Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. náhradní termín 2023

28 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 24 \cdot 26 - 24 \cdot 6 \right) \div 12 - 2=$

Zobrazit odpověď

38

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce: $(24 \cdot 26 - 24 \cdot 6)$.
Vynásobíme obě části:
  • $24 \cdot 26 = 624$
  • $24 \cdot 6 = 144$
Odečteme výsledky: $624 - 144 = 480$.

Dělení výsledku

Nyní výsledek ze závorky vydělíme číslem $12$:
$480 \div 12 = 40$

Dokončení výpočtu

Nakonec od získaného čísla odečteme poslední hodnotu v příkladu:
$40 - 2 = 38$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 3 + 7 \cdot 13 \right) \cdot 5 + 15 \cdot 30=$

Zobrazit odpověď

920

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Závorka

Nejdříve vypočítáme výraz v závorce. Podle pravidel o přednosti operací má násobení přednost před sčítáním:
7 · 13 = 91
K výsledku přičteme 3:
3 + 91 = 94

Násobení závorky

Výsledek ze závorky nyní vynásobíme pěti:
94 · 5 = 470

Druhé násobení

Vypočítáme si druhou část příkladu, tedy součin čísel 15 a 30:
15 · 30 = 450

Celkový výsledek

Nakonec oba vypočítané výsledky sečteme:
470 + 450 = 920
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.1

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Vyznačte si (na papíře) na číselné ose bod P, v němž je číslo 0.

Zobrazit odpověď
Odpověď
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Bod A je na 6. rysce zleva, číslo 20 je na 8. rysce, bod B je na 10. rysce a bod C je na 13. rysce.

Vzdálenost od bodu B k bodu C

Číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B. Na ose je bod C o 3 dílky vpravo od bodu B. To znamená, že číslo v bodě A odpovídá právě 3 dílkům.

Určení bodu P

Bod A je na 6. rysce zleva a jeho hodnota odpovídá 3 dílkům. Nula tedy musí ležet 3 dílky vlevo od bodu A: 6. ryska - 3 dílky = 3. ryska zleva

Závěr

Bod P, ve kterém je číslo 0, patří na 3. rysku zleva.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků. V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě B.

Zobrazit odpověď

28

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Bod A je na 6. rysce zleva, číslo 20 je na 8. rysce, bod B je na 10. rysce a bod C je na 13. rysce.

Vzdálenost od bodu B k bodu C

Číslo v bodě C je součtem čísel v bodech A a B. Na ose je bod C o 3 dílky vpravo od bodu B. To znamená, že číslo v bodě A odpovídá právě 3 dílkům.

Velikost jednoho dílku

Bod A je na 6. rysce zleva a jeho hodnota odpovídá 3 dílkům. Nula tedy leží na 3. rysce zleva. Číslo 20 je na 8. rysce, tedy 5 dílků vpravo od nuly: $20 \div 5 = 4$ Jeden dílek má hodnotu 4.

Výpočet čísla v bodě B

Bod B je na 10. rysce zleva. Od nuly na 3. rysce je vzdálen 7 dílků. Přepočítáme 7 dílků na číslo: $7 \cdot 4 = 28$

Závěr

V bodě B je číslo 28.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Závod v hodu kládou měl dvě kola a zúčastnilo se jej 36 závodníků. V 1. kole házel každý závodník pouze jednou. Někteří závodníci postoupili do 2. kola, v němž házel každý z postupujících ještě dvakrát. Během celého závodu tak bylo provedeno celkem 64 hodů kládou.

Vypočtěte, kolik závodníků postoupilo do druhého kola závodu.

Zobrazit odpověď

14 závodníků

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hody v prvním kole

V prvním kole házel každý ze 36 závodníků právě jednou. To znamená, že v prvním kole proběhlo celkem 36 hodů.

Hody ve druhém kole

Celkově bylo v závodě provedeno 64 hodů. Když od tohoto počtu odečteme hody z prvního kola, získáme počet hodů, které proběhly ve druhém kole:
$64 - 36 = 28$

Počet závodníků ve druhém kole

Víme, že ve druhém kole házel každý postupující závodník dvakrát. Pokud ve druhém kole proběhlo celkem 28 hodů, počet závodníků vypočítáme tak, že tento počet vydělíme dvěma:
$28 : 2 = 14$

Závěr

Do druhého kola závodu postoupilo 14 závodníků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Cyklista během 5 dní ujel na kole celkem 200 km. První den ujel nejdelší trasu a každý další den ujel o 6 km méně než předchozí den (např. 4. den ujel o 6 km méně než 3. den).

Vypočtěte, kolik km ujel cyklista první den.

Zobrazit odpověď

52 km

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíly oproti prvnímu dni

Cyklista ujel každý den o 6 km méně než den předchozí. Můžeme si spočítat, o kolik méně ujel v jednotlivých dnech oproti prvnímu dni:
  • 2. den: o 6 km méně,
  • 3. den: o 12 km méně ($6 + 6 = 12$),
  • 4. den: o 18 km méně ($12 + 6 = 18$),
  • 5. den: o 24 km méně ($18 + 6 = 24$).
Celkově za tyto dny ujel o $6 + 12 + 18 + 24 = 60$ km méně, než kdyby ujel každý den stejnou trasu jako první den.

Výpočet trasy pro první den

Kdyby ujel každý z 5 dní stejnou trasu jako první den, ujel by celkem o 60 km více: $200 + 60 = 260$ km.

Délku trasy prvního dne zjistíme tak, že 260 km rozdělíme na 5 stejných dílů: $260 \div 5 = 52$ km.

Ověření

Zkontrolujeme si délky tras v jednotlivých dnech: 1. den: 52 km 2. den: 46 km 3. den: 40 km 4. den: 34 km 5. den: 28 km

Součet: $52 + 46 + 40 + 34 + 28 = 200$ km. Výpočet je správný.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Malé opičky mají pravidelný denní režim (viz diagram). Po každém 4hodinovém úseku (I.–VI.) se u nich střídají ošetřovatelé. V diagramu představují bílé plochy části dne, které tráví opičky venku, a šedé plochy části dne, po které jsou uvnitř svého příbytku. Dva 4hodinové úseky jsou v diagramu rozděleny, neboť jednu pětinu z II. úseku dne jsou opičky uvnitř příbytku, zatímco jednu šestinu ze VI. úseku dne tráví opičky venku.

Určete, v kolik hodin a minut opičky ráno vylézají z příbytku ven.

Zobrazit odpověď

4:48

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení dne na úseky

Celý den trvá 24 hodin a je rozdělen na 6 stejných úseků (I.–VI.). Jeden úsek tedy trvá 4 hodiny (24 : 6 = 4).
  • Úsek I: 0:00–4:00
  • Úsek II: 4:00–8:00
  • Úsek III: 8:00–12:00
  • Úsek IV: 12:00–16:00
  • Úsek V: 16:00–20:00
  • Úsek VI: 20:00–24:00

Výpočet času v II. úseku

Zadání uvádí, že v II. úseku (od 4:00 do 8:00) tráví opičky jednu pětinu času uvnitř příbytku. Jeden úsek trvá 4 hodiny, což je 240 minut ($4 \times 60 = 240$). Jedna pětina z 240 minut je: $240 : 5 = 48$ minut.

Určení času vylézání

Opičky jsou uvnitř během celého I. úseku a poté ještě prvních 48 minut II. úseku. II. úsek začíná ve 4:00 ráno. Když k tomuto času přičteme 48 minut, kdy jsou ještě uvnitř, zjistíme, kdy vylézají ven: 4:00 + 48 minut = 4:48.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.2

Malé opičky mají pravidelný denní režim (viz diagram). Po každém 4hodinovém úseku (I.–VI.) se u nich střídají ošetřovatelé. V diagramu představují bílé plochy části dne, které tráví opičky venku, a šedé plochy části dne, po které jsou uvnitř svého příbytku. Dva 4hodinové úseky jsou v diagramu rozděleny, neboť jednu pětinu z II. úseku dne jsou opičky uvnitř příbytku, zatímco jednu šestinu ze VI. úseku dne tráví opičky venku.

Určete, v kolik hodin a minut opičky večer zalézají do příbytku.

Zobrazit odpověď

20:40

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza časových úseků

Celý den je rozdělen na 6 stejných úseků, z nichž každý trvá 4 hodiny (24 hodin : 6 = 4 hodiny). Večerní úsek označený jako VI začíná ve 20:00 a končí o půlnoci (24:00).

Výpočet délky pobytu venku v VI. úseku

V zadání je uvedeno, že v VI. úseku tráví opičky venku jednu šestinu času. Nejdříve si převedeme 4 hodiny na minuty:
4 hodiny = $4 \cdot 60$ minut = 240 minut.
Nyní vypočítáme jednu šestinu z 240 minut:
240 : 6 = 40 minut.

Určení času návratu do příbytku

V předchozích denních úsecích byly opičky venku (bílá plocha). V posledním úseku dne (VI) jsou venku ještě prvních 40 minut a poté zalézají dovnitř (šedá plocha). K času začátku VI. úseku (20:00) tedy přičteme 40 minut.
Opičky zalézají do příbytku ve 20:40.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.3

Malé opičky mají pravidelný denní režim (viz diagram). Po každém 4hodinovém úseku (I.–VI.) se u nich střídají ošetřovatelé. V diagramu představují bílé plochy části dne, které tráví opičky venku, a šedé plochy části dne, po které jsou uvnitř svého příbytku. Dva 4hodinové úseky jsou v diagramu rozděleny, neboť jednu pětinu z II. úseku dne jsou opičky uvnitř příbytku, zatímco jednu šestinu ze VI. úseku dne tráví opičky venku.

Určete, o kolik minut více stráví každý den opičky uvnitř příbytku než venku.

Zobrazit odpověď

o 16 minut

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový čas v jednom úseku

Celý den je rozdělen na 6 úseků (I.–VI.), z nichž každý trvá 4 hodiny. Protože 1 hodina má 60 minut, jeden úsek trvá:
4 * 60 = 240 minut.

Výpočet času v rozdělených úsecích

V II. úseku jsou opičky uvnitř 1/5 času:
240 : 5 = 48 minut (zbývajících 192 minut jsou venku).

Ve VI. úseku jsou opičky venku 1/6 času:
240 : 6 = 40 minut (zbývajících 200 minut jsou uvnitř).

Součet času stráveného uvnitř

Opičky jsou uvnitř v celých úsecích I a V a v částech úseků II a VI:
I. úsek: 240 minut
II. úsek: 48 minut
V. úsek: 240 minut
VI. úsek: 200 minut
Celkem uvnitř: 240 + 48 + 240 + 200 = 728 minut.

Součet času stráveného venku

Opičky jsou venku v celých úsecích III a IV a v částech úseků II a VI:
II. úsek: 192 minut
III. úsek: 240 minut
IV. úsek: 240 minut
VI. úsek: 40 minut
Celkem venku: 192 + 240 + 240 + 40 = 712 minut.

Porovnání a výsledek

Nyní zjistíme rozdíl mezi časem stráveným uvnitř a venku:
728 - 712 = 16 minut.
Opičky stráví uvnitř příbytku o 16 minut více než venku.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.1

Na miskách vah leží jedno velké, jedno střední a tři stejná malá závaží. Hmotnost středního závaží je o třetinu menší než hmotnost velkého závaží. Jedno velké a jedno malé závaží váží dohromady 100 g, stejně jako jedno střední a dvě malá závaží.

Určete, kolikrát větší je hmotnost velkého závaží než hmotnost malého závaží.

Zobrazit odpověď

3krát

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání obou skupin

Zadání nám říká, že jedna skupina (velké + malé závaží) váží 100 g a druhá skupina (střední + 2 malá závaží) váží také 100 g. Obě skupiny mají tedy stejnou hmotnost.
Pokud z obou stran pomyslně odebereme jedno malé závaží, rovnováha zůstane zachována:
Velké závaží = Střední závaží + malé závaží.

Vztah mezi velkým a středním závažím

Víme, že střední závaží je o třetinu menší než velké. To znamená, že velké závaží si můžeme představit jako tři stejné třetiny a střední závaží tvoří dvě tyto třetiny.
Do celého velkého závaží tedy chybí jedna třetina.

Porovnání s malým závažím

V prvním kroku jsme zjistili, že velké závaží váží stejně jako střední a malé závaží dohromady.
Protože střednímu závaží chybí do velkého přesně jedna třetina, musí toto malé závaží vážit právě jako jedna třetina velkého závaží.

Závěr

Pokud je malé závaží jednou třetinou velkého, znamená to, že velké závaží je 3krát těžší než malé závaží.
Hmotnost velkého závaží je tedy 3krát větší.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.2

Na miskách vah leží jedno velké, jedno střední a tři stejná malá závaží. Hmotnost středního závaží je o třetinu menší než hmotnost velkého závaží. Jedno velké a jedno malé závaží váží dohromady 100 g, stejně jako jedno střední a dvě malá závaží.

Určete, kolik gramů váží střední závaží.

Zobrazit odpověď

50 gramů

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání závaží

Na jedné misce je velké a malé závaží (100 g). Na druhé je střední a dvě malá (také 100 g). Pokud z obou misek pomyslně odebereme jedno malé závaží, zjistíme, že velké závaží váží stejně jako jedno střední a jedno malé závaží dohromady.

Metoda dílků

Víme, že střední závaží je o třetinu lehčí než velké. To znamená, že velké závaží si můžeme představit jako 3 stejné dílky. Střední závaží pak tvoří 2 tyto dílky (je o třetinu lehčí). Protože velké závaží váží jako střední a malé dohromady, musí malé závaží vážit přesně jako 1 tento dílek.

Výpočet hodnoty jednoho dílku

Podle zadání váží velké a malé závaží dohromady 100 g. V dílcích je to dohromady: 3 dílky (velké) + 1 dílek (malé) = 4 dílky. Pokud 4 dílky váží 100 g, pak jeden dílek váží: 100 : 4 = 25 g.

Hmotnost středního závaží

Střední závaží tvoří 2 dílky. Jeho hmotnost tedy vypočítáme jako: 2 · 25 = 50 g.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru B.

Zobrazit odpověď

6, 10

2 body
Úloha 6.2

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem. Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.

Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar z útvaru C.

Zobrazit odpověď

1, 9

2 body
Úloha 7.1

V rovině leží body P, Q, R a přímka a.

Na přímce a leží strana AB čtverce ABCD. Dva ze tří bodů P, Q, R leží uvnitř dvou různých stran tohoto čtverce a třetí bod leží vně čtverce ABCD.

Sestrojte všechny vrcholy čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží úsečka KL a bod U.

Úsečka KL je strana trojúhelníku KLM. Jedna ze dvou zbývajících stran tohoto trojúhelníku má stejnou délku jako strana KL a druhá z nich prochází bodem U.

Sestrojte vrchol M trojúhelníku KLM, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 8.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2019 pracovalo v parku 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza roku 2018

Z grafu vyčteme údaje pro rok 2018. V parku pracovalo 14 brigádníků z předchozího roku (šedý sloupec) a 10 nově přijatých brigádníků (světle šedý sloupec). Celkem tedy v roce 2018 v parku pracovalo:
14 + 10 = 24 brigádníků.
Na konci roku 2018 jich z parku 8 odešlo (černý sloupec).

Výpočet pro rok 2019

Brigádníci, kteří v roce 2019 v parku pokračují z roku 2018, jsou právě ti, kteří v roce 2018 v parku byli a na jeho konci neodešli. Jejich počet vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v roce 2018 odečteme ty, kteří na konci roku odešli:
24 − 8 = 16

Závěr

V roce 2019 tedy v parku skutečně pracovalo 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V roce 2020 pracovalo v parku méně než 7 nově přijatých brigádníků.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip výpočtu

Počet brigádníků, kteří v parku zůstanou do dalšího roku, vypočítáme tak, že od celkového počtu brigádníků v daném roce odečteme ty, kteří na konci roku odešli. Celkový počet brigádníků v daném roce je součtem brigádníků z předchozího roku a nově přijatých brigádníků.

Výpočet pro rok 2019

Nejdříve si ověříme údaje z grafu. V roce 2019 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku (24 z roku 2018 minus 8, kteří odešli) a 4 nově přijatí. Celkem jich tedy bylo 20. Na konci roku 2019 jich 7 odešlo, takže pro rok 2020 jich zbylo $20 - 7 = 13$, což odpovídá šedému sloupci v roce 2020.

Výpočet nově přijatých v roce 2020

Z grafu vidíme, že v roce 2021 pracovalo 16 brigádníků z předchozího roku. Tito lidé museli v parku zůstat na konci roku 2020. Víme, že na konci roku 2020 odešli 3 brigádníci. Celkový počet brigádníků v roce 2020 tedy musel být $16 + 3 = 19$. Víme, že 13 z nich tam pracovalo už v předchozím roce, takže nově přijatých muselo být $19 - 13 = 6$.

Závěr

V roce 2020 pracovalo v parku 6 nově přijatých brigádníků. Protože 6 je méně než 7, je tvrzení v úloze pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci. Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují. V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na konci roku 2021 z parku odešlo více než 12 brigádníků.

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení grafu

Z textu a grafu vyplývá, že počet brigádníků, kteří v parku pracují v daném roce, je součtem těch, kteří tam pracovali už loni (tmavě šedý sloupec), a nově přijatých (světle šedý sloupec). Na konci roku někteří odejdou (černý sloupec směrem dolů) a zbytek pokračuje v dalším roce.

Výpočet pro konec roku 2021

V roce 2021 v parku pracovalo celkem $16 + 5 = 21$ brigádníků. Víme, že v následujícím roce (2022) v parku pokračovalo 9 brigádníků (tmavě šedý sloupec v roce 2022).
Počet těch, kteří na konci roku 2021 odešli, tedy vypočítáme jako rozdíl celkového počtu v roce 2021 a počtu těch, kteří pokračovali v roce 2022:
$21 - 9 = 12$

Porovnání s tvrzením

Zjistili jsme, že na konci roku 2021 odešlo přesně 12 brigádníků. Tvrzení v zadání říká, že odešlo více než 12 brigádníků. Protože 12 není více než 12, je toto tvrzení nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 9

Květinářka vázala pouze dva druhy kytic – jednak se 3 růžemi, jednak s 5 růžemi. Kytic se 3 růžemi uvázala o 8 méně než kytic s 5 růžemi. Na všechny kytice dohromady použila 128 růží.

Kolik kytic květinářka celkem uvázala?

  • A) 36 kytic
  • D) 30 kytic
  • B) 34 kytic
  • E) 28 kytic
  • C) 32 kytic
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (6 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Růže v kyticích navíc

Kytic s 5 růžemi je o 8 více než kytic se 3 růžemi. V těchto 8 kyticích navíc je celkem 40 růží ($8 \cdot 5 = 40$).

Zbývající růže

Pokud tyto růže odečteme od celkového počtu, zbude nám 88 růží ($128 - 40 = 88$).

Dvojice kytic

Nyní máme stejný počet kytic obou druhů. Jedna dvojice (jedna kytice se 3 růžemi a jedna s 5 růžemi) má dohromady 8 růží ($3 + 5 = 8$).

Počet kytic každého druhu

Počet takových dvojic zjistíme vydělením: $88 : 8 = 11$. Máme tedy 11 kytic se 3 růžemi a 11 kytic s 5 růžemi (z těchto dvojic).

Celkový počet kytic

K 11 kyticím se 3 růžemi přičteme 11 kytic s 5 růžemi a ještě těch 8 kytic s 5 růžemi, které jsme si dali stranou na začátku:
$11 + 11 + 8 = 30$ kytic.

Závěr

Květinářka celkem uvázala 30 kytic. Správná je tedy možnost D.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 10

Anežka je o pětinu nižší než já, ale tatínek je o pětinu vyšší než já. Anežka měří o 60 cm méně než tatínek.

Kolik cm měří Anežka?

  • A) méně než 100 cm
  • D) 150 cm
  • B) 100 cm
  • E) více než 150 cm
  • C) 120 cm
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v pětinách

Představme si výšku postavy „já“ jako celek rozdělený na 5 stejných dílů (pětin).
Anežka je o pětinu nižší, měří tedy 4 pětiny.
Tatínek je o pětinu vyšší, měří tedy 6 pětin.

Výpočet jedné pětiny

Rozdíl mezi tatínkem a Anežkou jsou 2 pětiny (protože $6 - 4 = 2$).
Víme, že tento rozdíl je 60 cm.
Pokud 2 pětiny odpovídají 60 cm, pak 1 pětina musí být 30 cm (protože $60 \div 2 = 30$).

Výška Anežky

Anežka měří 4 pětiny mé výšky.
Jedna pětina je 30 cm, proto výšku Anežky vypočítáme jako:
$4 \cdot 30 = 120$ cm.

Závěr

Anežka měří 120 cm. Správná je tedy možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 11

Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta. Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta. (Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.) Nyní je parkoviště zcela zaplněno, přitom osobních aut je na něm třikrát více než autobusů.

O kolik se liší počet osobních aut a počet autobusů na parkovišti?

  • A) o méně než 30
  • D) o 36
  • B) o 30
  • E) o více než 36
  • C) o 32
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Skupiny vozidel

Představíme si, že auta a autobusy rozdělíme do stejných skupinek. V každé skupince budou 3 osobní auta a 1 autobus (protože aut je třikrát více).

Místa pro jednu skupinu

Spočítáme, kolik parkovacích míst zabere jedna taková skupinka:
  • 1 autobus = 4 místa
  • 3 osobní auta = 3 místa
Dohromady jedna skupinka zabere $4 + 3 = 7$ míst.

Počet skupinek

Celkem máme 105 míst. Zjistíme, kolik takových skupinek se na parkoviště vejde:
$105 : 7 = 15$
Na parkovišti je tedy 15 skupinek.

Počet aut a autobusů

V každé z 15 skupinek je jeden autobus, takže autobusů je celkem 15. Osobních aut je třikrát více:
$15 \cdot 3 = 45$
Osobních aut je tedy 45.

Rozdíl počtů

Otázka zní, o kolik se liší počet osobních aut a autobusů:
$45 - 15 = 30$
Počet osobních aut a autobusů se liší o 30. Správná možnost je B.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.
Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.

Jaký je obvod velkého obdélníku?

  • A) menší než 36 cm
  • D) 60 cm
  • B) 36 cm
  • E) větší než 60 cm
  • C) 40 cm
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Zadání říká, že velký obdélník lze rozdělit na dva čtverce. To nám prozradí důležitý vztah: delší strana velkého obdélníku musí být dvakrát delší než jeho kratší strana.

Metoda dílků

Představme si, že kratší stranu velkého obdélníku tvoří 2 stejné dílky. Potom delší strana musí mít 4 tyto dílky (protože $2 \cdot 2 = 4$).

Obvod menšího obdélníku

Když velký obdélník rozdělíme vodorovně na poloviny, vzniknou dva menší obdélníky. Každý z nich bude mít délku 4 dílky, ale jeho šířka bude tvořena jen 1 dílkem (polovina ze 2).
Obvod tohoto menšího obdélníku se skládá z: $4 + 1 + 4 + 1 = 10$ dílků.
Víme, že obvod je 30 cm, takže jeden dílek měří:
$30 : 10 = 3 \text{ cm}$

Obvod velkého obdélníku

Velký obdélník má strany o délce 4 dílky a 2 dílky.
Jeho obvod se skládá z: $4 + 2 + 4 + 2 = 12$ dílků.
Protože jeden dílek měří 3 cm, celkový obvod je:
$12 \cdot 3 = 36 \text{ cm}$

Závěr

Obvod velkého obdélníku je 36 cm. Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.1
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Těleso na obrázku je slepeno ze 6 stejných válců.

K situaci přiřaďte odpovídající obrazec.

Pohled na těleso zezadu

  • A)
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
  • F)
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Těleso je slepeno ze 6 stejných válců uspořádaných do tří výškových úrovní. Při pohledu zepředu (dle popisku u obrázku) vidíme:
  • Vlevo: Jeden válec stojící svisle (jeho boční stěna vypadá jako obdélník či čtverec ve všech třech úrovních).
  • Vpravo: Sestavu vodorovně položených válců. V základně jsou dva (vidíme je jako kruhy), v prostřední vrstvě jsou dva orientované do stran (vidíme je jako jeden vodorovný obdélník) a v horní vrstvě je jeden (opět vidíme kruh).

Určení pohledu zezadu

Při pohledu na těleso zezadu dochází k zrcadlovému otočení stran:
  • To, co bylo zepředu vlevo, se nyní nachází vpravo. Svisle stojící válec (sloupec čtverců) tedy uvidíme na pravé straně obrazce.
  • To, co bylo zepředu vpravo, se nyní nachází vlevo. Kruhy odpovídající koncům vodorovných válců tedy uvidíme na levé straně.

Výběr správného obrazce

Hledáme obrazec, který má:
  • v pravé části svislý sloupec čtverců (stojící válec),
  • v levé části kruhy (jeden nahoře a dva dole),
  • uprostřed vodorovný obdélník propojující obě strany.
Těmto podmínkám přesně odpovídá obrazec A.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Těleso na obrázku je slepeno ze 6 stejných válců.

K situaci přiřaďte odpovídající obrazec.

Pohled na těleso zleva

  • A)
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
  • F)
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Těleso je slepeno ze 6 stejných válců. Pro určení pohledu zleva je důležité vědět, jak jsou tyto válce orientovány:
  • 3 válce jsou orientovány vodorovně doprava (jeden ve střední části a dva vedle sebe v dolní části). Při pohledu zleva je uvidíme jako kruhy.
  • 2 válce směřují k pozorovateli (jeden v horní části a jeden v pravé části). Při pohledu zleva je uvidíme z boku jako obdélníky (nebo čtverce).
  • 1 válec stojí svisle (v levé části). Při pohledu zleva ho uvidíme také jako obdélník.

Pohled zleva

Při pohledu zleva se díváme na těleso ze strany, kde se nachází svislý válec. V tomto průmětu uvidíme:
  • Vpravo: Kruhové podstavy válců, které směřují doprava. Protože jeden je uprostřed a dva jsou dole, uvidíme jeden kruh nahoře a dva kruhy vedle sebe dole.
  • Vlevo: Boční strany válců, které směřují k pozorovateli, a svislý válec. Ty se nám promítnou jako obdélníky nebo čtverce seřazené nad sebou.

Výběr správné možnosti

Hledáme tedy obrazec, který má v pravé části tři kruhy (jeden nahoře a dva vedle sebe dole) a v levé části svislou řadu čtverců nebo obdélníků. Tato kritéria splňuje pouze obrazec F.

Závěr

Správnou odpovědí je obrazec F.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Těleso na obrázku je slepeno ze 6 stejných válců.

K situaci přiřaďte odpovídající obrazec.

Pohled na těleso zespodu

  • A)
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
  • F)
Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Těleso je složeno ze 6 stejných válců, které jsou uspořádány takto:
  • Na levé straně stojí jeden válec svisle.
  • Základnu (spodní vrstvu) v pravé části tvoří dva vodorovné válce položené vedle sebe a orientované směrem od nás (zepředu dozadu).
  • V prostřední vrstvě leží dva vodorovné válce orientované zleva doprava.
  • Na úplném vrcholu vpravo leží poslední válec orientovaný opět zepředu dozadu.

Pohled zespodu

Při pohledu na těleso zespodu uvidíme průměty všech válců, které nejsou zakryty jinými válci pod nimi:
  • V levé části: Uvidíme kruhovou podstavu svislého válce. Protože pod ním ani nad ním v této části nic jiného neleží, uvidíme také části vodorovných válců z prostřední vrstvy, které vypadají jako čtverce nad a pod tímto kruhem.
  • V prostřední a pravé části: Uvidíme spodní strany dvou válců, které tvoří základnu. Tyto válce jsou orientovány zepředu dozadu, takže se nám jeví jako svislé obdélníky.

Výběr obrazce

Hledáme tedy obrazec, který má ve svislém sloupci vlevo jeden kruh uprostřed dvou čtverců a vedle něj dva prázdné svislé obdélníky. Tomuto popisu přesně odpovídá obrazec E.

Závěr

Správná možnost je E.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.

Zobrazit odpověď

45 úseček

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání a obrázku

Z obrázku a přiložené tabulky vyčteme počty úseček pro první tři obrazce:
  • 1 patro: 3 úsečky
  • 2 patra: 9 úseček
  • 3 patra: 18 úseček
Naším úkolem je zjistit, kolik úseček bude mít obrazec s 5 patry.

Hledání pravidla pro nárůst počtu úseček

Podíváme se, o kolik úseček se obrazec zvětší s každým dalším patrem:
  • Při přechodu z 1 na 2 patra přibylo 6 úseček ($9 - 3 = 6$).
  • Při přechodu ze 2 na 3 patra přibylo 9 úseček ($18 - 9 = 9$).
Vidíme, že počet přidaných úseček tvoří násobky tří ($3 \times 2$, $3 \times 3$). Můžeme tedy očekávat, že u dalších pater bude nárůst následovně:
  • Pro 4. patro přibude $3 \times 4 = 12$ úseček.
  • Pro 5. patro přibude $3 \times 5 = 15$ úseček.

Výpočet pro 5 pater

Nyní můžeme postupně dopočítat celkový počet úseček až k pátému obrazci:
  • 3 patra: 18 úseček
  • 4 patra: $18 + 12 = 30$ úseček
  • 5 pater: $30 + 15 = 45$ úseček

Závěr

Obrazec, který má 5 pater, obsahuje celkem 45 úseček.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.2

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.

Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.

Zobrazit odpověď

o 33 puntíků

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců

Nejdříve si všimneme, jak v obrazcích přibývají úsečky a puntíky s každým dalším přidaným patrem:
  • Při přidání 2. patra (2. obrazec) přibude 6 úseček ($9 - 3 = 6$) a 3 puntíky ($6 - 3 = 3$).
  • Při přidání 3. patra (3. obrazec) přibude 9 úseček ($18 - 9 = 9$) a 4 puntíky ($10 - 6 = 4$).
Vidíme, že počet úseček, které přibudou, je vždy trojnásobek čísla přidaného patra. Počet puntíků, které přibudou, je o 1 vyšší než číslo přidaného patra.

Určení počtu pater

Víme, že v posledním obrazci je o 96 úseček více než v předposledním. To znamená, že v posledním (přidaném) patře je 96 úseček. Počet pater zjistíme tak, že tento rozdíl vydělíme třemi: $96 : 3 = 32$ Poslední obrazec má tedy 32 pater.

Výpočet rozdílu puntíků

V posledním obrazci přibylo oproti předposlednímu 32. patro. Podle našeho pozorování víme, že počet přidaných puntíků je o 1 vyšší než číslo patra: $32 + 1 = 33$ Počet puntíků se tedy liší o 33.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.3

Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.

V jednom obrazci je 300 puntíků.

Určete počet úseček v následujícím obrazci.

Zobrazit odpověď

900 úseček

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypozorování pravidelnosti

Podle obrázku a popisu vidíme, jak se mění počty puntíků a úseček s přibývajícími patry:
  • 1 patro: 3 puntíky ($1+2$), 3 úsečky ($3 \cdot 1$)
  • 2 patra: 6 puntíků ($1+2+3$), 9 úseček ($3+6$)
  • 3 patra: 10 puntíků ($1+2+3+4$), 18 úseček ($3+6+9$)
Počet puntíků je vždy součet řady čísel od 1 až do čísla o jedna vyššího, než je počet pater. Počet úseček je vždy součet násobků trojky ($3, 6, 9, \dots$) až po $n$-té patro.

Určení počtu pater obrazce s 300 puntíky

Hledáme, kolik čísel musíme sečíst ($1+2+3+4+\dots$), aby součet byl 300. Součet řady čísel od 1 do $k$ vypočítáme jako $\frac{k \cdot (k+1)}{2}$.
$\frac{k \cdot (k+1)}{2} = 300 \implies k \cdot (k+1) = 600$
Hledáme dvě po sobě jdoucí čísla, jejichž součin je 600. Protože $24 \cdot 25 = 600$, je $k = 24$. Jelikož $k$ je o jedna vyšší než počet pater, má tento obrazec 23 pater.

Výpočet počtu úseček v následujícím obrazci

Následující obrazec má o jedno patro více, tedy 24 pater. Počet úseček pro 24 pater vypočítáme jako součet: $3 + 6 + 9 + \dots + (3 \cdot 24) = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 24)$ Součet čísel od 1 do 24 je $\frac{24 \cdot 25}{2} = 300$. Počet úseček je tedy:
$3 \cdot 300 = 900$
Pomohlo vám toto řešení?
2 body