Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2025

29 úloh

Úloha 1

Vlak vyjel v poledne ze stanice a za každých 8 minut ujel 7 km.
Ve 12:20 vlak minul lom a ve 12:36 dojel na most přes řeku.

Určete v km vzdálenost, kterou ujel vlak od lomu k mostu.

Zobrazit odpověď

14 km

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas jízdy

Nejdříve zjistíme, kolik minut jel vlak od lomu k mostu. Od 12:20 do 12:36 uplynulo 16 minut (protože 36 − 20 = 16).

Vzdálenost a čas

Víme, že za každých 8 minut vlak ujede 7 km. My hledáme vzdálenost, kterou ujede za 16 minut.

Výpočet vzdálenosti

Všimneme si, že 16 minut je přesně dvakrát více než 8 minut ($16 = 2 \cdot 8$).
Proto i ujetá vzdálenost bude dvakrát větší než 7 km:
$2 \cdot 7 = \mathbf{14}$ km

Výsledek

Vzdálenost od lomu k mostu je 14 km.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.1

Děti doplňovaly jednu dvojici závorek do následujícího příkladu:
$ \displaystyle 9 \cdot 8 - 6 \div 2 = $
Každé z dětí doplnilo závorky jiným způsobem a vypočetlo správný výsledek svého příkladu.
Pouze Jarda doplnil závorky více způsoby, ale všechny jeho zápisy vedly k témuž výsledku.
Např. jeden z Jardových zápisů vypadal takto: $ \displaystyle (9 \cdot 8 - 6 \div 2) = $
Dětí bylo přesně tolik, kolik různých výsledků lze získat.

Určete Jardův výsledek.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možnosti umístění závorek

Musíme najít všechny způsoby, jak do výrazu $9 \cdot 8 - 6 \div 2$ doplnit jednu dvojici závorek tak, aby ohraničovaly alespoň jednu operaci. Možné zápisy jsou:

$(9 \cdot 8) - 6 \div 2$
$9 \cdot (8 - 6) \div 2$
$9 \cdot 8 - (6 \div 2)$
$(9 \cdot 8 - 6) \div 2$
$9 \cdot (8 - 6 \div 2)$
$(9 \cdot 8 - 6 \div 2)$

Výpočet výsledků

Vypočítáme hodnotu pro každý zapsaný příklad:

$(9 \cdot 8) - 6 \div 2 = 72 - 3 = 69$
$9 \cdot (8 - 6) \div 2 = 9 \cdot 2 \div 2 = 18 \div 2 = 9$
$9 \cdot 8 - (6 \div 2) = 72 - 3 = 69$
$(9 \cdot 8 - 6) \div 2 = (72 - 6) \div 2 = 66 \div 2 = 33$
$9 \cdot (8 - 6 \div 2) = 9 \cdot (8 - 3) = 9 \cdot 5 = 45$
$(9 \cdot 8 - 6 \div 2) = 72 - 3 = 69$

Jardův výsledek

Zadání říká, že pouze Jarda mohl doplnit závorky více způsoby a vždy mu vyšel stejný výsledek. Vidíme, že výsledek 69 jsme získali třemi různými způsoby, zatímco výsledky 9, 33 a 45 se objevily vždy jen jednou. Jarda tedy musel dospět k výsledku 69.

Ověření

Různé výsledky jsou celkem čtyři: $69, 9, 33$ a $45$. Protože dětí bylo přesně tolik, kolik je různých výsledků, byly děti 4. To přesně odpovídá naší úvaze (Jarda a další tři děti). Jardův výsledek je tedy 69.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Uveďte zápisy příkladů s doplněnými závorkami a vypočtenými výsledky všech dětí s výjimkou Jardy (tedy Jardovy zápisy neuvádějte).

Zobrazit odpověď

9 * (8 - 6 : 2) = 45; (9 * 8 - 6) : 2 = 33; 9 * (8 - 6) : 2 = 9

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možné výsledky

Nejdříve si musíme uvědomit, jaké výsledky můžeme dostat, když do příkladu $9 \cdot 8 - 6 \div 2$ doplníme jednu dvojici závorek. Bez závorek platí přednost násobení a dělení, takže vyjde $72 - 3 = 69$.

Změna pořadí operací

Zkusíme závorky umístit tak, aby se pořadí výpočtů změnilo:

Pokud dáme závorku kolem $8 - 6$, vypočítáme nejdříve odčítání: $9 \cdot (8 - 6) \div 2 = 9 \cdot 2 \div 2 = 18 \div 2 = 9$.
Pokud dáme závorku kolem $9 \cdot 8 - 6$, odečteme šestku ještě před dělením: $(9 \cdot 8 - 6) \div 2 = (72 - 6) \div 2 = 66 \div 2 = 33$.
Pokud dáme závorku kolem $8 - 6 \div 2$, vypočítáme nejdříve tento výraz a pak jím vynásobíme devítku: $9 \cdot (8 - 6 \div 2) = 9 \cdot (8 - 3) = 9 \cdot 5 = 45$.

Jardův výsledek

Jarda dostal výsledek 69, a to hned několika způsoby (např. $(9 \cdot 8) - 6 \div 2 = 69$ nebo $(9 \cdot 8 - 6 \div 2) = 69$). Protože dětí bylo tolik, kolik je různých výsledků (celkem 4), zbývají nám tři děti s výsledky 9, 33 a 45.

Zápisy ostatních dětí

Zápisy příkladů a výsledky ostatních dětí (kromě Jardy) jsou:
$9 \cdot (8 - 6) \div 2 = 9$
$(9 \cdot 8 - 6) \div 2 = 33$
$9 \cdot (8 - 6 \div 2) = 45$

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 3.1

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik delších dílů jsme ze stuhy nastříhali

Zobrazit odpověď

12 delších dílů

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr dílů

Víme, že kratších dílů bylo o třetinu méně než delších. Pokud si tedy počet delších dílů představíme jako 3 stejné dílky, pak kratších dílů musí být o jeden takový dílek méně (třetinu ze tří), tedy 2 dílky.

Celkový počet dílků

Dohromady máme 3 dílky (delší) a 2 dílky (kratší), což je celkem 5 stejných dílků.

Výpočet jednoho dílku

Protože víme, že stuhu jsme rozstříhali na 20 dílů, vydělíme tento počet celkovým počtem dílků:
$20 \div 5 = 4$
Jeden dílek tedy odpovídá 4 kusům.

Počet delších dílů

Delší díly tvoří 3 dílky, proto jich je:
$3 \cdot 4 = 12$

Výsledek

Ze stuhy jsme nastříhali 12 delších dílů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik cm měřila celá stuha, než jsme ji začali stříhat.

Zobrazit odpověď

520 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dílů

Víme, že celkem máme 20 dílů. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů. Pokud si počet delších dílů představíme jako celek rozdělený na 3 stejné části (třetiny), tak kratších dílů byly 2 tyto části. Dohromady tedy máme $3 + 2 = 5$ stejných částí.

Výpočet počtu kusů

Celkový počet 20 dílů rozdělíme na těchto 5 stejných částí: $20 \div 5 = 4$. Jedna část tedy odpovídá 4 kusům.

Delších dílů bylo $3 \cdot 4 = 12$ kusů.
Kratších dílů bylo $2 \cdot 4 = 8$ kusů.

(Kontrola: $12 + 8 = 20$, což souhlasí.)

Délka všech dílů

Nyní vypočítáme délku jednotlivých skupin dílů:

12 delších dílů po 30 cm: $12 \cdot 30 = 360\text{ cm}$
8 kratších dílů po 20 cm: $8 \cdot 20 = 160\text{ cm}$

Celková délka

Celkovou délku stuhy zjistíme sečtením délek všech dílů: $360 + 160 = 520\text{ cm}$.

Celá stuha měřila 520 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.1

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 2 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 12 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik balení masa Adam dnes koupil.

Zobrazit odpověď

5 balení masa

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kolik balení kupoval minule

Adam minule kupoval $12\text{ kg}$ masa. Víme, že se maso prodává v baleních po $2\text{ kg}$. Počet balení, která minule koupil, spočítáme dělením: $12 : 2 = 6\text{ balení}$.

Kolik balení koupil dnes

Ze zadání víme, že dnes koupil o $1$ balení méně než minule. Dnes tedy koupil $6 - 1 = 5\text{ balení}$.

Závěr

Adam dnes koupil $5$ balení masa.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Vypočtěte kolik korun dnes stálo jedno balení masa.

Zobrazit odpověď

90 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení masa

Nejdřív si zjistíme, kolik balení masa chtěl Adam původně koupit. V zadání čteme, že chtěl koupit 12 kg masa a jedno balení váží 2 kg.
Počet balení vypočítáme dělením:
12 ÷ 2 = 6 balení

Úvaha o ceně jednoho balení

Když chtěl Adam zaplatit za 6 balení, chybělo mu 40 korun.
Když si to rozmyslel a koupil o 1 balení méně, ušetřil cenu tohoto odloženého balení. Díky tomu mu už nechybělo těch 40 korun na původní nákup, ale dokonce mu v peněžence 50 korun zbylo.
Cena za toto jedno balení masa musí dohromady pokrýt peníze, které původně chyběly, a ty, co nakonec zbyly.

Výpočet a zkouška

Jedno balení stálo:
40 + 50 = 90 Kč

Můžeme si to ověřit. Kdyby 1 balení stálo 90 Kč, 6 balení by stálo 540 Kč. Když mu na to chybělo 40 Kč, musel mít u sebe 500 Kč (540 − 40). Při nákupu o jedno balení méně (5 balení) utratil 450 Kč (5 ⋅ 90). Z 500 Kč mu tak zbylo přesně 50 Kč. Všechno správně vychází.

Závěr

Dnes stálo jedno balení masa 90 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.3

Vypočtěte kolik korun si dnes Adam vzal na nákup masa.

Zobrazit odpověď

500 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení

Adam běžně kupuje 12 kg masa. Protože se maso prodává v baleních po 2 kg, potřebuje koupit $12 \div 2 = 6$ balení. Dnes koupil o 1 balení méně, takže si odnesl 5 balení.

Cena jednoho balení

Kdyby chtěl dnes koupit stejné množství jako minule (tedy 6 balení), chybělo by mu 40 korun. Když si ale koupil jen 5 balení, najednou mu 50 korun zbylo. Rozdíl mezi šesti a pěti baleními je přesně 1 balení. Cenový rozdíl je součet chybějících a zbylých peněz: $40 + 50 = 90$ korun. Jedno balení masa dnes tedy stojí 90 korun.

Celková částka

Víme, že si Adam nakonec koupil 5 balení a každé stálo 90 korun. Za nákup tedy zaplatil $5 \cdot 90 = 450$ korun. V peněžence mu po zaplacení ještě zbylo 50 korun, takže si s sebou původně musel vzít $450 + 50 = 500$ korun.

Můžeme to ověřit i z první situace: Na 6 balení by potřeboval $6 \cdot 90 = 540$ korun. Kdybychom od toho odečetli 40 korun, které mu chyběly, dostaneme také 500 korun.

Výsledek

Adam si dnes vzal na nákup masa 500 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.4

Vypočtěte o kolik korun bylo dnes jedno balení masa dražší než minule.

Zobrazit odpověď

9 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení masa

Maso se prodává v baleních po 2 kg. Adam chtěl koupit celkem 12 kg masa. Rozdělíme celkové množství na jednotlivá balení: $12 : 2 = 6$ balení. Minule tedy Adam kupoval 6 balení masa.

Zdražení všech balení

Adam měl v peněžence o 14 Kč víc než minule. Přesto mu na stejný nákup (6 balení) ještě 40 Kč chybělo. To znamená, že cena 6 balení se zvedla o ty peníze, které měl navíc, a ještě o peníze, které mu chyběly. Celkové zdražení za 6 balení je: $14 + 40 = 54$ Kč.

Zdražení jednoho balení

Když víme, že 6 balení dohromady zdražilo o 54 Kč, můžeme vypočítat zdražení pro jedno balení. Zdražení rozdělíme na 6 stejných dílů: $54 : 6 = 9$ Kč.

Výsledek

Jedno balení masa bylo dnes o 9 korun dražší než minule.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Písmena K, L představují dvě různé číslice.
V zápise součtu dvou trojciferných čísel se písmena nahradí číslicemi a místo hvězdiček se zapíšou chybějící číslice součtu tak, aby byl výpočet správný.

$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} & K & L & L \\ & K & L & K \\ \hline \ast & \ast & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena K, L, a zapište je v tomto pořadí.

Zobrazit odpověď

6, 5

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního a druhého sloupečku

Postupujeme jako při klasickém sčítání pod sebou zprava doleva. V pravém (prvním) sloupečku sčítáme písmena L a K. Pod čarou je výsledek 1. Součet dvou číslic může končit jedničkou, pokud je to 1, nebo 11. Podívejme se na druhý sloupeček: sčítáme dvě stejná písmena (L + L). Součet dvou stejných číslic je vždy sudé číslo (např. 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6). Pod čarou je ale výsledek 1 (liché číslo). Jak ze součtu dvou stejných čísel získáme liché číslo? Jedině tak, že k nim přidáme jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího sloupečku. To znamená, že součet L + K v prvním sloupečku musí být 11.

Zjištění číslice L

Ve druhém sloupečku sčítáme L + L a k tomu přidáme zapamatovanou jedničku. Pod čarou chceme mít opět výsledek končící na 1. Může to být jedině 11 (číslo 1 nepřipadá v úvahu, protože po odečtení paměťové jedničky by bylo L + L = 0, takže L = 0. V prvním sloupci by pak muselo být 0 + K = 11, ale jednociferná číslice nemůže být 11). Platí tedy, že L + L + 1 = 11. Když odečteme jedničku, zjistíme, že L + L = 10. Číslice L je tedy 5, protože 5 + 5 = 10.

Zjištění číslice K a zkouška

Když už víme, že L = 5, vrátíme se k prvnímu sloupečku. Tam platilo, že L + K = 11. Dosadíme za L pětku: 5 + K = 11. Kolik chybí do 11? Chybí 6. Číslice K je tedy 6. Uděláme si zkoušku celého příkladu. Za K dosadíme 6 a za L pětku: 655 + 656 = 1311. Výsledek končí na 11, což přesně odpovídá zadání. Písmena nahradíme číslicemi v zadaném pořadí K, L.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Písmena S, T, U představují tři navzájem různé číslice.
V zápise součtu tří dvouciferných čísel se písmena nahradí číslicemi tak, aby byl výpočet správný.
$ \displaystyle \begin{array}{rrr} & S & T \\ & S & T \\ & T & U \\ \hline 2 & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena S, T, U, a zapište je v tomto pořadí.

Najděte všechna tři řešení.

Zobrazit odpověď

9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sloupečků

Sčítáme tři dvouciferná čísla pod sebou. Začneme levým sloupečkem (desítkami), abychom omezili možnosti. V levém sloupečku sčítáme dvě číslice $S$ a jednu číslici $T$. Nesmíme ale zapomenout na to, že z pravého sloupečku (z jednotek) se nám může převést nějaké číslo – takzvaný přenos. V pravém sloupečku sčítáme $T+T+U$, a protože největší jednociferné číslo je 9, maximální součet je $9+9+9=27$. Přenos do desítek tedy může být 0, 1 nebo 2. Součet v desítkách dává dohromady $21$. Tedy $S + S + T + \text{přenos} = 21$. Z toho poznáme, že číslice $S$ musí být dostatečně velká. Kdyby bylo např. $S=4$, tak $4+4 = 8$ a i s největším možným $T=9$ a přenosem $2$ bychom se dostali nejvýše na $19$. Číslice $S$ tedy musí být 5, 6, 7, 8 nebo 9.

Zkoušení možností pro S = 5 a S = 6

Budeme postupně zkoušet možnosti pro písmeno $S$.

Pokud $S = 5$: Součet desítek je $5 + 5 + T + \text{přenos} = 21$. Abychom se dostali na 21, musí chybět 11. To znamená, že musí být $T = 9$ a přenos přesně 2. V pravém sloupečku (jednotky) pak počítáme $T+T+U$, tedy $9+9+U = 18+U$. Výsledek má končit na jedničku a jít přes 20 (kvůli přenosu 2), musí to být tedy 21. Z rovnice $18+U = 21$ nám vychází $U = 3$. Zkontrolujeme číslice $5, 9, 3$ – jsou různé a výpočet $59 + 59 + 93 = 211$ platí. Máme první řešení.
Pokud $S = 6$: V desítkách máme $6+6+T+\text{přenos} = 21$, takže $12+T+\text{přenos} = 21$, chybí 9. Pokud by byl přenos $2$, muselo by být $T=7$. V jednotkách by pak bylo $7+7+U = 14+U$, což by se muselo rovnat 21 (protože přenos je 2). Pak by $U=7$, ale my hledáme různé číslice, $T$ a $U$ nesmí být stejné. Pokud by byl přenos $1$, tak $T=8$. V jednotkách $8+8+U = 16+U$. Aby výsledek končil na jedničku a přenos byl jen 1, musel by součet být 11, což nepůjde (protože $16+U$ je více než 11). Pro $S=6$ tedy řešení nenajdeme.

Zkoušení možností pro S = 7, 8 a 9

Pokud $S = 7$: V desítkách $7+7+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $14+T+\text{přenos}=21$, takže $T+\text{přenos} = 7$. Pokud by byl přenos $1$, bylo by $T=6$. V jednotkách $6+6+U=12+U$, chtěli bychom součet 11, což nejde. Pokud by byl přenos 2, tak $T=5$. V jednotkách $5+5+U=10+U$, chtěli bychom součet 21. Pak by $U=11$, ale to není jednociferné číslo.
Pokud $S = 8$: V desítkách $8+8+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $16+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 5$. Zkusme přenos $1$. Pak $T=4$. V jednotkách budeme počítat $4+4+U = 8+U$. Součet má končit na 1 s přenosem 1, má tedy být 11. $8+U = 11$, z toho plyne $U = 3$. Číslice $8, 4, 3$ jsou různé a zkouška $84+84+43 = 211$ vychází. Máme druhé řešení.
Pokud $S = 9$: V desítkách $9+9+T+\text{přenos} = 21$, z čehož $18+T+\text{přenos} = 21$, takže $T+\text{přenos} = 3$. Zkusíme opět přenos $1$. Pak by $T=2$. V jednotkách budeme počítat $2+2+U = 4+U$, součet má být 11 (aby končil na 1 s přenosem 1). Pak $U = 7$. Číslice $9, 2, 7$ jsou různé a zkouška $92+92+27 = 211$ vychází. Máme třetí řešení.

Závěr

Podařilo se nám najít všechny tři hledané trojice číslic. Písmena $S, T, U$ nahradíme číslicemi takto:

první možnost: $5, 9, 3$
druhá možnost: $8, 4, 3$
třetí možnost: $9, 2, 7$

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 6.1

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úsečkami na dva bílé čtverce a dva stejné tmavé trojúhelníky.
Délka strany malého čtverce je o čtvrtinu menší než délka strany velkého čtverce.
Obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Zobrazit odpověď

9 cm

2 body

Úloha 6.2

Vypočtěte v cm obvod velkého čtverce.

Zobrazit odpověď

48 cm

1 bod

Úloha 6.3

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Zobrazit odpověď

2 krát

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Obvody obou čtverců se liší o 12 cm. Protože obvod čtverce tvoří čtyři stejné strany, liší se délky stran těchto čtverců o 3 cm ($12 : 4 = 3$).

Víme, že strana malého čtverce je o čtvrtinu menší než strana velkého čtverce. Tento rozdíl (jedna čtvrtina) tedy odpovídá 3 cm.

Strana velkého čtverce: $4 \cdot 3 = 12$ cm Strana malého čtverce: $12 - 3 = 9$ cm

Krok 2: Určení stran trojúhelníků

Obvod malého čtverce je $4 \cdot 9 = 36$ cm. Podle zadání je obvod jednoho tmavého trojúhelníku také 36 cm.

Tmavé trojúhelníky jsou v obrazci umístěny tak, že jejich dvě kratší strany (odvěsny) sousedí se stranami čtverců. Každý trojúhelník má tedy odvěsny o délkách 12 cm a 9 cm.

Délka třetí strany (přepony) trojúhelníku: $36 - (12 + 9) = 36 - 21 = 15$ cm

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod celého šestiúhelníku se skládá z vnějších stran obou čtverců a obou trojúhelníků:

dvě strany malého čtverce: $2 \cdot 9 = 18$ cm
dvě strany velkého čtverce: $2 \cdot 12 = 24$ cm
dvě nejdelší strany trojúhelníků: $2 \cdot 15 = 30$ cm

Celkový obvod šestiúhelníku: $18 + 24 + 30 = 72$ cm

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní zjistíme, kolikrát je obvod šestiúhelníku (72 cm) větší než obvod malého čtverce (36 cm): $72 : 36 = 2$

Obvod šestiúhelníku je 2krát větší.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží bod U a přímka p procházející bodem S.

Na přímce p leží strana AB pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu A.
Bod S je střed strany AB a vzdálenost bodu A od bodu S je 3 cm.
Vrchol C trojúhelníku ABC leží na polopřímce US.

Sestrojte všechny vrcholy trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží bod R a přímka m procházející bodem K.

Bod K je vrchol obdélníku KLMN.
Na přímce m leží vrchol M tohoto obdélníku.
Přitom úsečka MR má stejnou délku jako úsečka KR.
Vrchol L obdélníku KLMN leží na přímce KR.

Sestrojte vrcholy L, M, N obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V prvních třech měsících sezony bylo mezi návštěvníky rodného domu třikrát více dospělých než dětí.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnot z grafu

První tři měsíce sezony jsou květen, červen a červenec. Z grafu vyčteme počty prodaných vstupenek pro děti (tmavě šedý sloupec) a dospělé (světle šedý sloupec) v těchto měsících:

Květen: 30 dětí a 80 dospělých
Červen: 10 dětí a 60 dospělých
Červenec: 30 dětí a 70 dospělých

Výpočet celkového počtu návštěvníků

Sečteme počty dětí a dospělých za toto období zvlášť:

Děti celkem: $30 + 10 + 30 = 70$
Dospělí celkem: $80 + 60 + 70 = 210$

Porovnání počtů

Nyní ověříme, zda je dospělých třikrát více než dětí. Vynásobíme počet dětí třemi:
$70 \cdot 3 = 210$
Počet dospělých (210) přesně odpovídá trojnásobku počtu dětí. Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Dospělých návštěvníků rodného domu bylo v srpnu o polovinu více než v červnu.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Podle legendy grafu hledáme hodnoty pro dospělé, které jsou znázorněny světle šedými sloupci. Z grafu vyčteme:

V měsíci červnu bylo prodáno 60 vstupenek pro dospělé.
V měsíci srpnu bylo prodáno 90 vstupenek pro dospělé.

Výpočet a porovnání

Chceme zjistit, zda bylo v srpnu o polovinu více dospělých návštěvníků než v červnu.

Nejdříve vypočítáme polovinu z počtu v červnu: $60 : 2 = 30$.
"O polovinu více" znamená k původnímu počtu tuto polovinu přičíst: $60 + 30 = 90$.

Počet dospělých návštěvníků v srpnu (90) přesně odpovídá vypočtené hodnotě.

Závěr

Tvrzení je pravdivé. Správná odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu bylo dětských návštěvníků rodného domu o 340 méně než dospělých.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu dětských návštěvníků

Z grafu vyčteme počty dětských návštěvníků (tmavě šedé sloupce) v jednotlivých měsících a sečteme je:

Květen: 30
Červen: 10
Červenec: 30
Srpen: 50
Září: 40

Celkem dětí: $30 + 10 + 30 + 50 + 40 = 160$

Zjištění počtu dospělých návštěvníků

Z grafu vyčteme počty dospělých návštěvníků (světle šedé sloupce) v jednotlivých měsících a sečteme je:

Květen: 80
Červen: 60
Červenec: 70
Srpen: 90
Září: 100

Celkem dospělých: $80 + 60 + 70 + 90 + 100 = 400$

Porovnání a závěr

Vypočítáme rozdíl mezi počtem dospělých a dětí: $400 - 160 = 240$

Dětských návštěvníků bylo o 240 méně než dospělých. Tvrzení v zadání uvádí rozdíl 340, což neodpovídá našemu výpočtu.

Výsledek

Tvrzení je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

V kamionu se převážejí bedny naplněné baleními minerálek.

Do každé bedny se jednotlivá balení naskládají do 4 vrstev nad sebou.
Každá vrstva obsahuje 3 řady po 7 baleních.

K přepravě bylo připraveno 1560 balení minerálek, která se postupně skládala do beden.
Všechny bedny kromě poslední byly zcela naplněny.

Kolik balení minerálek by bylo třeba přidat do poslední bedny, aby byla plná?

A) méně než 32 balení
D) 36 balení
B) 32 balení
E) více než 36 balení
C) 34 balení

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení v jedné vrstvě

Každá vrstva obsahuje 3 řady po 7 baleních. Vypočítáme celkový počet balení v jedné vrstvě: $3 \cdot 7 = 21$ balení.

Kapacita jedné bedny

Do každé bedny se vejdou 4 vrstvy. Vypočítáme, kolik balení se vejde do jedné plné bedny: $4 \cdot 21 = 84$ balení.

Plnění beden

Máme celkem 1560 balení, která postupně skládáme do beden. Vydělíme celkový počet balení počtem balení v jedné bedně (dělíme se zbytkem): $1560 : 84 = 18$ (zbytek 48). To znamená, že naplníme 18 beden a do poslední nevyplněné bedny dáme zbylých 48 balení.

Doplnění poslední bedny

Aby byla poslední bedna plná, muselo by v ní být celkem 84 balení. Protože v ní je jen 48 balení, odečteme je od celkové kapacity bedny: $84 - 48 = 36$ balení. Do poslední bedny by bylo třeba přidat 36 balení, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Jitka s maminkou a babičkou trhaly na zahradě rybíz do stejně velkých hrnků.
Maminka natrhala dvakrát více rybízu než Jitka.
Babička natrhala o polovinu více rybízu než Jitka.
Přitom babička natrhala o 2 hrnky rybízu méně než maminka.

Kolik hrnků rybízu natrhaly všechny tři dohromady?

A) 18 hrnků
D) 24 hrnků
B) 20 hrnků
E) 25 hrnků
C) 21 hrnků

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr mezi množstvím

Víme, že maminka natrhala 2krát více než Jitka. Babička natrhala o polovinu více než Jitka – to znamená celé Jitčino množství a k tomu ještě jeho polovinu.

Rozdíl babičky a maminky

Maminka má tedy „dvě Jitky“, zatímco babička má „jednu a půl Jitky“. Rozdíl mezi maminkou a babičkou je tedy přesně polovina toho, co natrhala Jitka. V zadání se píše, že tento rozdíl jsou 2 hrnky.

Kolik natrhala Jitka

Když polovina Jitčina množství jsou 2 hrnky, tak Jitka sama musela natrhat 4 hrnky ($2 \cdot 2 = 4$).

Výpočet pro všechny

Nyní dopočítáme ostatní:

Maminka (dvakrát více než Jitka): $2 \cdot 4 = 8$ hrnků.
Babička (o 2 méně než maminka): $8 - 2 = 6$ hrnků.

Celkový součet

Všechny tři dohromady natrhaly: $4 + 8 + 6 = 18$ hrnků.
Správná odpověď je tedy A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Záhon má tvar obdélníku, jehož délka je trojnásobkem jeho šířky. Záhon má obvod 16 m.
Po obvodu záhonu jsou vysázeny květiny ve stejných rozestupech, vzdálenost dvou sousedních květin je vždy 40 cm. Jedna květina je i v každém rohu záhonu.

O kolik se liší počet květin vysázených na kratší straně záhonu a počet květin vysázených na delší straně záhonu?

A) o 9 květin
D) o 12 květin
B) o 10 květin
E) o jiný počet květin
C) o 11 květin

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry záhonu

Obvod obdélníkového záhonu je 16 metrů. Víme, že delší strana je třikrát delší než kratší strana.
Polovina obvodu (jedna délka a jedna šířka) je tedy $16 \div 2 = 8$ metrů.
Dohromady máme 4 stejné dílky (3 dílky na délku a 1 dílek na šířku).
Jeden dílek (šířka) měří $8 \div 4 = 2$ metry.
Tři dílky (délka) měří $3 \cdot 2 = 6$ metrů.
Rozměry záhonu jsou 2 m a 6 m.

Převod na centimetry

Vzdálenost mezi květinami je uvedena v centimetrech (40 cm), proto si rozměry záhonu převedeme také na centimetry:
Kratší strana: 2 m = 200 cm
Delší strana: 6 m = 600 cm

Květiny na kratší straně

Kratší strana měří 200 cm. Rozestupy jsou po 40 cm.
Počet mezer mezi květinami je $200 \div 40 = 5$.
Protože je květina v každém rohu, na jedné kratší straně je o jednu květinu více než je počet mezer, tedy $5 + 1 = 6$ květin.

Květiny na delší straně

Delší strana měří 600 cm. Rozestupy jsou po 40 cm.
Počet mezer mezi květinami je $600 \div 40 = 15$.
I zde platí, že květin je o jednu více než mezer, tedy $15 + 1 = 16$ květin.

Rozdíl v počtu květin

Na delší straně je 16 květin, na kratší straně je 6 květin.
Rozdíl je $16 - 6 = 10$ květin.
Správná je tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Ze tří stejných kvádrů o rozměrech 7 cm, 5 cm a 4 cm jsme v rohu místnosti postavili stavbu jako na obrázku. Po černě vyznačené trase vedoucí po hranách kvádrů lezl od startu do cíle mravenec.

Jak dlouhá je vyznačená mravencova trasa?

A) méně než 53 cm
D) 56 cm
B) 53 cm
E) 57 cm
C) 55 cm

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 13.1

3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Skupina 18 osob přijela do penzionu na jednu noc.
Tabulka udává počty volných pokojů a ceny lůžek na těchto pokojích.
Každý pronajatý pokoj musí být vždy plně obsazen.

Přiřaďte počet dvoulůžkových pokojů (A–F), které skupina obsadí.

Skupina obsadí stejný počet jednolůžkových, dvoulůžkových i třílůžkových pokojů.

A) žádný dvoulůžkový pokoj
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
F) 5

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Ze zadání víme, že skupina 18 osob obsadí stejný počet jednolůžkových, dvoulůžkových i třílůžkových pokojů. Všechny tyto pokoje musí být plně obsazeny.

Výpočet počtu lůžek v jedné sadě pokojů

Jedna „sada“ pokojů (jeden jednolůžkový, jeden dvoulůžkový a jeden třílůžkový) pojme celkem:
1 + 2 + 3 = 6 osob.

Určení počtu pokojů

Celou skupinu 18 osob rozdělíme do těchto sad po 6 osobách:
18 : 6 = 3
Skupina tedy obsadí 3 jednolůžkové, 3 dvoulůžkové a 3 třílůžkové pokoje.

Závěr

Počet obsazených dvoulůžkových pokojů je 3. V tabulce vidíme, že je k dispozici 5 volných dvoulůžkových pokojů, takže 3 pokoje lze bez problémů obsadit.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Skupina 18 osob přijela do penzionu na jednu noc.
Tabulka udává počty volných pokojů a ceny lůžek na těchto pokojích.
Každý pronajatý pokoj musí být vždy plně obsazen.

Přiřaďte počet dvoulůžkových pokojů (A–F), které skupina obsadí.

Skupina obsadí všechny volné třílůžkové pokoje a zaplatí celkem 10 300 korun.

A) žádný dvoulůžkový pokoj
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
F) 5

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet pro třílůžkové pokoje

Skupina obsadí všech 5 volných třílůžkových pokojů. V nich se ubytuje celkem 15 osob ($5 \times 3 = 15$). Cena za tato lůžka činí $15 \times 500 = 7\,500$ Kč.

Krok 2: Zbývající osoby a cena

Celkem je ve skupině 18 osob, takže po obsazení třílůžkových pokojů zbývá ubytovat 3 osoby ($18 - 15 = 3$). Z celkové částky 10 300 Kč zbývá doplatit $10\,300 - 7\,500 = 2\,800$ Kč.

Krok 3: Určení počtu dvoulůžkových pokojů

Hledáme kombinaci pokojů pro 3 osoby, která stojí 2 800 Kč a kde jsou všechny pokoje plně obsazeny:

3 jednolůžkové pokoje: $3 \times 1\,400 = 4\,200$ Kč (nevyhovuje),
1 dvoulůžkový a 1 jednolůžkový pokoj: $(2 \times 700) + (1 \times 1\,400) = 1\,400 + 1\,400 = 2\,800$ Kč (vyhovuje).

Skupina tedy obsadí jeden dvoulůžkový pokoj.

Závěr

Počet dvoulůžkových pokojů, které skupina obsadí, je 1.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Skupina 18 osob přijela do penzionu na jednu noc.
Tabulka udává počty volných pokojů a ceny lůžek na těchto pokojích.
Každý pronajatý pokoj musí být vždy plně obsazen.

Přiřaďte počet dvoulůžkových pokojů (A–F), které skupina obsadí.

Skupina si vybere nejlevnější možné obsazení pokojů.

A) žádný dvoulůžkový pokoj
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
F) 5

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor cen pokojů

Nejdříve si spočítáme cenu za celý pokoj pro každý typ ubytování:

Jednolůžkový: $1 \times 1\,400 = 1\,400$ Kč
Dvoulůžkový: $2 \times 700 = 1\,400$ Kč
Třílůžkový: $3 \times 500 = 1\,500$ Kč
Čtyřlůžkový: $4 \times 300 = 1\,200$ Kč

Pro nejlevnější obsazení budeme upřednostňovat pokoje s nejnižší cenou za jedno lůžko (čtyřlůžkové mají lůžko za 300 Kč, třílůžkové za 500 Kč, dvoulůžkové za 700 Kč a jednolůžkové za 1 400 Kč).

Hledání nejlevnější kombinace

Skupina má 18 osob. Začneme nejlevnějšími pokoji:

Čtyřlůžkové pokoje: Jsou k dispozici 2, využijeme oba ($2 \times 4 = 8$ osob). Cena: $2 \times 1\,200 = 2\,400$ Kč. Zbývá ubytovat 10 osob ($18 - 8 = 10$).
Zbývajících 10 osob: Máme na výběr několik možností z třílůžkových a dvoulůžkových pokojů:
- 3 třílůžkové a 1 jednolůžkový: $3 \times 1\,500 + 1\,400 = 4\,500 + 1\,400 = 5\,900$ Kč
- 2 třílůžkové a 2 dvoulůžkové: $2 \times 1\,500 + 2 \times 1\,400 = 3\,000 + 2\,800 = 5\,800$ Kč (levnější)
- 5 dvoulůžkových: $5 \times 1\,400 = 7\,000$ Kč

Nejlevnější variantou pro zbývajících 10 lidí je tedy kombinace 2 třílůžkových a 2 dvoulůžkových pokojů.

Celkový přehled a závěr

Skupina celkem obsadí:

2 čtyřlůžkové pokoje (8 osob)
2 třílůžkové pokoje (6 osob)
2 dvoulůžkové pokoje (4 osoby)

Celkem je ubytováno $8 + 6 + 4 = 18$ osob. Všechny pokoje jsou plně obsazeny a cena je nejnižší možná ($2\,400 + 5\,800 = 8\,200$ Kč). Počet dvoulůžkových pokojů, které skupina obsadí, je 2.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Vytváříme obrazce tvaru šestiúhelníku složené ze stejně velkých bílých a šedých rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.

Zobrazit odpověď

42 trojúhelníků

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

Podle zadání a obrázku jsou obrazce tvořeny malými trojúhelníky uspořádanými do pravidelných šestiúhelníků. Zjistíme celkový počet trojúhelníků v prvních třech obrazcích:

1. obrazec má stranu délky 1 a obsahuje 6 trojúhelníků.
2. obrazec má stranu délky 2 a obsahuje 24 trojúhelníků ($6 \times 2^2$).
3. obrazec má stranu délky 3 a obsahuje 54 trojúhelníků ($6 \times 3^2$).

Zjištění počtu trojúhelníků v pásech

Pás je vrstva trojúhelníků, o kterou se obrazec zvětší oproti předchozímu. Počet trojúhelníků v novém pásu vypočítáme jako rozdíl celkových počtů:

2. pás (rozdíl mezi 2. a 1. obrazcem): $24 - 6 = 18$ trojúhelníků.
3. pás (rozdíl mezi 3. a 2. obrazcem): $54 - 24 = 30$ trojúhelníků.

Výpočet pro 4. obrazec

Všimneme si, že počet trojúhelníků v pásech se pravidelně zvyšuje. Rozdíl mezi 3. a 2. pásem je $30 - 18 = 12$ trojúhelníků. Každý další pás bude o 12 trojúhelníků větší než ten předchozí.

4. pás (rozdíl mezi 4. a 3. obrazcem): $30 + 12 = 42$ trojúhelníků.

Pro ověření můžeme vypočítat celkový počet trojúhelníků ve 4. obrazci, který má stranu délky 4: $6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$. Rozdíl oproti 3. obrazci je skutečně $96 - 54 = 42$.

Závěr

Poslední přidaný pás 4. obrazce obsahuje 42 trojúhelníků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.

Zobrazit odpověď

108 šedých trojúhelníků

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 1. obrazce

První obrazec je tvořen 6 malými trojúhelníky (3 šedými a 3 bílými). Můžeme si ho představit jako šestiúhelník, který má na každé straně 1 trojúhelník.

Celkový počet trojúhelníků v obrazcích

Každý další obrazec vznikne přidáním dalšího pásu trojúhelníků po celém obvodu. Počet trojúhelníků v obrazcích roste podle pravidelného vzorce:

1. obrazec má stranu 1 a celkem $6 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ trojúhelníků.
2. obrazec má stranu 2 a celkem $6 \cdot 2 \cdot 2 = 24$ trojúhelníků.
3. obrazec má stranu 3 a celkem $6 \cdot 3 \cdot 3 = 54$ trojúhelníků.

Celkový počet trojúhelníků v $n$-tém obrazci tedy vypočítáme jako $6 \cdot n \cdot n$.

Počet trojúhelníků v 6. obrazci

Pro 6. obrazec dosadíme do vzorce $n = 6$:
Celkový počet trojúhelníků $= 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6 \cdot 36 = 216$.

Výpočet šedých trojúhelníků

V každém obrazci se šedé a bílé trojúhelníky pravidelně střídají (jako na šachovnici). Protože je celkový počet trojúhelníků v každém obrazci sudé číslo, bude šedých trojúhelníků přesně polovina z celkového počtu.
Počet šedých trojúhelníků $= 216 : 2 = 108$.

Závěr

Celý 6. obrazec obsahuje 108 šedých trojúhelníků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.

Zobrazit odpověď

ve 38. obrazci

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

Obrazce jsou šestiúhelníky složené z malých trojúhelníků. Šestiúhelník si můžeme rozdělit na 6 stejných výsečí (trojúhelníků), které se potkávají uprostřed. V každém novém pásu se počet malých trojúhelníků v těchto výsečích pravidelně zvyšuje.

Počet trojúhelníků v pásech

Zjistíme, kolik trojúhelníků má každá výseč v nově přidaném pásu:
1. pás: 1 trojúhelník v každé výseči (celkem $6 \cdot 1 = 6$ trojúhelníků).
2. pás: 3 trojúhelníky v každé výseči (celkem $6 \cdot 3 = 18$ trojúhelníků).
3. pás: 5 trojúhelníků v každé výseči (celkem $6 \cdot 5 = 30$ trojúhelníků).
Vidíme, že počet trojúhelníků v pásu je vždy šestinásobkem lichého čísla.

Počet šedých trojúhelníků

V každém pásu se pravidelně střídají šedé a bílé trojúhelníky. Protože je celkový počet trojúhelníků v každém pásu sudý, je šedých trojúhelníků přesně polovina:
1. pás: $6 : 2 = 3$ šedé trojúhelníky.
2. pás: $18 : 2 = 9$ šedých trojúhelníků.
3. pás: $30 : 2 = 15$ šedých trojúhelníků.
Počet šedých trojúhelníků v pásech tvoří řadu: 3, 9, 15, 21, ... (každý další je o 6 větší).

Výpočet pořadí obrazce

Hledáme pás, ve kterém je 225 šedých trojúhelníků. Můžeme použít vzorec pro $n$-tý pás: $3 \cdot (2n - 1) = 225$.
$2n - 1 = 225 : 3$
$2n - 1 = 75$
$2n = 76$
$n = 38$

Závěr

V posledním přidaném pásu má 225 šedých trojúhelníků 38. obrazec.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body