Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2023

29 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 5 \cdot 120 + \left( 700 - 6 \cdot 25 \right) \div \left( 10 - 7 + 2 \right) =$

Zobrazit odpověď

710

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První součin

Nejdříve si vypočítáme první část příkladu před závorkami:
$5 \cdot 120 = 600$

První závorka

Vypočítáme hodnotu v první závorce. Nejdříve musíme násobit, pak teprve odečítat:
$6 \cdot 25 = 150$
$700 - 150 = 550$

Druhá závorka

Vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Postupujeme zleva doprava:
$10 - 7 + 2 = 3 + 2 = 5$

Dělení a sčítání

Nyní vydělíme výsledek z první závorky výsledkem ze druhé:
$550 : 5 = 110$

Nakonec přičteme úvodní součin:
$600 + 110 = 710$

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 710.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 5 + 5 \cdot 29 \right) - 4 \cdot \left( 176 \div 8 - 8 \cdot 2 \right) =$

Zobrazit odpověď

126

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet první závorky

Nejprve vypočítáme hodnotu v první závorce $(5 + 5 \cdot 29)$. Podle pravidel přednosti operací má násobení přednost před sčítáním:

$5 \cdot 29 = 145$
$5 + 145 = 150$

První závorka má tedy hodnotu 150.

Výpočet druhé závorky

Poté vypočítáme hodnotu v druhé závorce $(176 \div 8 - 8 \cdot 2)$. Opět mají dělení a násobení přednost před odčítáním:

$176 \div 8 = 22$
$8 \cdot 2 = 16$
$22 - 16 = 6$

Druhá závorka má hodnotu 6.

Dokončení výpočtu

Nyní dosadíme vypočítané hodnoty zpět do příkladu: $150 - 4 \cdot 6 =$ Přednost má násobení $4 \cdot 6 = 24$. Nakonec provedeme odčítání: $150 - 24 = 126$

Celkový výsledek

Výsledek celého výpočtu je 126.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Vypočtěte, o kolik litrů se liší čtvrtina z 24 litrů a třetina z 12 litrů.

Zobrazit odpověď

o 2 litry

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čtvrtina z 24 litrů

Nejdříve vypočítáme čtvrtinu z 24 litrů. Čtvrtinu získáme tak, že 24 vydělíme 4:
$24 \div 4 = 6$ litrů

Třetina z 12 litrů

Dále vypočítáme třetinu z 12 litrů. Třetinu získáme tak, že 12 vydělíme 3:
$12 \div 3 = 4$ litry

Rozdíl

Nakonec zjistíme, o kolik se oba výsledky liší. Od většího čísla odečteme menší:
$6 - 4 = 2$ litry

Výsledek

Obě hodnoty se liší o 2 litry.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Vynásobením dvou kladných celých čísel jsme získali součin 180.
Jedno z těchto dvou čísel zvětšíme dvakrát a jedno zmenšíme šestkrát.

Určete, jaký součin získáme vynásobením obou změněných čísel.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní součin

Ze zadání víme, že součin dvou čísel je 180.

První změna

Když jedno z čísel zvětšíme dvakrát, součin se také dvakrát zvětší:
$180 \cdot 2 = 360$

Druhá změna

Potom jedno z čísel zmenšíme šestkrát, což znamená, že se i celý součin šestkrát zmenší:
$360 : 6 = 60$

Výsledný součin

Po obou změnách je nový součin 60.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

V rotě je jeden kapitán a má pod sebou 4 poručíky. Každý poručík má pod sebou 3 své četaře a každý četař má pod sebou 10 svých vojínů. (Další osoby v rotě nejsou.)
Kapitán se rozhodl svolat celou rotu k nástupu. Rozkaz k nástupu se předával tak, že kapitán vydal rozkaz všem poručíkům, z nichž každý vydal tento rozkaz svým četařům a každý četař jej vydal svým vojínům. Poté celá rota nastoupila.

Vypočtěte, kolik je v rotě vojínů.

Zobrazit odpověď

120 vojínů

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet četařů

Nejdříve musíme zjistit, kolik je v rotě četařů. Víme, že pod kapitánem jsou 4 poručíci a každý z nich má pod sebou 3 četaře.
Počet četařů tedy vypočítáme jako: $4 \cdot 3 = 12$.

Počet vojínů

Dále víme, že každý četař má pod sebou 10 vojínů. Protože jsme zjistili, že v rotě je celkem 12 četařů, vynásobíme jejich počet deseti.
Výpočet: $12 \cdot 10 = 120$.

Celkový počet

V rotě je celkem 120 vojínů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Vypočtěte, kolik osob v rotě vydalo rozkaz k nástupu.

Zobrazit odpověď

17 osob

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozkaz od kapitána

Jako první vydal rozkaz kapitán. Předal ho svým 4 poručíkům. To je tedy 1 osoba.

Rozkaz od poručíků

Každý ze 4 poručíků pak vydal rozkaz dál svým četařům. To jsou další 4 osoby, které rozkaz vydaly.

Počet četařů

Každý poručík má pod sebou 3 četaře. Protože máme 4 poručíky, četařů je celkem $4 \cdot 3 = 12$. Každý z těchto 12 četařů předal rozkaz svým vojínům.

Celkový počet

Vojíni už rozkaz nikomu dalšímu nepředávali, ti ho jen přijali. Sečteme všechny osoby, které rozkaz vydaly:
$1 + 4 + 12 = \mathbf{17}$ osob.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.3

Vypočtěte, kolik osob v rotě dostalo rozkaz k nástupu.

Zobrazit odpověď

136 osob

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poručíci

Kapitán vydal rozkaz všem svým poručíkům. Protože má 4 poručíky, rozkaz od něj přímo dostaly 4 osoby.

Četaři

Každý ze 4 poručíků předal rozkaz svým 3 četařům. Celkový počet četařů, kteří rozkaz dostali, vypočítáme jako:
$4 \cdot 3 = 12$
Rozkaz tedy dostalo dalších 12 osob.

Vojíni

Každý z 12 četařů předal rozkaz svým 10 vojínům. Celkový počet vojínů vypočítáme jako:
$12 \cdot 10 = 120$
Rozkaz tedy dostalo dalších 120 osob.

Celkový počet

Sečteme všechny osoby, které rozkaz postupně přijaly (poručíky, četaře a vojíny). Kapitán rozkaz vydal, takže on sám ho od nikoho nedostal.
$4 + 12 + 120 = 136$
Rozkaz k nástupu dostalo celkem 136 osob.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.1

Jana koupila v papírnictví několik stejných linkovaných sešitů, několik stejných čtverečkovaných sešitů a několik stejných kružítek.

Jana koupila celkem 36 sešitů, přičemž linkovaných koupila třikrát více než čtverečkovaných.

Vypočtěte, kolik linkovaných sešitů koupila.

Zobrazit odpověď

27 linkovaných sešitů

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na díly

Víme, že linkovaných sešitů bylo třikrát více než čtverečkovaných. Pokud si čtverečkované sešity představíme jako jeden díl, pak linkované sešity tvoří tři stejné díly.

Celkový počet dílů

Dohromady linkované a čtverečkované sešity tvoří 4 stejné díly (1 díl čtverečkovaných + 3 díly linkovaných).

Výpočet jednoho dílu

Všech 36 sešitů rozdělíme na 4 stejné díly: $36 \div 4 = 9$. Jeden díl tedy odpovídá 9 sešitům.

Počet linkovaných sešitů

Protože linkovaných sešitů byly 3 díly, vynásobíme počet sešitů v jednom dílu třemi: $3 \cdot 9 = 27$.

Výsledek

Jana koupila celkem 27 linkovaných sešitů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Jana koupila v papírnictví několik stejných linkovaných sešitů, několik stejných čtverečkovaných sešitů a několik stejných kružítek.

Dva linkované sešity a dva čtverečkované sešity stojí dohromady 180 korun. Dva čtverečkované sešity stojí stejně jako tři linkované.

Vypočtěte, kolik korun stojí jeden čtverečkovaný sešit.

Zobrazit odpověď

54 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Nahrazení sešitů

Ze zadání víme, že 2 čtverečkované sešity stojí stejně jako 3 linkované sešity. V prvním nákupu (2 linkované + 2 čtverečkované = 180 Kč) proto můžeme nahradit 2 čtverečkované sešity právě těmito 3 linkovanými.

Cena linkovaného sešitu

Dostaneme tak nákup 5 linkovaných sešitů (původní 2 + nové 3 za náhradu) za 180 Kč.
Jeden linkovaný sešit stojí: $180 \div 5 = 36$ Kč.

Cena čtverečkovaného sešitu

Víme, že 2 čtverečkované sešity stojí jako 3 linkované. Jejich cena je tedy $3 \cdot 36 = 108$ Kč.
Jeden čtverečkovaný sešit stojí polovinu: $108 \div 2 = 54$ Kč.

Výsledek

Jeden čtverečkovaný sešit stojí 54 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.3

Jana koupila v papírnictví několik stejných linkovaných sešitů, několik stejných čtverečkovaných sešitů a několik stejných kružítek.

K nákupu šesti kružítek chybělo Janě 160 korun, proto koupila jen čtyři kružítka a zbylo jí 100 korun.

Vypočtěte, kolik korun zaplatila za 4 kružítka.

Zobrazit odpověď

520 korun

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v počtu kružítek

Jana uvažovala o nákupu 6 kružítek, ale nakonec koupila jen 4 kružítka. Rozdíl v počtu je tedy 2 kružítka (6 − 4 = 2).

Rozdíl v penězích

Kdyby Jana koupila 6 kružítek, musela by mít o 160 korun více. Protože koupila jen 4 kružítka, zbylo jí 100 korun. Rozdíl mezi těmito stavy je 160 + 100 = 260 korun. Tento rozdíl přesně odpovídá ceně 2 kružítek, která si Jana nakonec nekoupila.

Cena jednoho kružítka

Jestliže 2 kružítka stojí 260 korun, jedno kružítko stojí polovinu:
260 : 2 = 130 korun.

Cena za 4 kružítka

Jana koupila 4 kružítka. Celkem za ně zaplatila:
4 ⋅ 130 = 520 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Pro děti klubu SEN se letos otevřel pouze sportovní, divadelní a robotický kroužek.
Každé dítě klubu SEN navštěvuje alespoň jeden z těchto tří kroužků – 3 děti navštěvují všechny tři kroužky, 8 dětí navštěvuje právě dva kroužky a ostatní děti jediný kroužek.
Sportovní kroužek navštěvuje 14 dětí, divadelní 12 dětí a robotický 6 dětí.

Vypočtěte, kolik dětí klubu SEN navštěvuje pouze jeden kroužek

Zobrazit odpověď

7 dětí

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet účastí

Nejdříve si spočítáme, kolik je v kroužcích celkem dětí, když sečteme počty dětí v každém kroužku zvlášť. Tím získáme celkový počet účastí (některé děti budou započítány vícekrát):
14 (sportovní) + 12 (divadelní) + 6 (robotický) = 32 účastí.

Děti ve více kroužcích

Teď zjistíme, kolik z těchto 32 účastí připadá na děti, které navštěvují více kroužků:

3 děti navštěvují 3 kroužky: 3 × 3 = 9 účastí
8 dětí navštěvuje 2 kroužky: 8 × 2 = 16 účastí

Dohromady tyto děti vytvoří 9 + 16 = 25 účastí.

Děti v jediném kroužku

Zbývající účasti musí patřit dětem, které navštěvují právě jeden kroužek. Každé takové dítě je započítáno právě jednou, takže jejich počet zjistíme jednoduchým odčítáním:
32 – 25 = 7 dětí.

Závěr

Pouze jeden kroužek navštěvuje 7 dětí.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik dětí je v klubu SEN.

Zobrazit odpověď

18 dětí

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet přihlášek

Nejdříve sečteme počty dětí v jednotlivých kroužcích, abychom zjistili celkový počet „přihlášek“. Některé děti jsou v tomto součtu započítány vícekrát: $14 + 12 + 6 = 32$

Děti s více kroužky

Spočítáme, kolik přihlášek připadá na děti, které navštěvují více kroužků najednou:

3 děti chodí do 3 kroužků: $3 \cdot 3 = 9$ přihlášek.
8 dětí chodí do 2 kroužků: $8 \cdot 2 = 16$ přihlášek.

Dohromady tyto děti vytvoří $9 + 16 = 25$ přihlášek.

Děti s jedním kroužkem

Od celkového počtu všech přihlášek odečteme ty, které patří dětem s více kroužky. Zbytek budou přihlášky dětí, které navštěvují jen jeden kroužek: $32 - 25 = 7$ Pouze jeden kroužek tedy navštěvuje 7 dětí.

Celkový počet dětí

Nyní sečteme všechny skupiny dětí dohromady: $3 + 8 + 7 = 18$ V klubu SEN je celkem 18 dětí.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na odměny pro tři nejlepší soutěžící byla připravena finanční částka v korunách.
První soutěžící získal polovinu této částky.
Druhý soutěžící dostal 300 korun.
Třetí soutěžící získal zbytek připravené částky, což bylo třikrát méně korun, než získal první soutěžící.

Vypočtěte, kolikrát více korun dostal druhý soutěžící než třetí soutěžící.

Zobrazit odpověď

2krát více

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na díly

První soutěžící získal polovinu celé částky. Třetí soutěžící získal třikrát méně než první. Pokud si tedy odměnu prvního představíme jako 3 stejné díly, pak třetí soutěžící dostal právě 1 díl.

Díly pro druhého

První soutěžící má polovinu celku, což jsou 3 díly. Druhý a třetí soutěžící mají dohromady také polovinu celku, tedy rovněž 3 díly. Protože víme, že třetí má 1 díl, na druhého soutěžícího zbývají 2 díly ($3 - 1 = 2$).

Hodnota jednoho dílu

Druhý soutěžící dostal 300 korun a víme, že to odpovídá 2 dílům. Jeden díl má tedy hodnotu 150 korun ($300 : 2 = 150$). Třetí soutěžící dostal právě tento 1 díl, tedy 150 korun.

Porovnání odměn

Druhý soutěžící dostal 300 korun a třetí 150 korun. Abychom zjistili, kolikrát více dostal druhý než třetí, vypočítáme $300 : 150 = 2$. Druhý soutěžící tedy dostal 2krát více korun.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik korun bylo celkem připraveno na odměny.

Zobrazit odpověď

900 korun

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na poloviny

První soutěžící získal přesně polovinu celé částky. To znamená, že na druhého a třetího soutěžícího dohromady zbyla druhá polovina připravených peněz.

Vztah mezi odměnami

Víme, že třetí soutěžící získal třikrát méně než první. To si můžeme představit i obráceně: odměna prvního soutěžícího je stejně velká jako tři odměny třetího soutěžícího.

Výpočet dílků

Protože první soutěžící má polovinu všeho, odpovídá tato polovina třem dílkům (třem odměnám třetího). Druhá polovina (druhý + třetí) musí být stejně velká. Skládá se z 300 korun a jednoho dílku (odměny třetího).
Tato druhá polovina jsou tedy také tři dílky. Pokud od nich odebereme ten jeden dílek pro třetího soutěžícího, zbudou nám dva dílky, které musí odpovídat 300 korunám.

Odměna třetího a prvního

Jeden dílek (odměna třetího) je tedy 150 korun ($300 : 2 = 150$).
První soutěžící dostal tři tyto dílky, tedy 450 korun ($3 \cdot 150 = 450$).

Celková částka

Celkovou částku získáme sečtením všech odměn: $450 + 300 + 150 = 900$.
Na odměny bylo celkem připraveno 900 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží bod C a přímky a, b.

Bod C je vrchol trojúhelníku ABC.
Na přímce a leží vrchol A a na přímce b vrchol B tohoto trojúhelníku.
Strana AC trojúhelníku ABC je rovnoběžná s přímkou b.
Strany AB a AC mají stejnou délku.

Sestrojte vrcholy A, B trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží body K, S a přímka p procházející bodem S.

Bod K je vrchol obdélníku KLMN.
Bod S je střed strany KL tohoto obdélníku.
Přímka p prochází středem S strany KL a středem ještě jedné strany obdélníku KLMN.

Sestrojte vrcholy L, M, N obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Desetiúhelník na obrázku se skládá z jednoho rovnostranného trojúhelníku, pěti stejných čtverců, jednoho šedého obdélníku a dvou stejných šedých trojúhelníků.
Nejkratší strana desetiúhelníku měří 4 cm, nejdelší 20 cm.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod rovnostranného trojúhelníku je 12 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z popisu obrázku víme, že k jedné straně bílého (rovnostranného) trojúhelníku jsou připojeny dva stejné čtverce vedle sebe. To znamená, že délka jedné strany tohoto trojúhelníku se přesně rovná délce dvou stran čtverce.

Určení délky strany čtverce

V zadání se píše, že nejkratší strana celého desetiúhelníku měří 4 cm. Nejkratší úsečky tvořící obvod jsou tvořeny právě stranami jednotlivých čtverců. Strana jednoho čtverce proto musí měřit 4 cm.

Výpočet obvodu trojúhelníku

Strana rovnostranného trojúhelníku odpovídá dvěma stranám čtverce, měří tedy $2 \cdot 4 = 8$ cm. Protože je trojúhelník rovnostranný, všechny jeho tři strany jsou stejně dlouhé. Jeho obvod vypočítáme jako $3 \cdot 8 = 24$ cm.

Závěr

Vyšlo nám, že obvod rovnostranného trojúhelníku je 24 cm. Tvrzení ze zadání, že obvod je 12 cm, tedy není pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod šedého obdélníku je 56 cm.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strana čtverce

Nejkratší strana celého desetiúhelníku odpovídá délce strany jednoho malého bílého čtverce. Podle zadání měří nejkratší strana 4 cm, proto má čtverec stranu dlouhou 4 cm.

Krok 2: Svislá strana obdélníku

Na levé svislé straně šedého obdélníku jsou připojeny dva útvary:

Dole je svislý sloupec tří čtverců. Jeho výška je $3 \cdot 4 = \mathbf{12\text{ cm}}$.
Nahoře je rovnostranný trojúhelník. Na jeho vnější straně leží dva čtverce, proto má strana trojúhelníku délku $2 \cdot 4 = \mathbf{8\text{ cm}}$.

Trojúhelník a sloupec čtverců společně přesně tvoří levou stranu obdélníku. Její svislá délka je tedy $12 + 8 = \mathbf{20\text{ cm}}$.

Krok 3: Vodorovná strana obdélníku

Nejdelší strana celého desetiúhelníku měří podle zadání 20 cm. Z tvaru obrazce vyplývá, že jedinou nepřerušenou vnější rovnou stranou, která může být tou nejdelší, je celá jeho spodní hrana. Ta se skládá ze spodní strany sloupce čtverců (4 cm) a vodorovné spodní strany šedého obdélníku. Vodorovná strana šedého obdélníku tedy měří $20 - 4 = \mathbf{16\text{ cm}}$.

Krok 4: Výpočet obvodu

Nyní známe obě strany šedého obdélníku: 20 cm a 16 cm. Vypočítáme jeho obvod: $O = 2 \cdot (20 + 16) = 2 \cdot 36 = \mathbf{72\text{ cm}}$.

V zadání se tvrdí, že obvod je 56 cm. Vypočítali jsme 72 cm, proto je toto tvrzení nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod šedého trojúhelníku je větší než 50 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor nejkratší strany

Ze zadání víme, že nejkratší strana desetiúhelníku měří 4 cm. Z obrázku vyplývá, že se jedná o stranu jednoho čtverce (a tedy i rovnostranného trojúhelníku). Délka hrany jednoho čtverce je proto 4 cm.

Rozměry šedého trojúhelníku

Svislá strana šedého trojúhelníku odpovídá výšce sloupce, který je tvořen ze tří čtverců nad sebou. Její délka je tak $3 \cdot 4 = 12$ cm.
Nejdelší strana celého desetiúhelníku měří 20 cm. Podle popisu to odpovídá nejdelší (šikmé) straně šedého trojúhelníku.

Zhodnocení obvodu

Známe už dvě strany šedého trojúhelníku: 12 cm a 20 cm. Aby byl jeho obvod větší než 50 cm, musela by třetí (vodorovná) strana měřit více než $50 - 20 - 12 = 18$ cm.
Tato třetí strana je však kratší (ve skutečnosti měří přesně 16 cm). Celkový obvod šedého trojúhelníku je tedy $12 + 16 + 20 = 48$ cm.

Závěr

Obvod šedého trojúhelníku je 48 cm, nedosahuje tedy na hranici 50 cm. Tvrzení není pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Maminka koupila v cukrárně tři různé zákusky.
První zákusek stál 72 korun.
Druhý zákusek byl o čtvrtinu levnější než první.
Cena třetího zákusku byla třetinou celkové ceny všech tří zákusků.

O kolik korun byl třetí zákusek dražší než druhý?

A) o méně než 12 korun
D) o 18 korun
B) o 12 korun
E) o více než 18 korun
C) o 15 korun

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena druhého zákusku

Druhý zákusek je o čtvrtinu levnější než první, který stál 72 korun. Nejdříve zjistíme, kolik je jedna čtvrtina ze 72 korun:
$72 : 4 = 18$ korun.
Druhý zákusek stál o tuto částku méně než první, tedy:
$72 - 18 = 54$ korun.

Součet cen prvních dvou zákusků

Abychom mohli zjistit cenu třetího zákusku, sečteme ceny prvních dvou, které už známe:
$72 + 54 = 126$ korun.

Cena třetího zákusku

Víme, že třetí zákusek stál jednu třetinu celkové ceny za všechny tři zákusky dohromady. To znamená, že zbývající dvě třetiny celkové ceny tvoří právě první a druhý zákusek. Jejich společná cena je 126 korun.
Jednu třetinu (cenu třetího zákusku) vypočítáme tak, že tyto dvě třetiny (126 korun) rozdělíme na dvě stejné části:
$126 : 2 = 63$ korun.

Porovnání a výsledek

Třetí zákusek stál 63 korun a druhý stál 54 korun. Rozdíl v jejich ceně je:
$63 - 54 = 9$ korun.
Třetí zákusek byl tedy o 9 korun dražší než druhý. To odpovídá možnosti A (o méně než 12 korun).

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

V kasičce je celkem 78 mincí – některé jsou pětikorunové a zbývající desetikorunové.
Hodnota všech pětikorunových mincí v kasičce je stejná jako hodnota všech desetikorunových mincí v kasičce.

Jaká je hodnota všech mincí v kasičce?

A) 390 korun
D) 780 korun
B) 520 korun
E) jiná hodnota
C) 585 korun

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr počtu mincí

Víme, že celková hodnota pětikorun i desetikorun je stejná. Protože jedna desetikoruna má stejnou hodnotu jako dvě pětikoruny ($10 = 2 \cdot 5$), musí být v kasičce přesně dvakrát více pětikorun než desetikorun.

Rozdělení na skupinky

Můžeme si mince v duchu rozdělit do stejných skupinek. V každé skupince bude 1 desetikoruna a 2 pětikoruny. Jedna skupinka tedy obsahuje 3 mince ($1 + 2 = 3$).

Počet mincí v kasičce

Celkem je v kasičce 78 mincí. Zjistíme, kolik takových skupinek po třech mincích tam je:
$78 \div 3 = 26$
V kasičce je tedy 26 skupinek, což znamená 26 desetikorun a 52 pětikorun ($26 \cdot 2 = 52$).

Výpočet celkové hodnoty

Nyní spočítáme hodnotu obou druhů mincí:
Desetikoruny: $26 \cdot 10 = 260$ korun
Pětikoruny: $52 \cdot 5 = 260$ korun
Dohromady: $260 + 260 = 520$ korun.

Závěr

Celková hodnota všech mincí v kasičce je 520 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Stavebnice obsahuje samé stejné dílky.
Každý dílek má tvar kvádru s rozměry 6 cm, 4 cm a 4 cm.

Kolik dílků stavebnice je třeba ke složení kvádru s rozměry 8 cm, 12 cm a 16 cm?

A) méně než 12 dílků
D) 32 dílků
B) 12 dílků
E) více než 32 dílků
C) 16 dílků

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor rozměrů

Jeden dílek má tvar kvádru s rozměry 6 cm, 4 cm a 4 cm. Chceme z těchto dílků složit větší kvádr o rozměrech 8 cm, 12 cm a 16 cm.

Skládání dílků do kvádru

Musíme zjistit, jak dílky natočit, aby se do velkého kvádru přesně vešly. Porovnáme hrany velkého kvádru s hranami malého dílku tak, aby vycházela celá čísla:

Podél hrany 8 cm položíme 2 dílky stranou dlouhou 4 cm ($8 : 4 = 2$).
Podél hrany 12 cm položíme 2 dílky stranou dlouhou 6 cm ($12 : 6 = 2$).
Podél hrany 16 cm položíme 4 dílky stranou dlouhou 4 cm ($16 : 4 = 4$).

Výpočet celkového počtu

Celkový počet dílků zjistíme tak, že vynásobíme počty dílků v jednotlivých směrech:
$2 \times 2 \times 4 = 16$

Závěr

Ke složení kvádru je zapotřebí 16 dílků.

Správná odpověď je C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Stavebnice obsahuje samé stejné dílky.
Každý dílek má tvar kvádru s rozměry 6 cm, 4 cm a 4 cm.

Kolik dílků stavebnice je třeba ke složení nejmenší možné krychle?

A) méně než 6 dílků
D) 18 dílků
B) 6 dílků
E) více než 24 dílků
C) 12 dílků

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor rozměrů

Krychle má všechny strany stejně dlouhé. Abychom ji mohli poskládat z dílků o rozměrech 6 cm, 4 cm a 4 cm, musí být délka hrany krychle společným násobkem těchto rozměrů.

Krok 2: Hledání hrany nejmenší krychle

Hledáme nejmenší číslo, které je dělitelné 6 i 4:
• Násobky 6: 6, 12, 18, 24, ...
• Násobky 4: 4, 8, 12, 16, ...

Nejmenší společný násobek je 12. Nejmenší možná krychle tedy bude mít hranu dlouhou 12 cm.

Krok 3: Výpočet počtu dílků v každém směru

Zjistíme, kolik dílků se vejde podél každé hrany krychle (12 cm):

Podél rozměru 6 cm: $12 : 6 = 2$ dílky
Podél prvního rozměru 4 cm: $12 : 4 = 3$ dílky
Podél druhého rozměru 4 cm: $12 : 4 = 3$ dílky

Krok 4: Celkový počet dílků

Celkový počet dílků v krychli zjistíme vynásobením těchto počtů:
$2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$

Krok 5: Závěr

Ke složení nejmenší možné krychle je třeba 18 dílků.

Správná odpověď je D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Graf udává, kolik kg odpadu vytřídily tři skautské oddíly R, S a T.

Do neúplné věty doplňte na vynechané místo (……………) chybějící část (A–F) tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení.

Oddíl R vytřídil …………… méně kg papíru než oddíl S

A) o šestinu
D) o třetinu
B) o pětinu
E) o polovinu
C) o čtvrtinu
F) dvakrát

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čtení z grafu

Podíváme se do grafu a vyčteme z něj, kolik kilogramů papíru vytřídily oddíly R a S.

Oddíl R vytřídil 6 kg papíru.
Oddíl S vytřídil 8 kg papíru.

Výpočet rozdílu a určení části

Nejprve spočítáme rozdíl v kilogramech: $8 - 6 = 2$ kg Oddíl R vytřídil o 2 kg papíru méně než oddíl S.

Zadání se ptá, o jakou část vytřídil oddíl R méně papíru „než oddíl S“. Budeme proto porovnávat vypočtené 2 kg s hodnotou oddílu S, což je 8 kg.

Zjistíme, kolikrát se 2 kg vejdou do 8 kg: $8 : 2 = 4$ Dva kilogramy představují jednu čtvrtinu z osmi kilogramů.

Oddíl R vytřídil o čtvrtinu méně papíru než oddíl S.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Graf udává, kolik kg odpadu vytřídily tři skautské oddíly R, S a T.

Do neúplné věty doplňte na vynechané místo (……………) chybějící část (A–F) tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení.

Oddíly S a T dohromady vytřídily …………… více kg plastu než oddíl R.

A) o šestinu
D) o třetinu
B) o pětinu
E) o polovinu
C) o čtvrtinu
F) dvakrát

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme, kolik kilogramů plastu vytřídily jednotlivé oddíly. Prostřední (bílý) pruh u každého oddílu označuje plast.

Oddíl R vytřídil 15 kg plastu (úsek od 6 do 21 kg).
Oddíl S vytřídil 11 kg plastu (úsek od 8 do 19 kg).
Oddíl T vytřídil 9 kg plastu (úsek od 1 do 10 kg).

Množství plastu oddílů S a T dohromady

Spočítáme, kolik plastu vytřídily oddíly S a T dohromady: $11 + 9 = 20\text{ kg}$

Porovnání s oddílem R

Zajímá nás, o kolik kilogramů vytřídily oddíly S a T (20 kg) více než oddíl R (15 kg). Vypočítáme rozdíl: $20 - 15 = 5\text{ kg}$

Nyní určíme, jakou část z množství oddílu R (15 kg) tvoří tento rozdíl (5 kg). Protože $15 : 3 = 5$, tvoří 5 kg přesně jednu třetinu z 15 kg. Oddíly S a T tedy vytřídily o třetinu více plastu než oddíl R. Správná odpověď je D.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Graf udává, kolik kg odpadu vytřídily tři skautské oddíly R, S a T.

Do neúplné věty doplňte na vynechané místo (……………) chybějící část (A–F) tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení.

Všechny tři oddíly dohromady vytřídily …………… více kg papíru než kovů.

A) o šestinu
D) o třetinu
B) o pětinu
E) o polovinu
C) o čtvrtinu
F) dvakrát

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čtení z grafu

Nejdříve z grafu vyčteme, kolik kilogramů papíru a kovů vytřídil každý ze tří oddílů.

Oddíl R: 6 kg papíru a 3 kg kovů
Oddíl S: 8 kg papíru a 3 kg kovů
Oddíl T: 1 kg papíru a 4 kg kovů

Celkové množství

Potom spočítáme, kolik papíru a kolik kovů vytřídily všechny tři oddíly dohromady.

Papír: 6 + 8 + 1 = 15 kg
Kovy: 3 + 3 + 4 = 10 kg

Porovnání

Víme, že oddíly vytřídily 15 kg papíru a 10 kg kovů. Papíru je tedy o 5 kg více (15 − 10 = 5). Zajímá nás, jaká část z množství kovů (10 kg) to je. Protože 5 kg je přesně polovina z 10 kg, oddíly vytřídily o polovinu více papíru než kovů.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Ze stejně velkých světlých a tmavých čtverečků tvoříme obrazce tvaru čtverce nebo obdélníku. Základní obrazec je tvořen jednou nebo více řadami světlých čtverečků.

Z každého základního obrazce vytvoříme rozšířený obrazec tak, že přidáme nahoru jednu řadu tmavých čtverečků a pak vlevo i vpravo po jednom sloupci tmavých čtverečků.

Ze základního obrazce, který má 5 řad,
vytvoříme rozšířený obrazec přidáním 30 tmavých čtverečků.

Určete počet sloupců v základním obrazci.

Zobrazit odpověď

18 sloupců

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z ukázky vidíme, že tmavé čtverečky obklopují základní obrazec shora a ze stran. Tvoří jednu dlouhou horní řadu a pod ní dva sloupce po stranách.

Výpočet tmavých čtverečků po stranách

Základní obrazec v naší úloze má 5 řad. To znamená, že podél něj vede vlevo sloupec s 5 tmavými čtverečky a vpravo také sloupec s 5 tmavými čtverečky. Dohromady je to na obou stranách $5 + 5 = 10$ tmavých čtverečků.

Výpočet čtverečků v horní řadě

Všech tmavých čtverečků v rozšířeném obrazci je 30. Když od nich odečteme 10 čtverečků na stranách, zjistíme, kolik jich je v horní řadě: $30 - 10 = 20$ Horní řada se skládá z 20 tmavých čtverečků.

Výpočet sloupců základního obrazce

Horní řada pokrývá sloupce základního obrazce a navíc přesahuje o jeden čtvereček vlevo a o jeden čtvereček vpravo (celkem o $1 + 1 = 2$ čtverečky). Když tyto dva krajní čtverečky odečteme, získáme počet sloupců základního obrazce: $20 - 2 = 18$ Základní obrazec má 18 sloupců.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Rozšířený obrazec má 3 řady a tvoří jej stejný počet tmavých a světlých čtverečků.

Určete počet sloupců v rozšířeném obrazci.

Zobrazit odpověď

8 sloupců

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet řad v základním obrazci

Rozšířený obrazec má podle zadání 3 řady. Víme, že vznikl tak, že jsme k základnímu obrazci (ze světlých čtverečků) přidali jednu horní řadu tmavých čtverečků. Základní obrazec má tedy $3 - 1 = 2$ řady světlých čtverečků.

Rozložení čtverečků

Představme si sloupce rozšířeného obrazce. Po stranách jsme přidali levý a pravý sloupec tvořený jen tmavými čtverečky. Protože má obrazec 3 řady, je v obou těchto sloupcích dohromady $3 + 3 = 6$ tmavých čtverečků. Mezi těmito okraji leží prostřední sloupce (ty tvořily základní obrazec). V každém takovém sloupci jsou dole 2 světlé čtverečky a nad nimi 1 tmavý čtvereček z přidané horní řady.

Počet sloupců v základním obrazci

Podle zadání je v rozšířeném obrazci stejný počet tmavých a světlých čtverečků. Z okrajů obrazce máme „náskok“ 6 tmavých čtverečků. V každém prostředním sloupci máme naopak převahu světlých čtverečků, a to přesně o jeden ($2$ světlé a $1$ tmavý). Abychom dorovnali ztrátu 6 světlých čtverečků z okrajů, musí být těchto prostředních sloupců přesně 6. Základní obrazec měl proto 6 sloupců.

Výpočet počtu sloupců

Rozšířený obrazec tvoří sloupce základního obrazce a dva přidané krajní sloupce. Počet sloupců rozšířeného obrazce je $6 + 2 = 8$.

Můžeme provést zkoušku: obrazec se 3 řadami a 8 sloupci má $3 \cdot 8 = 24$ čtverečků. Světlých je $2 \cdot 6 = 12$, tmavých je také $24 - 12 = 12$. Vše sedí.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Můžeme najít mnoho rozšířených obrazců s 50 tmavými čtverečky.

Určete počet všech těchto rozšířených obrazců.

Zobrazit odpověď

23 rozšířených obrazců

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Zadání říká, že rozšířený obrazec vznikne ze základního obrazce (který má nějaký počet řad a sloupců) tak, že přidáme:

jednu řadu tmavých čtverečků nahoru,
jeden sloupec tmavých čtverečků vlevo,
jeden sloupec tmavých čtverečků vpravo.

Pokud má základní obrazec R řad a C sloupců, pak horní tmavá řada má C + 2 čtverečků (přesahuje o jeden na každé straně). Na bocích pak přibudou dva sloupce, každý o výšce R tmavých čtverečků. Celkový počet tmavých čtverečků vypočítáme jako: (C + 2) + 2 · R.

Sestavení rovnice

Hledáme obrazce, které mají přesně 50 tmavých čtverečků. Dosadíme číslo 50 do našeho vztahu:

50 = (C + 2) + 2 · R

Z rovnice odečteme 2 a získáme:

48 = C + 2 · R

Z toho vidíme, že počet sloupců C vypočítáme tak, že od čísla 48 odečteme dvojnásobek počtu řad: C = 48 - 2 · R.

Hledání počtu řešení

Základní obrazec musí mít alespoň jednu řadu (R ≥ 1) a alespoň jeden sloupec (C ≥ 1). Zkoušíme postupně dosazovat za R:

Pro R = 1 je C = 48 - 2 = 46.
Pro R = 2 je C = 48 - 4 = 44.
Takto můžeme pokračovat až k nejvyššímu možnému počtu řad.
Pro R = 23 je C = 48 - 46 = 2.
Pro R = 24 by bylo C = 48 - 48 = 0, což už nejde (musí tam být aspoň jeden sloupec).

Závěr

Počet řad R může být libovolné celé číslo od 1 do 23. Pro každou tuto volbu dostaneme právě jeden odpovídající počet sloupců C, a tedy jeden konkrétní obrazec. Celkem tedy existuje 23 různých rozšířených obrazců.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body