Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2025

29 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1

Vlak vyjel v poledne ze stanice a za každých 8 minut ujel 7 km.
Ve 12:20 vlak minul lom a ve 12:36 dojel na most přes řeku.

Určete v km vzdálenost, kterou ujel vlak od lomu k mostu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas jízdy

Nejdříve zjistíme, kolik minut jel vlak od lomu k mostu. Od 12:20 do 12:36 uplynulo 16 minut (protože 36 − 20 = 16).

Vzdálenost a čas

Víme, že za každých 8 minut vlak ujede 7 km. My hledáme vzdálenost, kterou ujede za 16 minut.

Výpočet vzdálenosti

Všimneme si, že 16 minut je přesně dvakrát více než 8 minut ($16 = 2 \cdot 8$).
Proto i ujetá vzdálenost bude dvakrát větší než 7 km:
$2 \cdot 7 = \mathbf{14}$ km

Výsledek

Vzdálenost od lomu k mostu je 14 km.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

14 km

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.1

Děti doplňovaly jednu dvojici závorek do následujícího příkladu:
$ \displaystyle 9 \cdot 8 - 6 \div 2 = $
Každé z dětí doplnilo závorky jiným způsobem a vypočetlo správný výsledek svého příkladu.
Pouze Jarda doplnil závorky více způsoby, ale všechny jeho zápisy vedly k témuž výsledku.
Např. jeden z Jardových zápisů vypadal takto: $ \displaystyle (9 \cdot 8 - 6 \div 2) = $
Dětí bylo přesně tolik, kolik různých výsledků lze získat.

Určete Jardův výsledek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Použijeme Jardův zadaný zápis

Zadání přímo uvádí jeden Jardův příklad: (9 · 8 − 6 : 2). Závorky kolem celého příkladu pořadí početních úkonů uvnitř nemění.

Přednost násobení a dělení

Nejprve vypočítáme 9 · 8 = 72 a 6 : 2 = 3. Potom odečteme: 72 − 3 = 69. To je Jardův výsledek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

69

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Děti doplňovaly jednu dvojici závorek do následujícího příkladu:
$ \displaystyle 9 \cdot 8 - 6 \div 2 = $
Každé z dětí doplnilo závorky jiným způsobem a vypočetlo správný výsledek svého příkladu.
Pouze Jarda doplnil závorky více způsoby, ale všechny jeho zápisy vedly k témuž výsledku.
Např. jeden z Jardových zápisů vypadal takto: $ \displaystyle (9 \cdot 8 - 6 \div 2) = $
Dětí bylo přesně tolik, kolik různých výsledků lze získat.

Uveďte zápisy příkladů s doplněnými závorkami a vypočtenými výsledky všech dětí s výjimkou Jardy (tedy Jardovy zápisy neuvádějte).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co musí závorky změnit

Bez změny přednosti vyjde Jardův výsledek 69. Závorky kolem samotného násobení nebo dělení nic nemění, protože tyto úkony už před odčítáním přednost mají. Pro jiný výsledek proto musí závorky obsahovat odčítání a dát mu přednost alespoň před jedním ze sousedních úkonů.

Změna přednosti určuje zápisy

Odčítání můžeme přesunout před násobení, před dělení, nebo před oba úkony. Každá změna přímo určí krajní čísla v závorce:
• Před násobení, ale až po dělení: 9 · (8 − 6 : 2) = 9 · (8 − 3) = 9 · 5 = 45.
• Před dělení, ale až po násobení: (9 · 8 − 6) : 2 = (72 − 6) : 2 = 66 : 2 = 33.
• Před oba úkony: 9 · (8 − 6) : 2 = 9 · 2 : 2 = 18 : 2 = 9.

Úplnost odpovědi

Jiné změny pořadí jednou dvojicí závorek dosáhnout nelze: pouze odčítání může získat přednost před násobením či dělením. Odvodili jsme tedy všechny tři požadované zápisy a jejich výsledky 45, 33 a 9.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9 * (8 - 6 : 2) = 45; (9 * 8 - 6) : 2 = 33; 9 * (8 - 6) : 2 = 9

Stav úlohy
3 body
Úloha 3.1

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik delších dílů jsme ze stuhy nastříhali

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr dílů

Víme, že kratších dílů bylo o třetinu méně než delších. Pokud si tedy počet delších dílů představíme jako 3 stejné dílky, pak kratších dílů musí být o jeden takový dílek méně (třetinu ze tří), tedy 2 dílky.

Celkový počet dílků

Dohromady máme 3 dílky (delší) a 2 dílky (kratší), což je celkem 5 stejných dílků.

Výpočet jednoho dílku

Protože víme, že stuhu jsme rozstříhali na 20 dílů, vydělíme tento počet celkovým počtem dílků:
$20 \div 5 = 4$
Jeden dílek tedy odpovídá 4 kusům.

Počet delších dílů

Delší díly tvoří 3 dílky, proto jich je:
$3 \cdot 4 = 12$

Výsledek

Ze stuhy jsme nastříhali 12 delších dílů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

12 delších dílů

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Stuhu jsme beze zbytku rozstříhali na 20 dílů dvou různých délek – kratší díly po 20 cm a delší po 30 cm. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů.

Vypočtěte kolik cm měřila celá stuha, než jsme ji začali stříhat.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dílů

Víme, že celkem máme 20 dílů. Kratších dílů bylo o třetinu méně než delších dílů. Pokud si počet delších dílů představíme jako celek rozdělený na 3 stejné části (třetiny), tak kratších dílů byly 2 tyto části. Dohromady tedy máme $3 + 2 = 5$ stejných částí.

Výpočet počtu kusů

Celkový počet 20 dílů rozdělíme na těchto 5 stejných částí: $20 \div 5 = 4$. Jedna část tedy odpovídá 4 kusům.
  • Delších dílů bylo $3 \cdot 4 = 12$ kusů.
  • Kratších dílů bylo $2 \cdot 4 = 8$ kusů.
(Kontrola: $12 + 8 = 20$, což souhlasí.)

Délka všech dílů

Nyní vypočítáme délku jednotlivých skupin dílů:
  • 12 delších dílů po 30 cm: $12 \cdot 30 = 360\text{ cm}$
  • 8 kratších dílů po 20 cm: $8 \cdot 20 = 160\text{ cm}$

Celková délka

Celkovou délku stuhy zjistíme sečtením délek všech dílů: $360 + 160 = 520\text{ cm}$.

Celá stuha měřila 520 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

520 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.1

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 2 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 12 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik balení masa Adam dnes koupil.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kolik balení kupoval minule

Adam minule kupoval $12\text{ kg}$ masa. Víme, že se maso prodává v baleních po $2\text{ kg}$. Počet balení, která minule koupil, spočítáme dělením: $12 : 2 = 6\text{ balení}$.

Kolik balení koupil dnes

Ze zadání víme, že dnes koupil o $1$ balení méně než minule. Dnes tedy koupil $6 - 1 = 5\text{ balení}$.

Závěr

Adam dnes koupil $5$ balení masa.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5 balení masa

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 2 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 12 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik korun dnes stálo jedno balení masa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení masa

Nejdřív si zjistíme, kolik balení masa chtěl Adam původně koupit. V zadání čteme, že chtěl koupit 12 kg masa a jedno balení váží 2 kg.
Počet balení vypočítáme dělením:
12 ÷ 2 = 6 balení

Úvaha o ceně jednoho balení

Když chtěl Adam zaplatit za 6 balení, chybělo mu 40 korun.
Když si to rozmyslel a koupil o 1 balení méně, ušetřil cenu tohoto odloženého balení. Díky tomu mu už nechybělo těch 40 korun na původní nákup, ale dokonce mu v peněžence 50 korun zbylo.
Cena za toto jedno balení masa musí dohromady pokrýt peníze, které původně chyběly, a ty, co nakonec zbyly.

Výpočet a zkouška

Jedno balení stálo:
40 + 50 = 90 Kč

Můžeme si to ověřit. Kdyby 1 balení stálo 90 Kč, 6 balení by stálo 540 Kč. Když mu na to chybělo 40 Kč, musel mít u sebe 500 Kč (540 − 40). Při nákupu o jedno balení méně (5 balení) utratil 450 Kč (5 ⋅ 90). Z 500 Kč mu tak zbylo přesně 50 Kč. Všechno správně vychází.

Závěr

Dnes stálo jedno balení masa 90 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

90 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.3

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 2 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 12 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte kolik korun si dnes Adam vzal na nákup masa.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení

Adam běžně kupuje 12 kg masa. Protože se maso prodává v baleních po 2 kg, potřebuje koupit $12 \div 2 = 6$ balení. Dnes koupil o 1 balení méně, takže si odnesl 5 balení.

Cena jednoho balení

Kdyby chtěl dnes koupit stejné množství jako minule (tedy 6 balení), chybělo by mu 40 korun. Když si ale koupil jen 5 balení, najednou mu 50 korun zbylo. Rozdíl mezi šesti a pěti baleními je přesně 1 balení. Cenový rozdíl je součet chybějících a zbylých peněz: $40 + 50 = 90$ korun. Jedno balení masa dnes tedy stojí 90 korun.

Celková částka

Víme, že si Adam nakonec koupil 5 balení a každé stálo 90 korun. Za nákup tedy zaplatil $5 \cdot 90 = 450$ korun. V peněžence mu po zaplacení ještě zbylo 50 korun, takže si s sebou původně musel vzít $450 + 50 = 500$ korun.

Můžeme to ověřit i z první situace: Na 6 balení by potřeboval $6 \cdot 90 = 540$ korun. Kdybychom od toho odečetli 40 korun, které mu chyběly, dostaneme také 500 korun.

Výsledek

Adam si dnes vzal na nákup masa 500 korun.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

500 korun

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.4

Adam pravidelně kupuje pro psy mražené mleté maso v baleních po 2 kg.
Dnes měl v peněžence o 14 korun víc, než potřeboval minule na nákup 12 kg masa.
Maso však bylo zdraženo, a tak mu dnes na nákup stejného množství masa 40 korun chybělo.
Koupil proto o 1 balení masa méně a v peněžence mu zbylo 50 korun.

Vypočtěte o kolik korun bylo dnes jedno balení masa dražší než minule.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení masa

Maso se prodává v baleních po 2 kg. Adam chtěl koupit celkem 12 kg masa. Rozdělíme celkové množství na jednotlivá balení: $12 : 2 = 6$ balení. Minule tedy Adam kupoval 6 balení masa.

Zdražení všech balení

Adam měl v peněžence o 14 Kč víc než minule. Přesto mu na stejný nákup (6 balení) ještě 40 Kč chybělo. To znamená, že cena 6 balení se zvedla o ty peníze, které měl navíc, a ještě o peníze, které mu chyběly. Celkové zdražení za 6 balení je: $14 + 40 = 54$ Kč.

Zdražení jednoho balení

Když víme, že 6 balení dohromady zdražilo o 54 Kč, můžeme vypočítat zdražení pro jedno balení. Zdražení rozdělíme na 6 stejných dílů: $54 : 6 = 9$ Kč.

Výsledek

Jedno balení masa bylo dnes o 9 korun dražší než minule.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9 korun

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Písmena K, L představují dvě různé číslice.
V zápise součtu dvou trojciferných čísel se písmena nahradí číslicemi a místo hvězdiček se zapíšou chybějící číslice součtu tak, aby byl výpočet správný.

$ \displaystyle \begin{array}{rrrr} & K & L & L \\ & K & L & K \\ \hline \ast & \ast & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena K, L, a zapište je v tomto pořadí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního a druhého sloupečku

Postupujeme jako při klasickém sčítání pod sebou zprava doleva. V pravém (prvním) sloupečku sčítáme písmena L a K. Pod čarou je výsledek 1. Součet dvou číslic může končit jedničkou, pokud je to 1, nebo 11. Podívejme se na druhý sloupeček: sčítáme dvě stejná písmena (L + L). Součet dvou stejných číslic je vždy sudé číslo (např. 2 + 2 = 4, 3 + 3 = 6). Pod čarou je ale výsledek 1 (liché číslo). Jak ze součtu dvou stejných čísel získáme liché číslo? Jedině tak, že k nim přidáme jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího sloupečku. To znamená, že součet L + K v prvním sloupečku musí být 11.

Zjištění číslice L

Ve druhém sloupečku sčítáme L + L a k tomu přidáme zapamatovanou jedničku. Pod čarou chceme mít opět výsledek končící na 1. Může to být jedině 11 (číslo 1 nepřipadá v úvahu, protože po odečtení paměťové jedničky by bylo L + L = 0, takže L = 0. V prvním sloupci by pak muselo být 0 + K = 11, ale jednociferná číslice nemůže být 11). Platí tedy, že L + L + 1 = 11. Když odečteme jedničku, zjistíme, že L + L = 10. Číslice L je tedy 5, protože 5 + 5 = 10.

Zjištění číslice K a zkouška

Když už víme, že L = 5, vrátíme se k prvnímu sloupečku. Tam platilo, že L + K = 11. Dosadíme za L pětku: 5 + K = 11. Kolik chybí do 11? Chybí 6. Číslice K je tedy 6. Uděláme si zkoušku celého příkladu. Za K dosadíme 6 a za L pětku: 655 + 656 = 1311. Výsledek končí na 11, což přesně odpovídá zadání. Písmena nahradíme číslicemi v zadaném pořadí K, L.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6, 5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

Písmena S, T, U představují tři navzájem různé číslice.
V zápise součtu tří dvouciferných čísel se písmena nahradí číslicemi tak, aby byl výpočet správný.

$ \displaystyle \begin{array}{rrr} & S & T \\ & S & T \\ & T & U \\ \hline 2 & 1 & 1 \end{array} $

Určete číslice, kterými se nahradí písmena S, T, U, a zapište je v tomto pořadí.

Najděte všechna tři řešení.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přenos z jednotek

Postupujeme po sloupcích. V jednotkách sčítáme dvě T a jedno U. T je nenulové, protože stojí i na začátku dvouciferného čísla. Součet jednotek je tedy alespoň 2 a nejvýše 27. Končí jedničkou, takže činí 11 nebo 21: do desítek přeneseme 1 nebo 2.

Součet jednotek 11

Při přenosu 1 musí dvě S a jedno T dát 20 desítek. Dvě S dávají sudé číslo, proto je T sudé. Součet dvou T nesmí překročit 11, takže T je nejvýše 5. Nenulové sudé číslice v tomto rozmezí jsou přesně 2 a 4. Pro T = 2 chybí do 11 číslice $11 - 2 - 2 = 7$, tedy U = 7, a S je $(20 - 2) : 2 = 9$. Pro T = 4 je U = $11 - 4 - 4 = 3$ a S = $(20 - 4) : 2 = 8$.

Součet jednotek 21

Při přenosu 2 musí dvě S a jedno T dát 19, proto je T liché. Protože U je nejvýše 9, dvě T musí dát alespoň $21 - 9 = 12$, tedy T je alespoň 6. Zároveň T nesmí být třetinou 21: tehdy by U bylo stejné jako T. V rozmezí lichých číslic od 6 do 9 tím vyloučíme 7 a zbývá jedině T = 9. Pak U = $21 - 9 - 9 = 3$ a S = $(19 - 9) : 2 = 5$.

Všechna řešení a kontrola

Trojice S, T, U jsou 9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3. Ve všech jsou číslice různé. Kontrola: $92 + 92 + 27 = 211$, $84 + 84 + 43 = 211$ a $59 + 59 + 93 = 211$. Oba možné přenosy jsme odvodili, takže žádné další řešení nezbývá.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

9, 2, 7; 8, 4, 3; 5, 9, 3

Stav úlohy
3 body
Úloha 6.1

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úsečkami na dva bílé čtverce a dva stejné tmavé trojúhelníky.
Délka strany malého čtverce je o čtvrtinu menší než délka strany velkého čtverce.
Obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm délku strany malého čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

9 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.2

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úsečkami na dva bílé čtverce a dva stejné tmavé trojúhelníky.
Délka strany malého čtverce je o čtvrtinu menší než délka strany velkého čtverce.
Obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Vypočtěte v cm obvod velkého čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

48 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úsečkami na dva bílé čtverce a dva stejné tmavé trojúhelníky.
Délka strany malého čtverce je o čtvrtinu menší než délka strany velkého čtverce.
Obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

Určete, kolikrát větší je obvod šestiúhelníku než obvod malého čtverce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran čtverců

Obvody obou čtverců se liší o 12 cm. Protože obvod čtverce tvoří čtyři stejné strany, liší se délky stran těchto čtverců o 3 cm ($12 : 4 = 3$).

Víme, že strana malého čtverce je o čtvrtinu menší než strana velkého čtverce. Tento rozdíl (jedna čtvrtina) tedy odpovídá 3 cm.

Strana velkého čtverce: $4 \cdot 3 = 12$ cm Strana malého čtverce: $12 - 3 = 9$ cm

Krok 2: Určení stran trojúhelníků

Obvod malého čtverce je $4 \cdot 9 = 36$ cm. Podle zadání je obvod jednoho tmavého trojúhelníku také 36 cm.

Tmavé trojúhelníky jsou v obrazci umístěny tak, že jejich dvě kratší strany (odvěsny) sousedí se stranami čtverců. Každý trojúhelník má tedy odvěsny o délkách 12 cm a 9 cm.

Délka třetí strany (přepony) trojúhelníku: $36 - (12 + 9) = 36 - 21 = 15$ cm

Krok 3: Výpočet obvodu šestiúhelníku

Obvod celého šestiúhelníku se skládá z vnějších stran obou čtverců a obou trojúhelníků:
  • dvě strany malého čtverce: $2 \cdot 9 = 18$ cm
  • dvě strany velkého čtverce: $2 \cdot 12 = 24$ cm
  • dvě nejdelší strany trojúhelníků: $2 \cdot 15 = 30$ cm


Celkový obvod šestiúhelníku: $18 + 24 + 30 = 72$ cm

Krok 4: Porovnání obvodů

Nyní zjistíme, kolikrát je obvod šestiúhelníku (72 cm) větší než obvod malého čtverce (36 cm):
$72 : 36 = 2$

Obvod šestiúhelníku je 2krát větší.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

2 krát

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

V rovině leží bod U a přímka p procházející bodem S.

Na přímce p leží strana AB pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu A.
Bod S je střed strany AB a vzdálenost bodu A od bodu S je 3 cm.
Vrchol C trojúhelníku ABC leží na polopřímce US.

Sestrojte všechny vrcholy trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Nastane právě jedna z následujících situací:

  • Jsou sestrojeny oba požadované trojúhelníky, ale s mírnou nepřesností.
  • Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.

Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2025, úloha 7.1

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží bod R a přímka m procházející bodem K.

Bod K je vrchol obdélníku KLMN.
Na přímce m leží vrchol M tohoto obdélníku.
Přitom úsečka MR má stejnou délku jako úsečka KR.
Vrchol L obdélníku KLMN leží na přímce KR.

Sestrojte vrcholy L, M, N obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • vrchol M je na přímce m sestrojen s mírnou nepřesností,
  • vrchol L je sestrojen jako pata kolmice spuštěné z bodu K na polopřímku MR,
  • požadovaný obdélník je sestrojen s mírnou nepřesností.

Bod M je sestrojen správně a nastane právě jedna z následujících situací:

  • Bodem R prochází strana obdélníku rovnoběžná s přímkou m.
  • Požadovaný obdélník není zcela dokončen.

Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce obdélníku.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2025, úloha 7.2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 8.1
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V prvních třech měsících sezony bylo mezi návštěvníky rodného domu třikrát více dospělých než dětí.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnot z grafu

První tři měsíce sezony jsou květen, červen a červenec. Z grafu vyčteme počty prodaných vstupenek pro děti (tmavě šedý sloupec) a dospělé (světle šedý sloupec) v těchto měsících:
  • Květen: 30 dětí a 80 dospělých
  • Červen: 10 dětí a 60 dospělých
  • Červenec: 30 dětí a 70 dospělých

Výpočet celkového počtu návštěvníků

Sečteme počty dětí a dospělých za toto období zvlášť:
  • Děti celkem: $30 + 10 + 30 = 70$
  • Dospělí celkem: $80 + 60 + 70 = 210$

Porovnání počtů

Nyní ověříme, zda je dospělých třikrát více než dětí. Vynásobíme počet dětí třemi:
$70 \cdot 3 = 210$
Počet dospělých (210) přesně odpovídá trojnásobku počtu dětí. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 8.2
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Dospělých návštěvníků rodného domu bylo v srpnu o polovinu více než v červnu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Podle legendy grafu hledáme hodnoty pro dospělé, které jsou znázorněny světle šedými sloupci. Z grafu vyčteme:
  • V měsíci červnu bylo prodáno 60 vstupenek pro dospělé.
  • V měsíci srpnu bylo prodáno 90 vstupenek pro dospělé.

Výpočet a porovnání

Chceme zjistit, zda bylo v srpnu o polovinu více dospělých návštěvníků než v červnu.
  1. Nejdříve vypočítáme polovinu z počtu v červnu: $60 : 2 = 30$.
  2. "O polovinu více" znamená k původnímu počtu tuto polovinu přičíst: $60 + 30 = 90$.
Počet dospělých návštěvníků v srpnu (90) přesně odpovídá vypočtené hodnotě.

Závěr

Tvrzení je pravdivé. Správná odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 8.3
3 podúlohy 4 body, 2 podúlohy 2 body, 1 podúloha 0 bodů

Rodný dům slavného spisovatele je otevřen pouze v letní sezoně od května do září.
V pokladně zaznamenávají počet prodaných vstupenek dětským a dospělým návštěvníkům.
V grafu je uvedena návštěvnost v jedné sezoně.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Za celou sezonu bylo dětských návštěvníků rodného domu o 340 méně než dospělých.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu dětských návštěvníků

Z grafu vyčteme počty dětských návštěvníků (tmavě šedé sloupce) v jednotlivých měsících a sečteme je:
  • Květen: 30
  • Červen: 10
  • Červenec: 30
  • Srpen: 50
  • Září: 40
Celkem dětí: $30 + 10 + 30 + 50 + 40 = 160$

Zjištění počtu dospělých návštěvníků

Z grafu vyčteme počty dospělých návštěvníků (světle šedé sloupce) v jednotlivých měsících a sečteme je:
  • Květen: 80
  • Červen: 60
  • Červenec: 70
  • Srpen: 90
  • Září: 100
Celkem dospělých: $80 + 60 + 70 + 90 + 100 = 400$

Porovnání a závěr

Vypočítáme rozdíl mezi počtem dospělých a dětí:
$400 - 160 = 240$

Dětských návštěvníků bylo o 240 méně než dospělých. Tvrzení v zadání uvádí rozdíl 340, což neodpovídá našemu výpočtu.

Výsledek

Tvrzení je nepravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 9

V kamionu se převážejí bedny naplněné baleními minerálek.

Do každé bedny se jednotlivá balení naskládají do 4 vrstev nad sebou.
Každá vrstva obsahuje 3 řady po 7 baleních.

K přepravě bylo připraveno 1560 balení minerálek, která se postupně skládala do beden.
Všechny bedny kromě poslední byly zcela naplněny.

Kolik balení minerálek by bylo třeba přidat do poslední bedny, aby byla plná?

  • A) méně než 32 balení
  • D) 36 balení
  • B) 32 balení
  • E) více než 36 balení
  • C) 34 balení
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet balení v jedné vrstvě

Každá vrstva obsahuje 3 řady po 7 baleních. Vypočítáme celkový počet balení v jedné vrstvě: $3 \cdot 7 = 21$ balení.

Kapacita jedné bedny

Do každé bedny se vejdou 4 vrstvy. Vypočítáme, kolik balení se vejde do jedné plné bedny: $4 \cdot 21 = 84$ balení.

Plnění beden

Máme celkem 1560 balení, která postupně skládáme do beden. Vydělíme celkový počet balení počtem balení v jedné bedně (dělíme se zbytkem): $1560 : 84 = 18$ (zbytek 48). To znamená, že naplníme 18 beden a do poslední nevyplněné bedny dáme zbylých 48 balení.

Doplnění poslední bedny

Aby byla poslední bedna plná, muselo by v ní být celkem 84 balení. Protože v ní je jen 48 balení, odečteme je od celkové kapacity bedny: $84 - 48 = 36$ balení. Do poslední bedny by bylo třeba přidat 36 balení, což odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

Jitka s maminkou a babičkou trhaly na zahradě rybíz do stejně velkých hrnků.
Maminka natrhala dvakrát více rybízu než Jitka.
Babička natrhala o polovinu více rybízu než Jitka.
Přitom babička natrhala o 2 hrnky rybízu méně než maminka.

Kolik hrnků rybízu natrhaly všechny tři dohromady?

  • A) 18 hrnků
  • D) 24 hrnků
  • B) 20 hrnků
  • E) 25 hrnků
  • C) 21 hrnků
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr mezi množstvím

Víme, že maminka natrhala 2krát více než Jitka. Babička natrhala o polovinu více než Jitka – to znamená celé Jitčino množství a k tomu ještě jeho polovinu.

Rozdíl babičky a maminky

Maminka má tedy „dvě Jitky“, zatímco babička má „jednu a půl Jitky“. Rozdíl mezi maminkou a babičkou je tedy přesně polovina toho, co natrhala Jitka. V zadání se píše, že tento rozdíl jsou 2 hrnky.

Kolik natrhala Jitka

Když polovina Jitčina množství jsou 2 hrnky, tak Jitka sama musela natrhat 4 hrnky ($2 \cdot 2 = 4$).

Výpočet pro všechny

Nyní dopočítáme ostatní:
  • Maminka (dvakrát více než Jitka): $2 \cdot 4 = 8$ hrnků.
  • Babička (o 2 méně než maminka): $8 - 2 = 6$ hrnků.

Celkový součet

Všechny tři dohromady natrhaly: $4 + 8 + 6 = 18$ hrnků.
Správná odpověď je tedy A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 11

Záhon má tvar obdélníku, jehož délka je trojnásobkem jeho šířky. Záhon má obvod 16 m.
Po obvodu záhonu jsou vysázeny květiny ve stejných rozestupech, vzdálenost dvou sousedních květin je vždy 40 cm. Jedna květina je i v každém rohu záhonu.

O kolik se liší počet květin vysázených na kratší straně záhonu a počet květin vysázených na delší straně záhonu?

  • A) o 9 květin
  • D) o 12 květin
  • B) o 10 květin
  • E) o jiný počet květin
  • C) o 11 květin
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry záhonu

Obvod obdélníkového záhonu je 16 metrů. Víme, že delší strana je třikrát delší než kratší strana.
Polovina obvodu (jedna délka a jedna šířka) je tedy $16 \div 2 = 8$ metrů.
Dohromady máme 4 stejné dílky (3 dílky na délku a 1 dílek na šířku).
Jeden dílek (šířka) měří $8 \div 4 = 2$ metry.
Tři dílky (délka) měří $3 \cdot 2 = 6$ metrů.
Rozměry záhonu jsou 2 m a 6 m.

Převod na centimetry

Vzdálenost mezi květinami je uvedena v centimetrech (40 cm), proto si rozměry záhonu převedeme také na centimetry:
Kratší strana: 2 m = 200 cm
Delší strana: 6 m = 600 cm

Květiny na kratší straně

Kratší strana měří 200 cm. Rozestupy jsou po 40 cm.
Počet mezer mezi květinami je $200 \div 40 = 5$.
Protože je květina v každém rohu, na jedné kratší straně je o jednu květinu více než je počet mezer, tedy $5 + 1 = 6$ květin.

Květiny na delší straně

Delší strana měří 600 cm. Rozestupy jsou po 40 cm.
Počet mezer mezi květinami je $600 \div 40 = 15$.
I zde platí, že květin je o jednu více než mezer, tedy $15 + 1 = 16$ květin.

Rozdíl v počtu květin

Na delší straně je 16 květin, na kratší straně je 6 květin.
Rozdíl je $16 - 6 = 10$ květin.
Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Ze tří stejných kvádrů o rozměrech 7 cm, 5 cm a 4 cm jsme v rohu místnosti postavili stavbu jako na obrázku. Po černě vyznačené trase vedoucí po hranách kvádrů lezl od startu do cíle mravenec.

Jak dlouhá je vyznačená mravencova trasa?

  • A) méně než 53 cm
  • D) 56 cm
  • B) 53 cm
  • E) 57 cm
  • C) 55 cm
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 13.1
3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Skupina 18 osob přijela do penzionu na jednu noc.
Tabulka udává počty volných pokojů a ceny lůžek na těchto pokojích.
Každý pronajatý pokoj musí být vždy plně obsazen.

Přiřaďte počet dvoulůžkových pokojů (A–F), které skupina obsadí.

Skupina obsadí stejný počet jednolůžkových, dvoulůžkových i třílůžkových pokojů.

  • A) žádný dvoulůžkový pokoj
  • D) 3
  • B) 1
  • E) 4
  • C) 2
  • F) 5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Ze zadání víme, že skupina 18 osob obsadí stejný počet jednolůžkových, dvoulůžkových i třílůžkových pokojů. Všechny tyto pokoje musí být plně obsazeny.

Výpočet počtu lůžek v jedné sadě pokojů

Jedna „sada“ pokojů (jeden jednolůžkový, jeden dvoulůžkový a jeden třílůžkový) pojme celkem:
1 + 2 + 3 = 6 osob.

Určení počtu pokojů

Celou skupinu 18 osob rozdělíme do těchto sad po 6 osobách:
18 : 6 = 3
Skupina tedy obsadí 3 jednolůžkové, 3 dvoulůžkové a 3 třílůžkové pokoje.

Závěr

Počet obsazených dvoulůžkových pokojů je 3. V tabulce vidíme, že je k dispozici 5 volných dvoulůžkových pokojů, takže 3 pokoje lze bez problémů obsadit.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Skupina 18 osob přijela do penzionu na jednu noc.
Tabulka udává počty volných pokojů a ceny lůžek na těchto pokojích.
Každý pronajatý pokoj musí být vždy plně obsazen.

Přiřaďte počet dvoulůžkových pokojů (A–F), které skupina obsadí.

Skupina obsadí všechny volné třílůžkové pokoje a zaplatí celkem 10 300 korun.

  • A) žádný dvoulůžkový pokoj
  • D) 3
  • B) 1
  • E) 4
  • C) 2
  • F) 5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet pro třílůžkové pokoje

Skupina obsadí všech 5 volných třílůžkových pokojů. V nich se ubytuje celkem 15 osob ($5 \times 3 = 15$). Cena za tato lůžka činí $15 \times 500 = 7\,500$ Kč.

Krok 2: Zbývající osoby a cena

Celkem je ve skupině 18 osob, takže po obsazení třílůžkových pokojů zbývá ubytovat 3 osoby ($18 - 15 = 3$). Z celkové částky 10 300 Kč zbývá doplatit $10\,300 - 7\,500 = 2\,800$ Kč.

Stejná cena za pokoj

Zbývají jen tři osoby, takže čtyřlůžkový pokoj nemohou plně obsadit. Třílůžkové pokoje už jsou obsazené. Jednolůžkový pokoj stojí 1400 Kč a celý dvoulůžkový také 2 · 700 = 1400 Kč. Za 2800 Kč tedy obsadí 2800 : 1400 = 2 pokoje.
Dva jednolůžkové pokoje by poskytly dvě lůžka. Potřebné třetí lůžko získáme tím, že jeden z těchto pokojů nahradíme dvoulůžkovým. Obsazen bude právě jeden dvoulůžkový pokoj.

Závěr

Počet dvoulůžkových pokojů, které skupina obsadí, je 1.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
3 podúlohy 5 bodů, 2 podúlohy 3 body, 1 podúloha 1 bod

Skupina 18 osob přijela do penzionu na jednu noc.
Tabulka udává počty volných pokojů a ceny lůžek na těchto pokojích.
Každý pronajatý pokoj musí být vždy plně obsazen.

Přiřaďte počet dvoulůžkových pokojů (A–F), které skupina obsadí.

Skupina si vybere nejlevnější možné obsazení pokojů.

  • A) žádný dvoulůžkový pokoj
  • D) 3
  • B) 1
  • E) 4
  • C) 2
  • F) 5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor cen pokojů

Nejdříve si spočítáme cenu za celý pokoj pro každý typ ubytování:
  • Jednolůžkový: $1 \times 1\,400 = 1\,400$ Kč
  • Dvoulůžkový: $2 \times 700 = 1\,400$ Kč
  • Třílůžkový: $3 \times 500 = 1\,500$ Kč
  • Čtyřlůžkový: $4 \times 300 = 1\,200$ Kč
Pro nejlevnější obsazení budeme upřednostňovat pokoje s nejnižší cenou za jedno lůžko (čtyřlůžkové mají lůžko za 300 Kč, třílůžkové za 500 Kč, dvoulůžkové za 700 Kč a jednolůžkové za 1 400 Kč).

Levné ubytování po skupinách

Oba čtyřlůžkové pokoje dohromady pojmou 8 osob za 2400 Kč. Pro zbývajících 10 osob použijeme dvoulůžkové a třílůžkové pokoje. Bez jednolůžkového pokoje musí být počet třílůžkových pokojů sudý, protože celkový počet 10 i počet lidí ve dvoulůžkových pokojích jsou sudé.
Třílůžkové pokoje tedy bereme po dvojicích pro 6 osob. Do 10 osob se vejde jedna taková dvojice, neboť 10 : 6 = 1 se zbytkem 4. Čtyři zbývající osoby obsadí 4 : 2 = 2 dvoulůžkové pokoje. Cena za těchto 10 osob je 6 · 500 + 4 · 700 = 5800 Kč. Celá skupina zaplatí 2400 + 5800 = 8200 Kč.

Proč nelze zaplatit méně

Při obsazení obou čtyřlůžkových pokojů zbývá 10 osob. Kdyby mezi nimi někdo bydlel v jednolůžkovém pokoji, zaplatili by i při nejnižší ceně 500 Kč za každého ze zbývajících devíti nejméně 1400 + 9 · 500 = 5900 Kč, tedy více než 5800 Kč. Bez jednolůžkových pokojů jsme využili největší možný počet levnějších třílůžkových pokojů.
Pokud by skupina nevyužila oba čtyřlůžkové pokoje, mohli by za 300 Kč bydlet nejvýše 4 lidé a nejméně 14 lidí by platilo alespoň 500 Kč. Cena by tedy byla nejméně 4 · 300 + 14 · 500 = 8200 Kč. Ani této ceny však takto nelze dosáhnout: všech 14 lidí by muselo bydlet po třech za 500 Kč a 14 není dělitelné třemi. Cena by byla vyšší.
Nejlevnější sestavení tedy skutečně obsahuje 2 dvoulůžkové pokoje, možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Vytváříme obrazce tvaru šestiúhelníku složené ze stejně velkých bílých a šedých rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení pásu

Spoj si střed šestiúhelníku s jeho šesti vrcholy. Tím se poslední pás rozdělí na šest stejných částí.

Jedna část čtvrtého pásu

Podél vnější strany jedné části jsou čtyři trojúhelníky a mezi nimi další tři obrácené. V této části je tedy $4 + 3 = 7$ trojúhelníků.

Celý pás

Šest stejných částí obsahuje $6 \times 7 = 42$ trojúhelníků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

42 trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.2

Vytváříme obrazce tvaru šestiúhelníku složené ze stejně velkých bílých a šedých rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Šest stejných částí

Spoj si střed šestého obrazce s jeho šesti vrcholy. Vznikne šest velkých trojúhelníků. V každém je šest řad malých trojúhelníků: postupně 1, 3, 5, 7, 9 a 11. Každá další řada má o dva trojúhelníky více.

Počet všech trojúhelníků

V jedné části je $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$ trojúhelníků, v celém obrazci $6 \times 36 = 216$.

Polovina je šedá

Každý šedý trojúhelník míří nahoru a bílý dolů. Otočení obrazce o půl otáčky spáruje každý šedý trojúhelník s bílým na protější straně. Obou barev je proto stejně. Šedých je $216 : 2 = 108$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

108 šedých trojúhelníků

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.3

Vytváříme obrazce tvaru šestiúhelníku složené ze stejně velkých bílých a šedých rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).

Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Šest částí pásu

Spoj si střed obrazce s jeho vrcholy. V každé ze šesti částí pásu leží podél vnější hrany řada trojúhelníků a mezi nimi o jeden méně obrácených trojúhelníků. Při přidání dalšího pásu přibude v každé části jeden trojúhelník od každé barvy.

Přírůstek šedých trojúhelníků

První pás má 3 šedé trojúhelníky. Každý následující pás má o 6 šedých trojúhelníků více, protože přibude jeden v každé ze šesti částí.

Pořadí hledaného pásu

Od 3 do 225 přibylo $225 - 3 = 222$ šedých trojúhelníků. To představuje $222 : 6 = 37$ zvětšení. Začínali jsme prvním pásem, proto hledáme $1 + 37 = 38$. obrazec.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

ve 38. obrazci

Stav úlohy
2 body