Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2024

30 úloh

Úloha 1.1

Vypočítejte:

$\displaystyle 25+3 \cdot \left( 75-2 \cdot 25 \right) - \left( 25-5 \right) \cdot 2 - 25=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v první závorce

Nejprve vypočítáme výraz v první závorce $(75-2 \cdot 25)$. Přednost má násobení, tedy $2 \cdot 25 = 50$. Poté odečteme: $75 - 50 = 25$.

Výpočet ve druhé závorce

Vypočítáme výraz ve druhé závorce $(25-5) = 20$.

Násobení

Teď do celého příkladu dosadíme výsledky ze závorek: $25 + 3 \cdot 25 - 20 \cdot 2 - 25$. Vynásobíme čísla: $3 \cdot 25 = 75$ a $20 \cdot 2 = 40$.

Sčítání a odčítání

Nakonec provedeme zbývající operace postupně zleva doprava:
25 + 75 - 40 - 25 = 100 - 40 - 25 = 60 - 25 = 35

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočítejte:

$\displaystyle 6 \cdot 7+ \left( 50 + 50 \div 5 \right) \div \left( 28 \div 7 \right) +3 \cdot 8=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorek

Nejdříve vypočítáme hodnoty v závorkách. V první závorce má přednost dělení před sčítáním:
$(50 + 50 \div 5) = 50 + 10 = 60$
Ve druhé závorce provedeme dělení:
$(28 \div 7) = 4$

Násobení a dělení

Nyní do příkladu dosadíme výsledky ze závorek a vypočítáme jednotlivé součiny a podíly:
$6 \cdot 7 = 42$
$60 \div 4 = 15$
$3 \cdot 8 = 24$

Součet

Nakonec všechny získané hodnoty sečteme:
$42 + 15 + 24 = 57 + 24 = 81$

Výsledek

Výsledek celého příkladu je 81.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Najděte a napište jednu číslici, kterou lze nahradit všechny hvězdičky tak, aby výpočet byl správný.

*45*−1**42119

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení na sčítání

Příklad na odčítání je dobré si pro zjednodušení převést na příklad na sčítání. To uděláme tak, že sečteme výsledek s číslem, které jsme odečítali, a musí nám vyjít to horní číslo.

Příklad zapíšeme pod sebe a místo hvězdiček, které všechny znázorňují tu samou číslici, si je tam zatím necháme:

21191**4*45*

Sloupeček úplně vpravo

Nyní počítáme jako u klasického sčítání pod sebou – zprava doleva.

Ve sloupečku úplně vpravo sčítáme čísla 9 a 4. $9 + 4 = 13$

Trojku bychom napsali dolů pod čáru a jedničku z třináctky si pamatovali na prstu do dalšího sloupečku.

Pod čarou vpravo dole je v našem sčítání hvězdička. To znamená, že pod hvězdičkou se musí ukrývat číslice 3.

Ověření všech hvězdiček

V zadání se říká, že všechny hvězdičky představují stejnou číslici. Pokud jsme odhalili číslici 3, mělo by nám vyjít správně celé sčítání, když všude dosadíme trojky. Zkusíme tedy za všechny hvězdičky doplnit číslici 3 a výpočet si pro jistotu ověříme.

211913343453

První sloupeček zprava: $9 + 4 = 13$. Trojku napíšeme, 1 si držíme na prstu.
Druhý sloupeček: $1 + 3$ a k tomu $1$ navíc je $5$. To sedí se zadaným výsledkem. Nepamatujeme si nic.
Třetí sloupeček: $1 + 3 = 4$. Čtyřka tu opravdu je.
Čtvrtý sloupeček úplně vlevo: $2 + 1 = 3$. I tady se naše hvězdička objevila správně.

Vše vychází v pořádku, takže hledanou číslicí je opravdu 3.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3

Provedeme-li postupně všechny početní operace uvedené nad šipkami, výsledné číslo bude 12.

Vypočítejte neznámé číslo x z prvního rámečku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

V úloze máme řadu polí propojených šipkami s početními operacemi. Cesta začíná neznámým číslem $x$ a končí výsledkem 12. Postupně se provádějí tyto operace: přičíst 2, vynásobit 3, odečíst 6, vydělit 3 a nakonec vynásobit 6.

Výpočet pozpátku

K nalezení původního čísla $x$ využijeme metodu zpětného chodu. Budeme postupovat od výsledného čísla 12 směrem k začátku a u každého kroku použijeme opačnou operaci:

Místo posledního násobení šesti dělíme: $12 : 6 = 2$
Místo dělení třemi násobíme: $2 \cdot 3 = 6$
Místo odčítání šesti přičítáme: $6 + 6 = 12$
Místo násobení třemi dělíme: $12 : 3 = 4$
Místo počátečního přičítání dvou odčítáme: $4 - 2 = 2$

Kontrola a výsledek

Provedeme zkoušku správnosti směrem dopředu: $2 + 2 = 4$ $4 \cdot 3 = 12$ $12 - 6 = 6$ $6 : 3 = 2$ $2 \cdot 6 = 12$

Výpočet souhlasí, neznámé číslo $x$ je tedy 2.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 4.1

Ve škole, kde je celkem 750 žáků, koupila paní učitelka každému svému žákovi v 5. B stejné tričko. Pokud počet těchto triček vynásobíme 5, dostaneme stejné číslo, jako když počet všech žáků školy vydělíme 6.

Kolik žáků je v 5. B?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet podílu žáků školy

V zadání se píše, že pokud počet triček vynásobíme 5, dostaneme stejné číslo, jako když počet všech žáků školy (750) vydělíme 6. Nejdříve si tedy vypočítáme, kolik je jedna šestina z celkového počtu žáků:
$750 : 6 = 125$

Výpočet počtu žáků v 5. B

Víme, že pětinásobek počtu žáků v 5. B (což je počet koupených triček) je roven 125. Abychom zjistili skutečný počet žáků v této třídě, musíme výsledek z předchozího kroku vydělit pěti:
$125 : 5 = 25$

Závěr

V 5. B je tedy celkem 25 žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Za 6 stejných židlí a dvě stejná křesla zaplatí rodina 23 200 Kč. Křeslo je o 400 Kč dražší než židle.

Kolik stojí jedna židle?

Zobrazit odpověď

2800

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v ceně

Křeslo je o 400 Kč dražší než židle. Protože v nákupu jsou dvě křesla, zaplatíme za ně dohromady o $2 \cdot 400 = 800$ Kč více, než kdyby to byly židle.

Úprava ceny

Pokud od celkové částky odečteme tento rozdíl, získáme cenu za 8 stejných židlí (6 původních a 2 místo křesel). $23\,200 - 800 = 22\,400$ Kč

Výpočet ceny židle

Cenu za 8 židlí nyní vydělíme osmi: $22\,400 : 8 = 2\,800$ Kč Jedna židle tedy stojí 2 800 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.3

Do nákladního automobilu ráno naložili pracovníci přepravní firmy stejné balíky se zbožím. Prvnímu zákazníkovi pak z nákladního automobilu vydali jednu šestinu balíků. Druhému zákazníkovi vydali 30 balíků a na třetího zákazníka jim v nákladním automobilu zbyla druhá polovina nákladu.

Kolik celkem balíků bylo ráno naloženo do nákladního automobilu?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První a třetí zákazník

Prvnímu zákazníkovi vydali jednu šestinu ($\frac{1}{6}$) balíků. Třetímu zákazníkovi zbyla druhá polovina nákladu. Protože polovina je totéž co tři šestiny ($\frac{3}{6}$), víme, že tito dva zákazníci dohromady dostali:
$\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6}$ celého nákladu.

Druhý zákazník

Druhý zákazník dostal zbytek balíků. Pokud první a třetí zákazník dostali dohromady $\frac{4}{6}$ nákladu, na druhého zákazníka zbývají:
$\frac{6}{6} - \frac{4}{6} = \frac{2}{6}$ celého nákladu.
Ze zadání víme, že druhý zákazník dostal přesně 30 balíků. Tedy $\frac{2}{6}$ nákladu odpovídá 30 balíkům.

Jedna šestina nákladu

Jestliže dvě šestiny ($\frac{2}{6}$) tvoří 30 balíků, pak jedna šestina ($\frac{1}{6}$) musí být polovina z tohoto počtu:
$30 : 2 = 15$ balíků.

Celkový počet balíků

Celý náklad tvoří šest šestin ($\frac{6}{6}$). Celkový počet balíků, které byly ráno naloženy, tedy vypočítáme takto:
$6 \cdot 15 = 90$ balíků.
Ráno bylo do automobilu naloženo celkem 90 balíků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ sekund $\displaystyle - \frac{1}{4}$ hodiny $\displaystyle =$ 25 minut

Zobrazit odpověď

2400

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si vyjádříme $\frac{1}{4}$ hodiny v minutách. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Čtvrtinu vypočítáme jako $60 \div 4 = 15$ minut.

Výpočet v minutách

Rovnice nyní vypadá takto: $\text{neznámý počet sekund} - 15 \text{ minut} = 25 \text{ minut}$. Aby rovnost platila, musí být vlevo celkem $25 + 15 = 40$ minut.

Převod na sekundy

Protože výsledek máme uvést v sekundách, musíme 40 minut převést. Jedna minuta má 60 sekund, takže počítáme $40 \cdot 60 = 2400$ sekund.

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 2400.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ milimetrů $\displaystyle +$ 1 metr $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{5}$ metru $\displaystyle +$ 96 centimetrů

Zobrazit odpověď

160

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve si vypočítáme hodnotu na pravé straně rovnice a převedeme ji na milimetry:

$\frac{1}{5}$ metru je $200\text{ mm}$ ($1000 \div 5 = 200$),
$96\text{ cm}$ je $960\text{ mm}$ ($96 \cdot 10 = 960$).

Pravá strana celkem: $200 + 960 = 1160\text{ mm}$.

Úprava levé strany

Na levé straně máme $1$ metr, což je $1000\text{ mm}$.
Rovnice teď vypadá takto: $\boxed{\phantom{10}}\text{ mm} + 1000\text{ mm} = 1160\text{ mm}$.

Doplnění čísla

Hledáme číslo, které po přičtení k $1000$ dá $1160$. To zjistíme odečtením:
$1160 - 1000 = 160$
Do rámečku tedy patří číslo 160.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Tyč je rozdělena na 10 stejných úseků. Na tyči jsou vyznačeny dvě značky. První je 39 cm od levého okraje tyče a druhá je označena písmenem A.

Jak dlouhá je tyč?

Zobrazit odpověď

130

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Tyč je rozdělena na 10 stejných úseků (dílků). První značka, která je ve vzdálenosti 39 cm od levého okraje, se nachází přesně na konci třetího dílku.

Výpočet délky jednoho dílku

Protože tři stejné dílky měří dohromady 39 cm, jeden dílek vypočítáme tak, že tuto vzdálenost vydělíme třemi: $39 : 3 = 13$ cm.

Celková délka tyče

Tyč se skládá z 10 takových stejných dílků. Její celkovou délku tedy zjistíme vynásobením délky jednoho dílku deseti: $10 \cdot 13 = 130$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Tyč je rozdělena na 10 stejných úseků. Na tyči jsou vyznačeny dvě značky. První je 39 cm od levého okraje tyče a druhá je označena písmenem A.

V jaké vzdálenosti od pravého okraje tyče je značka A?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Tyč je rozdělena na 10 stejných úseků (dílků). První značka, která je ve vzdálenosti 39 cm od levého okraje, se nachází přesně na konci třetího dílku. Značka A se nachází na konci šestého dílku.

Výpočet délky jednoho dílku

Protože tři stejné dílky měří dohromady 39 cm, jeden dílek vypočítáme tak, že tuto vzdálenost vydělíme třemi: $39 : 3 = 13$ cm.

Vzdálenost značky A od pravého okraje

Značka A je na konci šestého dílku, takže od ní k pravému okraji zbývají 4 dílky. Vzdálenost od pravého okraje tedy vypočítáme: $4 \cdot 13 = 52$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

Jsou dány body A, E a F.

Narýsujte úsečku EF. Sestrojte přímku p procházející bodem A, která je kolmá na úsečku EF. Průsečík úsečky EF a přímky p označte písmenem Y.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.2

Jsou dány body A, E a F.

Na úsečce EF vyznačte bod B, který má od bodu A stejnou vzdálenost, jakou má bod Y od bodu E.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.3

Jsou dány body A, E a F.

Sestrojte čtverec ABCD tak, aby bod Y neležel uvnitř čtverce ABCD.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.4

Jsou dány body A, E a F.

Do stejného obrázku narýsujte rovnoramenný trojúhelník FGE tak, aby platilo, že rameny trojúhelníku jsou úsečky EF a EG a zároveň bod G leží na polopřímce AY.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 8.1

Graf znázorňuje, kolik hodin denně se Petr věnuje třem vybraným aktivitám.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Petr tráví týdně na počítači o polovinu více času, než kolik času týdně věnuje sportu.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme počet hodin, které Petr věnoval sportu a počítači v jednotlivých dnech:

Sport: Po: 1 h, Út: 0 h, St: 2 h, Čt: 2 h, Pá: 3 h, So: 0 h, Ne: 0 h
Počítač: Po: 1,5 h, Út: 1 h, St: 1 h, Čt: 3 h, Pá: 1,5 h, So: 2 h, Ne: 2 h

Celkový čas týdně

Sečteme hodiny za celý týden:
Sport: $1 + 0 + 2 + 2 + 3 + 0 + 0 = 8$ hodin
Počítač: $1,5 + 1 + 1 + 3 + 1,5 + 2 + 2 = 12$ hodin

Porovnání časů

Zjistíme, zda je 12 hodin o polovinu více než 8 hodin. Polovina z 8 hodin jsou 4 hodiny ($8 : 2 = 4$).
O polovinu více než 8 hodin je $8 + 4 = 12$ hodin.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.2

Graf znázorňuje, kolik hodin denně se Petr věnuje třem vybraným aktivitám.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Petr týdně věnuje více času učení než sportu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu

Z grafu vyčteme počet hodin, které Petr věnuje sportu (vodorovně šrafované sloupce) a učení (šedé sloupce) v jednotlivých dnech týdne:

Pondělí: sport 1,0 h, učení 1,0 h
Úterý: sport 0 h, učení 1,0 h
Středa: sport 2,0 h, učení 2,0 h
Čtvrtek: sport 2,0 h, učení 2,0 h
Pátek: sport 3,0 h, učení 1,0 h
Sobota: sport 0 h, učení 0 h
Neděle: sport 0 h, učení 0 h

Výpočet celkového času

Nyní sečteme hodiny pro obě aktivity za celý týden:

Sport: $1 + 0 + 2 + 2 + 3 + 0 + 0 = 8$ hodin
Učení: $1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 0 + 0 = 7$ hodin

Porovnání a závěr

Porovnáme celkové časy: Petr věnuje týdně 8 hodin sportu a 7 hodin učení. Protože 8 hodin je více než 7 hodin, věnuje Petr za týden více času sportu. Tvrzení v zadání je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.3

Graf znázorňuje, kolik hodin denně se Petr věnuje třem vybraným aktivitám.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Aby Petr týdně trávil učením stejnou dobu jako na počítači, musel by se týdně učit o pět hodin déle.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas strávený na počítači

Z grafu odečteme čas, který Petr tráví na počítači (bílé sloupce) v jednotlivých dnech:
• Pondělí: 1,5 h
• Úterý: 1,0 h
• Středa: 1,0 h
• Čtvrtek: 3,0 h
• Pátek: 1,5 h
• Sobota: 2,0 h
• Neděle: 2,0 h

Celkem za týden: $1,5 + 1,0 + 1,0 + 3,0 + 1,5 + 2,0 + 2,0 = 12$ hodin.

Čas strávený učením

Podobně odečteme čas strávený učením (šedé sloupce):
• Pondělí: 1,0 h
• Úterý: 1,0 h
• Středa: 2,0 h
• Čtvrtek: 2,0 h
• Pátek: 1,0 h
• Sobota: 0 h
• Neděle: 0 h

Celkem za týden: $1,0 + 1,0 + 2,0 + 2,0 + 1,0 + 0 + 0 = 7$ hodin.

Porovnání časů

Nyní porovnáme oba celkové časy. Petr tráví na počítači 12 hodin a učením 7 hodin.
Rozdíl je: $12 - 7 = 5$ hodin.

Aby Petr trávil učením stejnou dobu jako na počítači, musel by se skutečně učit o 5 hodin týdně déle.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9

Lukáš a Pepa trhají jablka, která dávají do stejných beden. Každý z hochů pracuje stálým tempem. Za každou hodinu Pepa naplní jablky 5 beden a Lukáš 3 bedny.

Za jak dlouho oba chlapci společně naplní jablky 64 beden?

A) za 240 minut
D) za 840 minut
B) za 360 minut
E) jiný výsledek
C) za 480 minut

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společná práce

Pepa za jednu hodinu naplní 5 beden a Lukáš 3 bedny. Pokud budou pracovat oba najednou, za každou hodinu společně naplní:
$5 + 3 = 8$ beden.

Výpočet počtu hodin

Potřebujeme zjistit, za jak dlouho naplní celkem 64 beden. Celkový počet beden vydělíme počtem beden, které naplní za jednu hodinu:
$64 \div 8 = 8$ hodin.

Převod na minuty

Výsledky v možnostech jsou uvedeny v minutách. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Pro 8 hodin tedy vypočítáme:
$8 \cdot 60 = 480$ minut.

Závěr

Oba chlapci naplní 64 beden za 480 minut. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Dřevěná krychle byla natřena modrou barvou ze všech šesti stran. Poté byla rozřezána na 64 stejných krychliček. Řezy jsou naznačeny na obrázku.

Kolik celkem takto vzniklých krychliček nemá žádnou stranu modrou?

A) více než 8
D) 0
B) 8
E) jiný počet
C) 4

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry velké krychle

V zadání se píše, že velká krychle byla rozřezána na 64 stejných malých krychliček. Protože jde o krychli, musí mít stejný počet krychliček na délku, šířku i výšku. Jelikož $4 \times 4 \times 4 = 64$, má velká krychle rozměry 4 × 4 × 4 krychličky.

Které krychličky nemají žádnou modrou stranu?

Modrou barvou byly natřeny všechny vnější stěny velké krychle. To znamená, že každá malá krychlička, která se nachází na povrchu (dotýká se stěn), bude mít alespoň jednu stranu modrou. Krychličky bez modré barvy jsou ty, které jsou schované uvnitř velké krychle a nedotýkají se žádné z jejích šesti stěn.

Výpočet vnitřních krychliček

Vnitřní část velké krychle získáme tak, že z každého rozměru odebereme vnější vrstvy (jednu zleva, jednu zprava, jednu zepředu, jednu zezadu, jednu shora a jednu zdola).

Původní rozměr byl 4 krychličky.
Po odebrání dvou krajních vrstev v každém směru nám zůstane vnitřní blok o rozměrech $(4 - 2) = 2$ krychličky.

Vnitřní blok má tedy rozměry 2 × 2 × 2.

Výsledek

Počet krychliček uvnitř vypočítáme jako: $2 \times 2 \times 2 = 8$. Bez modré barvy je celkem 8 krychliček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Kruhový diagram, který je rozdělen na 10 shodných částí, znázorňuje výsledky písemné práce z matematiky, kterou psali všichni žáci z devátého ročníku. Známky 1, 3 a 4 mělo celkem 56 žáků.

Kolik žáků celkem je v devátém ročníku?

A) 140
D) 80
B) 112
E) jiný počet
C) 93

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor diagramu

Ze zadání víme, že kruhový diagram je rozdělen na 10 shodných dílků. Každý tento dílek představuje stejný počet žáků. Podle popisu grafu si určíme, kolik dílků připadá na jednotlivé známky:

Známka 1: 1 dílek
Známka 3: 4 dílky
Známka 4: 2 dílky

Výpočet počtu dílků pro známky 1, 3 a 4

Sečteme dílky pro známky, u kterých známe celkový počet žáků:
$1 + 4 + 2 = 7$ dílků.
Těchto 7 dílků odpovídá 56 žákům.

Určení počtu žáků na jeden dílek

Jeden dílek vypočítáme tak, že celkový počet žáků pro dané známky vydělíme počtem jejich dílků:
$56 : 7 = 8$ žáků.
Na jeden dílek v diagramu tedy připadá 8 žáků.

Výpočet celkového počtu žáků

V celém devátém ročníku je tolik žáků, kolik odpovídá všem 10 dílkům diagramu:
$10 \cdot 8 = 80$ žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12.1

Čerpadlo, které trvale čerpá vodu stejnou rychlostí, naplní vodou 3 stejné prázdné nádrže za 2 hodiny.

Za jak dlouho jediné takové čerpadlo naplní 12 takových prázdných nádrží?

A) za 4 hodiny
D) za 10 hodin
B) za 6 hodin
E) za 12 hodin
C) za 8 hodin

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání počtu nádrží

Ze zadání víme, že jedno čerpadlo naplní 3 nádrže za 2 hodiny. My potřebujeme zjistit, jak dlouho mu bude trvat naplnění 12 nádrží. Nejdříve si spočítáme, kolikrát více nádrží to je:
$12 \div 3 = 4$
Budeme tedy plnit 4krát více nádrží.

Výpočet času

Protože čerpadlo pracuje stále stejnou rychlostí, bude na 4krát větší počet nádrží potřebovat také 4krát více času. Původní čas (2 hodiny) tedy vynásobíme čtyřmi:
$4 \cdot 2 = 8$ hodin

Závěr

Jedno čerpadlo naplní 12 nádrží za 8 hodin. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.2

Čerpadlo, které trvale čerpá vodu stejnou rychlostí, naplní vodou 3 stejné prázdné nádrže za 2 hodiny.

Jak dlouho by se 12 takových prázdných nádrží plnilo vodou, pokud by se po naplnění šesti prázdných nádrží přidalo k prvnímu čerpadlu ještě druhé úplně stejné čerpadlo?

A) 1 hodinu
D) 6 hodin
B) 2 hodiny
E) 8 hodin
C) 4 hodiny

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba plnění jedním čerpadlem

Známe výkon jednoho čerpadla: 3 stejné nádrže naplní za 2 hodiny. Aby naplnilo 6 nádrží, což je dvojnásobný počet, bude potřebovat dvakrát tolik času:
$2 \cdot 2 = 4$ hodiny.

První fáze: plnění 6 nádrží

Prvních 6 nádrží plní pouze jedno čerpadlo. Podle předchozího výpočtu víme, že mu to zabere přesně 4 hodiny.

Druhá fáze: plnění zbývajících 6 nádrží

Celkem máme naplnit 12 nádrží. Zbývá tedy naplnit dalších 6 nádrží ($12 - 6 = 6$). V této fázi už ale pracují dvě stejná čerpadla společně. Protože jsou dvě, bude jim práce trvat polovinu času oproti jednomu čerpadlu:
$4 \div 2 = 2$ hodiny.

Celkový čas a výsledek

Sečteme čas obou fází plnění:
$4 + 2 = 6$ hodin.
12 prázdných nádrží se bude plnit 6 hodin, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.3

Čerpadlo, které trvale čerpá vodu stejnou rychlostí, naplní vodou 3 stejné prázdné nádrže za 2 hodiny.

Jak dlouho by se 15 takových prázdných nádrží plnilo vodou dvěma takovými úplně stejnými čerpadly?

A) 1 hodinu
D) 4 hodiny
B) 2 hodiny
E) 5 hodin
C) 3 hodiny

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výkon jednoho čerpadla

Víme, že jedno čerpadlo naplní 3 stejné prázdné nádrže za 2 hodiny.

Práce pro jedno čerpadlo

Potřebujeme naplnit 15 nádrží. Protože $15 \div 3 = 5$, je to 5krát více nádrží, než kolik jedno čerpadlo naplní za 2 hodiny. Jednomu čerpadlu by tedy naplnění 15 nádrží trvalo 5krát déle:
$5 \cdot 2 = 10$ hodin.

Dvě čerpadla

Pokud budeme mít dvě úplně stejná čerpadla, která pracují současně, bude jim práce trvat polovinu času:
$10 \div 2 = 5$ hodin.

Výsledek

15 prázdných nádrží se dvěma čerpadly naplní za 5 hodin, což odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.1

Ve čtvercové síti je nakreslen obdélník ABDF, v němž jsou zakresleny trojúhelníky BCJ a EGH. Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech. Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Jaký je obsah trojúhelníku BCJ v cm²?

A) 6
D) 9
B) 7
E) 9,5
C) 8,5
F) 10

Zobrazit odpověď

D cm²

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor trojúhelníku BCJ

Z popisu zadání víme, že vrcholy útvarů leží v mřížových bodech čtvercové sítě, kde každé políčko má stranu 1 cm. Trojúhelník BCJ má dva vrcholy na pravé straně obdélníku:

Bod B je pravý dolní vrchol obdélníku.
Bod C leží na svislé straně obdélníku, přesně 6 políček (6 cm) nad bodem B.

Třetí vrchol J leží uvnitř sítě. Je vzdálen 7 políček doprava od levé strany obdélníku. Protože je celý obdélník široký 10 políček, je bod J vzdálen 3 políčka (10 − 7 = 3) od pravé svislé strany, na které leží úsečka BC.

Určení základny a výšky

Pro výpočet obsahu trojúhelníku použijeme vzorec: $S = \frac{a \cdot v_a}{2}$ (základna krát výška děleno dvěma).

Jako základnu zvolíme svislou úsečku BC. Její délka je $a = 6\text{ cm}$.
Výška k této základně je vodorovná vzdálenost bodu J od úsečky BC. Jak jsme určili, tato vzdálenost je $v_a = 3\text{ cm}$.

Výpočet obsahu

Dosadíme hodnoty do vzorce:
$S = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = \mathbf{9\ cm^2}$

Závěr

Obsah trojúhelníku BCJ je 9 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.2

Jaký je obsah trojúhelníku EGH v cm²?

A) 6
D) 9
B) 7
E) 9,5
C) 8,5
F) 10

Zobrazit odpověď

E cm²

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení polohy vrcholů

Z popisu zadání a obrázku určíme polohu vrcholů trojúhelníku EGH v mřížových bodech. Za počátek (bod [0,0]) zvolíme levý dolní vrchol velkého obdélníku, tedy bod A. Potom mají vrcholy tyto souřadnice:

Bod G leží na levé straně obdélníku. Je 7 políček nad bodem A, tedy na souřadnicích [0, 7].
Bod E leží na horní straně obdélníku. Je 3 políčka vpravo od levého horního rohu (bodu F), tedy na souřadnicích [3, 9].
Bod H leží uvnitř sítě, 2 políčka vpravo a 2 políčka nahoru od bodu A, tedy na souřadnicích [2, 2].

Krok 2: Obsah opsaného obdélníku

Trojúhelník EGH uzavřeme do nejmenšího možného obdélníku, jehož strany vedou po čárách sítě. Tento obdélník má:

šířku 3 cm (od 0 do 3 na ose x),
výšku 7 cm (od 2 do 9 na ose y).

Obsah tohoto pomocného obdélníku je $3 \cdot 7 = \mathbf{21\ cm^2}$.

Krok 3: Odečtení vnějších trojúhelníků

Od obsahu pomocného obdélníku odečteme obsahy tří pravoúhlých trojúhelníků, které leží v rozích a nepatří do trojúhelníku EGH:

Levý horní: Má odvěsny 3 cm a 2 cm (9 − 7). Obsah = $\frac{3 \cdot 2}{2} = 3\text{ cm}^2$.
Levý dolní: Má odvěsny 2 cm a 5 cm (7 − 2). Obsah = $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5\text{ cm}^2$.
Pravý: Má odvěsny 1 cm (3 − 2) a 7 cm (9 − 2). Obsah = $\frac{1 \cdot 7}{2} = 3,5\text{ cm}^2$.

Krok 4: Výpočet obsahu trojúhelníku EGH

Od celkového obsahu pomocného obdélníku odečteme obsahy všech tří rohových trojúhelníků:
$S = 21 - (3 + 5 + 3,5) = 21 - 11,5 = \mathbf{9,5\ cm^2}$

Závěr

Obsah trojúhelníku EGH je 9,5 cm², což odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.3

Jakým číslem musíme vynásobit obsah trojúhelníku BCJ, abychom dostali obsah obdélníku ABDF?

A) 6
D) 9
B) 7
E) 9,5
C) 8,5
F) 10

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 14.1

V pohádkovém království žil král. Když král slavil své 20. narozeniny, narodili se víla a skřítek. Víla i skřítek stárli pomaleji než král. Král stárnul 6krát rychleji než víla a 8krát rychleji než skřítek. Své první narozeniny tak víla oslavila v den, kdy od jejího narození král zestárl přesně o 6 let. Skřítek pak slavil své první narozeniny až o dva roky později. Uvažujte, že den oslavy narozenin vždy odpovídá příslušnému dni narození.

O kolik let zestárl král v období mezi oslavou 3. narozenin víly a 4.narozenin skřítka?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stárnutí krále a víly

Král stárne 6krát rychleji než víla. To znamená, že když víla oslaví své 3. narozeniny, král od jejího narození zestárne o $3 \cdot 6 = 18$ let.

Věk krále při 3. narozeninách víly

Víla se narodila, když bylo králi 20 let. Při jejích 3. narozeninách mu tedy bylo $20 + 18 = 38$ let.

Stárnutí krále a skřítka

Král stárne 8krát rychleji než skřítek. To znamená, že když skřítek oslaví své 4. narozeniny, král od jeho narození zestárne o $4 \cdot 8 = 32$ let.

Věk krále při 4. narozeninách skřítka

Skřítek se narodil ve stejný den jako víla, tedy když bylo králi 20 let. Při skřítkových 4. narozeninách bylo králi $20 + 32 = 52$ let.

Výpočet rozdílu

Hledáme, o kolik let zestárl král mezi těmito dvěma okamžiky. Od 38 let do 52 let zestárl král o $52 - 38 = 14$ let.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.2

Kolikrát od svého narození oslavil skřítek své narozeniny do doby, než víla oslavila své desáté narozeniny?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Královy roky a víla

Víla oslavila své 1. narozeniny po 6 letech králova času. Desáté narozeniny tedy oslaví po $10 \cdot 6 = 60$ letech králova času.

Královy roky a skřítek

Skřítek oslavil své 1. narozeniny o 2 roky později než víla, tedy za $6 + 2 = 8$ let králova času. Své narozeniny tedy slaví vždy po uplynutí 8 let králova času.

Výpočet počtu narozenin

Zjišťujeme, kolikrát se období 8 let vejde do 60 let:
$60 : 8 = 7$ (zbytek 4)
Skřítek oslaví narozeniny v 8, 16, 24, 32, 40, 48 a 56 letech králova času. Osmé narozeniny by oslavil až v 64 letech králova času, což je už po 10. narozeninách víly.

Výsledek

Skřítek oslavil své narozeniny celkem 7krát.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.3

Jednou za určité období oslavila víla i skřítek narozeniny v jeden den. Král předal království svému synovi právě v den, kdy víla a skřítek slavili v jeden den narozeniny už potřetí.

Kolik let bylo v tento den králi?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jak často slaví narozeniny

Víla slaví narozeniny každých 6 let králova věku (protože král stárne 6krát rychleji). Skřítek slaví narozeniny každých 8 let králova věku (protože král stárne 8krát rychleji).

Společné narozeniny

Víla i skřítek oslaví narozeniny ve stejný den tehdy, když od jejich narození uplyne počet let, který je násobkem 6 i 8 zároveň. Hledáme tedy nejmenší společný násobek čísel 6 a 8.
Násobky 6 jsou: 6, 12, 18, 24, 30...
Násobky 8 jsou: 8, 16, 24, 32...
První společné narozeniny tedy oslaví po 24 letech od svého narození.

Třetí společné narozeniny

Pokud první společné narozeniny nastaly po 24 letech, pak druhé nastaly po dalších 24 letech (tedy po 48 letech) a třetí společné narozeniny nastaly po dalších 24 letech. Celkem tedy od jejich narození uplynulo:
$3 \cdot 24 = 72$ let

Věk krále

V den, kdy se víla a skřítek narodili, bylo králi 20 let. Od té doby uplynulo dalších 72 let, než nastaly jejich třetí společné narozeniny. Králi tedy v tento den bylo:
$20 + 72 = 92$ let

Výsledek

Králi bylo v tento den 92 let.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body