Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2024

28 úloh

Úloha 1.1

Vypočítejte:

$\displaystyle 5 \cdot 115 + \left( 232 + 21 \cdot 8 \right) \div \left( 5 + 60 \div 3 \right) =$

Zobrazit odpověď

591

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Přednost má násobení, tedy $21 \cdot 8 = 168$. Potom přičteme číslo 232: $232 + 168 = 400$.

Druhá závorka

Dále vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Nejdříve vydělíme $60 \div 3 = 20$ a pak přičteme 5: $5 + 20 = 25$.

Násobení a dělení

Nyní vypočítáme zbývající násobení a dělení. Vynásobíme $5 \cdot 115 = 575$. Výsledek z první závorky (400) vydělíme výsledkem z druhé závorky (25): $400 \div 25 = 16$.

Součet a výsledek

Nakonec oba dílčí výsledky sečteme: $575 + 16 = 591$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočítejte:

$\displaystyle \left( 128 + 16 \div 4 - 32 \right) \div \left( 30 + 5 \cdot 13 - 9 \cdot 5 \right) -1=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce: $(128 + 16 \div 4 - 32)$. Víme, že dělení má přednost před sčítáním a odčítáním. Nejdříve tedy vydělíme $16 \div 4 = 4$. Potom přičteme 128 a odečteme 32: $128 + 4 - 32 = 132 - 32 = 100$. Hodnota první závorky je tedy 100.

Druhá závorka

Nyní vypočítáme druhou závorku: $(30 + 5 \cdot 13 - 9 \cdot 5)$. Zde mají přednost obě násobení: $5 \cdot 13 = 65$ a $9 \cdot 5 = 45$. Potom výsledky sečteme a odečteme: $30 + 65 - 45 = 95 - 45 = 50$. Hodnota druhé závorky je 50.

Dokončení výpočtu

Nyní dosadíme výsledky závorek do původního příkladu a dostaneme: $100 \div 50 - 1$. Protože dělení má přednost před odčítáním, nejdříve vypočítáme $100 \div 50 = 2$. Nakonec odečteme jedničku: $2 - 1 = 1$. Výsledná hodnota celého výrazu je 1.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Najděte a napište jednu číslici, kterou lze nahradit všechny hvězdičky tak, aby výpočet byl správný.

17*4*8478*11

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sloupeček úplně vpravo

Při sčítání pod sebou postupujeme vždy zprava doleva. V prvním sloupečku vpravo sčítáme čísla 4 a 7. To je dohromady 11.

Jedničku napíšeme dolů pod čáru (ta už tam je napsaná v zadání) a druhou jedničku z jedenáctky si pamatujeme do dalšího sloupečku.

Druhý sloupeček zprava

Ve druhém sloupečku sčítáme horní hvězdičku a číslo 4. Nesmíme ale zapomenout přidat jedničku, kterou si pamatujeme z předchozího kroku.

Máme tedy 4 a 1 navíc, což je dohromady 5. Pod čarou je výsledek 1. Protože když k pětce přidáme další číslici, nemůže z toho být jedna, musí být součet 11.

Kolik chybí do 11, když už máme 5? Chybí přesně 6. První hvězdička nahoře v prvním řádku je tedy 6.

Z jedenáctky je pod čarou napsaná jednička a další jedničku si opět pamatujeme do dalšího sloupečku.

Ověření dalších sloupečků

Podle zadání se pod všemi hvězdičkami ukrývá stejná číslice. Zkusíme tedy za všechny hvězdičky dosadit naši objevenou šestku a výpočet si zkontrolujeme.

Ve třetím sloupečku zprava sčítáme 7 a 8. Znovu přidáme schovanou jedničku z předchozího kroku. To je $7 + 8 + 1 = 16$. Šestku napíšeme dolů pod čáru a jedničku si držíme do dalšího kroku. Pod čarou je v zadání hvězdička a nám přesně vyšla šestka!

Ve čtvrtém sloupečku úplně vlevo sčítáme jedničku v prvním řádku a hvězdičku ve druhém řádku (tedy 6). Zase přidáme jedničku z minulého kroku. To je $1 + 6 + 1 = 8$. Pod čarou je číslo 8, takže celý výpočet perfektně souhlasí.

Závěr

Všechny hvězdičky v příkladu nahrazuje číslice 6.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3

V součtovém trojúhelníku platí, že součet dvou čísel, která jsou v řádku vedle sebe, je vždy zapsán o řádek níže do rámečku, který s těmito oběma čísly sousedí.
Například:

Do obou šedých polí patří stejné číslo.

Jaké číslo musí být v obou šedých polích?

Uveďte pouze chybějící číslo, které patří do šedých polí.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor součtového trojúhelníku

V součtovém trojúhelníku platí, že součet dvou sousedních čísel v řádku je zapsán v rámečku pod nimi. Číslo 200 ve spodní části tedy vzniklo sečtením dvou čísel v prostřední řadě.

Výpočet prostřední řady

Víme, že v obou šedých polích v horní řadě je stejné číslo. Obě pole v prostřední řadě sousedí s tímto stejným šedým polem a společným číslem 40. To znamená, že i obě čísla v prostřední řadě musí být stejná.
Protože jejich součet je 200, vypočítáme každé z nich jako polovinu: $200 : 2 = 100$.

Určení čísla v šedých polích

Nyní víme, že součet čísla v šedém poli a čísla 40 musí být 100. Chybějící číslo v šedém poli tedy vypočítáme snadno:
$100 - 40 = 60$

Ověření

Pokud do šedých polí doplníme číslo 60, v prostřední řadě dostaneme dvakrát $60 + 40 = 100$. Součet ve spodním poli pak vyjde $100 + 100 = 200$, což přesně odpovídá zadání. V šedých polích musí být číslo 60.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 4.1

Zuzanka koupila dárek a krabičku, do které ho chtěla zabalit. Celková cena za dárek i krabičku byla 84 Kč. Dárek byl o 72 Kč dražší než krabička.

Kolikrát je dárek dražší než krabička?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena krabičky

Dohromady stojí dárek i krabička 84 Kč. Víme, že dárek je o 72 Kč dražší než krabička. Pokud od celkové ceny odečteme tento rozdíl, zbytek bude odpovídat ceně dvou krabiček: $84 - 72 = 12$ Kč. Jedna krabička tedy stojí polovinu z 12 Kč, což je $12 : 2 = 6$ Kč.

Cena dárku

Dárek je o 72 Kč dražší než krabička, stojí tedy $6 + 72 = 78$ Kč. (Pro kontrolu si můžeme ověřit, že $78 + 6 = 84$ Kč, což souhlasí se zadáním.)

Porovnání cen

Nyní zjistíme, kolikrát je dárek dražší než krabička. Vydělíme cenu dárku cenou krabičky: $78 : 6 = 13$. Dárek je tedy 13krát dražší než krabička.

Výsledek

Dárek je 13krát dražší než krabička.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Lukáš má svůj účet, na který mu maminka pravidelně posílá kapesné, on sám si tam ukládá všechny své našetřené peníze. K narozeninám dostal od babičky 500 Kč. Ty použil na koupi knížky, která stála 186 Kč, a zbylé peníze si uložil na účet. Poté mu na účet maminka poslala kapesné 150 Kč a Lukáš druhý den z účtu vybral 263 Kč na dárek pro tatínka. Na účtu mu pak zbylo 470 Kč.

Kolik peněz měl Lukáš na účtu před narozeninami, pokud k jiným pohybům na účtu nedošlo?

Zobrazit odpověď

269

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbytek z dárku

Lukáš dostal od babičky 500 Kč, ale 186 Kč hned utratil za knížku. Na účet si uložil jen to, co mu zbylo: $500 - 186 = 314$ Kč.

Změny na účtu

Na účet přibylo 314 Kč (zbytek dárku) a 150 Kč (kapesné). Poté Lukáš vybral 263 Kč na dárek pro tatínka. Spočítáme celkovou změnu: $314 + 150 = 464$ Kč (celkem přibylo) $464 - 263 = 201$ Kč (o tolik se částka na účtu zvýšila).

Výpočet původního stavu

Víme, že po všech těchto pohybech bylo na účtu 470 Kč. Protože se částka o 201 Kč zvýšila oproti původnímu stavu, zjistíme počáteční vklad odečtením: $470 - 201 = 269$ Kč.

Závěr

Před narozeninami měl Lukáš na účtu 269 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.3

V úterý ráno měli v obchodě bednu plnou jablek. Dopoledne z jablek v této bedně prodali jednu pětinu a do konce dne ještě 20 kusů. Poté jim na druhý den v bedně zůstaly dvě pětiny jablek.

Kolik jablek bylo v úterý ráno v plné bedně?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na pětiny

Celý obsah bedny si můžeme představit jako jeden celek rozdělený na pět stejných částí (pětin). Na začátku byla bedna plná, tedy v ní bylo 5 pětin jablek.

Prodej dopoledne

Dopoledne se prodala jedna pětina jablek. V bedně tedy po dopoledni zůstaly 4 pětiny jablek ($5/5 - 1/5 = 4/5$).

Prodej do konce dne

Do konce dne se prodalo ještě 20 jablek a v bedně nakonec zbyly 2 pětiny. Těchto 20 jablek tedy tvoří rozdíl mezi stavem po dopoledni a konečným stavem:
$4/5 - 2/5 = 2/5$.
Víme tedy, že 2 pětiny jablek odpovídají 20 kusům.

Výpočet celku

Pokud 2 pětiny jsou 20 jablek, pak 1 pětina je 10 jablek ($20 : 2 = 10$). Celá bedna má 5 pětin, takže v ní na začátku bylo 50 jablek ($5 \cdot 10 = 50$).

Odpověď

V úterý ráno bylo v plné bedně 50 jablek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

1 hodina $\displaystyle +$ 20 minut $\displaystyle = \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ sekund

Zobrazit odpověď

4800

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si převedeme 1 hodinu na minuty. Víme, že 1 hodina má 60 minut.

Celkem minut

K 60 minutám (což je 1 hodina) přičteme 20 minut ze zadání. Celkem tedy máme:
$60 + 20 = 80$ minut

Převod na sekundy

Jedna minuta má 60 sekund. Abychom zjistili počet sekund v 80 minutách, musíme 80 vynásobit 60:
$80 \cdot 60 = 4800$

Výsledek

V rámečku bude číslo 4800.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ metru $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ milimetru $\displaystyle =$ 1 metr $\displaystyle -$ 26 centimetrů

Zobrazit odpověď

240

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravá strana rovnosti

Nejdříve vypočítáme pravou stranu příkladu. Máme odečíst 26 cm od 1 metru. Víme, že 1 metr má 100 centimetrů. $100 \text{ cm} - 26 \text{ cm} = 74 \text{ cm}$

Převod na milimetry

Protože máme výsledek uvést v milimetrech, převedeme si všechny hodnoty na milimetry:

$74 \text{ cm} = 740 \text{ mm}$
$\frac{1}{2} \text{ metru} = 500 \text{ mm}$ (protože $1 \text{ metr} = 1000 \text{ mm}$ a polovina z tisíce je 500)

Doplnění do rámečku

Nyní známe obě strany v milimetrech: $500 \text{ mm} + \boxed{\phantom{10}} \text{ mm} = 740 \text{ mm}$ Chybějící číslo zjistíme odečtením: $740 - 500 = 240$

Výsledek

Do rámečku patří číslo 240.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na číselné ose je vyznačeno 12 shodných úseků, čísla 44 a 110 a neznámá čísla X a Y.

Určete neznámá čísla X a Y.

Zobrazit odpověď

22, 77

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnoty jednoho dílku

Nejdříve zjistíme, jakou hodnotu má jeden dílek na číselné ose. Mezi čísly 44 a 110 napočítáme přesně 6 stejných dílků. Rozdíl mezi těmito čísly je:

110 − 44 = 66

Hodnotu jednoho dílku vypočítáme tak, že tento rozdíl vydělíme počtem dílků:

66 : 6 = 11

Jeden dílek má tedy hodnotu 11.

Výpočet čísla X

Číslo X se na číselné ose nachází o 2 dílky vlevo od čísla 44. To znamená, že od 44 musíme odečíst dvojnásobek hodnoty dílku:

X = 44 − 2 ⋅ 11 = 44 − 22 = 22

Číslo X je 22.

Výpočet čísla Y

Číslo Y se nachází o 3 dílky vpravo od čísla 44 (nebo o 3 dílky vlevo od čísla 110). Výpočet provedeme přičtením tří dílků k číslu 44:

Y = 44 + 3 ⋅ 11 = 44 + 33 = 77

Pro kontrolu můžeme ověřit, že od čísla Y (77) k číslu 110 jsou to také 3 dílky ($77 + 33 = 110$). Číslo Y je 77.

Závěr

Neznámá čísla jsou X = 22 a Y = 77.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Na číselné ose je vyznačeno 12 shodných úseků, čísla 44 a 110 a neznámá čísla X a Y.

Na číselné ose vyznačte nulu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor číselné osy

Na číselné ose vidíme vyznačená čísla 44 a 110. Abychom mohli určit polohu nuly, musíme nejdříve zjistit, jakou hodnotu představuje jeden dílek (vzdálenost mezi dvěma sousedními ryskami). Mezi čísly 44 a 110 napočítáme přesně 6 stejných dílků.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Rozdíl mezi vyznačenými čísly je $110 - 44 = 66$. Protože tento rozdíl odpovídá 6 dílkům, vypočítáme hodnotu jednoho dílku dělením:
66 : 6 = 11

Určení polohy nuly

Nula leží vlevo od čísla 44. Abychom se dostali na nulu, musíme od 44 odečíst čtyři jedenáctky ($4 \times 11 = 44$), což odpovídá posunu o 4 dílky doleva. Na číselné ose jsou vlevo od čísla 44 právě 4 dílky.

Vyznačení výsledku

Nula se tedy nachází na úplně první rysce zleva. Na tuto pozici na číselné ose doplníme číslo 0.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží přímka p a mimo ni body A a S.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod S je střed strany AB tohoto obdélníku. Na přímce p leží bod Q, střed některé ze sousedních stran strany AB tohoto obdélníku.

Sestrojte vrchol B.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.2

V rovině leží přímka p a mimo ni body A a S.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod S je střed strany AB tohoto obdélníku. Na přímce p leží bod Q, střed některé ze sousedních stran strany AB tohoto obdélníku.

Na přímce p najděte a popište střed Q další strany obdélníku, sestrojte a popište vrcholy C a D a obdélník ABCD narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

4 body

Úloha 8.1

Ve čtvercové síti jsou nakresleny dva obrazce A a B, jejichž vrcholy leží v mřížových bodech. Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsahy obou obrazců si jsou rovny.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A si můžeme rozdělit na tři části, u kterých snadno určíme obsah:

Obdélník: Má šířku 2 cm a výšku 4 cm (mezi body [1,5] a [3,9]). Jeho obsah je $2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}^2$.
Horní trojúhelník: Má základnu 2 cm a výšku 2 cm (mezi body [3,9], [5,7] a [3,7]). Jeho obsah je $(2 \cdot 2) : 2 = 2 \text{ cm}^2$.
Spodní trojúhelník: Má základnu 2 cm a výšku 2 cm (mezi body [1,5], [3,5] a [3,3]). Jeho obsah je $(2 \cdot 2) : 2 = 2 \text{ cm}^2$.

Celkový obsah obrazce A je $8 + 2 + 2 = 12 \text{ cm}^2$.

Obsah obrazce B

Obrazec B si také rozdělíme na části:

Horní trojúhelník: Má základnu 4 cm (mezi body [6,5] a [10,5]) a výšku 2 cm (k bodu [8,7]). Jeho obsah je $(4 \cdot 2) : 2 = 4 \text{ cm}^2$.
Čtverec: V pravé části má stranu 2 cm (mezi body [8,3] a [10,5]). Jeho obsah je $2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}^2$.
Levý trojúhelník: Má základnu 2 cm a výšku 2 cm (mezi body [8,2], [6,4] a [8,4]). Jeho obsah je $(2 \cdot 2) : 2 = 2 \text{ cm}^2$.

Celkový obsah obrazce B je $4 + 4 + 2 = 10 \text{ cm}^2$.

Závěr

Obsah obrazce A je $12 \text{ cm}^2$ a obsah obrazce B je $10 \text{ cm}^2$. Obsahy obou obrazců si tedy rovny nejsou. Tvrzení je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.2

Ve čtvercové síti jsou nakresleny dva obrazce A a B, jejichž vrcholy leží v mřížových bodech. Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je 11 cm².

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení obrazce

Obrazec A si pro snadnější výpočet obsahu rozdělíme na několik jednodušších částí: obdélníky a pravoúhlé trojúhelníky.

Výpočet horní části

Horní část obrazce tvoří čtverec o straně 2 cm (obsah $2 \times 2 = 4\text{ cm}^2$) a k němu zprava připojený trojúhelník, který je polovinou čtverce o straně 2 cm (obsah $(2 \times 2) : 2 = 2\text{ cm}^2$). Horní část má tedy celkem $4 + 2 = 6\text{ cm}^2$.

Výpočet dolní části

Pod horní částí se nachází obdélník o stranách 2 cm a 1 cm (obsah $2 \times 1 = 2\text{ cm}^2$). Úplně vespod je pak trojúhelník se základnou 2 cm a výškou 3 cm, jehož obsah je $(2 \times 3) : 2 = 3\text{ cm}^2$.

Celkový součet

Sečtením obsahů všech částí dostaneme:
$6 + 2 + 3 = 11\text{ cm}^2$.
Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.3

Ve čtvercové síti jsou nakresleny dva obrazce A a B, jejichž vrcholy leží v mřížových bodech. Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce B je 16 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor stran obrazce B

Obvod obrazce je součet délek všech jeho stran. Strany obrazce B si rozdělíme na dvě skupiny:

Přímé strany: Ty, které vedou přesně po liniích čtvercové sítě (vodorovně nebo svisle).
Šikmé strany: Ty, které vedou úhlopříčkou přes čtverečky sítě.

Součet přímých stran

Podle čtvercové sítě určíme délky všech vodorovných a svislých stran obrazce B:

Svislá strana vpravo: 2 cm
Vodorovná strana dole: 2 cm
Svislá strana dole: 1 cm
Vodorovná strana uprostřed (směrem doprava): 2 cm
Svislá strana uprostřed (směrem nahoru): 1 cm
Vodorovná strana vlevo: 2 cm

Součet délek těchto stran je: $2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 10$ cm.

Posouzení šikmých stran

Obrazec B má dále 3 šikmé strany. Každá z nich vede přes úhlopříčku pomyslného čtverce o straně 2 cm (vždy o 2 políčka jedním směrem a o 2 políčka druhým směrem).

Víme, že úhlopříčka čtverce je vždy delší než jeho strana. Každá tato šikmá strana je tedy delší než 2 cm. Tři šikmé strany dohromady musí měřit více než $3 \times 2 = 6$ cm.

Celkový obvod a závěr

Celkový obvod obrazce B získáme sečtením délek všech stran: Obvod = $10 \text{ cm} + \text{více než } 6 \text{ cm} = \text{více než } 16$ cm.

Protože je skutečný obvod větší než 16 cm, tvrzení v zadání je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9

Tereza a její kamarádka Nikola píší novoroční přání. Všechna přání mají stejný text a každá z dívek píše stálou rychlostí. Tereza za každých 5 minut napíše 14 novoročenek, zatímco Nikola 10.

Za jak dlouho společně napíší 120 novoročních přání?

A) za 24 minut
D) za 32 minut
B) za 25 minut
E) za jiný počet minut
C) za 30 minut

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společná práce za 5 minut

Nejdříve zjistíme, kolik přání napíší obě dívky dohromady za 5 minut. Tereza napíše 14 přání a Nikola 10 přání.
$14 + 10 = 24$ přání.

Počet pětiminutových úseků

Potřebujeme zjistit, kolikrát musí dívky takto společně pracovat 5 minut, aby napsaly 120 přání. To vypočítáme dělením:
$120 \div 24 = 5$
Dívky musí pracovat 5 takových pětiminutových úseků.

Celkový čas

Celkový čas zjistíme vynásobením počtu úseků jejich délkou:
$5 \cdot 5 = 25$ minut.

Výsledek

Dívky společně napíší 120 přání za 25 minut. Správná odpověď je tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Který z uvedených obrázků (A–E) logicky nepatří mezi ostatní?

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 11

Máme šestiúhelník ABCDEF, který lze úsečkami AD, BE a CF rozdělit na šest shodných rovnoramenných trojúhelníků. Body A, B, D a E leží ve vrcholech obdélníku. Obsah tmavé části šestiúhelníku je 112 cm².

Jaký je obsah bílé části šestiúhelníku?

A) 28 cm²
D) 224 cm²
B) 112 cm²
E) jiný obsah
C) 196 cm²

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení šestiúhelníku

Šestiúhelník je rozdělen na 6 shodných trojúhelníků, které mají všechny stejný obsah. Označme si obsah jednoho takového trojúhelníku jako 1 díl. Celý šestiúhelník má tedy celkový obsah 6 dílů.

Analýza tmavé části

Tmavá část se skládá ze dvou ploch:

Čtyřúhelník vlevo dole: Ten tvoří jeden celý trojúhelník a k němu připojená polovina dalšího trojúhelníku. Dohromady je to 1,5 dílu.
Trojúhelník vpravo dole: Ten tvoří přesně polovinu jednoho z šesti základních trojúhelníků. Je to tedy 0,5 dílu.

Celkem je tmavá část tvořena 2 díly (1,5 + 0,5 = 2).

Výpočet obsahu jednoho dílu

Víme, že obsah tmavé části (2 díly) je 112 cm². Jeden díl (obsah jednoho trojúhelníku) tedy vypočítáme tak, že celkový obsah tmavé části vydělíme dvěma:
112 : 2 = 56 cm²

Výpočet bílé části

Celý šestiúhelník má 6 dílů. Tmavá část zabírá 2 díly, takže na bílou část zbývají 4 díly (6 − 2 = 4). Obsah bílé části vypočítáme vynásobením obsahu jednoho dílu čtyřmi:
4 * 56 = 224 cm²

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12.1

Graf znázorňuje přírůstek a úbytek obyvatel v obcích Lidov, Dámov a Pánov v letech 2019–2022.

Jak se změnil počet obyvatel v Pánově během roku 2021?

A) Ubylo 5 obyvatel.
D) Přibylo 5 obyvatel.
B) Ubylo 10 obyvatel.
E) Přibylo 10 obyvatel.
C) Počet obyvatel se nezměnil.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnota pro Pánov v roce 2021

V grafu je Pánov označen šedým sloupcem. V roce 2021 je šedý sloupec nad nulou a dosahuje hodnoty 10.

Změna počtu obyvatel

Protože je sloupec nad nulou, počet obyvatel se zvýšil. Hodnota sloupce je 10, takže v Pánově přibylo 10 obyvatel.

Závěr

V Pánově během roku 2021 přibylo 10 obyvatel. To odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.2

Graf znázorňuje přírůstek a úbytek obyvatel v obcích Lidov, Dámov a Pánov v letech 2019–2022.

Jestliže na počátku čtyřletého období 1. ledna 2019 žilo v Lidově 300 obyvatel, kolik obyvatel žilo ve stejné obci po třech letech 31. prosince 2021?

A) 290
D) 310
B) 295
E) 315
C) 305

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnoty pro Lidov

V grafu je Lidov označen bílým sloupcem. V letech 2019, 2020 a 2021 jsou hodnoty pro Lidov: +10, +5 a -5 obyvatel.

Změna za tři roky

Sečteme změny za roky 2019 až 2021: $10 + 5 - 5 = 10$ Za tři roky tedy v Lidově přibylo 10 obyvatel.

Počet obyvatel

Na začátku žilo v Lidově 300 obyvatel. Po třech letech jich bylo: $300 + 10 = 310$

Závěr

Dne 31. prosince 2021 žilo v Lidově 310 obyvatel. To odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.3

Graf znázorňuje přírůstek a úbytek obyvatel v obcích Lidov, Dámov a Pánov v letech 2019–2022.

Jak se změnil počet obyvatel v Dámově za všechny čtyři roky dohromady?

A) Ubylo 5 obyvatel.
D) Přibylo 15 obyvatel.
B) Počet obyvatel se nezměnil.
E) Jiný výsledek.
C) Přibylo 5 obyvatel.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnoty pro Dámov

V grafu je Dámov označen šrafovaným sloupcem. V letech 2019 až 2022 jsou hodnoty pro Dámov: -5, -10, +10 a +5 obyvatel.

Celková změna

Sečteme všechny změny za čtyři roky: $-5 - 10 + 10 + 5 = 0$ Celková změna je 0 obyvatel.

Závěr

Počet obyvatel v Dámově se za všechny čtyři roky dohromady nezměnil. To odpovídá možnosti B.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.1

Pan Josef jel autem z Heraltic do Třebíče stálou rychlostí a cesta mu trvala 24 minut. V 7:08 byl v jedné třetině cesty. V polovině cesty projel přes železniční přejezd.

V kolik hodin pan Josef vyjel?

A) 7:30
D) 7:08
B) 7:24
E) 7:00
C) 7:12
F) 6:52

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba na třetinu cesty

Celá cesta trvá panu Josefovi 24 minut. Pokud je v jednu chvíli v jedné třetině cesty, musela mu tato část cesty trvat jednu třetinu celkového času: $24 \div 3 = 8$ minut.

Čas výjezdu

Víme, že v 7:08 byl v jedné třetině cesty. Protože mu tato část trvala 8 minut, musel vyjet o 8 minut dříve než v 7:08.

Výpočet

Od času 7:08 odečteme 8 minut: $7:08 - 0:08 = 7:00$.

Závěr

Pan Josef vyjel přesně v 7:00. Správná možnost je tedy E.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.2

Pan Josef jel autem z Heraltic do Třebíče stálou rychlostí a cesta mu trvala 24 minut. V 7:08 byl v jedné třetině cesty. V polovině cesty projel přes železniční přejezd.

V kolik hodin přejel pan Josef železniční přejezd?

A) 7:30
D) 7:08
B) 7:24
E) 7:00
C) 7:12
F) 6:52

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jedna třetina cesty

Celková doba jízdy z Heraltic do Třebíče byla 24 minut. Jedna třetina této doby je:

24 : 3 = 8\text{ minut}

Pan Josef byl tedy v jedné třetině cesty po 8 minutách jízdy.

Čas startu

Víme, že v jedné třetině cesty (tedy po 8 minutách jízdy) byl pan Josef v 7:08. Abychom zjistili, v kolik hodin vyjel, odečteme těchto 8 minut od času 7:08:

7:08 - 8\text{ minut} = 7:00

Pan Josef tedy vyjel z Heraltic přesně v 7:00.

Polovina cesty

Železniční přejezd se nachází v polovině cesty. Polovina z celkové doby 24 minut je:

24 : 2 = 12\text{ minut}

K přejezdu tedy pan Josef dojel za 12 minut od začátku cesty.

Čas u přejezdu

K času výjezdu (7:00) přičteme 12 minut jízdy k přejezdu:

7:00 + 12\text{ minut} = 7:12

Závěr

Pan Josef přejel železniční přejezd v 7:12. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.3

Pan Josef jel autem z Heraltic do Třebíče stálou rychlostí a cesta mu trvala 24 minut. V 7:08 byl v jedné třetině cesty. V polovině cesty projel přes železniční přejezd.

V kolik hodin by pan Josef přijel, kdyby vyjel o 6 minut později?

A) 7:30
D) 7:08
B) 7:24
E) 7:00
C) 7:12
F) 6:52

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas v jedné třetině cesty

Celá cesta trvá 24 minut. Jedna třetina této doby je $24 : 3 = 8$ minut. Panu Josefovi tedy trvalo 8 minut, než se dostal do jedné třetiny cesty.

Čas odjezdu

Víme, že v 7:08 byl pan Josef v jedné třetině cesty. Pokud tam jel 8 minut, musel vyjet o 8 minut dříve:
$7:08 - 8 \text{ minut} = 7:00$
Pan Josef vyjel v 7:00.

Pozdější příjezd

Pokud by pan Josef vyjel o 6 minut později, dorazil by také o 6 minut později oproti původnímu plánu.
Při odjezdu v 7:00 by dorazil v: $7:00 + 24 \text{ minut} = 7:24$.
Při odjezdu o 6 minut později (v 7:06) dorazí v: $7:06 + 24 \text{ minut} = 7:30$.

Výsledek

Kdyby pan Josef vyjel o 6 minut později, přijel by v 7:30. Správná je možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.1

Pyramida postavená z kostek stavebnice může mít libovolný počet pater. Každé patro pyramidy má stejnou výšku. Do prvního, druhého a každého dalšího patra vede vždy stejný počet schodů. Zdola do prvního patra vedou vždy černé schody, do druhého patra bílé schody a takto se rovněž ve vyšších patrech obě tyto barvy schodů pravidelně střídají.
Např.: na obr. 1 má pyramida 6 černých schodů a 4 bílé schody, na obr. 2 má pyramida 6 černých schodů a 3 bílé schody. Další pyramidy vytváříme v souladu s výchozím textem.

Pyramida s 8 patry má celkem 48 černých schodů.

Kolik schodů vede do prvního patra?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo střídání barev

Ze zadání víme, že barvy schodů v patrech se pravidelně střídají. Do 1. patra vedou černé schody, do 2. patra bílé schody, do 3. patra opět černé a tak dále. Černé schody jsou tedy vždy v lichých patrech (1., 3., 5., 7., ...), zatímco bílé jsou v sudých patrech (2., 4., 6., 8., ...).

Určení počtu černých pater

Pyramida má celkem 8 pater. Rozepíšeme si barvy schodů pro jednotlivá patra:

Černá patra: 1., 3., 5. a 7. patro (celkem 4 patra)
Bílá patra: 2., 4., 6. a 8. patro (celkem 4 patra)

Zjistili jsme, že v této pyramidě jsou černé schody přesně ve 4 patrech.

Výpočet počtu schodů

Do každého patra vede stejný počet schodů. Pokud je v pyramidě celkem 48 černých schodů a ty jsou rozděleny do 4 pater, vypočítáme počet schodů v jednom patře dělením: $48 : 4 = 12$ Do každého patra tedy vede 12 schodů.

Závěr

Do prvního patra vede 12 schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.2

Pyramida se 7 patry má celkem 84 bílých schodů.

Jaký je celkový počet schodů v pyramidě?

Zobrazit odpověď

196

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pater s bílými schody

Ze zadání víme, že barvy schodů se pravidelně střídají: do 1. patra vedou černé, do 2. bílé, do 3. opět černé atd. V pyramidě se 7 patry jsou tedy bílé schody ve 2., 4. a 6. patře. Celkem jsou v pyramidě 3 patra s bílými schody.

Výpočet počtu schodů na jedno patro

Víme, že v těchto 3 patrech je dohromady 84 bílých schodů. Protože do každého patra vede stejný počet schodů, vypočítáme počet schodů připadající na jedno patro dělením:
84 : 3 = 28

Celkový počet schodů

Pyramida má celkem 7 pater a do každého z nich (bez ohledu na barvu) vede 28 schodů. Celkový počet schodů v celé pyramidě tedy vypočítáme vynásobením:
7 · 28 = 196

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.3

Pyramida postavená z kostek stavebnice může mít libovolný počet pater. Každé patro pyramidy má stejnou výšku. Do prvního, druhého a každého dalšího patra vede vždy stejný počet schodů. Zdola do prvního patra vedou vždy černé schody, do druhého patra bílé schody a takto se rovněž ve vyšších patrech obě tyto barvy schodů pravidelně střídají. Např.: na obr. 1 má pyramida 6 černých schodů a 4 bílé schody, na obr. 2 má pyramida 6 černých schodů a 3 bílé schody. Další pyramidy vytváříme v souladu s výchozím textem.

V pyramidě s 90 schody má 27. schod stejnou barvu jako 30. schod, ale jinou barvu než 33. schod.

Jaký je největší možný počet pater v této pyramidě?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidla střídání barev

V pyramidě se barvy schodů střídají pravidelně po celých patrech. První patro je černé, druhé bílé, třetí opět černé a tak dále. Z toho vyplývá jednoduché pravidlo: všechna lichá patra (1., 3., 5., ...) mají černé schody a všechna sudá patra (2., 4., 6., ...) mají bílé schody.

Podmínky pro barvy schodů

Víme, že v naší pyramidě s 90 schody:
1) 27. a 30. schod mají stejnou barvu (musí tedy ležet v patrech se stejnou paritou, nejspíše ve stejném patře).
2) 33. schod má jinou barvu než 27. schod (musí tedy ležet v patře s opačnou paritou).

Hledáme největší možný počet pater, což znamená, že v každém patře musí být co nejmenší počet schodů. Počet schodů v jednom patře (označme ho S) musí být dělitelem celkového počtu 90 schodů.

Hledání nejmenšího počtu schodů na patro

Budeme testovat dělitele čísla 90 od nejmenšího:
• Pro S = 1, 2 nebo 3 by 27. a 30. schod vyšly do pater s různou paritou (např. pro S=3 je 27. schod v 9. patře a 30. schod v 10. patře), což neodpovídá zadání.
• Zkusíme S = 5:
  – 27. schod: $27 : 5 = 5$ (zbytek 2) $\to$ leží v 6. patře (sudé, bílá barva).
  – 30. schod: $30 : 5 = 6$ (zbytek 0) $\to$ leží v 6. patře (sudé, bílá barva).
  – 33. schod: $33 : 5 = 6$ (zbytek 3) $\to$ leží v 7. patře (liché, černá barva).
Podmínka je splněna – 27. a 30. schod jsou bílé a 33. schod je černý.

Výpočet celkového počtu pater

Zjistili jsme, že nejmenší možný počet schodů v jednom patře je 5. Celkový počet pater v pyramidě s 90 schody vypočítáme jako:
$90 : 5 = 18$

Největší možný počet pater v této pyramidě je 18.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body