Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2023

27 úloh

PDF+Klíč

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 2 \cdot 910 + 600 \right) \div 11 - 1=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Nejdříve vypočítáme násobení uvnitř závorky: $2 \cdot 910 = 1820$.

Součet v závorce

K výsledku přičteme 600, abychom dokončili výpočet v závorce: $1820 + 600 = 2420$.

Dělení

Nyní výsledek závorky vydělíme číslem 11: $2420 \div 11 = 220$.

Odečítání

Nakonec od získaného čísla odečteme 1: $220 - 1 = 219$.

Výsledek

Po provedení všech operací ve správném pořadí je výsledek 219.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

219

Stav úlohy

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 73 \cdot 15 - 23 \cdot 15 + 50 \cdot 35=$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výrazu

V první části příkladu máme $73 \cdot 15 - 23 \cdot 15$. Vidíme, že obě čísla násobíme patnáctkou. Můžeme si to tedy zjednodušit jako rozdíl počtu patnáctek: $(73 - 23) \cdot 15 = 50 \cdot 15$.

Druhá část výrazu

K výsledku první části máme přičíst $50 \cdot 35$. Celý příklad teď vypadá takto: $50 \cdot 15 + 50 \cdot 35$. Znovu vidíme společné číslo, tentokrát je to $50$. Máme 15 padesátek a k nim přidáme 35 padesátek: $50 \cdot (15 + 35) = 50 \cdot 50$.

Finální výpočet

Celý příklad jsme si zjednodušili na součin $50 \cdot 50$, což se vypočítá snadno: $50 \cdot 50 = 2500$.

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 2500.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2 500

Stav úlohy

2 body

Úloha 2.1

Představení trvalo i s přestávkou 2 hodiny 35 minut.
Přestávka tvořila jednu pětinu této doby.

Vypočtěte, kolik minut trvala přestávka.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková doba v minutách

Nejdříve si celkovou dobu představení i s přestávkou převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut.
$2 \text{ h } 35 \text{ min} = 2 \cdot 60 + 35 = 120 + 35 = 155 \text{ minut}$

Délka přestávky

Přestávka tvořila jednu pětinu z celkové doby 155 minut. Musíme tedy 155 minut vydělit pěti:
$155 \div 5 = 31 \text{ minut}$
(Pomůžeme si rozkladem: $150 \div 5 = 30$ a $5 \div 5 = 1$, dohromady $30 + 1 = 31$).

Odpověď

Přestávka trvala 31 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 2.2

Lomená čára se skládá ze dvou úseček.
Délka celé lomené čáry je 2 m 4 cm 2 mm a první úsečka je dlouhá 52 cm 6 mm.

Vypočtěte v mm délku druhé úsečky lomené čáry.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod celkové délky

Celková délka lomené čáry je 2 m 4 cm 2 mm. Pro snadnější výpočet si ji nejdříve převedeme na milimetry:

2 m = 2 000 mm
4 cm = 40 mm

Dohromady tedy: $2000 + 40 + 2 = 2042$ mm.

Převod první úsečky

Délka první úsečky je 52 cm 6 mm. Tuto délku také vyjádříme v milimetrech:

52 cm = 520 mm

Dohromady tedy: $520 + 6 = 526$ mm.

Výpočet druhé úsečky

Délku druhé úsečky zjistíme tak, že od celkové délky odečteme délku první části:
$2042 - 526 = 1516$ mm.

Výsledek

Délka druhé úsečky lomené čáry je 1 516 mm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

1516 mm

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Adam, Běta i Cyril sbírají kartičky s pokémony.
Adam jich má o 50 více než Běta a Cyril jich má o 20 méně než Běta.
Adam jich má dvakrát více než Cyril.

Vypočtěte, kolik kartiček s pokémony má Běta.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi Adamem a Cyrilem

Adam má o 50 kartiček více než Běta a Cyril má o 20 méně než Běta. Celkový rozdíl mezi Adamem a Cyrilem je tedy 70 kartiček ($50 + 20 = 70$).

Počet kartiček Cyrila

Adam má dvakrát více kartiček než Cyril. Pokud má někdo něčeho dvakrát více, pak rozdíl mezi nimi odpovídá právě té menší části. Rozdíl 70 kartiček je tedy roven počtu kartiček Cyrila. Cyril má 70 kartiček.

Počet kartiček Běty

Víme, že Cyril má o 20 kartiček méně než Běta. Běta musí mít tedy o 20 kartiček více než Cyril:

70 + 20 = 90

Závěr

Běta má 90 kartiček s pokémony.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

90 kartiček

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

V obchodě prodávají sběratelské kartičky v baleních jednak po čtyřech, jednak po sedmi kartičkách. Během týdne prodali celkem 224 kartiček, přičemž balení po čtyřech kartičkách prodali o 10 méně než balení po sedmi kartičkách.

Vypočtěte, kolik balení sběratelských kartiček během týdne celkem prodali.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Balení po sedmi navíc

Víme, že balení po sedmi kartičkách se prodalo o 10 více než balení po čtyřech. Vypočítáme, kolik kartiček je v těchto deseti baleních navíc:
$10 \cdot 7 = 70$

Zbývající kartičky

Když těchto 70 kartiček odečteme od celkového počtu, zjistíme, kolik kartiček bylo v baleních, kterých se prodalo stejné množství:
$224 - 70 = 154$

Počet stejných balení

Jedno balení po čtyřech a jedno po sedmi mají dohromady $4 + 7 = 11$ kartiček. Počet těchto „dvojic“ balení zjistíme dělením:
$154 : 11 = 14$
Prodalo se tedy 14 balení po čtyřech a k nim 14 balení po sedmi.

Celkový počet balení

Dohromady se prodalo 14 balení po čtyřech a $14 + 10 = 24$ balení po sedmi.
$14 + 24 = 38$
Celkem se prodalo 38 balení.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

38 balení

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.1

Závodník uběhl celou trasu za 3 hodiny.
Během první hodiny uběhl třetinu celé trasy.
Během poslední hodiny uběhl jen 9 km, což byla čtvrtina celé trasy.

Vypočtěte, kolik km uběhl závodník během druhé hodiny.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka celé trasy

Víme, že během poslední hodiny závodník uběhl 9 km, což byla čtvrtina celé trasy. Celou trasu (čtyři čtvrtiny) tedy vypočítáme tak, že délku jedné čtvrtiny vynásobíme čtyřmi:
9 · 4 = 36 km

První hodina

Během první hodiny závodník uběhl třetinu celé trasy. Celou trasu jsme si vypočítali (36 km), takže její třetinu zjistíme vydělením třemi:
36 : 3 = 12 km

Druhá hodina

Závodník běžel celkem 3 hodiny. Víme, kolik uběhl v první hodině (12 km) a v poslední hodině (9 km). Dohromady za tyto dvě hodiny uběhl:
12 + 9 = 21 km

Do konce celé trasy (36 km) mu tedy v druhé hodině zbývalo uběhnout:
36 – 21 = 15 km

Závěr

Během druhé hodiny závodník uběhl 15 km.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15 km

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

Při rozklusání uběhla Ema o 900 m kratší trasu než Marek.
Oba běželi nejprve spolu. Jakmile Marek uběhl pětinu své trasy, zrychlil a dále běželi každý sám.
Ema v doprovodu Marka uběhla třetinu své trasy.

Vypočtěte, kolik metrů uběhl při rozklusání Marek.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání společné části

Ze zadání víme, že Ema a Marek běželi nejprve určitou část cesty společně. Marek za tu dobu uběhl pětinu ($\frac{1}{5}$) své trasy, zatímco Ema za stejnou dobu uběhla třetinu ($\frac{1}{3}$) své trasy. To znamená, že pětina Markovy trasy je stejně dlouhá jako třetina Eminy trasy.

Znázornění pomocí dílků

Představme si Markovu trasu rozdělenou na 5 stejných dílků. Jeden tento dílek odpovídá společné části. Protože Ema za stejnou dobu uběhla třetinu své trasy, musí se její celá trasa skládat ze 3 takových stejně dlouhých dílků.
Marek: 5 dílků
Ema: 3 dílky

Výpočet rozdílu

Marek uběhl o 2 dílky více než Ema ($5 - 3 = 2$). Zároveň víme, že Marek uběhl o 900 metrů více než Ema. Tyto 2 dílky tedy musí dohromady měřit 900 metrů.

Délka Markovy trasy

Nejdříve vypočítáme délku jednoho dílku:
$900 \div 2 = 450\text{ m}$
Marek uběhl celkem 5 takových dílků:
$5 \cdot 450 = 2\,250\text{ m}$

Závěr

Marek při rozklusání uběhl 2 250 metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

2 250 m

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Šestiúhelník na obrázku se skládá z rovnoramenného trojúhelníku, obdélníku a čtverce. Základna rovnoramenného trojúhelníku splývá s delší stranou obdélníku a rameno tohoto trojúhelníku je o 1 cm delší než strana čtverce. Obvod čtverce je stejný jako obvod trojúhelníku, ale o 8 cm menší než obvod obdélníku.

Vypočtěte, o kolik cm se liší délka a šířka obdélníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obvodů čtverce a obdélníku

Z obrázku vidíme, že čtverec a obdélník mají stejnou výšku. Označíme si ji jako šířku obdélníku. Tato šířka je zároveň stranou čtverce.
Obvod čtverce tvoří 4 stejné strany (šířky).
Obvod obdélníku tvoří 2 šířky a 2 délky.
Víme, že obvod obdélníku je o 8 cm větší než obvod čtverce (protože obvod čtverce je o 8 cm menší než obvod obdélníku).

Rozdíl délky a šířky

Představ si, že ze čtverce vytvoříš obdélník prodloužením horní a dolní strany o stejný kousek. Levá a pravá strana zůstanou stejné. Celý obvod se zvětšil o 8 cm, což jsou právě dva stejně dlouhé přidané kousky. Každý měří 8 : 2 = 4 cm. Délka obdélníku tedy převyšuje jeho šířku o 4 cm.

Výsledek

Délka a šířka obdélníku se liší o 4 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

o 4 cm

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik cm měří rameno rovnoramenného trojúhelníku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka obdélníku

Kratší strana obdélníku je stejně dlouhá jako strana připojeného čtverce. Obdélník má místo dvou stran čtverce dvě delší strany. Jeho obvod je větší o 8 cm, takže každá delší strana převyšuje stranu čtverce o 8 : 2 = 4 cm. Stejně dlouhá je základna trojúhelníku.

Porovnání obvodu trojúhelníku a čtverce

Představ si tři úsečky, každou dlouhou jako strana čtverce. Aby z nich vznikly strany trojúhelníku, musíme jednu prodloužit o 4 cm (základna) a zbývající dvě každou o 1 cm (ramena). Obvod trojúhelníku tedy tvoří tři strany čtverce a navíc 4 + 1 + 1 = 6 cm.

Čtvrtá strana čtverce

Obvod čtverce tvoří čtyři stejné strany a je stejně dlouhý jako obvod trojúhelníku. Po odebrání tří stejných stran z obou obvodů zůstane jedna strana čtverce a 6 cm. Strana čtverce tedy měří 6 cm.

Rameno trojúhelníku

Rameno je o 1 cm delší než strana čtverce: 6 + 1 = 7 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

7 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Čtyřúhelník ABCD na obrázku se skládá ze 7 šedých čtverců a 4 bílých čtverců. Obvod jednoho šedého čtverce je 48 cm.

Vypočtěte v cm obvod jednoho bílého čtverce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strana šedého čtverce

Ze zadání víme, že obvod jednoho šedého čtverce je 48 cm. Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany, takže délku jedné strany vypočítáme jako:
48 : 4 = 12 cm

Výška dvou bílých čtverců

Pod horní šedou řadou jsou uprostřed tři šedé čtverce nad sebou. Jejich celková výška je 3 · 12 = 36 cm. Stejnou výšku zabírají po každé straně dva bílé čtverce nad sebou.

Strana bílého čtverce

Dva bílé čtverce nad sebou mají stejnou šířku, a proto i stejnou stranu. Jejich společnou výšku rozdělíme na poloviny: 36 : 2 = 18 cm.

Krok 5: Obvod bílého čtverce

Nyní už můžeme vypočítat obvod jednoho bílého čtverce o straně 18 cm:
4 × 18 = 72 cm

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

72 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Čtyřúhelník ABCD na obrázku se skládá ze 7 šedých čtverců a 4 bílých čtverců. Obvod jednoho šedého čtverce je 48 cm.

Vypočtěte v cm obvod celého čtyřúhelníku ABCD.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strana šedého čtverce

Ze zadání víme, že obvod jednoho šedého čtverce je 48 cm. Protože má čtverec čtyři stejně dlouhé strany, vypočítáme délku jedné strany šedého čtverce jako:
48 : 4 = 12 cm

Krok 2: Šířka čtyřúhelníku ABCD

Podle obrázku tvoří horní část čtyřúhelníku $ABCD$ vodorovný pás čtyř šedých čtverců vedle sebe. Šířka celého obrazce je tedy rovna čtyřnásobku strany jednoho malého čtverce:
4 × 12 = 48 cm

Krok 3: Výška čtyřúhelníku ABCD

Víme, že v celém obrazci je celkem 7 šedých čtverců. Čtyři z nich tvoří horní řadu. Zbývající tři šedé čtverce ($7 - 4 = 3$) jsou naskládány pod sebou a tvoří svislou „nohu“ obrazce.
Výška celého čtyřúhelníku $ABCD$ se tedy skládá z výšky horní řady (12 cm) a výšky nohy (3 čtverce pod sebou, tedy $3 \times 12 = 36$ cm):
12 + 36 = 48 cm

Krok 4: Obvod celého čtyřúhelníku ABCD

Čtyřúhelník $ABCD$ má šířku 48 cm a výšku 48 cm (jde tedy o čtverec). Jeho obvod vypočítáme jako součet všech čtyř stran:
4 × 48 = 192 cm

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

192 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží úsečka KL a přímka a.

Body K, L leží uvnitř dvou různých stran obdélníku ABCD. Strana AB tohoto obdélníku leží na přímce a. Některá strana obdélníku ABCD je dvakrát delší než úsečka KL.

Sestrojte všechny vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
1 bod: Z požadovaných obdélníků je sestrojen pouze jeden, a to s mírnou nepřesností.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2023, úloha 7.1

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží přímka p a přímka q procházející bodem R.

Bod R je vrchol pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku PQR se základnou PQ. Na přímce p leží vrchol P a na přímce q leží vrchol Q trojúhelníku PQR.

Sestrojte vrcholy P, Q trojúhelníku PQR, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body: Vzorové řešení výše.
2 body: Z požadovaných trojúhelníků je sestrojen pouze jeden, a to přesně.
1 bod: Nastane právě jedna z následujících situací:
Pouze vrchol P je sestrojen správně, vrchol Q leží na přímce q, ale žádný ze sestrojených pravoúhlých trojúhelníků není rovnoramenný.
Namísto požadovaných trojúhelníků je sestrojen alespoň jeden pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, který nevyhovuje zadání kvůli záměně základny (jeho základnou je strana PR, resp. QR, namísto PQ), ostatní podmínky zadání jsou však splněny a konstrukce je přesná.
0 bodů: Pouze zcela chybné nebo velmi nepřesné konstrukce.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2023, úloha 7.2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C. V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, jeden údaj však chybí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V oddíle C je 5 dívek.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet dětí v oddíle A

Z grafu vidíme, že v oddíle A je 9 chlapců a 7 dívek. Sečtením těchto hodnot zjistíme celkový počet dětí v tomto oddíle: $9 + 7 = 16$ dětí.

Krok 2: Výpočet celkového počtu dětí v oddíle C

Zadání uvádí, že v oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C. To znamená, že v oddíle C je polovina počtu dětí z oddílu A: $16 : 2 = 8$ dětí.

Krok 3: Určení počtu dívek v oddíle C

V oddíle C je celkem 8 dětí a z grafu víme, že z tohoto počtu jsou 3 chlapci. Počet dívek tedy vypočítáme jako: $8 - 3 = 5$ dívek.

Závěr

Výpočet potvrdil, že v oddíle C je skutečně 5 dívek, tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V oddíle B je chlapců o polovinu více než dívek.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z obrázku si vyčteme údaje pro oddíl B. Vidíme, že v něm je 8 chlapců a 4 dívky.

Ověření tvrzení

Máme rozhodnout, zda je chlapců o polovinu více než dívek. Nejdříve si vypočítáme, kolik je polovina z počtu dívek: $4 : 2 = 2$. Kdyby bylo chlapců o polovinu více než dívek, muselo by jich být $4 + 2 = 6$. My ale z grafu víme, že chlapců je 8.

Závěr

Chlapců je 8, což je dvakrát více než dívek, nikoliv o polovinu více. Tvrzení je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Na táboře je dívek o pětinu méně než chlapců.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadaných údajů

Z grafu vyčteme počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech:

Oddíl A: 9 chlapců a 7 dívek, celkem $9 + 7 = 16$ dětí.
Oddíl B: 8 chlapců a 4 dívky, celkem $8 + 4 = 12$ dětí.
Oddíl C: 3 chlapci a neznámý počet dívek.

Výpočet chybějícího údaje

Ze zadání víme, že v oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C.

Oddíl A má 16 dětí, takže oddíl C má polovinu, tedy $16 : 2 = 8$ dětí.
V oddíle C jsou 3 chlapci, takže počet dívek dopočítáme odečtením chlapců od všech dětí v oddíle: $8 - 3 = 5$ dívek.

Celkové počty chlapců a dívek

Nyní můžeme sečíst všechny chlapce a dívky na táboře.

Počet chlapců: $9 + 8 + 3 = 20$ chlapců.
Počet dívek: $7 + 4 + 5 = 16$ dívek.

Ověření tvrzení

Tvrzení říká: „Na táboře je dívek o pětinu méně než chlapců.“

Vypočítáme pětinu z počtu chlapců (ze 20): $20 : 5 = 4$.
O pětinu méně než chlapců znamená odečíst tuto pětinu: $20 - 4 = 16$.
Tento počet se shoduje s naším vypočítaným počtem dívek (16).

Tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 9

V obchodě s oříšky míchají směs arašídů a mandlí a prodávají ji v různě velkých baleních. Sto gramů této směsi se prodává za 20 korun, přičemž sto gramů arašídů stojí 10 korun. Tereza si koupila 800gramové balení této směsi. V takovém balení je vždy 300 g arašídů. Cena směsi závisí pouze na hmotnosti a ceně použitých surovin.

Kolik korun stojí sto gramů mandlí?

A) 26 korun
D) 29 korun
B) 27 korun
E) jiný počet korun
C) 28 korun

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení směsi

V 800gramovém balení je 300 g arašídů. Zbytek balení tvoří mandle. Hmotnost mandlí vypočítáme tak, že od celkové hmotnosti odečteme hmotnost arašídů:
$800 - 300 = 500\text{ g}$
V balení je tedy 500 g mandlí.

Cena celého balení

Víme, že 100 g směsi stojí 20 Kč. Celé balení váží 800 g, což je osmkrát 100 g. Cena celého balení je tedy:
$8 \cdot 20 = 160\text{ Kč}$

Cena arašídů v balení

Víme, že 100 g arašídů stojí 10 Kč. V balení jsou 300 g arašídů, což jsou tři 100gramové porce. Cena arašídů v balení je:
$3 \cdot 10 = 30\text{ Kč}$

Cena mandlí

Cena směsi závisí jen na ceně surovin. Od celkové ceny balení (160 Kč) odečteme cenu arašídů (30 Kč), abychom zjistili, kolik stojí mandle v balení:
$160 - 30 = 130\text{ Kč}$
Těchto 130 Kč zaplatíme za 500 g mandlí.

Cena za 100 g mandlí

Víme, že 500 g mandlí stojí 130 Kč. Chceme zjistit cenu za 100 g. Protože 500 g je pětkrát více než 100 g, vydělíme cenu pěti:
$130 : 5 = 26\text{ Kč}$
Sto gramů mandlí stojí 26 Kč. Správná odpověď je tedy A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

Honza má kouzelný provázek. Pokaždé když jej rozstřihne, kratší kus provázku zmizí a delší část provázku se okamžitě prodlouží na dvojnásobek. Kouzelný provázek měřil 44 cm a Honza ho dvakrát po sobě rozstřihl. V obou případech zmizela stejně dlouhá část provázku a po prvním prodloužení provázek měřil 66 cm.

Kolik cm měřil kouzelný provázek po druhém prodloužení?

A) 66 cm
D) 132 cm
B) 88 cm
E) jiný počet cm
C) 110 cm

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První střih a zmizelá část

Před prvním střihem měl provázek 44 cm. Po rozstřižení jedna část zmizela a ta druhá (delší) se zdvojnásobila na 66 cm. Abychom zjistili, kolik měřila delší část před zdvojnásobením, vydělíme 66 dvěma:
66 : 2 = 33 cm
Z původních 44 cm tedy zbyla část dlouhá 33 cm. Část, která zmizela, vypočítáme jako rozdíl:
44 − 33 = 11 cm
Zmizelá část měřila 11 cm.

Druhý střih

Nyní má provázek 66 cm a Honza ho rozstřihne podruhé. Víme, že zmizela stejně dlouhá část jako poprvé, tedy 11 cm. Po odstřižení tedy z provázku zbude:
66 − 11 = 55 cm

Konečná délka

Tato zbývající část (55 cm) se podle pravidla okamžitě prodlouží na dvojnásobek:
2 · 55 = 110 cm
Po druhém prodloužení měřil kouzelný provázek 110 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 11

Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.

Kolik kuliček celkem obsahuje Filipův model krychle?

A) 36 kuliček
D) 64 kuliček
B) 48 kuliček
E) jiný počet kuliček
C) 56 kuliček

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvních dvou modelů

Podíváme se na modely ze zadání a zjistíme, jak se počítají kuličky:

1. model (Denisa): na jedné hraně je 1 tyčka. Kuličky jsou na koncích tyček, takže v jedné řadě na hraně jsou 2 kuličky. Model má celkem $2 \times 2 \times 2 = 8$ kuliček.
2. model (Emil): na jedné hraně jsou 2 tyčky. Kuliček v řadě je vždy o 1 víc než tyček na hraně, takže jich je 3. Celkový počet kuliček je $3 \times 3 \times 3 = 27$.

Počet kuliček v řadě na hraně je tedy vždy o 1 větší, než je pořadí modelu.

Filipův model

Filip vytvořil třetí nejmenší model krychle. Na jedné hraně proto bude mít 3 tyčky, a tím pádem 4 kuličky v řadě. Celkový počet kuliček získáme vynásobením pro všechny tři rozměry (délka, šířka, výška):
$4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$
Ověřili jsme tak, že Filipův model obsahuje 64 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Kolik tyček leží na hranách Filipovy krychle?

A) méně než 36 tyček
D) 48 tyček
B) 36 tyček
E) více než 48 tyček
C) 40 tyček

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hrany krychle

Každá krychle má celkem 12 hran. U nejmenšího modelu (od Denisy) tvoří každou hranu 1 tyčka. U druhého modelu (od Emila) tvoří každou hranu 2 tyčky.

Filipův model

Filip staví třetí nejmenší krychli. Podle postupu bude mít jeho model na každé hraně 3 tyčky.

Výpočet tyček na hranách

Počet tyček na hranách zjistíme tak, že vynásobíme počet hran počtem tyček na jedné hraně:
$12 \cdot 3 = 36$

Výsledek

Na hranách Filipovy krychle leží 36 tyček.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V každém diagramu se stejná písmena nahradí stejným kladným číslem a do prázdných kroužků se doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

K diagramu přiřaďte číslo, kterým se v diagramu nahradí stejná písmena.

A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
F) jiné číslo

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Vpravo je číslo 2. Spodní šipka od levého čísla odečítá K, takže vlevo musí být $2 + K$. Nahoře pak po přičtení 3 vyjde $2 + K + 3$. Horní číslo ale zároveň dělené K dává 2, takže musí být $2 × K$. Porovnáme tedy dvě hodnoty horního kroužku. Dva cvičné odhady nám pomohou jejich rozdíl přesně odstranit.

Krok 1: První odhad

Zvolíme K = 2. Vlevo by bylo $2 + 2 = 4$ a po šipce nahoru $4 + 3 = 7$. Aby však dělení K dávalo 2, nahoře by muselo být $2 × 2 = 4$. Rozdíl je $7 - 4 = 3$: cestou přes levý kroužek vyšlo o 3 více.

Krok 2: Druhý odhad

Zvýšíme K o 1 na 3. Vlevo by bylo $2 + 3 = 5$, nahoře $5 + 3 = 8$. Podle dělení by nahoře muselo být $2 × 3 = 6$. Rozdíl je $8 - 6 = 2$. Zvýšení K o 1 snížilo chybu o 1.

Krok 3: Finální dopočet

Při každém zvýšení K o 1 vzroste horní číslo z levé cesty o 1. Horní číslo vypočtené jako dvojnásobek K vzroste o 2. Jejich rozdíl se proto vždy zmenší o 1. Zbývající chybu 2 odstraníme zvýšením K o 2. Dostaneme $3 + 2 = \mathbf{5}$.

Doplnění a kontrola

Pro K = 5 je vlevo $2 + 5 = 7$ a nahoře $7 + 3 = 10$. Ověříme všechny šipky: $7 + 3 = 10$, $10 : 5 = 2$ a $7 - 5 = 2$. Písmeno K nahradíme číslem 5, správná možnost je D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V každém diagramu se stejná písmena nahradí stejným kladným číslem a do prázdných kroužků se doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

K diagramu přiřaďte číslo, kterým se v diagramu nahradí stejná písmena.

A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
F) jiné číslo

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Z levého kroužku s číslem 14 vedou doprava dvě cesty. Horní cestou přičteme L a výsledek vydělíme třemi. Spodní cestou L odečteme. Oba výsledky musí být stejné. Vybereme dvě cvičné hodnoty L, pro které se horní součet snadno dělí třemi, a porovnáme rozdíly.

Krok 1: První odhad

Zvolíme L = 1. Horní cestou dostaneme $14 + 1 = 15$ a $15 : 3 = 5$. Spodní cestou vyjde $14 - 1 = 13$. Spodní výsledek je větší o $13 - 5 = \mathbf{8}$.

Krok 2: Druhý odhad

Zvýšíme L o 3 na 4. Horní cestou dostaneme $14 + 4 = 18$ a $18 : 3 = 6$. Spodní cestou vyjde $14 - 4 = 10$. Rozdíl je $10 - 6 = \mathbf{4}$. Zvýšení L o 3 tedy snížilo chybu o 4.

Krok 3: Finální dopočet

Při každém zvýšení L o 3 klesne spodní výsledek o 3. Horní součet vzroste o 3, ale po dělení třemi vzroste horní výsledek jen o 1. Rozdíl výsledků se proto pokaždé zmenší o $3 + 1 = 4$. Zbývající chybu 4 odstraníme dalším zvýšením L o 3. Hledané číslo je $4 + 3 = \mathbf{7}$.

Doplnění a kontrola

Pro L = 7 je nahoře $14 + 7 = 21$ a vpravo $21 : 3 = 7$. Také spodní šipka dává $14 - 7 = 7$. Všechny výpočty souhlasí. Číslo 7 není mezi možnostmi A až E, správná možnost je F.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V každém diagramu se stejná písmena nahradí stejným kladným číslem a do prázdných kroužků se doplní taková čísla, aby byly všechny výpočty provedené ve směru šipek správné.

K diagramu přiřaďte číslo, kterým se v diagramu nahradí stejná písmena.

A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
F) jiné číslo

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip metody

Použijeme dva cvičné odhady a potom správné číslo dopočítáme. Pro zvolené M získáme levý kroužek odečtením M od 36. Pravý kroužek je ještě o 24 menší. Dělení $36 : M$ zkontrolujeme opačným výpočtem: číslo vpravo vynásobíme M a musíme dostat 36. U odhadů porovnáme, kolik do 36 chybí.

Krok 1: První odhad

Zvolíme M = 4. Vlevo vyjde $36 - 4 = 32$ a vpravo $32 - 24 = 8$. Opačným výpočtem dostaneme $4 \times 8 = 32$. Do požadovaných 36 chybí $36 - 32 = \mathbf{4}$.

Krok 2: Druhý odhad

Zvýšíme M o 1 na 5. Vlevo vyjde $36 - 5 = 31$ a vpravo $31 - 24 = 7$. Opačným výpočtem dostaneme $5 \times 7 = 35$. Nyní do 36 chybí už jen $36 - 35 = \mathbf{1}$.

Krok 3: Finální dopočet

Ve druhém odhadu máme 5 skupin po 7, dohromady 35. Zvýšením M o 1 přidáme jednu skupinu. Číslo v pravém kroužku se přitom o 1 zmenší, protože od 36 odečítáme větší M a potom stále stejných 24.
Přesně spočítáme tuto změnu: přidáním šesté skupiny po 7 přibude 7. Potom z každé ze šesti skupin ubereme 1, takže ubude 6. Celkem tedy přibude $7 - 6 = 1$. Tím doplníme právě chybějící 1 do 36. Hledané M je proto $5 + 1 = \mathbf{6}$.

Doplnění a kontrola

Pro M = 6 je vlevo $36 - 6 = 30$ a vpravo $30 - 24 = 6$. Zkontrolujeme všechny šipky: $30 + 6 = 36$, $36 : 6 = 6$ a $30 - 24 = 6$. Všechny výpočty souhlasí. Písmeno M nahradíme číslem 6, správná možnost je E.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Stav úlohy

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků. Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce. Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý. První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady). Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.

Obrazec má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků.

Určete počet bílých čtverečků v obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního obrazce

Ze zadání víme, že první obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Jeden šedý čtvereček v levém dolním rohu je společný pro obě tyto strany.

Bílé čtverečky vyplňují zbytek obdélníku. Protože strana bílého čtverečku je dvakrát delší než strana šedého, jeden bílý čtvereček zabere stejné místo jako 2×2 malé šedé čtverečky.

Šířka prostoru pro bílé čtverečky je 4 malé čtverečky (5 ve spodní řadě minus 1 rohový), vejdou se sem tedy vedle sebe $4 : 2 = 2$ bílé čtverečky. Výška prostoru pro bílé čtverečky jsou 2 malé čtverečky (3 v levém sloupci minus 1 rohový), vejde se sem tedy nad sebe $2 : 2 = 1$ bílý čtvereček. První obrazec má celkem $2 \cdot 1 = 2$ bílé čtverečky.

Vztah mezi šedými a bílými čtverečky

Každý další obrazec se zvětší o 2 šedé čtverečky ve spodní řadě i v levém sloupci. Protože se obě strany zvětšují vždy stejně, levý sloupec bude mít pro každý obrazec vždy o 2 šedé čtverečky méně než spodní řada ($5 - 3 = 2$).

Výpočet pro obrazec se 41 šedými čtverečky ve spodní řadě

Máme zadaný obrazec, který má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků. Jeho levý sloupec musí mít o 2 šedé čtverečky méně, tedy $41 - 2 = 39$ šedých čtverečků.

Spočítáme rozměry prostoru pro bílé čtverečky: Šířka: odečteme rohový šedý čtvereček a vydělíme dvěma. $(41 - 1) : 2 = 40 : 2 = 20$ bílých čtverečků vedle sebe. Výška: odečteme rohový šedý čtvereček a vydělíme dvěma. $(39 - 1) : 2 = 38 : 2 = 19$ bílých čtverečků nad sebou.

Celkový počet bílých čtverečků zjistíme tak, že tyto rozměry vynásobíme: $20 \cdot 19 = 380$.

Závěr

Hledaný počet bílých čtverečků v tomto obrazci je 380.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

380 bílých čtverečků

Stav úlohy

1 bod

Úloha 14.2

V obrazci je 90 bílých čtverečků.

Určete počet šedých čtverečků v obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor bílé části

Zkusíme si představit, jak vypadá bílá část obrazců. V 1. obrazci tvoří bílé čtverečky obdélník o šířce 2 a výšce 1 čtverečku. (Celkem jsou to $2 \cdot 1 = 2$ bílé čtverečky.) Každý další obrazec se podle zadání prodlouží dole i vlevo o 2 šedé čtverečky. Protože strana bílého čtverečku je dlouhá jako 2 šedé, znamená to, že do bílé části přibyde vždy 1 sloupec a 1 řada. Bílá část tedy vždy tvoří obdélník, ve kterém je počet sloupců o 1 větší než počet řad.

Rozměry hledaného obrazce

Bílá část má 90 čtverečků a o jeden sloupec více než řad. Z malé násobilky rozložíme $90 = 9 \cdot 10$. Činitelé 9 a 10 jsou po sobě jdoucí čísla, proto jde o 9 řad a 10 sloupců. Menší počet řad by znamenal i méně sloupců a menší celkový počet čtverečků; větší počet řad by naopak dal větší počet čtverečků. Rozměry jsou tedy určeny jednoznačně.

Výpočet šedých čtverečků

Nyní spočítáme šedé čtverečky, které tvoří levý sloupec a spodní řadu. Pod bílou částí (širokou 10 bílých čtverečků) leží spodní řada šedých čtverečků. Protože na 1 bílý vycházejí 2 šedé, je pod bílou částí $10 \cdot 2 = 20$ šedých čtverečků. Vlevo od bílé části (vysoké 9 bílých čtverečků) leží levý sloupec šedých čtverečků. Tam jich bude $9 \cdot 2 = 18$. Nesmíme zapomenout na 1 šedý čtvereček, který leží v levém dolním rohu (pod levým sloupcem a vlevo od spodní řady). Celkový počet šedých čtverečků je $20 + 18 + 1 = 39$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

39 šedých čtverečků

Stav úlohy

1 bod

Úloha 14.3

Počet všech čtverečků (bílých i šedých dohromady) v posledním a v předposledním obrazci se liší o 106.

Určete počet šedých čtverečků v posledním obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet čtverečků v 1. obrazci

Ze zadání víme, že v 1. obrazci je ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3. Levý dolní čtvereček patří do řady i do sloupce, proto je šedých čtverečků celkem $5 + 3 - 1 = 7$. Celý obrazec se skládá z 9 čtverečků (šedých i bílých dohromady). Bílých čtverečků je tedy $9 - 7 = 2$. Jsou to 2 velké čtverečky uspořádané vedle sebe (tvoří obdélník o šířce 2 a výšce 1).

Jak se obrazce zvětšují

Každý další obrazec má o 2 šedé čtverečky více dole a o 2 více vlevo. Šedých čtverečků tak přibyde vždy 4. Protože každý velký bílý čtvereček zabere prostor 2×2 malých čtverečků, přidáním 2 malých čtverečků do šířky i výšky se prostor pro bílé čtverečky zvětší vždy o 1 bílý čtvereček na šířku a o 1 na výšku. Podívejme se, jak roste počet bílých čtverečků:

2. obrazec: Bílých čtverečků je $3 \times 2 = 6$. Oproti 1. obrazci jich přibyly 4.
3. obrazec: Bílých čtverečků je $4 \times 3 = 12$. Oproti 2. obrazci jich přibylo 6.
4. obrazec: Bílých čtverečků je $5 \times 4 = 20$. Oproti 3. obrazci jich přibylo 8.

Který obrazec je poslední?

Můžeme si všimnout pravidla pro počet nově přidaných bílých čtverečků: pro 2. obrazec to jsou 4 (což je $2 \times 2$), pro 3. obrazec je to 6 (což je $2 \times 3$) atd. Počet nových bílých čtverečků je vždy přesně dvojnásobkem pořadí obrazce. Zadání říká, že celkový počet čtverečků (bílých i šedých) v posledním obrazci je o 106 větší než v předposledním. Tento nárůst 106 se skládá z pevných 4 šedých čtverečků a zbytku bílých. Počet nových bílých čtverečků musí být $106 - 4 = 102$. Protože počet nových bílých čtverečků je dvojnásobkem pořadí obrazce, hledáme číslo obrazce, pro které platí:
$2 \times \text{číslo obrazce} = 102$
$\text{číslo obrazce} = 102 : 2 = 51$
Poslední obrazec je tedy v pořadí padesátý první (51.).

Výpočet šedých čtverečků v 51. obrazci

Víme, že v 1. obrazci je 7 šedých čtverečků a v každém dalším jich přibudou 4. Od 1. do 51. obrazce musíme udělat 50 kroků. Během těchto 50 kroků přibude celkem $50 \times 4 = 200$ šedých čtverečků. Dohromady jich v 51. obrazci bude $7 + 200 = 207$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

207 šedých čtverečků

Stav úlohy

2 body