polí tabulky se doplní chybějící čísla tak, aby byl součet v každém sloupci i v každém řádku stejný.

Určete číslo, které patří do prostředního pole tabulky.

Zobrazit odpověď

6

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součet v řádku nebo sloupci

V tabulce mají být všechna čísla od 0 do 8. Jejich součet je 36, takže při třech stejně velkých řádcích musí mít každý řádek součet 12. Stejný součet má i každý sloupec.

Doplnění spodního řádku

Ve spodním řádku jsou čísla 1 a 3. Aby byl součet 12, chybí tam číslo 8.

Doplnění levého sloupce

V levém sloupci je nahoře 0 a dole 8. Aby byl součet 12, chybí uprostřed číslo 4.

Určení prostředního pole

V prostředním řádku už je vlevo 4 a vpravo 2. Do prostředního pole proto patří číslo 6.

Závěr

Do prostředního pole tabulky patří číslo 6.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

V diagramu se do prázdných kroužků doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Určete obě čísla doplněná do prázdných kroužků.

Zobrazit odpověď

45; 135

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Úlohu můžeme vyřešit prostou logickou úvahou nebo pomocí metody systematického zkoušení, kterou si zde ukážeme. Spočívá ve dvou cvičných odhadech a následném logickém dopočtení správného čísla. Cílem je najít číslo pro levý kroužek takové, aby po přičtení 90 a následném vydělení 3 vyšlo na konci opět to samé výchozí číslo.

Krok 1: První odhad

Vyzkoušení čísla namátkou.

Zvolíme si libovolné číslo pro prázdný kroužek vlevo. My vyzkoušíme například číslo 15.
  • Provedeme výpočet cyklu: Horní šipkou přičteme 90: 15 + 90 = 105. Spodní šipka nás vrací zpět dělením: 105 : 3 = 35.
  • Zjištění odchylky: Výsledek na konci cyklu měl být stejný jako na začátku (tedy 15). Nám ale vyšlo 35. Spočítáme rozdíl: 35 - 15 = 20.
  • Závěr 1. kroku: Trefili jsme se tak, že na konci nám přebývá hodnota 20.

Krok 2: Druhý odhad

Úprava čísla a sledování změny.

Tipované číslo o kousek zvýšíme, například o dalších 15 (tedy na 30), a celý postup zopakujeme.
  • Provedeme výpočet cyklu: 30 + 90 = 120. Spodní šipka: 120 : 3 = 40.
  • Zjištění odchylky: Měli jsme se vrátit na 30, ale vyšlo nám 40. Rozdíl je 40 - 30 = 10.
  • Závěr 2. kroku: Trefili jsme se tak, že na konci nám přebývá už jen hodnota 10.

Krok 3: Finální dopočet

Nalezení výsledku pomocí logiky (už bez tipování).

Nyní porovnáme, co se stalo mezi prvním a druhým krokem, a rovnou spočítáme výsledek. Cílem je dostat naši odchylku na nulu.
  1. Co jsme zjistili: Zvýšení tipu o 15 (z 15 na 30) snížilo přebývající odchylku o 10 (z 20 na 10).
  2. Co potřebujeme: Snížit zbývající odchylku 10 úplně na nulu.
  3. Výpočet: Protože pro odstranění 10 bodů odchylky musíme k našemu tipu přidat číslo 15, přidáme k našemu poslednímu tipu přesně 15.
  4. Závěr: 30 + 15 = 45.
Levý kroužek je tedy 45. Pravý kroužek získáme prvním výpočtem: 45 + 90 = 135.

Můžeme si udělat i zkoušku správnosti: 135 : 3 = 45. Výpočty ve směru obou šipek jsou správné!

Alternativní řešení (Metoda dílků)

Úlohu můžeme vyřešit i rychlejší logickou úvahou. Spodní šipka nám říká, že číslo v pravém kroužku musíme vydělit třemi, abychom dostali levý kroužek. To znamená, že pravý kroužek je 3× větší než levý. Pokud si levý kroužek představíme jako 1 dílek, pravý kroužek tvoří 3 dílky.

Horní šipka ukazuje, že rozdíl mezi nimi je 90. V dílcích je rozdíl 3 dílky − 1 dílek = 2 dílky.

Víme tedy, že 2 dílky = 90. Jeden dílek (levý kroužek) je 90 : 2 = 45. Pravý kroužek (3 dílky) je 45 + 90 = 135.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Mirek má menší jízdní kolo než jeho táta. Mirek na rovné cestě zjišťoval, kolikrát se u obou jízdních kol otočí přední kolo, jestliže obě jízdní kola urazí stejnou vzdálenost.
Když se Mirkovo přední kolo otočilo 30krát, tátovo přední kolo se otočilo jen 25krát.

Mirek a jeho táta urazili na svých jízdních kolech stejnou vzdálenost.

Vypočtěte, kolikrát se otočilo Mirkovo přední kolo,

jestliže se tátovo přední kolo otočilo 30krát.

Zobrazit odpověď

36 krát

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztah mezi koly

Ze zadání víme, že když tátovo přední kolo udělá 25 otáček, Mirkovo přední kolo se za stejnou dobu otočí 30krát.

Zjednodušení poměru

Tento vztah si můžeme zjednodušit. Obě čísla (25 i 30) jsou dělitelná pěti. Zjistíme tak, že na každých 5 otáček tátova kola připadá 6 otáček Mirkova kola.

Výpočet pro 30 otáček

V otázce se píše, že se tátovo kolo otočilo 30krát. Protože $30 = 6 \cdot 5$, musíme i počet Mirkových otáček vynásobit šesti.

Výsledek

Mirkovo kolo se otočí $6 \cdot 6 = 36$ krát.
Správná odpověď je tedy 36.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Mirek má menší jízdní kolo než jeho táta. Mirek na rovné cestě zjišťoval, kolikrát se u obou jízdních kol otočí přední kolo, jestliže obě jízdní kola urazí stejnou vzdálenost.
Když se Mirkovo přední kolo otočilo 30krát, tátovo přední kolo se otočilo jen 25krát.

Mirek a jeho táta urazili na svých jízdních kolech stejnou vzdálenost.

Vypočtěte, kolikrát se otočilo Mirkovo přední kolo,

jestliže tátovo přední kolo vykonalo o 30 otáček méně než Mirkovo přední kolo.

Zobrazit odpověď

180 krát

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v jednom úseku

Z textu víme, že když se Mirkovo kolo otočí 30krát, tátovo se otočí jen 25krát. Mirek tak při stejné vzdálenosti udělá o 5 otáček více než táta ($30 - 25 = 5$).

Celkový rozdíl

Zadání říká, že tátovo kolo udělalo celkem o 30 otáček méně než Mirkovo. To znamená, že celkový rozdíl v otáčkách je 30.

Počet opakování

Zjistíme, kolikrát se musel zopakovat úsek s rozdílem 5 otáček, abychom dostali celkový rozdíl 30 otáček:
30 : 5 = 6

Výpočet otáček

Mirkovo kolo se v každém ze 6 úseků otočilo 30krát. Celkový počet otáček Mirkova kola je tedy:
6 · 30 = 180

Závěr

Mirkovo přední kolo se otočilo 180krát.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Velká kulička váží 30 gramů a malá kulička váží 20 gramů.
Anička položila na prázdnou váhu určitý počet velkých kuliček a dvojnásobný počet malých kuliček. Váha ukázala celkovou hmotnost 560 gramů.

Určete počet všech kuliček (malých i velkých dohromady) položených na váze.

Zobrazit odpověď

24 kuliček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost jedné skupiny kuliček

Víme, že na každou velkou kuličku připadají dvě malé kuličky (je jich dvojnásobný počet). Můžeme si kuličky rozdělit do stejných skupinek. V každé skupince bude 1 velká kulička a 2 malé kuličky.
Spočítáme hmotnost jedné takové skupinky:
$30 + 2 \cdot 20 = 30 + 40 = \mathbf{70\text{ gramů}}$

Počet skupinek na váze

Celková hmotnost všech kuliček je 560 gramů. Jedna skupinka váží 70 gramů. Vydělíme celkovou hmotnost hmotností jedné skupinky, abychom zjistili, kolik skupinek Anička na váhu dala:
$560 \div 70 = \mathbf{8\text{ skupinek}}$

Celkový počet kuliček

V každé z 8 skupinek jsou 3 kuličky (jedna velká a dvě malé). Celkový počet kuliček tedy zjistíme vynásobením:
$8 \cdot 3 = \mathbf{24\text{ kuliček}}$

Závěr

Na váze bylo celkem 24 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.2

Velká kulička váží 30 gramů a malá kulička váží 20 gramů.
Anička položila na prázdnou váhu určitý počet velkých kuliček a dvojnásobný počet malých kuliček. Váha ukázala celkovou hmotnost 560 gramů.

Určete v gramech celkovou hmotnost všech malých kuliček položených na váze.

Zobrazit odpověď

320 g

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení kuliček na váze

Víme, že na každou velkou kuličku připadají dvě malé kuličky (protože malých je dvakrát více). Můžeme si tedy kuličky rozdělit do skupinek, kde v každé bude 1 velká kulička a 2 malé kuličky.

Hmotnost jedné skupinky

Jedna velká kulička váží 30 gramů a dvě malé kuličky váží dohromady $2 \cdot 20 = 40$ gramů.

Celá jedna skupinka kuliček (1 velká + 2 malé) tedy váží: $30 + 40 = 70$ gramů.

Počet skupinek

Celková hmotnost všech kuliček na váze je 560 gramů. Zjistíme, kolik takových skupinek na váze je, když celkovou hmotnost vydělíme hmotností jedné skupinky: $560 : 70 = 8$

Na váze je tedy 8 skupinek. To znamená, že tam je 8 velkých kuliček a $8 \cdot 2 = 16$ malých kuliček.

Výpočet hmotnosti malých kuliček

Máme 16 malých kuliček a každá z nich váží 20 gramů. Jejich celkovou hmotnost vypočítáme vynásobením: $16 \cdot 20 = 320$ gramů.

Celková hmotnost všech malých kuliček na váze je 320 gramů.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.1

Náš dům má tři patra a bydlí v něm celkem 11 dětí.
V prvním a druhém patře bydlí dohromady 8 dětí.
Ve druhém patře bydlí jen dívky.
V prvním a třetím patře bydlí dohromady 5 chlapců a 3 dívky.
Ze všech chlapců z našeho domu pouze 3 chlapci nebydlí ve třetím patře.

Vypočtěte kolik chlapců bydlí ve druhém patře.

Zobrazit odpověď

0 chlapců

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čteme pozorně zadání

V textu o našem domě je přímo uvedeno: „Ve druhém patře bydlí jen dívky.“

Počet chlapců

Slovíčko „jen“ znamená, že ve druhém patře nebydlí žádný chlapec. Kdyby tam bydlel alespoň jeden chlapec, už by tam nebydlely jen dívky.

Výsledek

Ve druhém patře tedy bydlí 0 chlapců.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.2

Náš dům má tři patra a bydlí v něm celkem 11 dětí.
V prvním a druhém patře bydlí dohromady 8 dětí.
Ve druhém patře bydlí jen dívky.
V prvním a třetím patře bydlí dohromady 5 chlapců a 3 dívky.
Ze všech chlapců z našeho domu pouze 3 chlapci nebydlí ve třetím patře.

Vypočtěte kolik dětí bydlí v prvním patře.

Zobrazit odpověď

5 dětí

2 body
Úloha 5.3

Náš dům má tři patra a bydlí v něm celkem 11 dětí.
V prvním a druhém patře bydlí dohromady 8 dětí.
Ve druhém patře bydlí jen dívky.
V prvním a třetím patře bydlí dohromady 5 chlapců a 3 dívky.
Ze všech chlapců z našeho domu pouze 3 chlapci nebydlí ve třetím patře.

Vypočtěte kolik dívek bydlí v našem domě.

Zobrazit odpověď

6 dívek

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Chlapci v 1. a 2. patře

Víme, že ze všech chlapců v domě jich právě 3 nebydlí ve 3. patře. To znamená, že v 1. a 2. patře bydlí dohromady 3 chlapci. Protože ve 2. patře bydlí jen dívky, musí všech těchto 3 chlapců bydlet v 1. patře.

Chlapci ve 3. patře

V 1. a 3. patře bydlí dohromady 5 chlapců. Jelikož už víme, že v 1. patře jsou 3 chlapci, ve 3. patře jich musí být zbytek: $5 - 3 = 2$ Ve 3. patře tedy bydlí 2 chlapci.

Celkový počet chlapců

Teď už víme o všech chlapcích v domě: 3 bydlí v 1. patře a 2 bydlí ve 3. patře (v 2. patře není žádný). Celkem je v domě: $3 + 2 = 5$ V domě bydlí 5 chlapců.

Celkový počet dívek

V celém domě bydlí 11 dětí. Jestliže je 5 z nich chlapců, zbytek jsou dívky: $11 - 5 = 6$ V domě bydlí 6 dívek.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Šestiúhelník tvaru domečku má obvod 24 cm.
Domeček lze rozdělit na dva čtyřúhelníky – střechu a přízemí.
Oba tyto čtyřúhelníky mají stejný obvod.
Střecha je složena ze tří rovnostranných trojúhelníků, přízemí má tvar obdélníku.

Vypočtěte v cm obvod čtyřúhelníku představujícího střechu.

Zobrazit odpověď

20 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Střecha se skládá ze tří stejných rovnostranných trojúhelníků. Označme délku strany jednoho trojúhelníku jako 1 dílek. Obvod střechy (čtyřúhelníku) tvoří horní strana (1 dílek), dvě šikmé strany (2 dílky) a spodní strana, která nasedá na přízemí (2 dílky). Celkem má tedy obvod střechy 5 dílků.

Přízemí je obdélník. Jeho horní a spodní strana mají délku 2 dílky (protože nasedají na dvě strany trojúhelníků). Boční stěny přízemí označíme jako výšku.

Porovnání obvodů

Víme, že střecha i přízemí mají stejný obvod.
  • Obvod střechy = 5 dílků
  • Obvod přízemí = 2 dílky (horní) + 2 dílky (spodní) + 2 $\times$ výška = 4 dílky + 2 $\times$ výška
Aby se obvody rovnaly, musí platit: 5 dílků = 4 dílky + 2 $\times$ výška. Z toho vyplývá, že 1 dílek = 2 $\times$ výška. Tedy výška přízemí odpovídá polovině strany trojúhelníku.

Výpočet ze zadaného obvodu domečku

Obvod celého domečku (vnější okraj) tvoří:
  • Střecha: 3 strany trojúhelníků (horní a dvě šikmé) = 3 dílky
  • Přízemí: spodní strana (2 dílky) a dvě boční výšky
Celkem je to tedy 5 dílků + 2 $\times$ výška. Protože víme, že 2 $\times$ výška = 1 dílek, je obvod domečku celkem 6 dílků.

6 dílků = 24 cm
1 dílek = 24 : 6 = 4 cm

Výpočet obvodu střechy

Obvod střechy tvoří 5 dílků (stran trojúhelníků).

5 $\times$ 4 cm = 20 cm

Obvod čtyřúhelníku představujícího střechu je 20 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.2

Šestiúhelník tvaru domečku má obvod 24 cm.
Domeček lze rozdělit na dva čtyřúhelníky – střechu a přízemí.
Oba tyto čtyřúhelníky mají stejný obvod.
Střecha je složena ze tří rovnostranných trojúhelníků, přízemí má tvar obdélníku.

Vypočtěte v cm délku kratší strany obdélníku představujícího přízemí.

Zobrazit odpověď

2 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor střechy a přízemí

Střecha se skládá ze tří rovnostranných trojúhelníků. Označíme-li délku strany takového trojúhelníku jako a, pak střecha (ve tvaru lichoběžníku) má horní stranu a, dvě šikmé boční strany a a spodní stranu (která tvoří hranici s přízemím) o délce 2a.
Obvod střechy je tedy: $a + a + a + 2a = 5a$.

Přízemí má tvar obdélníku. Jeho horní strana (společná se střechou) má délku 2a, stejně tak i jeho dolní strana. Boční strany obdélníku označíme jako b.
Obvod přízemí je: $2a + b + 2a + b = 4a + 2b$.

Vztah mezi stranami a a b

V zadání je uvedeno, že oba čtyřúhelníky (střecha i přízemí) mají stejný obvod. Můžeme tedy sestavit rovnici:
$5a = 4a + 2b$
Po odečtení $4a$ od obou stran dostaneme:
a = 2b
To znamená, že strana trojúhelníku je dvakrát delší než kratší strana obdélníku.

Výpočet z obvodu celého domečku

Obvod celého domečku (vnější šestiúhelník) tvoří spodní strana obdélníku (2a), dvě boční strany obdélníku (2b), dvě šikmé strany střechy (2a) a horní strana střechy (a).
Celkový obvod je: $2a + 2b + 2a + a = 5a + 2b$.

Víme, že tento obvod je 24 cm. Dosadíme za a námi zjištěný vztah a = 2b:
$5 \cdot (2b) + 2b = 24$
$10b + 2b = 24$
$12b = 24$
b = 2 cm

Závěr

Délka kratší strany obdélníku představujícího přízemí je 2 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 7.1

V rovině leží bod R a přímky p, q, které se protínají v bodě A.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD.
Na jedné z přímek p, q leží vrchol B a na druhé přímce vrchol C tohoto obdélníku.
Bodem R prochází strana BC obdélníku ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.
Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží bod S a různoběžné přímky m, n.

Na přímce m leží strana EF trojúhelníku EFG
a na přímce n leží strana EG tohoto trojúhelníku.
Bod S má od všech tří vrcholů trojúhelníku EFG stejnou vzdálenost.

Sestrojte vrcholy trojúhelníku EFG, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď
Odpověď
2 body
Úloha 8.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Graf udává počet všech členů (mužů a žen) turistického oddílu sledovaný v letech 2015–2018.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Počet mužů v turistickém oddílu byl v roce 2015 o jednu třetinu menší než v roce 2016.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počet mužů, kteří jsou v jednotlivých sloupcích znázorněni tmavě šedou barvou:
  • V roce 2015 sahá tmavá část sloupce k hodnotě 30.
  • V roce 2016 sahá tmavá část sloupce k hodnotě 45.

Výpočet jedné třetiny

Vypočítáme, kolik je jedna třetina z počtu mužů v roce 2016:
$45 : 3 = 15$

O jednu třetinu méně než 45 tedy znamená:
$45 - 15 = 30$

Porovnání a závěr

Zjistili jsme, že hodnota o jednu třetinu menší než v roce 2016 je přesně 30. Protože v roce 2015 bylo v oddílu skutečně 30 mužů, tvrzení v zadání je pravdivé.

Správná odpověď je A (Ano).
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Graf udává počet všech členů (mužů a žen) turistického oddílu sledovaný v letech 2015–2018.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Počet členů turistického oddílu byl v roce 2017 o jednu devítinu větší než v roce 2016.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet členů v roce 2016

Z grafu vyčteme celkový počet členů v roce 2016. Sloupec pro tento rok sahá k hodnotě 90 (skládá se ze 45 mužů a 45 žen).

Počet členů v roce 2017

Z grafu vyčteme celkový počet členů v roce 2017. Sloupec pro tento rok sahá k hodnotě 100 (skládá se z 50 mužů a 50 žen).

Ověření tvrzení

Rozdíl v počtu členů mezi roky 2017 a 2016 je $100 - 90 = 10$. Nyní vypočítáme jednu devítinu z počtu členů v roce 2016: $90 : 9 = 10$. Rozdíl je skutečně roven jedné devítině počtu z roku 2016, takže v roce 2017 byl počet členů o jednu devítinu větší.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Graf udává počet všech členů (mužů a žen) turistického oddílu sledovaný v letech 2015–2018.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve sledovaném období se počet žen v turistickém oddílu poprvé snížil oproti předchozímu roku až v roce 2018.

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu žen v jednotlivých letech

Z grafu odečteme počet žen (světle šedá část sloupce) v každém roce:
  • 2015: 35 žen
  • 2016: 45 žen
  • 2017: 50 žen
  • 2018: 50 žen

Porovnání změn v počtu žen

Sledujeme, jak se počet žen měnil oproti předchozímu roku:
  • Mezi roky 2015 a 2016 došlo ke zvýšení (z 35 na 45).
  • Mezi roky 2016 a 2017 došlo ke zvýšení (ze 45 na 50).
  • Mezi roky 2017 a 2018 zůstal počet stejný (50 žen).

Vyhodnocení tvrzení

Tvrzení uvádí, že se počet žen v roce 2018 poprvé snížil. Protože však v roce 2018 počet žen zůstal stejný jako v roce 2017, k žádnému snížení nedošlo. Tvrzení je tedy nepravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 9

Farmář měl původně 7 krav. Každá z nich nadojila denně 15 litrů mléka.

Farmář 5 svých krav prodal, ale přikoupil několik dalších krav.
Každá z přikoupených krav nadojí denně 20 litrů mléka.

Celkové množství mléka, které původních 7 farmářových krav nadojilo za dva dny, všechny nynější farmářovy krávy dohromady nadojí za jeden den.

Kolik krav farmář přikoupil?

  • A) 9 krav
  • D) 14 krav
  • B) 10 krav
  • E) jiný počet krav
  • C) 12 krav
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Mléko od původních krav

Nejdříve si spočítáme, kolik mléka nadojilo všech 7 původních krav za jeden den. Vynásobíme počet krav množstvím mléka od jedné krávy:
  • $7 \times 15 = 105$ litrů

Mléko za dva dny

V zadání se píše, že máme zjistit celkové množství mléka za dva dny. Množství za jeden den tedy vynásobíme dvěma:
  • $105 \times 2 = 210$ litrů
Toto množství mléka (210 litrů) musí nynější farmářovy krávy nadojit dohromady za jeden den.

Krávy, které zůstaly

Farmář 5 krav prodal, takže mu z původních sedmi zůstaly 2 krávy ($7 - 5 = 2$). Tyto dvě krávy stále dojí 15 litrů denně každá:
  • $2 \times 15 = 30$ litrů

Nové krávy

Nyní zjistíme, kolik mléka musí za den nadojit nově přikoupené krávy. Od celkového cíle (210 litrů) odečteme to, co nadojí dvě zbývající původní krávy:
  • $210 - 30 = 180$ litrů
Víme, že každá z nových krav nadojí 20 litrů denně. Počet nových krav zjistíme tak, že 180 litrů vydělíme dvaceti:
  • $180 \div 20 = 9$

Závěr

Farmář přikoupil 9 krav. Správná je tedy možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 10

Maminka rozdělila peníze mezi své tři děti. Janě dala pětinu celkové částky,
Ivo dostal dvakrát více peněz než Jana a zbylých 240 korun dala maminka Evě.

Kolik korun celkem rozdělila maminka mezi své tři děti?

  • A) 480 korun
  • D) 720 korun
  • B) 600 korun
  • E) 840 korun
  • C) 700 korun
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podíl Jany a Iva

Jana dostala pětinu z celku, tedy $\frac{1}{5}$. Ivo dostal dvakrát více než Jana, což jsou dvě pětiny celku, tedy $\frac{2}{5}$.

Děti dohromady

Jana a Ivo dostali společně $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ z celkové částky.

Zbývající část pro Evu

Protože Jana a Ivo dostali tři pětiny, na Evu zbývají dvě pětiny do celku ($\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$). V zadání se píše, že Eva dostala 240 korun.

Výpočet celku

Jestliže dvě pětiny jsou 240 korun, pak jedna pětina musí být polovina z této částky:
$240 \div 2 = 120$ korun.
Celá částka se skládá z pěti pětin, takže ji vypočítáme jako:
$5 \cdot 120 = 600$ korun.

Závěr

Maminka celkem rozdělila 600 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 11

Ve čtvercové síti jsou zakresleny trojúhelníky ABC, KLM a čtverec DEFG.
Vrcholy všech těchto obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm2.

O kolik cm se liší obvod trojúhelníku ABC a obvod čtverce DEFG?

  • A) o méně než 2 cm
  • D) o 4 cm
  • B) o 2 cm
  • E) o jinou délku
  • C) o 3 cm
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obvod čtverce DEFG

Strana čtverce $DEFG$ je úhlopříčkou malého obdélníku o stranách 1 cm a 2 cm. Její délka je tedy o něco více než 2 cm (přesně je to $\sqrt{5} \doteq 2,24$ cm). Celý obvod čtverce tvoří čtyři takové strany, takže je to přibližně $4 \times 2,24 = 8,96$ cm.

Obvod trojúhelníku ABC

Strana $AB$ leží na lince sítě a měří přesně 4 cm. Strany $AC$ a $BC$ jsou úhlopříčkami obdélníku o stranách 2 cm a 5 cm. Každá z nich je tedy o něco delší než 5 cm (přesně je to $\sqrt{29} \doteq 5,39$ cm). Obvod trojúhelníku je tedy $4 + 5,39 + 5,39 = 14,78$ cm.

Rozdíl obvodů

Nyní porovnáme oba obvody: $14,78 - 8,96 = 5,82$ cm. Vidíme, že rozdíl je přibližně 5,8 cm. Protože výsledkem není 2 cm, 3 cm ani 4 cm, správná odpověď je jiná délka.

Závěr

Obvody se liší o jinou délku než 2, 3 nebo 4 cm. Správná je tedy možnost E.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

Ve čtvercové síti jsou zakresleny trojúhelníky ABC, KLM a čtverec DEFG.
Vrcholy všech těchto obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm2.

O kolik cm2 se liší obsah trojúhelníku ABC a obsah trojúhelníku KLM?

  • A) o 1 cm2
  • D) o 4 cm2
  • B) o 2 cm2
  • E) o jiný obsah
  • C) o 3 cm2
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah trojúhelníku ABC

Trojúhelník ABC má základnu AB o délce 4 cm (leží na vodorovné lince mřížky). Vrchol C leží 5 cm nad touto základnou, což odpovídá výšce trojúhelníku.
Obsah vypočítáme pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku:
$S = \frac{a \cdot v_a}{2}$
$S_{ABC} = \frac{4 \cdot 5}{2} = \mathbf{10\text{ cm}^2}$

Obsah trojúhelníku KLM

Trojúhelník KLM nemá žádnou stranu vodorovnou ani svislou, proto jeho obsah určíme pomocí opsaného obdélníku. Vrchol L je o 3 cm vpravo a 1 cm níže než K. Vrchol M je o 1 cm vpravo a 4 cm výše než K.
Opsaný obdélník má šířku 3 cm a výšku 5 cm (od úrovně bodu L po úroveň bodu M). Jeho obsah je $3 \cdot 5 = 15\text{ cm}^2$.
Od tohoto obsahu odečteme tři pravoúhlé trojúhelníky v rozích obdélníku:
1. trojúhelník (u vrcholů K a L): $\frac{3 \cdot 1}{2} = 1,5\text{ cm}^2$
2. trojúhelník (u vrcholů L a M): $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5\text{ cm}^2$
3. trojúhelník (u vrcholů M a K): $\frac{1 \cdot 4}{2} = 2\text{ cm}^2$
Celkem odečteme: $1,5 + 5 + 2 = 8,5\text{ cm}^2$.
$S_{KLM} = 15 - 8,5 = \mathbf{6,5\text{ cm}^2}$

Výpočet rozdílu

Nyní zjistíme, o kolik se oba obsahy liší, odečtením menšího od většího:
$10 - 6,5 = \mathbf{3,5\text{ cm}^2}$

Závěr

Rozdíl obsahů je 3,5 cm². Protože tento výsledek neodpovídá žádné z hodnot v možnostech A–D (1, 2, 3 nebo 4 cm²), je správnou odpovědí možnost E (o jiný obsah).
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.1
3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.

Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.

Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.

Přiřaďte k tělesu počet všech teček na jeho povrchu (A–F).

První těleso:

  • A) méně než 20 teček
  • D) 24 teček
  • B) 20 teček
  • E) 26 teček
  • C) 22 teček
  • F) 28 teček
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor kostky

Každá kostka má 6 stěn. Podle zadání jsou na třech stěnách 1 tečka a na zbývajících třech stěnách 3 tečky. Součet na protějších stěnách je vždy 4 (1 + 3). Celkový počet teček na jedné kostce je tedy:
3 × 1 + 3 × 3 = 3 + 9 = 12 teček.

Stavba prvního tělesa

První těleso tvoří dvě kostky slepené k sobě. Při slepení se u každé kostky skryje jedna stěna. Celkem se tedy skryjou 2 stěny (jedna z první a jedna z druhé kostky).

Maximalizace počtu teček

Chceme, aby na povrchu bylo co nejvíce teček. To znamená, že musíme skrýt stěny s co nejmenším počtem teček.
Nejmenší počet teček na jedné stěně je 1. Každou kostku tedy natočíme tak, aby se skryla stěna s 1 tečkou.

Výpočet

Z celkového počtu teček obou kostek odečteme tečky na skrytých stěnách:
(12 + 12) − (1 + 1) = 24 − 2 = 22 teček.

Závěr

První těleso má na svém povrchu 22 teček, což odpovídá možnosti C.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.

Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.

Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.

Přiřaďte k tělesu počet všech teček na jeho povrchu (A–F).

Druhé těleso:

  • A) méně než 20 teček
  • D) 24 teček
  • B) 20 teček
  • E) 26 teček
  • C) 22 teček
  • F) 28 teček
Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vlastností jedné kostky

Každá kostka má celkem 12 teček (tři stěny s 1 tečkou a tři stěny se 3 tečkami). V zadání je uvedeno, že součet teček na protějších stěnách je vždy 4. To znamená, že proti každé stěně s 1 tečkou se nachází stěna se 3 tečkami ($1 + 3 = 4$).

Analýza druhého tělesa

Druhé těleso se skládá ze tří kostek uspořádaných v jedné řadě. Pro celkový počet teček na povrchu musíme vědět, kolik stěn je u každé kostky viditelných:
  • Krajní kostky: Každá má jednu stěnu „schovanou“ (přilepenou k sousední kostce) a 5 stěn viditelných na povrchu.
  • Prostřední kostka: Má dvě stěny schované (přilepené z obou stran) a 4 stěny viditelné na povrchu. Tyto dvě schované stěny jsou protější.

Minimalizace počtu teček

Aby bylo na povrchu co nejméně teček, musíme na schované stěny umístit stěny s co nejvyšším počtem teček (tedy se 3 tečkami):
  • U krajních kostek můžeme schovat stěnu se 3 tečkami. Na povrchu každé z nich pak zbude $12 - 3 = 9$ teček.
  • U prostřední kostky jsou schované dvě protější stěny. Jejich součet je podle pravidla vždy 4 ($1 + 3$). Na povrchu prostřední kostky tedy vždy zbude $12 - 4 = 8$ teček, bez ohledu na natočení (pokud zachováme řadu).

Celkový součet

Sečteme tečky na povrchu všech tří kostek dohromady: $9 \text{ (1. krajní)} + 8 \text{ (prostřední)} + 9 \text{ (2. krajní)} = 26 \text{ teček}.$

Závěr

Druhé těleso má na svém povrchu minimálně 26 teček. Odpovídá to tedy možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.

Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.

Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.

Přiřaďte k tělesu počet všech teček na jeho povrchu (A–F).

Třetí těleso:

  • A) méně než 20 teček
  • D) 24 teček
  • B) 20 teček
  • E) 26 teček
  • C) 22 teček
  • F) 28 teček
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vlastností kostky

Každá kostka má celkem 12 teček (tři stěny po 1 tečce a tři stěny po 3 tečkách). Pravidlo, že součet na protějších stěnách je vždy 4, znamená, že proti každé stěně s 1 tečkou leží stěna se 3 tečkami. Díky tomu mohou tři stěny se 3 tečkami sousedit v jednom společném vrcholu.

Analýza spojů u třetího tělesa

Třetí těleso se skládá ze tří kostek uspořádaných do tvaru písmene L. To znamená, že v tělese jsou dva spoje:
  • Středová kostka je připojena ke dvěma sousedním kostkám (má tedy 2 zakryté stěny, které spolu sousedí).
  • Dvě krajní kostky jsou každá připojena pouze ke středové kostce (každá má 1 zakrytou stěnu).

Minimalizace teček na povrchu

Aby bylo na povrchu co nejméně teček, musíme do spojů (které nejsou vidět) umístit stěny s co nejvyšším počtem teček, tedy se 3 tečkami.
  • U obou krajních kostek schováme do spoje 3 tečky. Na povrchu každé z nich zbude $12 - 3 = 9$ teček.
  • U středové kostky schováme do dvou spojů také po 3 tečkách (protože dvě stěny se 3 tečkami mohou sousedit). Schováme tedy $3 + 3 = 6$ teček. Na povrchu středové kostky zbude $12 - 6 = 6$ teček.

Celkový výpočet

Sečteme tečky na viditelném povrchu všech tří kostek: $9 + 9 + 6 = 24$

Na povrchu třetího tělesa je tedy celkem 24 teček, což odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Poutník měl u sebe 54 dukátů, stejně jako kouzelník.

Kouzelník mu prozradil kouzlo:
„Když mi dáš právě tolik dukátů, abys měl polovinu toho, co budu mít i s darovanými dukáty já,
zbytek tvých dukátů se zdvojnásobí a budeme mít opět stejně. Pokud to však zkusíš, ale
nedokážeš, o všechny dukáty přijdeš.“

Poutník dal kouzelníkovi správný počet dukátů a zbytek dukátů se mu zdvojnásobil.

Určete, kolik dukátů dal poutník kouzelníkovi.

Zobrazit odpověď

18 dukátů

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet dukátů

Poutník i kouzelník mají na začátku každý 54 dukátů. Dohromady mají tedy $54 + 54 = 108$ dukátů. Tento celkový počet se darováním nezmění.

Rozdělení na díly

Poutník má mít po darování polovinu toho, co bude mít kouzelník. To znamená, že kouzelník bude mít dvakrát více než poutník. Představíme si to jako díly: poutník bude mít 1 díl a kouzelník 2 stejné díly. Dohromady je to $1 + 2 = 3$ stejné díly.

Výpočet jednoho dílu

Všech 108 dukátů rozdělíme na 3 stejné díly: $108 : 3 = 36$. Jeden díl je tedy 36 dukátů. To je přesně tolik, kolik má poutníkovi zbýt po darování.

Počet darovaných dukátů

Poutník měl původně 54 dukátů a po darování mu jich zbylo 36. Kouzelníkovi tedy musel dát rozdíl: $54 - 36 = 18$ dukátů.

Ověření

Když poutník dá 18 dukátů, zbude mu 36. Kouzelník jich bude mít $54 + 18 = 72$. Vidíme, že 36 je opravdu polovina ze 72. Zbytek poutníkových dukátů (36) se pak zdvojnásobí na 72, takže budou mít oba opět stejně.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.2

Poutník měl u sebe 54 dukátů, stejně jako kouzelník.

Kouzelník mu prozradil kouzlo:
„Když mi dáš právě tolik dukátů, abys měl polovinu toho, co budu mít i s darovanými dukáty já,
zbytek tvých dukátů se zdvojnásobí a budeme mít opět stejně. Pokud to však zkusíš, ale
nedokážeš, o všechny dukáty přijdeš.“

Poutník dal kouzelníkovi správný počet dukátů a zbytek dukátů se mu zdvojnásobil.
Protože kouzlo poprvé fungovalo, poutník jej použil ještě jednou.

Vypočtěte, kolik dukátů měl poutník, když se kouzlo vyplnilo podruhé.

Zobrazit odpověď

96 dukátů

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První použití kouzla – kolik poutník daroval

Na začátku mají poutník i kouzelník po 54 dukátech, dohromady tedy mají $54 + 54 = 108$ dukátů. Poutník má darovat tolik, aby mu zbyla polovina toho, co bude mít kouzelník. To znamená, že kouzelník bude mít 2 díly a poutníkovi zbude 1 díl z jejich společného součtu. Celkem tedy 108 dukátů rozdělíme na 3 stejné díly:
$108 \div 3 = 36$.
Poutníkovi musí zbýt 36 dukátů a kouzelník jich musí mít $36 \cdot 2 = 72$. Aby poutníkovi zbylo 36 dukátů z původních 54, musel darovat $54 - 36 = 18$ dukátů.

První použití kouzla – zdvojnásobení

Poté, co poutník daroval 18 dukátů, mu zbylo 36 dukátů. Toto zbývající množství se mu podle kouzla zdvojnásobilo:
$36 \cdot 2 = 72$.
Po prvním kouzlu má tedy poutník 72 dukátů a kouzelník má také 72 dukátů. Opět mají oba stejně.

Druhé použití kouzla – kolik poutník daroval

Nyní mají oba po 72 dukátech, dohromady $72 + 72 = 144$ dukátů. Poutník chce kouzlo zopakovat, takže opět daruje tolik, aby mu zbyl 1 díl a kouzelník měl 2 díly ze součtu 144:
$144 \div 3 = 48$.
Poutníkovi musí zbýt 48 dukátů a kouzelník jich bude mít $48 \cdot 2 = 96$. Poutník tedy daruje $72 - 48 = 24$ dukátů.

Druhé použití kouzla – výsledek

Poutníkovi zbylo 48 dukátů a tento zbytek se mu opět zdvojnásobil:
$48 \cdot 2 = 96$.
Po druhém kouzlu má tedy poutník 96 dukátů.

Závěr

Když se kouzlo vyplnilo podruhé, měl poutník 96 dukátů.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.3

Poutník měl u sebe 54 dukátů, stejně jako kouzelník.

Kouzelník mu prozradil kouzlo:
„Když mi dáš právě tolik dukátů, abys měl polovinu toho, co budu mít i s darovanými dukáty já,
zbytek tvých dukátů se zdvojnásobí a budeme mít opět stejně. Pokud to však zkusíš, ale
nedokážeš, o všechny dukáty přijdeš.“

Poutník kouzla několikrát využil. Když si správně spočítal, že už pomocí kouzla nemůže
další dukáty získat a že by při dalším pokusu určitě o všechny přišel, dál nepokračoval.
Kouzelníkovi poděkoval a rozloučil se s ním.

Vypočtěte, kolik dukátů měl poutník, když se s kouzelníkem rozloučil.

Zobrazit odpověď

128 dukátů

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podmínka kouzla

Aby kouzlo fungovalo, musí poutník dát kouzelníkovi tolik dukátů, aby mu zbyla polovina toho, co bude mít kouzelník (včetně darovaných dukátů). Protože mají oba na začátku pokaždé stejně dukátů, znamená to, že poutník musí odevzdat přesně třetinu svých dukátů. (Když má poutník 3 stejné díly a 1 díl odevzdá, zbydou mu 2 díly. Kouzelník pak bude mít své 3 díly a k tomu 1 darovaný, tedy celkem 4 díly. A 2 je polovina ze 4.)

První kouzlo

Na začátku mají oba 54 dukátů. Třetina z 54 je $54 : 3 = 18$ dukátů.
  • Poutník odevzdá 18 dukátů, zbude mu $54 - 18 = 36$ dukátů.
  • Kouzelník má nyní $54 + 18 = 72$ dukátů.
  • Poutníkův zbytek se zdvojnásobí: $36 \cdot 2 = 72$ dukátů.
Po prvním kouzlu mají oba 72 dukátů.

Druhé kouzlo

Poutník má 72 dukátů. Třetina ze 72 je $72 : 3 = 24$ dukátů.
  • Poutník odevzdá 24 dukátů, zbude mu $72 - 24 = 48$ dukátů.
  • Kouzelník má nyní $72 + 24 = 96$ dukátů.
  • Poutníkův zbytek se zdvojnásobí: $48 \cdot 2 = 96$ dukátů.
Po druhém kouzlu mají oba 96 dukátů.

Třetí kouzlo

Poutník má 96 dukátů. Třetina z 96 je $96 : 3 = 32$ dukátů.
  • Poutník odevzdá 32 dukátů, zbude mu $96 - 32 = 64$ dukátů.
  • Kouzelník má nyní $96 + 32 = 128$ dukátů.
  • Poutníkův zbytek se zdvojnásobí: $64 \cdot 2 = 128$ dukátů.
Po třetím kouzlu mají oba 128 dukátů.

Konec kouzlení

Poutník má nyní 128 dukátů. Aby mohl kouzlo zopakovat, musel by odevzdat třetinu svých dukátů. Číslo 128 ale není dělitelné třemi (ciferný součet $1+2+8=11$ není dělitelný 3). Poutník by tedy nedokázal dát přesný počet dukátů a o všechno by přišel. Proto se s kouzelníkem rozloučil a u sebe měl 128 dukátů.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body