Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2023

29 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 28 - 3 \cdot 2 + 18 \div 2=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení a dělení

V příkladu mají násobení a dělení přednost před sčítáním a odčítáním. Nejdříve si tedy vypočítáme obě tyto operace:
$3 \cdot 2 = 6$
$18 \div 2 = 9$

Postupné výpočty

Teď už nám v příkladu zbylo jen odčítání a sčítání: $28 - 6 + 9$. Budeme počítat postupně zleva doprava. Nejdříve odečteme:
$28 - 6 = 22$

Celkový výsledek

Nakonec k číslu $22$ přičteme zbývajících $9$:
$22 + 9 = 31$
Výsledek celého příkladu je tedy 31.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 8 \cdot 125 + 25 \right) \cdot \left( 440 \div 20 - 5 \cdot 4 \right) =$

Zobrazit odpověď

2050

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce: $8 \cdot 125 = 1000$ $1000 + 25 = 1025$

Druhá závorka

Poté vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Nezapomeneme, že násobení a dělení mají přednost před odčítáním: $440 \div 20 = 22$ $5 \cdot 4 = 20$ $22 - 20 = 2$

Celkový výsledek

Nakonec výsledky z obou závorek vynásobíme: $1025 \cdot 2 = 2050$

Výsledkem celého příkladu je číslo 2050.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Vypočtěte v centimetrech:

2 m 72 cm $\displaystyle -$ 520 mm $\displaystyle +$ 100 cm $\displaystyle =$

Zobrazit odpověď

320 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Abychom mohli s hodnotami snadno počítat, převedeme si je všechny na centimetry:

2 m 72 cm = 272 cm (protože 1 m = 100 cm)
520 mm = 52 cm (protože 1 cm = 10 mm)
100 cm už v centimetrech máme

Postupný výpočet

Teď už můžeme počítat jako s obyčejnými čísly:
Nejdříve odečteme: $272 - 52 = 220$
Potom přičteme zbývající část: $220 + 100 = 320$

Výsledek

Výsledek příkladu je 320 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Hodiny, které jdou přesně, ukazují čas 21:42.

Vypočtěte, jaký čas budou ukazovat za 212 minut.

Zobrazit odpověď

1:14

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na hodiny

Nejdříve si 212 minut převedeme na hodiny a minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Protože $212 = 3 \cdot 60 + 32$, odpovídá 212 minut 3 hodinám a 32 minutám.

Přičtení hodin

K aktuálnímu času 21:42 přičteme nejprve celé 3 hodiny:
21:42 + 3 hodiny = 00:42 (druhého dne)

Přičtení minut

K času 00:42 nyní přičteme zbývajících 32 minut. Součet minut je $42 + 32 = 74$. Protože 74 minut je více než hodina ($74 = 60 + 14$), získáme 1 hodinu a 14 minut.
00:42 + 32 minut = 01:14

Výsledek

Za 212 minut budou hodiny ukazovat čas 01:14.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Přečteme-li číslo 2 073 zprava, získáme číslo 3 702. Kladné celé číslo, které čteme zleva i zprava stejně, se nazývá palindromické číslo, např. 73 937.

Určete nejmenší pěticiferné palindromické číslo, ve kterém se vyskytují tři různé číslice.

Zobrazit odpověď

10 201

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Tvar palindromu

Pěticiferné palindromické číslo se čte stejně zleva i zprava. Musí tedy vypadat takto: na prvním a posledním místě je stejná číslice, na druhém a čtvrtém místě je také stejná číslice a uprostřed je třetí číslice. Můžeme si to zapsat jako $abcba$.

Hledání nejmenšího čísla

Aby bylo číslo co nejmenší, musí být na prvním místě co nejmenší možná číslice (kromě nuly, protože číslo nemůže začínat nulou). Vybereme tedy číslici 1. Číslo teď vypadá takto: $1bcb1$.

Druhá číslice

Pro druhou pozici chceme opět co nejmenší číslici, tentokrát už můžeme použít i nulu. Vybereme tedy číslici 0. Číslo má nyní tvar $10c01$.

Tři různé číslice

V zadání je podmínka, že se v čísle musí vyskytovat tři různé číslice. Zatím máme číslice 1 a 0. Jako prostřední číslici $c$ musíme vybrat takovou, která je co nejmenší, ale není to 0 ani 1. Nejmenší taková číslice je 2.

Výsledek

Dosadíme číslici 2 na prostřední místo a získáme číslo 10 201. Toto číslo je pěticiferné, je to palindrom a má tři různé číslice (0, 1, 2).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Přečteme-li číslo 2 073 zprava, získáme číslo 3 702.
Kladné celé číslo, které čteme zleva i zprava stejně, se nazývá palindromické číslo, např. 73 937.

Určete počet všech palindromických čísel větších než 34 643 a zároveň menších než 35 253.

Zobrazit odpověď

5 palindromických čísel

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Palindromy začínající 34

Palindromické číslo, které začíná dvojčíslím 34, musí končit dvojčíslím 43, aby bylo stejné při čtení zleva i zprava. Má tedy tvar 34_43. Hledáme taková čísla, která jsou větší než 34 643. Na místě stovek tedy musí být číslice větší než 6, což jsou 7, 8 a 9. Jsou to tato čísla:

34 743
34 843
34 943

Celkem máme v tomto rozmezí 3 palindromická čísla.

Palindromy začínající 35

Palindromické číslo, které začíná dvojčíslím 35, musí končit dvojčíslím 53. Má tedy tvar 35_53. Hledáme taková čísla, která jsou menší než 35 253. Na místě stovek tedy musí být číslice menší než 2, což jsou 0 a 1. (Samotné číslo 35 253 do rozmezí nepatří, protože hledáme čísla menší). Jsou to tato čísla:

35 053
35 153

V tomto rozmezí jsou další 2 palindromická čísla.

Celkový počet

Sečteme nalezená palindromická čísla z obou částí: 3 + 2 = 5. Celkem je tedy v daném rozmezí 5 palindromických čísel.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.3

Přečteme-li číslo 2 073 zprava, získáme číslo 3 702. Kladné celé číslo, které čteme zleva i zprava stejně, se nazývá palindromické číslo, např. 73 937.

Určete nejmenší kladné číslo, jehož přičtením k palindromickému číslu 73 937 získáme opět palindromické číslo.

Zobrazit odpověď

110

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co je to palindrom

Palindromické číslo se čte stejně zepředu i zezadu. Naše číslo je 73 937. Aby číslo zůstalo palindromem i po zvětšení, musí mít první číslici stejnou jako poslední a druhou stejná jako předposlední.

Hledání dalšího palindromu

U čísla 73 937 máme uprostřed devítku. Pokud chceme získat nejbližší vyšší palindrom, musíme zvětšit číslici na místě tisíců (trojku) na čtyřku. Tím se nám změní začátek čísla na 74. Aby to byl palindrom, musí číslo i končit číslicemi 47.

Sestavení nového čísla

Nové číslo tedy začíná 74 a končí 47. Doprostřed (na místo stovek) dáme nejmenší možnou číslici, aby byl výsledek co nejmenší. Zvolíme tedy nulu. Nové palindromické číslo je 74 047.

Výpočet výsledku

Nyní zjistíme, o kolik je nové číslo větší než to původní. Provedeme odčítání:
74 047 − 73 937 = 110

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

V aquaparku je zapůjčení županu o 30 korun dražší než zapůjčení osušky. Zapůjčení 5 osušek stojí stejně jako zapůjčení 3 županů.

Vypočtěte, kolik korun stojí v aquaparku zapůjčení jednoho županu.

Zobrazit odpověď

75 korun

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v ceně

Jeden župan stojí o 30 korun více než jedna osuška. Kdybychom si tedy půjčili 3 župany místo 3 osušek, zaplatili bychom o 90 korun více ($3 \cdot 30 = 90$).

Porovnání

Víme, že 3 župany stojí stejně jako 5 osušek. To znamená, že 5 osušek stojí o 90 korun více než 3 osušky.

Cena osušky

Rozdíl mezi 5 osuškami a 3 osuškami jsou 2 osušky. Jestliže tyto 2 osušky navíc stojí 90 korun, pak jedna osuška musí stát 45 korun ($90 : 2 = 45$).

Cena županu

Župan je o 30 korun dražší než osuška. K ceně osušky (45 korun) přičteme 30 korun a získáme cenu županu: $45 + 30 = 75$ korun.

Výsledek

Zapůjčení jednoho županu stojí 75 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Na plaveckém tréninku uplavali Jirka, Míša a Pavla dohromady 60 bazénů.
Míša uplavala stejný počet bazénů jako Jirka, ale dvakrát více bazénů než Pavla.

Vypočtěte, kolik bazénů uplavala na tréninku Míša.

Zobrazit odpověď

24 bazénů

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na dílky

Ze zadání víme, že Pavla uplavala nejméně. Její počet bazénů si představíme jako 1 dílek. Míša uplavala dvakrát více než Pavla, tedy 2 dílky. Jirka uplaval stejně jako Míša, má tedy také 2 dílky.

Celkový počet dílků

Dohromady všichni tři uplavali 60 bazénů. Počet dílků sečteme: $1 + 2 + 2 = 5$. Těchto 5 stejných dílků tedy odpovídá celkovým 60 bazénům.

Výpočet jednoho dílku

Jeden dílek vypočítáme tak, že celkový počet bazénů vydělíme počtem dílků:
$60 : 5 = 12$
Jeden dílek tedy znamená 12 bazénů (to je počet, který uplavala Pavla).

Výpočet pro Míšu

Míša uplavala 2 dílky. Vynásobíme tedy hodnotu jednoho dílku dvěma:
$2 \cdot 12 = 24$
Míša uplavala 24 bazénů.

Kontrola

Pro ověření můžeme dopočítat ostatní: Jirka uplaval také 24 bazénů a Pavla 12 bazénů.
$24 + 24 + 12 = 60$. Výsledek souhlasí se zadáním.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Šest kamarádů si v mobilní aplikaci posílalo různé vzkazy. Vytvořili si mezi sebou jednak všechny možné pětičlenné skupiny, jednak všechny možné dvoučlenné skupiny.

Určete, kolik vytvořili pětičlenných skupin.

Zobrazit odpověď

6 pětičlenných skupin

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kamarádů

Víme, že v mobilní aplikaci je celkem 6 kamarádů, ze kterých se tvoří skupiny.

Tvoření pětičlenných skupin

Pětičlennou skupinu vytvoříme tak, že z 6 kamarádů vybereme 5 a jeden kamarád vždy zůstane mimo skupinu.

Počet možností

Vybrat 5 kamarádů ze 6 je stejné jako vybrat 1 kamaráda, který ve skupině nebude. Protože máme celkem 6 kamarádů, můžeme vynechat postupně každého z nich (zůstane buď 1., 2., 3., 4., 5., nebo 6. kamarád). Existuje tedy právě 6 možností.

Výsledek

Kamarádi vytvořili celkem 6 pětičlenných skupin.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Šest kamarádů si v mobilní aplikaci posílalo různé vzkazy. Vytvořili si mezi sebou jednak všechny možné pětičlenné skupiny, jednak všechny možné dvoučlenné skupiny.

Určete, kolik vytvořili dvoučlenných skupin.

Zobrazit odpověď

15 dvoučlenných skupin

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Všech 30 dvojic

Každý z 6 kamarádů si může vybrat za partnera kteréhokoli z 5 zbývajících kamarádů. To je celkem $6 \cdot 5 = 30$ možností.

Dvojice započítané dvakrát

V tomto výpočtu jsme ale každou dvojici započítali dvakrát. Například dvojice Petr–Pavel je započítána jednou, když vybírá Petr Pavla, a podruhé, když vybírá Pavel Petra. Je to ale stále ta samá skupina.

Konečný výpočet

Protože jsme každou dvojici započítali dvakrát, musíme celkový počet vydělit dvěma: $30 : 2 = 15$

Výsledek

Kamarádi vytvořili celkem 15 dvoučlenných skupin.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Obdélník se stranami délek 10 cm a 24 cm byl rozdělen úhlopříčkami na čtyři rovnoramenné trojúhelníky. Z takových čtyř trojúhelníků je sestaven každý z obrazců A, B, C, D.
Obvody obrazců A, B se liší o 4 cm.

Vypočtěte, kolik cm měří obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

68 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor rozděleného obdélníku

Obdélník má strany 10 cm a 24 cm. Nejdříve vypočítáme délku jeho úhlopříčky pomocí Pythagorovy věty: $\sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ cm. Úhlopříčky se navzájem půlí, takže každá polovina úhlopříčky měří 13 cm. Obdélník je tedy rozdělen na čtyři rovnoramenné trojúhelníky: dva menší se stranami 10 cm, 13 cm, 13 cm a dva větší se stranami 24 cm, 13 cm, 13 cm.

Určení obvodu obrazce A

Obrazec A má tvar hrotu šípu a skládá se ze dvou bílých trojúhelníků nahoře a dvou šedých dole. Aby vznikl tento souměrný tvar, musí být trojúhelníky spojeny svými rameny délky 13 cm uvnitř obrazce. Na obvodu obrazce A tak zůstávají pouze základny všech čtyř trojúhelníků. Obvod tedy tvoří dvě strany délky 10 cm a dvě strany délky 24 cm:
$O_A = 10 + 10 + 24 + 24 = \mathbf{68}$ cm.

Ověření pomocí obrazce B

Obrazec B je velký rovnoramenný trojúhelník. Podle popisu se skládá ze dvou větších šedých trojúhelníků (nahoře a uprostřed) a dvou menších bílých trojúhelníků (u základny). V tomto uspořádání tvoří ramena velkého trojúhelníku vždy jedno rameno většího a jedno rameno menšího trojúhelníku ($13 + 13 = 26$ cm). Základnu velkého trojúhelníku tvoří dvě základny menších trojúhelníků ($10 + 10 = 20$ cm). Obvod obrazce B je tedy $26 + 26 + 20 = 72$ cm. Rozdíl obvodů je $72 - 68 = 4$ cm, což přesně odpovídá zadání.

Závěr

Obvod obrazce A je 68 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, o kolik cm se liší obvody obrazců B, C.

Zobrazit odpověď

o 28 cm

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet stran trojúhelníků

Nejprve určíme rozměry trojúhelníků, ze kterých jsou obrazce složeny. Úhlopříčka obdélníku o stranách 10 cm a 24 cm má délku:
$u = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ cm.
Úhlopříčky se v obdélníku půlí, takže každé rameno trojúhelníku měří polovinu úhlopříčky, tedy 13 cm.
Máme tedy dvě dvojice shodných rovnoramenných trojúhelníků:
1. Dva trojúhelníky se stranami 10 cm, 13 cm, 13 cm.
2. Dva trojúhelníky se stranami 24 cm, 13 cm, 13 cm.
Součet délek všech stran všech čtyř trojúhelníků je $2 \cdot (10 + 13 + 13) + 2 \cdot (24 + 13 + 13) = 72 + 100 = 172$ cm.

Krok 2: Obvod obrazce A

Obrazec A je původní obdélník. Jeho obvod je $2 \cdot (10 + 24) = 68$ cm.
Tento obvod můžeme také vypočítat tak, že od celkového součtu stran všech trojúhelníků (172 cm) odečteme dvojnásobek délky vnitřních (sdílených) hran. V obdélníku jsou vnitřní hrany tvořeny čtyřmi rameny o délce 13 cm ($4 \cdot 13 = 52$ cm).
Výpočet: $172 - 2 \cdot 52 = 172 - 104 = 68$ cm.

Krok 3: Obvod obrazce B

V zadání je uvedeno, že obvody obrazců A a B se liší o 4 cm. Pro obrazec B („velký trojúhelník“) vychází obvod větší, tedy $68 + 4 = 72$ cm.
To odpovídá situaci, kdy jsou trojúhelníky spojeny tak, že vnitřní (skryté) hrany mají celkovou délku $(172 - 72) / 2 = 50$ cm. Této délky dosáhneme spojením přes jednu základnu 24 cm a dvě ramena 13 cm ($24 + 13 + 13 = 50$ cm).

Krok 4: Obvod obrazce C

Obrazec C („koruna“) má vnitřní hrany tvořeny jednou základnou 10 cm a dvěma rameny 13 cm (podle popisu složení obrazce).
Celková délka vnitřních hran je $10 + 13 + 13 = 36$ cm.
Obvod obrazce C vypočítáme jako:
$P_C = 172 - 2 \cdot 36 = 172 - 72 = 100$ cm.

Krok 5: Výpočet rozdílu

Obvod obrazce B je 72 cm a obvod obrazce C je 100 cm.
Rozdíl obvodů je $100 - 72 = 28$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Vypočtěte, kolik cm měří obvod obrazce D.

Zobrazit odpověď

78 cm

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor trojúhelníků

Obdélník je rozdělen úhlopříčkami na čtyři trojúhelníky. Všechny mají dvě strany stejně dlouhé – je to polovina úhlopříčky, kterou si označíme jako s. Třetí strana (základna) je u dvou trojúhelníků 10 cm a u druhých dvou 24 cm.

Obvod obrazce A

Obrazec A (hrot) má po obvodu dvě strany délky 10 cm a dvě strany délky 24 cm (strany s jsou uvnitř obrazce).
Obvod A = $10 + 10 + 24 + 24 = 68$ cm.

Určení délky strany s

Obvod obrazce B se od A liší o 4 cm. Protože obrazec B je velký trojúhelník, musí být jeho obvod větší (kdyby byl menší, vyšla by strana s příliš krátká).
Obvod B = $68 + 4 = 72$ cm.
Tento trojúhelník má podstavu 20 cm (dvakrát 10 cm) a ramena tvořená dvěma úseky s. Tedy $20 + 4 \times s = 72$ cm. Z toho dostaneme $4 \times s = 52$ cm, takže $s = 13$ cm.

Obvod obrazce D

Obrazec D je rovnoběžník. Jeho obvod tvoří dvě strany délky 24 cm a dvě strany délky $2 \times s$, tedy $2 \times 13 = 26$ cm.
Obvod D = $24 + 26 + 24 + 26 = 100$ cm.

Závěr

Obvod obrazce D měří 100 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží bod F a přímka g.

Bod F je vrchol rovnoramenného trojúhelníku EFG.
Strana EF tohoto trojúhelníku měří 5 cm a leží na kolmici k přímce g.
Na přímce g leží vrchol G trojúhelníku EFG.

Sestrojte vrcholy E, G trojúhelníku EFG, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží body S, Q a přímka p.

Na přímce p leží vrcholy C, D obdélníku ABCD. Bod S je střed strany AD tohoto obdélníku.
Bodem Q prochází úhlopříčka obdélníku ABCD (spojnice jeho protějších vrcholů).

Sestrojte všechny vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F. Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě. Obsah obrazce C je 9 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B tvoří čtvrtinu obsahu obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A je pravoúhlý trojúhelník s vodorovnou odvěsnou délky 5 políček a svislou odvěsnou délky 3 políčka. Jeho obsah v jednotkách čtvercové sítě vypočítáme jako polovinu součinu délek odvěsen:
$S_A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7,5$ čtverečků.

Obsah obrazce B

Obrazec B je trojúhelník, jehož základna leží na odvěsně obrazce A a má délku 2 políčka (pravá část základny od 3. po 5. políčko). Třetí vrchol leží na přeponě obrazce A nad levým koncem základny trojúhelníku B.
Výška tohoto vrcholu nad základnou je $\frac{3}{5}$ vzdálenosti od protějšího vrcholu (nebo $\frac{2}{5}$ v závislosti na orientaci). V tomto případě je výška $1,8$ políčka (protože $3 \cdot \frac{3}{5} = 1,8$).
Obsah obrazce B je:
$S_B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1,8 = 1,8$ čtverečků.

Porovnání obsahů

Čtvrtina obsahu obrazce A je:
$7,5 : 4 = 1,875$ čtverečků.
Protože vypočítaný obsah obrazce B ($1,8$ čtverečků) není roven $1,875$, tvrzení je nepravdivé.

Závěr

Obsah obrazce B netvoří čtvrtinu obsahu obrazce A. Odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F. Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě. Obsah obrazce C je 9 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce C je třikrát větší než obsah obrazce D.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Měřítko sítě

Obrazec C je čtverec o straně 3 políčka. Jeho obsah v políčkách je tedy $3 \cdot 3 = 9$ čtverečků. V zadání je uvedeno, že obsah obrazce C je 9 cm². Z toho vyplývá, že jedno políčko čtvercové sítě má plochu 1 cm².

Obsah obrazce D

Obrazec D je trojúhelník s délkou základny 3 políčka a výškou 3 políčka (jeho vrchol leží na protější straně čtverce). Jeho obsah vypočítáme pomocí vzorce pro obsah trojúhelníku (základna $\cdot$ výška : 2):
$(3 \cdot 3) : 2 = 4,5$ čtverečků.
Vzhledem k měřítku sítě je obsah obrazce D roven 4,5 cm².

Porovnání obsahů

Nyní porovnáme obsah obrazce C (9 cm²) a obrazce D (4,5 cm²):
$9 : 4,5 = 2$
Obsah obrazce C je tedy dvakrát větší než obsah obrazce D. Tvrzení v zadání, že je třikrát větší, je nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F. Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě. Obsah obrazce C je 9 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce E je o třetinu větší než obsah obrazce F.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení měřítka sítě

V zadání je uvedeno, že obsah čtverce C je 9 cm². Z popisu obrázku víme, že obrazec C tvoří čtverec o straně 3 dílky. Jeho obsah v dílcích sítě je tedy $3 \times 3 = 9$ čtverečných dílků. Z toho vyplývá, že 1 čtverečný dílek sítě odpovídá 1 cm².

Obsah obrazce E

Obrazec E je bílý pravoúhlý trojúhelník se základnou o délce 3 dílky a svislou odvěsnou (výškou) také 3 dílky. Jeho obsah vypočítáme jako polovinu součinu základny a výšky:
$S_E = (3 \times 3) : 2 = 4{,}5$ cm².

Obsah obrazce F

Obrazec F je tmavý trojúhelník se základnou dlouhou 2 dílky a výškou 3 dílky. Jeho obsah je:
$S_F = (2 \times 3) : 2 = 3$ cm².

Porovnání a závěr

Nyní zjistíme, zda je obsah obrazce E o třetinu větší než obsah obrazce F:

Třetina z obsahu obrazce F je: $3 : 3 = 1$ cm².
O třetinu větší obsah než 3 cm² by tedy byl: $3 + 1 = 4$ cm².

Protože skutečný obsah obrazce E je 4,5 cm², je tvrzení nepravdivé. (Obsah E je ve skutečnosti o polovinu větší než obsah F.)

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Každá bytost na planetě Zorstar má právě tři nohy a zároveň má buď tři oči, nebo čtyři oči. Na náměstí se sešly bytosti, které měly dohromady 84 nohou. Mezi nimi bylo tříokých bytostí o 8 více než čtyřokých.

Kolik očí měly dohromady všechny bytosti, které se sešly na náměstí?

A) 94 očí
D) 122 očí
B) 96 očí
E) 130 očí
C) 102 očí

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet bytostí

Víme, že každá bytost má právě 3 nohy a dohromady mají všechny bytosti 84 nohou. Počet všech bytostí na náměstí tedy zjistíme tak, že celkový počet nohou vydělíme třemi:
84 : 3 = 28
Na náměstí se tedy sešlo 28 bytostí.

Rozdělení na tříoké a čtyřoké

Bytostí je celkem 28 a tříokých je o 8 více než čtyřokých. Pokud bychom od celkového počtu 28 bytostí odečetli těchto 8, o které je tříokých více, zůstane nám 20 bytostí:
28 − 8 = 20
Těchto 20 bytostí by nyní tvořilo dvě stejně velké skupiny. V každé by jich bylo 10:
20 : 2 = 10

Počty v každé skupině

Čtyřokých bytostí je tedy 10. Tříokých bytostí je o 8 více než čtyřokých, tedy:
10 + 8 = 18
Dohromady je to skutečně $10 + 18 = 28$ bytostí.

Celkový počet očí

Nyní vypočítáme oči pro obě skupiny a pak je sečteme:
Tříoké bytosti: $18 \cdot 3 = 54$ očí
Čtyřoké bytosti: $10 \cdot 4 = 40$ očí
Celkem očí: $54 + 40 = 94$ očí

Výsledek

Všechny bytosti mají dohromady 94 očí. Správná je tedy možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Sára, Lukáš, Dan a Adéla hráli hru, ve které získávali body.
Sára získala stejný počet bodů jako Lukáš. Dan získal 60 bodů, což je o polovinu bodů více, než získali Sára a Lukáš dohromady, ale o čtvrtinu bodů méně, než získala Adéla.

Který z grafů zobrazuje odpovídající počty bodů získaných ve hře?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet bodů Sáry a Lukáše

Dan získal 60 bodů. V zadání se uvádí, že Danův počet bodů je o polovinu vyšší, než kolik získali Sára a Lukáš dohromady. Danových 60 bodů tedy představuje 150 % (nebo tři poloviny) jejich společného zisku.

Jedna polovina jejich zisku je $60 : 3 = 20$ bodů.
Sára a Lukáš dohromady získali $20 \cdot 2 = 40$ bodů.

Protože Sára i Lukáš mají stejný počet bodů, každý z nich získal $40 : 2 = 20$ bodů.

Výpočet bodů Adély

Dan získal 60 bodů, což je o čtvrtinu méně, než kolik získala Adéla. Těchto 60 bodů tedy odpovídá třem čtvrtinám Adélina zisku.

Jedna čtvrtina Adéliných bodů je $60 : 3 = 20$ bodů.
Adéla celkem získala $20 \cdot 4 = 80$ bodů.

Výběr správného grafu

Shrneme si vypočítané počty bodů:

Sára: 20
Lukáš: 20
Dan: 60
Adéla: 80

Hledáme graf, kde jsou sloupce Sáry a Lukáše stejně vysoké (20 bodů), Danův sloupec odpovídá hodnotě 60 a Adélin sloupec je nejvyšší (80 bodů). V grafu u možnosti D je svislá osa rozdělena vodorovnými linkami po 20 jednotkách (číslo 60 je u třetí linky nad nulou). Výšky sloupců v tomto grafu přesně odpovídají našim výpočtům.

Závěr

Odpovídající počty bodů zobrazuje graf v možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Na dřevěné krychli bylo vyznačeno 5 úseček. Čtyři z těchto úseček na krychli byly označeny písmeny a, b, c, d.
U páté úsečky je zapsána její skutečná délka 8 cm.

Skutečné délky úseček na krychli můžeme vzájemně porovnat.

Které z následujících tvrzení je chybné?

A) Úsečka a je stejně dlouhá jako úsečka c.
D) Úsečka c je kratší než 8 cm.
B) Úsečka b je stejně dlouhá jako úsečka d.
E) Úsečka d je delší než 8 cm.
C) Úsečka b měří 8 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Na obrázku je krychle se zvýrazněnými úsečkami. Nejprve musíme určit, jaký typ úseček představují:

Úsečky a a c jsou hrany krychle.
Úsečky b, d a úsečka s popiskem 8 cm jsou stěnové úhlopříčky (propojují protější rohy v jedné stěně).

Vlastnosti délek v krychli

Pro délky úseček v krychli platí tato pravidla:

Všechny hrany jsou stejně dlouhé. To znamená, že úsečka a má stejnou délku jako úsečka c.
Všechny stěnové úhlopříčky jsou stejně dlouhé. Protože jedna z nich měří 8 cm, musí i úsečky b a d měřit přesně 8 cm.
Stěnová úhlopříčka je vždy delší než hrana. Tedy úsečky a i c jsou kratší než 8 cm.

Vyhodnocení tvrzení

Nyní prověříme jednotlivé možnosti:

A: Úsečka a je stejně dlouhá jako úsečka c. (Platí – obě jsou hrany)
B: Úsečka b je stejně dlouhá jako úsečka d. (Platí – obě jsou stěnové úhlopříčky)
C: Úsečka b měří 8 cm. (Platí – je to stěnová úhlopříčka)
D: Úsečka c je kratší než 8 cm. (Platí – hrana je kratší než úhlopříčka)
E: Úsečka d je delší než 8 cm. (Neplatí – úsečka d je stěnová úhlopříčka, měří tedy přesně 8 cm)

Chybné je tedy tvrzení E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Stavba byla vytvořena ze stejně velkých válců tří různých barev. Stavbu jsme zobrazili při pohledu zepředu a shora.

Který z obrázků může představovat pohled na stavbu zprava?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvků stavby

Ze zadání víme, že stavba je tvořena válci tří barev a je uspořádána do dvou řad (pohled shora). Na pravém konci obou řad stojí vysoké světle šedé válce. Při pohledu zprava tyto dva válce uvidíme jako dva svislé pilíře na levém a pravém okraji. Mezi těmito pilíři pak uvidíme zbytek stavby, který se nachází v mezeře mezi řadami.

Barevné vrstvy

Podle pohledu zepředu jsou prvky v levé části stavby uspořádány do tří pater nad sebou:

Dolní patro: bílá barva (vodorovný obdélník),
Prostřední patro: šedá barva (dvě šedé „koule“),
Horní patro: bílá barva (další vodorovný obdélník).

Toto barevné pořadí (odspodu: bílá – šedá – bílá) musí být zachováno i při pohledu zprava v prostoru mezi pilíři.

Výběr správného pohledu

Při pohledu zprava uvidíme konce válců, které leží kolmo k nám, jako kruhy a boky válců jako obdélníky:

V horní části uvidíme bílý kruh (konec bílého válce ležícího mezi řadami).
Uprostřed uvidíme šedý kruh (konec šedého válce).
Dole uvidíme bílou obdélníkovou plochu, která odpovídá spodnímu bílému prvku.

Tomuto popisu a barevnému schématu odpovídá pouze obrázek D. Ostatní možnosti mají buď špatné barvy (např. C má šedý spodek), nebo jim chybí některá vrstva (např. E).

Závěr

Správnou odpovědí je obrázek D, který jako jediný správně zobrazuje všechny tři barevné vrstvy i oba boční pilíře.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V každém diagramu se stejné symboly (např. ⊛) nahradí stejným kladným celým číslem a do prázdného oválu se doplní takové celé číslo, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

Přiřaďte k diagramu číslo doplněné do prázdného oválu.

A) 13
D) 16
B) 14
E) 17
C) 15
F) jiné číslo

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení hodnoty symbolu

Podíváme se na první část diagramu, která nás vede od čísla 4 k číslu 100:
4 · ⦿ · ⦿ = 100

Nejdříve zjistíme, kolik musí vyjít součin obou symbolů:
⦿ · ⦿ = 100 : 4 = 25

Hledáme tedy stejné kladné celé číslo, které po vynásobení sebou samým dá 25. Protože 5 · 5 = 25, víme, že symbol ⦿ představuje číslo 5.

Výpočet čísla v prázdném oválu

Nyní použijeme zjištěnou hodnotu symbolu (5) pro výpočet v druhé části diagramu, která vede od čísla 100 k prázdnému oválu:
100 : 4 – 2 · 5 = ?

Při výpočtu musíme dodržet přednost operací (násobení a dělení mají přednost před odčítáním):

100 : 4 = 25
2 · 5 = 10

Po dosazení dostaneme: 25 – 10 = 15.

Závěr

Do prázdného oválu patří číslo 15, což odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k diagramu číslo doplněné do prázdného oválu.

A) 13
D) 16
B) 14
E) 17
C) 15
F) jiné číslo

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu a nalezení hodnoty symbolu

Podle zadání nahradíme každý stejný symbol ✪ stejným kladným celým číslem. Podíváme se na pravou část diagramu, kde šipka vede z čísla 10 k číslu 72 pomocí operace · ✪ − ✪.
To znamená: $10 \cdot ✪ - ✪ = 72$.
Protože $10 \cdot ✪ - 1 \cdot ✪ = 9 \cdot ✪$, hledáme číslo, pro které platí: $9 \cdot ✪ = 72$.
Vypočítáme: $✪ = 72 : 9 = 8$.
Symbol hvězdičky v kroužku tedy představuje číslo 8.

Výpočet čísla v prázdném oválu

Nyní se podíváme na levou část diagramu. Z prázdného oválu vede šipka k číslu 10 pomocí operace : ✪ + ✪. Víme už, že $✪ = 8$, takže operace je : 8 + 8.
Označíme-li číslo v prázdném oválu jako $x$, dostaneme zápis:
$x : 8 + 8 = 10$
Nejdříve zjistíme, jaký musel být výsledek dělení před přičtením osmičky: $10 - 8 = 2$.
Platí tedy: $x : 8 = 2$.
Odtud vypočítáme: $x = 2 \cdot 8 = 16$.

Závěr

Do prázdného oválu musíme doplnit číslo 16. Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k diagramu číslo doplněné do prázdného oválu.

A) 13
D) 16
B) 14
E) 17
C) 15
F) jiné číslo

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor diagramu

V diagramu máme tři ovály a dvě šipky s operacemi. První šipka vede z čísla 480 přes operaci „: ⊙ – 10“ do prázdného prostředního oválu. Druhá šipka vede z prázdného oválu přes operaci „· 10 – ⊙“ k výslednému číslu 120. Symbol ⊙ musí v obou operacích představovat stejné kladné celé číslo.

Nalezení hodnoty symbolu

Hledáme takové číslo ⊙, pro které budou oba výpočty správné. Můžeme zkusit metodu zkoušení různých čísel, která jsou děliteli čísla 480. Zkusíme například 20:
1. výpočet: $480 : 20 - 10 = 24 - 10 = 14$.
V prázdném oválu by tedy bylo číslo 14. Nyní toto číslo použijeme pro druhý výpočet:
2. výpočet: $14 \cdot 10 - 20 = 140 - 20 = 120$.
Výsledek souhlasí s posledním oválem v diagramu, takže symbol ⊙ je skutečně číslo 20.

Doplnění prázdného oválu

V předchozím kroku jsme při ověřování hodnoty symbolu ⊙ zjistili, že do prázdného oválu patří číslo 14. Výsledek tedy odpovídá možnosti B.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Základním dílkem je 1. obdélník, který je rozdělený na bílý čtvereček a šest stejně velkých trojúhelníků – bílé přiléhají ke kratším stranám obdélníku a šedé k delším stranám.
Spojováním základních dílků vytváříme větší obdélníky podle následujících pravidel:
- Přiléhají k sobě pouze trojúhelníky téže barvy, a jejich spojením tak vznikají další čtverečky.
- Delší strana obdélníku je vždy dvakrát delší než kratší strana obdélníku.
- V prvním obdélníku přiléhá ke kratší straně jeden bílý trojúhelník a v každém dalším obdélníku vždy o jeden bílý trojúhelník více než v předchozím obdélníku.

Určete, kolik čtverečků (bílých i šedých dohromady) obsahuje 4. obdélník.

Zobrazit odpověď

52 čtverečků

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základního dílku (1. obdélník)

Základní dílek (1. obdélník) obsahuje jeden bílý čtvereček uprostřed a šest trojúhelníků po stranách. Na obou kratších stranách je po jednom bílém trojúhelníku. Na obou delších stranách jsou dva šedé trojúhelníky. Delší strana je dvakrát delší než kratší strana.

Skládání 4. obdélníku

Pravidlo říká, že 4. obdélník má na kratší straně o 3 bílé trojúhelníky více než první, tedy celkem 4 bílé trojúhelníky. To znamená, že výška obdélníku odpovídá 4 základním dílkům. Protože delší strana musí být dvakrát delší než kratší, bude i šířka odpovídat 4 základním dílkům. Celý 4. obdélník je tedy složen ze sítě 4×4 základních dílků (celkem 16 dílků).

Výpočet bílých čtverečků

Bílé čtverečky jsou tvořeny středy dílků a spojením bílých trojúhelníků na krátkých stranách.

Středy dílků: 16 čtverečků.
Spoje mezi dílky: V každé ze 4 vodorovných řad jsou 3 spoje mezi dílky. Každý spoj vytvoří 1 bílý čtvereček. Celkem 4 × 3 = 12 čtverečků.

Celkem máme $16 + 12 = 28$ bílých čtverečků.

Výpočet šedých čtverečků

Šedé čtverečky vznikají pouze spojením šedých trojúhelníků na dlouhých stranách dílků. Máme 4 svislé sloupce dílků a mezi nimi 3 vodorovné linie spojů. V každé linii jsou 4 spoje. Každý spoj dvou dlouhých stran vytvoří 2 šedé čtverečky (protože na každé straně jsou 2 trojúhelníky). Celkem máme $3 × 4 × 2 = 24$ šedých čtverečků.

Celkový počet

Dohromady v 4. obdélníku napočítáme $28 + 24 = 52$ čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Určete, kolik šedých čtverečků obsahuje obdélník se 45 bílými čtverečky.

Zobrazit odpověď

40 šedých čtverečků

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor základního dílku

Základním stavebním kamenem (1. obdélníkem) je obrazec, který obsahuje 1 bílý čtvereček a šest trojúhelníků. Podle zadání přiléhají ke kratším stranám 2 bílé trojúhelníky a k delším stranám 4 šedé trojúhelníky (dva nahoře a dva dole). Celý obdélník má rozměr $1 \times 2$ jednotky (kde jednotkou je výška trojúhelníku).

Krok 2: Pravidlo pro skládání obdélníků

Větší obdélníky tvoříme skládáním těchto základních dílků do mřížky. Obdélník, který má na kratší straně $n$ bílých trojúhelníků, vznikne složením $n \times n$ základních dílků. Takový obdélník má výšku $n$ a délku $2n$ jednotek, což odpovídá pravidlu, že delší strana je dvakrát delší než kratší.

Krok 3: Výpočet počtu bílých čtverečků

Bílé čtverečky v obdélníku složeném z $n \times n$ dílků vznikají dvojím způsobem:

Z vnitřku dílků: Každý z $n^2$ dílků obsahuje 1 bílý čtvereček. To je $n^2$ čtverečků.
Spojením bílých trojúhelníků: V každé z $n$ řad je vedle sebe $n$ dílků. Mezi nimi vzniká $n-1$ spojů, kde se setkávají dva bílé trojúhelníky a vytvoří jeden bílý čtvereček. Celkem je to $n \times (n-1)$ bílých čtverečků.

Celkový počet bílých čtverečků $W$ je tedy: $W = n^2 + n \times (n-1) = n^2 + n^2 - n = 2n^2 - n$.

Krok 4: Určení typu obdélníku

Hledáme obdélník se 45 bílými čtverečky. Dosadíme do vzorce $2n^2 - n = 45$: - Pro $n = 4$ je $2 \times 16 - 4 = 28$. - Pro $n = 5$ je $2 \times 25 - 5 = 45$. Zjistili jsme, že se jedná o obdélník složený z mřížky $5 \times 5$ základních dílků.

Krok 5: Výpočet šedých čtverečků

Šedé čtverečky vznikají pouze spojením šedých trojúhelníků na delších stranách dílků (ve svislém směru): - Máme $n$ sloupců, v každém sloupci je nad sebou $n$ dílků, což znamená $n-1$ vodorovných spojů mezi nimi. - Každý spoj mezi dvěma dílky probíhá po celé délce jejich delší strany, kde se setkávají dvě dvojice šedých trojúhelníků. Jeden takový spoj tedy vytvoří 2 šedé čtverečky. - Celkový počet šedých čtverečků je tedy $n \times (n-1) \times 2$. Pro $n = 5$ vypočítáme: $5 \times 4 \times 2 = 40$.

Závěr

Obdélník se 45 bílými čtverečky obsahuje 40 šedých čtverečků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Určete, kolik bílých čtverečků obsahuje obdélník, ve kterém je bílých čtverečků o 7 více než šedých.

Zobrazit odpověď

91 bílých čtverečků

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základního dílku

Základní dílek (1. obdélník) se skládá z jednoho bílého čtverečku uprostřed a šesti trojúhelníků na okrajích (2 bílé na kratších stranách a 4 šedé na delších stranách). Při spojování dílků k sobě vytvoří dva trojúhelníky stejné barvy jeden nový čtvereček. Čtverečky (trojúhelníky) na vnějším okraji celého obrazce do počtu čtverečků nezapočítáváme.

Analýza obrazců

Každý další obdélník v řadě má na kratší straně o jeden bílý trojúhelník více. To znamená, že $n$-tý obdélník je tvořen sítí $n \times n$ základních dílků. Celkový počet dílků v obrazci je tedy $n^2$.

Vyjádření počtu čtverečků

Počet bílých čtverečků ($B$) v $n$-tém obdélníku vypočítáme jako součet vnitřních čtverečků z dílků ($n^2$) a čtverečků vzniklých spojením bílých trojúhelníků v řadách ($n \cdot (n-1)$):
$B = n^2 + n^2 - n = 2n^2 - n$

Počet šedých čtverečků ($Š$) vznikne spojením šedých trojúhelníků ve sloupcích. V každém z $n$ sloupců je $n-1$ spojů a každý spoj vytvoří 2 šedé čtverečky:
$Š = n \cdot (n-1) \cdot 2 = 2n^2 - 2n$

Porovnání počtu čtverečků

Hledáme obdélník, ve kterém je bílých čtverečků o 7 více než šedých. Rozdíl mezi počtem bílých a šedých čtverečků je:
$B - Š = (2n^2 - n) - (2n^2 - 2n) = 2n^2 - n - 2n^2 + 2n = n$
Z rovnice $n = 7$ vidíme, že se jedná o 7. obdélník v pořadí.

Výpočet výsledku

Nyní vypočítáme přesný počet bílých čtverečků v tomto 7. obdélníku:
$B = 2 \cdot 7^2 - 7 = 2 \cdot 49 - 7 = 98 - 7 = 91$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body