Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2024

28 úloh

Úloha 1.1

Vypočítejte:

$\displaystyle \left( 12 \cdot 12 \right) \div 6+12 \cdot 6=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme násobení v závorce:
$12 \cdot 12 = 144$

Dělení výsledku

Výsledek ze závorky nyní vydělíme šesti:
$144 \div 6 = 24$

Druhé násobení

Poté vypočítáme druhou část příkladu:
$12 \cdot 6 = 72$

Celkový součet

Nakonec oba získané výsledky sečteme:
$24 + 72 = 96$

Výsledek

Výsledek příkladu je 96.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočítejte:

$\displaystyle \left( 1970+8 \cdot 23 \right) - \left( 1971-21 \div 7 \right) =$

Zobrazit odpověď

186

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Přednost má násobení:

$8 \cdot 23 = 184$
$1970 + 184 = 2154$

Druhá závorka

Poté vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Přednost má dělení:

$21 \div 7 = 3$
$1971 - 3 = 1968$

Odečtení výsledků

Nakonec odečteme výsledek druhé závorky od výsledku první závorky:

$2154 - 1968 = 186$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Najděte a napište jednu číslici, kterou lze nahradit všechny hvězdičky tak, aby výpočet byl správný.

*36*1**85812

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První hvězdička (sloupeček úplně vpravo)

Příklad budeme počítat jako klasické sčítání pod sebou. Půjdeme zprava doleva a budeme si pamatovat čísla, která se nevejdou pod čáru.

Ve sloupečku úplně vpravo sčítáme horní hvězdičku a číslo 8. Pod čarou je výsledek 2.
Když k osmičce něco přidáme, nemůže z toho být 2. Součet tedy musí být 12.
Kolik chybí do dvanácti, když už máme 8? Chybí přesně 4.
První hvězdička vpravo nahoře je tedy 4.
Z dvanáctky je pod čarou napsaná dvojka a jedničku si pamatujeme (držíme si ji na prstu) do dalšího sloupečku.

Ověření pro další sloupečky

Podle zadání lze všechny hvězdičky nahradit stejnou číslicí. Zkusíme tedy za ostatní hvězdičky doplnit číslici 4 a ověříme, zda nám sčítání bude vycházet.

Sloupeček zprava (desítky): Sčítáme číslo 6, pod ním hvězdičku (tedy 4) a nesmíme zapomenout na jedničku, kterou si pamatujeme z minulého kroku. $6 + 4 + 1 = 11$. Pod čarou je napsaná jednička, což sedí. Další jedničku z jedenáctky si pamatujeme dál.
Sloupeček zprava (stovky): Sčítáme číslo 3, pod ním hvězdičku (4) a znovu přidáme jedničku, co si pamatujeme. $3 + 4 + 1 = 8$. Pod čarou je 8, to opět přesně sedí. Dále už si nic nepamatujeme.
Sloupeček úplně vlevo (tisíce): Sčítáme horní hvězdičku (4) a pod ní číslo 1. Z minula si nic nepřidáváme. $4 + 1 = 5$. Pod čarou je 5, což také sedí.

Závěr

Celý výpočet je správný. Pod všemi hvězdičkami se ukrývá stejná číslice, a to číslice 4.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3

V součtovém trojúhelníku platí, že součet dvou čísel, která jsou v rámečcích v řádku vedle sebe, je vždy zapsán o řádek níže do rámečku, který s těmito oběma čísly sousedí.
Například:

Do obou šedých polích patří stejné číslo.

Jaké číslo musí být v obou šedých polích?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip součtového trojúhelníku

V součtovém trojúhelníku je každé číslo součtem dvou čísel, která leží v řádku přímo nad ním. Z ukázkového příkladu vlevo vidíme, jak to funguje: $5 + 4 = 9$, $4 + 3 = 7$ a ve spodním řádku pak $9 + 7 = 16$. Náš úkol má čtyři řádky, budeme tedy postupovat obdobně odshora dolů.

Doplnění druhého řádku

V horním řádku máme čísla 45, šedé pole, šedé pole a 15. Protože v obou šedých polích je stejné číslo, můžeme si ho označit jako prázdné políčko $\square$.
Druhý řádek (shora) bude obsahovat tyto tři součty:

Levé pole: $45 + \square$
Prostřední pole: $\square + \square$ (neboli $2 \times \square$)
Pravé pole: $\square + 15$

Doplnění třetího řádku

Ve třetím řádku sečteme sousední pole z druhého řádku:

Levé pole: $(45 + \square) + (2 \times \square) = 45 + 3 \times \square$
Pravé pole: $(2 \times \square) + (\square + 15) = 3 \times \square + 15$

Výpočet neznámého čísla

Ve čtvrtém řádku (na úplném spodku trojúhelníku) je číslo 180. To vzniklo součtem dvou políček ze třetího řádku:

$(45 + 3 \times \square) + (3 \times \square + 15) = 180$
$60 + 6 \times \square = 180$

Nyní už jen dopočítáme hodnotu šedého políčka:

$6 \times \square = 180 - 60$
$6 \times \square = 120$
$\square = 120 : 6 = 20$

Závěr a kontrola

V obou šedých polích musí být číslo 20. Pro kontrolu můžeme trojúhelník doplnit: v první řadě bude 45, 20, 20, 15; ve druhé 65, 40, 35; ve třetí 105, 75 a v poslední řadě skutečně vyjde $105 + 75 = 180$.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 4.1

Jsou dána dvě čísla. Druhé číslo je polovinou čísla prvního. Součet těchto dvou čísel je 150.

Určete první i druhé číslo.

Zobrazit odpověď

100, 50

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na dílky

Druhé číslo je polovinou prvního, což znamená, že první číslo musí být dvakrát větší než druhé. První číslo si tedy můžeme představit jako dva stejné dílky a druhé číslo jako jeden takový dílek.

Celkový počet dílků

Dohromady obě čísla tvoří 3 stejné dílky ($2 + 1 = 3$).

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Víme, že součet obou čísel je 150. Abychom zjistili hodnotu jednoho dílku, musíme 150 rozdělit na tři stejné části:
$150 \div 3 = 50$

Určení obou čísel

Jeden dílek má hodnotu 50, což je naše druhé číslo. První číslo tvoří dva dílky, tedy $2 \cdot 50 = 100$. První číslo je 100.

Výsledek

První číslo je 100 a druhé číslo je 50.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Olga si z ušetřených peněz koupila knížku za 170 Kč a čokoládu za 26 Kč. Maminka jí pak přidala 100 Kč na dárek pro babičku, který stál 180 Kč. Poté, co Olga koupila babičce tento dárek, zbylo Olze 130 Kč.

Kolik měla Olga ušetřeno před nákupem knížky a čokolády?

Zobrazit odpověď

406

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Peníze před posledním dárkem

Olze na konci zbylo 130 Kč. Víme, že těsně předtím koupila babičce dárek za 180 Kč. Kdyby ho nekoupila, měla by o těchto 180 Kč více:
130 + 180 = 310 Kč

Peníze před příspěvkem od maminky

Těchto 310 Kč měla Olga v peněžence poté, co jí maminka dala 100 Kč. Než tuto stovku dostala, měla tedy:
310 – 100 = 210 Kč

Původní úspory před nákupem pro sebe

Částku 210 Kč měla Olga poté, co si koupila knížku za 170 Kč a čokoládu za 26 Kč. Abychom zjistili, kolik měla úplně na začátku, musíme tyto útraty přičíst zpět:
210 + 170 + 26 = 406 Kč

Závěr

Před nákupem knížky a čokolády měla Olga ušetřeno 406 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.3

Na pastvině je dohromady 195 zvířat – ovečky, kůzlátka a telátka. Oveček je o polovinu více než kůzlátek a zároveň je jich dvakrát více než telátek.

Kolik je na poli oveček?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztah mezi ovečkami a telátky

Ze zadání víme, že oveček je dvakrát více než telátek. To znamená, že telátka tvoří 1 díl a ovečky 2 díly.

Vztah mezi ovečkami a kůzlátky

Oveček je o polovinu více než kůzlátek. To si můžeme představit tak, že počet kůzlátek rozdělíme na dvě poloviny a k nim přidáme ještě jednu stejnou polovinu, abychom dostali ovečky. Tedy ovečky tvoří 3 takové poloviny a kůzlátka 2 tyto poloviny.

Sjednocení dílků

Abychom mohli spočítat všechna zvířata dohromady, musíme mít pro všechny stejné dílky. Ovečky jsou 2 díly vůči telátkům a zároveň 3 poloviny vůči kůzlátkům. Nejmenší společný násobek čísel 2 a 3 je 6.
Budeme tedy počítat v dílcích, kterých mají ovečky přesně 6:

Ovečky: 6 dílků
Telátka: 3 dílky (polovina z 6)
Kůzlátka: 4 dílky (protože 6 je o polovinu více než 4)

Celkový počet dílků

Všechna zvířata dohromady tvoří 13 dílků (6 + 3 + 4 = 13). Celkem je na pastvině 195 zvířat. Jeden dílek tedy odpovídá: 195 : 13 = 15 zvířatům.

Výpočet počtu oveček

Ovečky tvoří 6 dílků, jeden dílek je 15 zvířat: 6 * 15 = 90. Na pastvině je 90 oveček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

1 hodina $\displaystyle -$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ sekund $\displaystyle =$ 30 minut

Zobrazit odpověď

1800

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení na minuty

Nejdříve si vyjádříme čas v jednotkách, které se nám budou lépe odčítat. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Rovnost si tedy můžeme zapsat takto:
60 minut $-$ $\boxed{\phantom{10}}$ sekund $=$ 30 minut

Rozdíl v minutách

Nyní zjistíme, kolik minut musíme od 60 minut odečíst, aby nám zbylo 30 minut:
$60 - 30 = 30$
To znamená, že hledané číslo v sekundách musí odpovídat 30 minutám.

Převod na sekundy

Protože jedna minuta má 60 sekund, vypočítáme počet sekund ve 30 minutách vynásobením:
$30 \cdot 60 = 1800$

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 1800.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle \frac{1}{4}$ kilogramu $\displaystyle +$ 1 250 gramů $\displaystyle -$ 100 gramů $\displaystyle =$ 1 kilogram $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ gramů

Zobrazit odpověď

400

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na gramy

Abychom mohli s čísly snadno pracovat, převedeme si vše na gramy. Víme, že 1 kilogram má 1 000 gramů. Čtvrtina kilogramu ($\\frac{1}{4}$ kg) je tedy:
1 000 : 4 = 250 gramů

Výpočet levé strany

Nyní vypočítáme levou stranu rovnice:
250 g + 1 250 g − 100 g =
1 500 g − 100 g = 1 400 gramů

Doplnění do rámečku

Na pravé straně máme 1 kilogram (1 000 g) a hledané číslo v gramech. Hledáme tedy číslo, které po přičtení k 1 000 dá výsledek 1 400:
1 400 − 1 000 = 400

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 400.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na číselné ose je vyznačeno 10 shodných úseků, čísla 24 a 64 a neznámá čísla A a B.

Určete neznámá čísla A a B.

Zobrazit odpověď

A = 32; B = 48

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Číslo 24 je na 4. rysce zleva, A je na 5. rysce, B je na 7. rysce a číslo 64 je na 9. rysce.

Velikost jednoho dílku

Od čísla 24 k číslu 64 je 5 dílků. Rozdíl hodnot je: $64 - 24 = 40$ Jeden dílek má tedy hodnotu: $40 \div 5 = 8$

Výpočet čísla A

Číslo A leží 1 dílek vpravo od čísla 24. Přičteme tedy jeden dílek: $24 + 8 = 32$

Výpočet čísla B

Číslo B leží 3 dílky vpravo od čísla 24. Přičteme tedy tři dílky: $24 + 3 \cdot 8 = 24 + 24 = 48$

Závěr

Neznámá čísla jsou A = 32 a B = 48.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Na číselné ose je vyznačeno 10 shodných úseků, čísla 24 a 64 a neznámá čísla A a B.

Určete součin čísel A a B.

Zobrazit odpověď

1536

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Číslo 24 je na 4. rysce zleva, A je na 5. rysce, B je na 7. rysce a číslo 64 je na 9. rysce.

Velikost jednoho dílku

Od čísla 24 k číslu 64 je 5 dílků. Rozdíl hodnot je: $64 - 24 = 40$ Jeden dílek má tedy hodnotu: $40 \div 5 = 8$

Určení čísel A a B

Číslo A je 1 dílek vpravo od čísla 24: $24 + 8 = 32$ Číslo B je 3 dílky vpravo od čísla 24: $24 + 3 \cdot 8 = 48$

Výpočet součinu

Vypočítáme součin čísel A a B: $32 \cdot 48 = 1536$

Závěr

Součin čísel A a B je 1536.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží přímka p a bod K, který neleží na této přímce.

Narýsujte jeden čtverec KLMN tak, aby body L a M ležely na přímce p.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží přímka p a bod K, který neleží na této přímce.

Do stejného obrázku narýsujte rovnoramenný trojúhelník KZM tak, aby platilo, že ramena trojúhelníku tvoří úsečky KM a KZ a zároveň bod Z leží na přímce p.

Při hledání bodu Z použijte kružítko.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

Ve čtvercové síti je nakreslen obrazec, který se skládá z částí označenými písmeny A, B, C, D a E a jehož vrcholy leží v mřížových bodech. Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod části E je 18 cm.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozměry obdélníku E

Z popisu útvaru ve čtvercové síti víme, že část E je svislý obdélník. Jeho šířka je 1 políčko a výška je 8 políček. Protože strana každého čtverečku měří 1 cm, rozměry obdélníku E jsou 1 cm a 8 cm.

Výpočet obvodu

Obvod obdélníku vypočítáme jako součet délek všech jeho čtyř stran:
Obvod = $1 + 8 + 1 + 8 = 18$ cm.
Můžeme také použít vzorec pro obvod obdélníku: $o = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (1 + 8) = 2 \cdot 9 = 18$ cm.

Závěr

Vypočítaný obvod části E je 18 cm. Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.2

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah části A je právě čtyřikrát větší než obsah části B.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení obsahu obrazce A

Obrazec A je čtyřúhelník s vrcholy v mřížových bodech $[0,0]$, $[4,4]$, $[4,7]$ a $[0,7]$. Tento útvar si můžeme pro snazší výpočet rozdělit na dvě části:

Obdélník s vrcholy $[0,4]$, $[4,4]$, $[4,7]$ a $[0,7]$. Jeho šířka jsou 4 čtverečky a výška jsou 3 čtverečky ($7 - 4 = 3$). Obsah tohoto obdélníku je $4 \times 3 = 12\text{ cm}^2$.
Pravoúhlý trojúhelník s vrcholy $[0,0]$, $[4,4]$ a $[0,4]$. Jeho základna i výška měří 4 čtverečky. Obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu obsahu čtverce: $(4 \times 4) : 2 = 8\text{ cm}^2$.

Celkový obsah obrazce A je součtem obou částí: $12 + 8 = 20\text{ cm}^2$.

Určení obsahu obrazce B

Obrazec B je pravoúhlý trojúhelník s vrcholy $[1,7]$, $[4,7]$ a $[1,10]$. Jeho odvěsny (strany svírající pravý úhel) mají délku 3 čtverečky ($4 - 1 = 3$ a $10 - 7 = 3$). Obsah trojúhelníku vypočítáme jako součin délek odvěsen dělený dvěma: $(3 \times 3) : 2 = 4{,}5\text{ cm}^2$.

Porovnání obsahů

V tvrzení se uvádí, že obsah části A je právě čtyřikrát větší než obsah části B. Vypočítáme si tedy, kolik by byl čtyřnásobek obsahu části B: $4 \times 4{,}5 = 18\text{ cm}^2$. Obsah části A je ale $20\text{ cm}^2$, což je více než $18\text{ cm}^2$.

Závěr

Protože $20 \neq 18$, tvrzení není pravdivé.

Správná odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.3

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah celého obrazce je větší než 60 cm².

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah těla (část E)

Tělo obrazce (část E) je svislý obdélník o šířce 1 cm (1 políčko) a výšce 8 cm (8 políček).
Obsah vypočítáme vynásobením délky stran:
Obsah E = $1 \cdot 8 = 8$ cm²

Obsah horních křídel (části A a C)

Horní křídla jsou symetrická. Část A se skládá ze dvou částí:

Dolní čtverec o straně 4 cm má obsah 16 cm² (od 4. do 8. řádku sítě).
Horní trojúhelník je polovinou čtverce 4 × 4 cm, jeho obsah je tedy $(4 \cdot 4) : 2 = 8$ cm².

Celkový obsah části A je $16 + 8 = 24$ cm².
Část C je souměrná s částí A, má tedy také obsah 24 cm².
Obsah A + C = $24 + 24 = 48$ cm²

Obsah dolních křídel (části B a D)

Dolní křídla jsou rovněž symetrická. Část B se také skládá ze dvou částí:

Horní obdélník o rozměrech 3 × 1 cm má obsah 3 cm² (v 9. řádku sítě).
Dolní trojúhelník je polovinou čtverce 3 × 3 cm, jeho obsah je tedy $(3 \cdot 3) : 2 = 4,5$ cm².

Celkový obsah části B je $3 + 4,5 = 7,5$ cm².
Část D je souměrná s částí B, má tedy také obsah 7,5 cm².
Obsah B + D = $7,5 + 7,5 = 15$ cm²

Celkový obsah a závěr

Sečteme obsahy všech pěti částí obrazce:
S = $8 + 48 + 15 = 71$ cm².

Vypočítaný obsah obrazce je 71 cm². Protože je 71 cm² více než 60 cm², tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9

Kilogram broskví stojí 32 Kč a kilogram jablek 28 Kč. Petra koupila stejný počet kilogramů jablek jako broskví a utratila 720 Kč.

Kolik kilogramů broskví Petra koupila?

A) 6
D) 12
B) 8
E) jiný počet
C) 10

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena za kilogram obojího

Nejdříve si spočítáme, kolik stojí jeden kilogram broskví a jeden kilogram jablek dohromady:
32 Kč + 28 Kč = 60 Kč.

Výpočet počtu kilogramů

Víme, že Petra koupila od obou druhů stejné množství a celkem zaplatila 720 Kč. Celkovou částku tedy vydělíme společnou cenou za jeden kilogram broskví a jeden kilogram jablek:
720 : 60 = 12.

Závěr

Petra koupila 12 kg broskví. (Koupila také 12 kg jablek, protože 12 · 32 + 12 · 28 = 384 + 336 = 720).
Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Zuzana měla pytlík s bonbóny, kterých bylo méně než 60. Bonbóny se rozhodla rozdělit rovným dílem mezi své kamarády. Beze zbytku je mohla rozdělit mezi 2, 3 nebo 4 kamarády. Pokud by však měla kamarádů 7 a chtěla bonbóny rozdělit mezi ně, zbyly by jí právě 3 bonbóny.

Kolik bonbónů měla Zuzana v pytlíku?

A) 24
D) 48
B) 36
E) 56
C) 42

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společný násobek

Zuzana může bonbóny rozdělit rovným dílem mezi 2, 3 nebo 4 kamarády. To znamená, že celkový počet bonbónů musí být násobkem čísel 2, 3 i 4. Protože každé číslo dělitelné 4 je zároveň dělitelné i 2, stačí nám hledat násobky čísel 3 a 4.

Možné počty bonbónů

Hledáme společné násobky čísel 3 a 4, které jsou menší než 60. Společným násobkem je číslo 12 a jeho další násobky:

$12$
$24$
$36$
$48$

Zbytek po dělení 7

Víme, že při rozdělení mezi 7 kamarádů musí zbýt přesně 3 bonbóny. Prověříme naše kandidáty:

$12 \div 7 = 1$ (zbytek 5) — nevyhovuje
$24 \div 7 = 3$ (zbytek 3) — VYHOVUJE
$36 \div 7 = 5$ (zbytek 1) — nevyhovuje
$48 \div 7 = 6$ (zbytek 6) — nevyhovuje

Závěr

Všechny podmínky zadání splňuje pouze číslo 24. Zuzana měla v pytlíku 24 bonbónů, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Do čtvercové sítě je zakreslen šedý čtyřúhelník, jehož vrcholy leží v mřížových bodech. Na otázku, jakou část z plochy čtvercové sítě zabírá plocha šedého čtyřúhelníku, odpověděla Alena, že je to více než polovina. Blanka odpověděla, že čtyřúhelník zabírá jednu polovinu čtvercové sítě. Cecílie odpověděla, že jde o tři šestiny čtvercové sítě a Darina uvedla jako odpověď tři pětiny čtvercové sítě.

Kdo odpověděl správně?

A) Alena a Darina
D) jenom Darina
B) Blanka a Cecílie
E) ani jedna z dívek
C) jenom Alena

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Čtvercová síť má rozměry 3 × 3 pole, její celkový obsah je tedy 9 čtverečků. Šedý čtyřúhelník má vrcholy v mřížových bodech. Pro určení jeho obsahu je nejjednodušší od celkového obsahu sítě odečíst obsahy bílých (nevybarvených) trojúhelníků v rozích.

Výpočet obsahu bílých částí

V rozích sítě vidíme tři bílé trojúhelníky:

Vlevo: Trojúhelník se základnou 3 a výškou 1. Obsah = $(3 × 1) : 2 = 1{,}5$ čtverečku.
Vpravo dole: Trojúhelník se základnou 2 a výškou 2. Obsah = $(2 × 2) : 2 = 2$ čtverečky.
Vpravo nahoře: Trojúhelník se základnou 2 a výškou 1. Obsah = $(2 × 1) : 2 = 1$ čtvereček.

Celkový obsah bílých částí je $1{,}5 + 2 + 1 = 4{,}5$ čtverečku.

Obsah šedého čtyřúhelníku

Obsah šedého čtyřúhelníku vypočítáme jako rozdíl: $9 - 4{,}5 = 4{,}5$ čtverečku. Protože $4{,}5$ je přesně polovina z 9, šedý čtyřúhelník zabírá jednu polovinu plochy čtvercové sítě.

Posouzení odpovědí

Nyní porovnáme vypočtenou polovinu s odpověďmi dívek:

Alena: Více než polovina (ne).
Blanka: Jedna polovina (ano).
Cecílie: Tři šestiny ($rac{3}{6} = rac{1}{2}$, tedy polovina – ano).
Darina: Tři pětiny ($rac{3}{5} = 0,6$, což je více než polovina – ne).

Závěr

Správně odpověděly Blanka a Cecílie. To odpovídá možnosti B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12.1

Tři sourozenci Sára, Dana a Lukáš postupně šetřili každý do své pokladničky peníze, které dostávali. Zároveň si ze své pokladničky brali peníze na drobnosti pro sebe či dárky pro ostatní. Graf znázorňuje částky, které si jednotliví sourozenci našetřili, nebo které utratili každý měsíc v první polovině roku.

Kolik peněz měl v pokladničce Lukáš na konci června, když víme, že 1. ledna měl v pokladničce 600 Kč?

A) 200 Kč
D) 1000 Kč
B) 400 Kč
E) Výsledek nelze určit.
C) 750 Kč

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnoty pro Lukáše

Z grafu přečteme Lukášovy měsíční změny: v lednu našetřil 200 Kč, v únoru 200 Kč, v březnu 250 Kč, v dubnu utratil 100 Kč, v květnu utratil 200 Kč a v červnu našetřil 50 Kč.

Celková změna

Sečteme našetřené peníze a odečteme utracené: $200 + 200 + 250 - 100 - 200 + 50 = 400$ Za první polovinu roku měl Lukáš o 400 Kč více.

Stav na konci června

Na začátku měl Lukáš 600 Kč. Přičteme celkovou změnu: $600 + 400 = 1000$

Závěr

Na konci června měl Lukáš v pokladničce 1000 Kč. Tato hodnota odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.2

O kolik se změnila částka, kterou měla v pokladničce Sára, za první polovinu roku?

A) 400 Kč
D) 1250 Kč
B) 650 Kč
E) 1800 Kč
C) 750 Kč

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnoty pro Sáru

Z grafu přečteme Sářiny měsíční změny: v lednu našetřila 350 Kč, v únoru 250 Kč, v březnu utratila 150 Kč, v dubnu utratila 100 Kč, v květnu našetřila 50 Kč a v červnu 250 Kč.

Celková změna

Sečteme našetřené peníze a odečteme utracené: $350 + 250 - 150 - 100 + 50 + 250 = 650$ Za první polovinu roku měla Sára o 650 Kč více.

Závěr

Částka v Sářině pokladničce se změnila o 650 Kč. Tato hodnota odpovídá možnosti B.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 12.3

Kolik peněz dohromady měli všichni sourozenci na konci června, když víme, že Sára měla v pokladničce 1. ledna 1 050 Kč, Dana 750 Kč a Lukáš 600 Kč?

A) Výsledek nelze určit.
D) 2400 Kč
B) 1250 Kč
E) 4200 Kč
C) 1800 Kč

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počáteční částka

Na začátku ledna měli sourozenci dohromady: $1050 + 750 + 600 = 2400$ Kč.

Změna u Sáry

Sára za první polovinu roku změnila stav pokladničky o: $350 + 250 - 150 - 100 + 50 + 250 = 650$ Kč.

Změna u Dany a Lukáše

Dana měla změnu: $250 - 150 - 50 + 250 + 350 + 100 = 750$ Kč. Lukáš měl změnu: $200 + 200 + 250 - 100 - 200 + 50 = 400$ Kč.

Celkový stav na konci června

K počáteční částce přičteme všechny změny: $2400 + 650 + 750 + 400 = 4200$

Závěr

Na konci června měli sourozenci dohromady 4200 Kč. Tato hodnota odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.1

Katka jezdí každé ráno do školy a odpoledne ze školy na kole. Cesta do školy je do kopce, takže Katce trvá dvakrát déle než cesta ze školy. Obě cesty dohromady trvají Katce každý den 33 minut.

V kolik hodin ráno nejpozději musí Katka vyjíždět do školy, aby byla ve škole právě 10 minut před začátkem vyučování, které začíná v 8:00?

A) 7:24
D) 7:30
B) 7:26
E) 7:32
C) 7:28
F) 7:34

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doba jízdy do školy

Víme, že cesta do školy trvá dvakrát déle než cesta zpět a obě cesty dohromady zaberou 33 minut. Můžeme si to představit jako rozdělení na stejné dílky: cesta zpět je 1 dílek a cesta do školy jsou 2 dílky. Celkem je to tedy $1 + 2 = 3$ stejné dílky. Jeden dílek vypočítáme tak, že celkový čas vydělíme počtem dílků: $33 : 3 = 11$ minut. Cesta do školy (2 dílky) trvá: $2 \cdot 11 = 22$ minut.

Kdy musí být Katka ve škole

Vyučování začíná v 8:00. Katka chce být ve škole 10 minut před začátkem. Od 8:00 odečteme 10 minut: $8:00 - 10\text{ minut} = 7:50$.

Čas odjezdu z domova

Katka musí do školy dorazit v 7:50 a cesta jí trvá 22 minut. Abychom zjistili, kdy musí vyjet, odečteme dobu cesty od času příchodu. $7:50 - 22\text{ minut} = 7:28$.

Závěr

Katka musí z domova vyjíždět nejpozději v 7:28.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.2

V kolik hodin ráno musí Katka nejpozději vycházet pěšky do školy, pokud má její třída sraz před školou v 8:10 a cesta do školy pěšky jí trvá dvakrát déle než na kole?

A) 7:24
D) 7:30
B) 7:26
E) 7:32
C) 7:28
F) 7:34

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas cesty do školy na kole

Cesta do školy na kole trvá Katce dvakrát déle než cesta ze školy. Pokud si cestu ze školy představíme jako 1 dílek, cesta do školy jsou 2 dílky. Dohromady obě cesty (tam i zpět) trvají 33 minut, což odpovídá 3 dílkům (1 + 2 = 3).
Jeden dílek (cesta ze školy) tedy trvá: $33 \div 3 = 11$ minut.
Cesta do školy na kole (2 dílky) trvá: $2 \cdot 11 = 22$ minut.

Čas cesty do školy pěšky

Víme, že cesta do školy pěšky trvá dvakrát déle než cesta do školy na kole.
Cesta pěšky: $2 \cdot 22 = 44$ minut.

Výpočet času odchodu

Katka má být u školy v 8:10. Od tohoto času odečteme 44 minut, které jí zabere cesta pěšky:
8:10 minus 10 minut je 8:00.
Zbývá odečíst ještě 34 minut (44 - 10 = 34).
8:00 minus 34 minut je 7:26.

Závěr

Katka musí z domova vyjít nejpozději v 7:26.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.3

Pokud venku prší, jede Katka do školy autobusem. Autobusem Katce trvá cesta do školy stejně dlouho, jako jí trvá cesta ze školy na kole.

V kolik hodin jí autobus vyjíždí od domu, pokud ke škole autobus přijíždí v 7:43?

A) 7:24
D) 7:30
B) 7:26
E) 7:32
C) 7:28
F) 7:34

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas cesty na kole

Cesta do školy trvá dvakrát déle než cesta ze školy a obě dohromady trvají 33 minut. Můžeme si to představit pomocí dílků: cesta ze školy je 1 dílek a cesta do školy jsou 2 dílky. Celkem jsou to tedy 3 stejné dílky. Jeden dílek vypočítáme tak, že celkový čas vydělíme třemi: $33 \div 3 = 11$ minut. Cesta ze školy na kole tedy trvá 11 minut.

Cesta autobusem

V zadání se píše, že cesta autobusem do školy trvá stejně dlouho jako cesta ze školy na kole. Protože cesta ze školy na kole trvá 11 minut, i cesta autobusem do školy trvá 11 minut.

Odjezd autobusu

Víme, že autobus přijíždí ke škole v 7:43. Abychom zjistili, kdy vyjíždí, musíme od času příjezdu odečíst dobu jízdy (11 minut). $7:43 - 11\text{ minut} = 7:32$ Autobus vyjíždí od domu v 7:32.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.1

Tereza a Pepa šli hrát kuličky. Tereza si přinesla jen červené kuličky, měla jich 40. Pepa si přinesl jen modré kuličky. První hru vyhrál Pepa a od Terezy vyhrál jednu čtvrtinu jejích červených kuliček. Druhou hru vyhrála Tereza a získala tak od Pepy 16 modrých kuliček. Po těchto dvou hrách měli Pepa i Tereza stejný počet kuliček.

Kolik modrých kuliček měla Tereza po těchto dvou hrách?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První hra

Tereza měla na začátku 40 červených kuliček. V první hře o jednu čtvrtinu z nich přišla, protože je vyhrál Pepa. Jednu čtvrtinu vypočítáme tak, že celkový počet vydělíme čtyřmi: $40 \div 4 = 10$. Tereze po první hře zbylo 30 červených kuliček ($40 - 10 = 30$).

Druhá hra

Ve druhé hře vyhrála Tereza nad Pepou 16 modrých kuliček. Protože si Tereza přinesla jen červené kuličky a v první hře žádné modré nezískala, po této hře má právě 16 modrých kuliček.

Závěr

Otázka se ptá na počet modrých kuliček, které měla Tereza po dvou hrách. Tereza má 16 modrých kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.2

Kolik kuliček měli Tereza a Pepa dohromady?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První hra

Tereza měla na začátku 40 kuliček. Pepa od ní vyhrál jednu čtvrtinu. Jednu čtvrtinu vypočítáme tak, že základ vydělíme čtyřmi: $40 \div 4 = 10$. Tereze tedy po první hře zbylo $40 - 10 = 30$ kuliček.

Druhá hra

V druhé hře vyhrála Tereza od Pepy 16 kuliček. K jejím 30 kuličkám tedy přičteme těchto 16 kuliček: $30 + 16 = 46$. Na konci her měla Tereza 46 kuliček.

Počet kuliček u Pepy

V zadání se píše, že po dvou hrách měli oba stejný počet kuliček. To znamená, že i Pepa měl na konci 46 kuliček.

Celkový počet

Dohromady mají oba tolik, kolik jim zbylo na konci: $46 + 46 = 92$. Protože se kuličky během her jen přesouvaly od jednoho k druhému a žádné neubyly ani nepřibyly, měli 92 kuliček dohromady i na začátku.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.3

Kolik modrých kuliček si na začátku přinesl Pepa?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tereza po první hře

Tereza si přinesla 40 kuliček. Pepa od ní v první hře vyhrál jednu čtvrtinu, což vypočítáme jako $40 \div 4 = 10$ kuliček. Tereze tedy po první hře zbylo:
$40 - 10 = 30$ kuliček.

Tereza po druhé hře

Ve druhé hře Tereza získala od Pepy 16 kuliček. Její konečný počet kuliček byl:
$30 + 16 = 46$ kuliček.

Pepův konečný počet

V zadání se píše, že po dvou hrách měli Pepa i Tereza stejný počet kuliček. Pepa měl tedy na konci také 46 kuliček.

Pepa na začátku

Nyní budeme postupovat od konce, abychom zjistili, kolik měl Pepa na začátku:

Před druhou hrou (než mu Tereza vzala 16 kuliček) měl: $46 + 16 = 62$ kuliček.
Před první hrou (než od Terezy vyhrál 10 kuliček) měl: $62 - 10 = 52$ kuliček.

Závěr

Pepa si na začátku přinesl 52 modrých kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body