Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2022

27 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 1 100 - 110 - 90 \right) \div \left( 5-2 \cdot 2 \right) +24=$

Zobrazit odpověď

924

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Od čísla 1 100 odečteme 110 a poté ještě 90: $1 100 - 110 = 990$ $990 - 90 = 900$

Druhá závorka

Potom vypočítáme hodnotu ve druhé závorce. Musíme pamatovat, že násobení má přednost před odčítáním: $2 \cdot 2 = 4$ $5 - 4 = 1$

Výsledek

Nakonec vydělíme výsledek z první závorky výsledkem z druhé závorky a přičteme číslo 24: $900 \div 1 = 900$ $900 + 24 = 924$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 60 \cdot 40 - \left( 5+5 \cdot 13 \right) \div 2=$

Zobrazit odpověď

2 365

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve musíme vypočítat hodnotu v závorce. V té má násobení přednost před sčítáním:
5 · 13 = 65
K výsledku přičteme 5:
5 + 65 = 70

Násobení a dělení

Dále vypočítáme násobení na začátku příkladu a dělení výsledku ze závorky:
60 · 40 = 2400
70 : 2 = 35

Odečtení

Nakonec od výsledku násobení odečteme výsledek dělení:
2400 – 35 = 2365

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je 2365.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

1 hodina $\displaystyle =$ 20 minut $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ sekund

Zobrazit odpověď

2 400

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod hodiny na minuty

Víme, že 1 hodina má 60 minut.

Výpočet chybějících minut

Do celé hodiny (60 minut) nám od 20 minut chybí ještě 40 minut, protože $60 - 20 = 40$.

Převod na sekundy

Těchto 40 minut musíme převést na sekundy. Protože 1 minuta má 60 sekund, vypočítáme $40 \cdot 60 = 2400$.

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 2400.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \frac{1}{4}$ metrů + 340 milimetrů $\displaystyle =$ 1 metr $\displaystyle -$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ centimetrů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na centimetry

Protože máme výsledek uvést v centimetrech, převedeme si nejdříve všechny známé hodnoty na centimetry. Víme, že 1 metr má 100 cm. Čtvrtina metru ($\frac{1}{4}$ m) je tedy $100 \div 4 = 25$ cm. Dále víme, že 10 milimetrů je 1 centimetr, takže 340 mm odpovídá $340 \div 10 = 34$ cm.

Součet na levé straně

Nyní sečteme obě hodnoty na levé straně rovnice, abychom zjistili celkový součet v centimetrech: $25 + 34 = 59$ cm.

Výpočet chybějícího čísla

Na pravé straně rovnice máme 1 metr (tedy 100 cm), od kterého máme odečíst číslo v rámečku tak, aby výsledek byl 59 cm. Musíme tedy vypočítat rozdíl: $100 - 59 = 41$.

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 41.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Od startovní čáry vyběhli současně 4 běžci. Každý doběhl do cíle v jiném čase.
Eda nebyl první ani poslední.
Leoš se umístil těsně před Adamem a Adam doběhl později než Honza.

Zapište běžce ve stejném pořadí, v jakém doběhli do cíle.

Každého běžce označte počátečním písmenem jeho jména.

Zobrazit odpověď

H, E, L, A, resp. A, L, E, H

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pozice Edy

Eda nebyl první ani poslední, mohl tedy doběhnout pouze na 2. nebo 3. místě.

Dvojice Leoš a Adam

Leoš doběhl těsně před Adamem. To znamená, že v celkovém pořadí musí být hned za sebou jako dvojice L–A.

Honza a Adam

Adam doběhl později než Honza. Honza tedy musel být v cíli dříve (na lepším místě) než Adam.

Sestavení pořadí

Zkusíme umístit Edu na 3. místo. Pak by Leoš a Adam museli být 1. a 2., a na Honzu by zbylo 4. místo. To ale nejde, protože Adam (2.) by byl v cíli dříve než Honza (4.).
Jedinou možností je tedy umístit Edu na 2. místo. Dvojice Leoš a Adam pak musí být na 3. a 4. místě. Na Honzu zbývá 1. místo.
V pořadí H, E, L, A jsou všechny podmínky splněny:

Eda (2.) není první ani poslední.
Leoš (3.) je těsně před Adamem (4.).
Adam (4.) je v cíli později než Honza (1.).

Výsledek

Pořadí běžců v cíli od prvního k poslednímu je H, E, L, A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Na výletě bylo pětkrát více dětí než dospělých. Dospělých bylo o 60 méně než dětí.

Vypočtěte, kolik dětí bylo na výletě.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na dílky

Ze zadání víme, že dětí bylo 5krát více než dospělých. Můžeme si to představit tak, že dospělí tvoří 1 dílek a děti tvoří 5 stejných dílků.

Výpočet jednoho dílku

Dospělých bylo o 60 méně než dětí. Tento rozdíl (60 osob) odpovídá rozdílu v počtu dílků. Děti mají o 4 dílky více než dospělí ($5 - 1 = 4$). Čtyři dílky tedy představují 60 osob. Jeden dílek vypočítáme jako:
$60 \div 4 = 15$

Počet dětí

Jeden dílek odpovídá 15 lidem (což je počet dospělých). Dětí bylo pětkrát více, vypočítáme tedy:
$5 \cdot 15 = 75$

Závěr a kontrola

Dětí bylo 75 a dospělých 15. Dětí je skutečně pětkrát více ($75 \div 15 = 5$) a dospělých je o 60 méně než dětí ($75 - 15 = 60$). Na výletě bylo 75 dětí.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

V kasičce bylo na začátku prázdnin 2 800 korun.
Každý den prázdnin si z kasičky brala Anna 30 korun a Radka 40 korun, a to až do dne, kdy
se kasička vyprázdnila.

Vypočtěte, kolikátý den prázdnin se kasička vyprázdnila.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Denní odběr z kasičky

Nejdříve si spočítáme, kolik korun si Anna a Radka z kasičky vzaly dohromady za jeden den. Anna si brala 30 korun a Radka 40 korun.
$30 + 40 = 70$ korun

Počet dní

Víme, že v kasičce bylo na začátku 2 800 korun a každý den z ní ubylo 70 korun. Abychom zjistili, za kolik dní se vyprázdnila, musíme celkovou částku vydělit tím, co ubylo za jeden den.
$2\,800 : 70 = 40$

Výsledek

Kasička se vyprázdnila 40. den prázdnin.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

V kasičce bylo na začátku prázdnin 2 800 korun.
Každý den prázdnin si z kasičky brala Anna 30 korun a Radka 40 korun, a to až do dne, kdy
se kasička vyprázdnila.

Když si jednoho prázdninového dne obě dívky vzaly peníze z kasičky, zůstalo v ní přesně tolik korun, kolik už si z ní od začátku prázdnin vybrala Anna.

Vypočtěte, kolikátý den prázdnin k tomu došlo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Denní výběr

Anna si každý den brala 30 korun a Radka 40 korun. Dohromady si tedy dívky z kasičky každý den vybraly 70 korun ($30 + 40 = 70$).

Anna a zbytek v kasičce

Víme, že v kasičce zbylo přesně tolik peněz, kolik si Anna od začátku prázdnin vybrala. Pokud si Anna každý den vzala 30 korun, tak po určitém počtu dní měla vybráno $30 \times \text{počet dní}$. Stejná částka tedy v kasičce i zůstala.

Celková částka

Původních 2 800 korun v kasičce se rozdělilo na dvě části: to, co si dívky už vybraly, a to, co v kasičce ještě zůstalo.
Vybraná částka je $70 \times \text{počet dní}$.
Zbývající částka je $30 \times \text{počet dní}$.

Výpočet počtu dní

Když tyto dvě části sečteme, musíme dostat původních 2 800 korun:
$(70 \times \text{počet dní}) + (30 \times \text{počet dní}) = 100 \times \text{počet dní}$
Víme tedy, že $100 \times \text{počet dní} = 2 800$.
Počet dní vypočítáme jako $2 800 : 100 = 28$.

Závěr

K této situaci došlo 28. den prázdnin.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

V pohádkové říši se setkání draků zúčastnili pouze dvouhlaví a tříhlaví draci.
Draků bylo celkem 52 a dohromady měli 134 hlav.

Vypočtěte, kolik dvouhlavých draků bylo na setkání.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Předpoklad dvouhlavých draků

Kdyby byli všichni draci na setkání dvouhlaví, měli by dohromady: $52 \cdot 2 = 104$ hlav.

Chybějící hlavy

Ve skutečnosti mají draci 134 hlav. Zjistíme, o kolik více hlav mají draci ve skutečnosti oproti našemu předpokladu: $134 - 104 = 30$ hlav.

Počet tříhlavých draků

Každý tříhlavý drak má o jednu hlavu více než dvouhlavý ($3 - 2 = 1$). Těchto 30 hlav navíc tedy musí patřit tříhlavým drakům. Tříhlavých draků bylo 30.

Počet dvouhlavých draků

Draků bylo celkem 52. Pokud je 30 z nich tříhlavých, zbytek tvoří dvouhlaví draci: $52 - 30 = 22$.

Výsledek

Na setkání bylo 22 dvouhlavých draků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

V pohádkové říši se setkání draků zúčastnili pouze dvouhlaví a tříhlaví draci.
Draků bylo celkem 52 a dohromady měli 134 hlav.

Vypočtěte, o kolik hlav více měli dohromady všichni tříhlaví draci než všichni dvouhlaví draci.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Předpoklad dvou hlav

Nejdříve si představíme situaci, kdy by každý z 52 draků měl pouze 2 hlavy. V takovém případě by měli dohromady:
$52 \cdot 2 = 104$ hlav

Chybějící hlavy

V zadání se píše, že draci mají celkem 134 hlav. Zjistíme, kolik hlav nám do tohoto počtu chybí:
$134 - 104 = 30$ hlav

Počty draků

Každý tříhlavý drak má o 1 hlavu více než dvouhlavý. Těchto 30 „přebývajících“ hlav tedy patří 30 tříhlavým drakům.
Tříhlavých draků je 30.
Dvouhlavých draků je 22 (protože $52 - 30 = 22$).

Celkový počet hlav

Vypočítáme, kolik hlav mají draci v každé skupině:
Tříhlaví draci: $30 \cdot 3 = 90$ hlav
Dvouhlaví draci: $22 \cdot 2 = 44$ hlav

Rozdíl

Nakonec zjistíme, o kolik více hlav mají tříhlaví draci než dvouhlaví:
$90 - 44 = 46$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Písmeno E (na obrázku) slepené z 12 stejných bílých krychliček jsme obarvili ze všech stran (i zespodu) modrou barvou. Po čase se písmeno rozpadlo na jednotlivé krychličky. Původně slepené stěny krychliček zůstaly bílé.

Určete, kolik krychliček z rozpadlého písmene E má právě 4 stěny modré.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza písmene E

Písmeno E se skládá celkem z 12 stejných bílých krychliček. Tvoří ho jeden svislý sloupec o 7 krychličkách a tři vodorovná ramena vybíhající doprava:

Horní rameno: tvoří ho nejvyšší krychlička sloupce a další 2 krychličky napravo (celkem 3 krychličky v řadě).
Prostřední rameno: tvoří ho čtvrtá krychlička sloupce a 1 další krychlička napravo (celkem 2 krychličky v řadě).
Dolní rameno: tvoří ho nejnižší krychlička sloupce a další 2 krychličky napravo (celkem 3 krychličky v řadě).

Kdy má krychlička 4 modré stěny?

Každá krychlička má celkem 6 stěn. Modrou barvou byly obarveny všechny stěny, které byly na povrchu tělesa. Stěny, kterými byly krychličky původně slepeny k sobě, zůstaly bílé. Aby měla krychlička po rozpadu právě 4 modré stěny, musí mít přesně 2 bílé stěny. To znamená, že v písmenu E musela sousedit s právě dvěma dalšími krychličkami.

Hledání krychliček se dvěma sousedy

Projdeme celé písmeno a spočítáme sousedy u každé krychličky:

Ve svislém sloupci:
- Krychličky č. 1, 2, 3, 5, 6 a 7 (počítáno odshora) mají každá právě 2 sousedy. Například ta úplně nahoře sousedí s krychličkou pod sebou a s tou v rameni napravo. Ta úplně dole sousedí s krychličkou nad sebou a s tou v rameni napravo.
- Krychlička č. 4 (uprostřed sloupce) má 3 sousedy (nahoru, dolů a doprava), tu tedy nepočítáme.
To je 6 krychliček.
V vodorovných ramenech (mimo sloupec):
- V horním rameni je jedna vnitřní krychlička, která sousedí s levou i pravou sousedkou (2 sousedé). Koncová krychlička má jen 1 souseda.
- V prostředním rameni je jen jedna extra krychlička a ta je koncová (má 1 souseda).
- V dolním rameni je také jedna vnitřní krychlička se 2 sousedy. Koncová má opět jen 1 souseda.
To jsou další 2 krychličky.

Závěrečný výpočet

Sečteme všechny nalezené krychličky, které měly právě dva sousedy: $6 + 2 = 8$. Právě 4 modré stěny má tedy 8 krychliček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Určete, kolik krychliček z rozpadlého písmene E má stejný počet modrých a bílých stěn.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Písmeno E je složeno z 12 stejných krychliček. Tvoří ho svislá část (páteř) o výšce 7 krychliček a tři vodorovná ramena. Horní rameno tvoří 2 další krychličky, prostřední 1 další krychlička a spodní 2 další krychličky. Celkem tedy máme $7 + 2 + 1 + 2 = 12$ krychliček.

Modré a bílé stěny

Když písmeno obarvíme, modré budou všechny vnější (viditelné) stěny. Bílé zůstanou ty stěny, kterými jsou krychličky k sobě přilepeny (vnitřní stěny). Každá krychlička má celkem 6 stěn. Aby měla stejný počet modrých a bílých stěn, musí mít 3 modré a 3 bílé stěny. Počet bílých stěn každé krychličky odpovídá počtu sousedních krychliček, se kterými je spojena. Hledáme tedy krychličky, které mají přesně 3 sousedy.

Hledání krychliček se 3 sousedy

Projdeme si jednotlivé části písmene E a spočítáme sousedy pro každou krychličku:

Koncové krychličky (na koncích ramen): Mají pouze 1 souseda.
Rohové krychličky (v horním a dolním rohu písmene E): Horní rohová krychlička má jednoho souseda pod sebou a jednoho v rameni (celkem 2). Dolní rohová krychlička má jednoho souseda nad sebou a jednoho v rameni (celkem 2).
Běžné krychličky v řadách: Mají 2 sousedy (z každé strany jednoho).
Krychlička v místě napojení prostředního ramene: Tato krychlička (čtvrtá odshora ve svislém sloupci) má souseda nad sebou, pod sebou a k tomu souseda v prostředním rameni. Má tedy přesně 3 sousedy.

Závěr

Jedinou krychličkou s přesně 3 sousedy (a tedy 3 bílými a 3 modrými stěnami) je ta, ze které vybíhá prostřední rameno. Všechny ostatní krychličky mají buď 1 souseda, nebo 2 sousedy. Stejný počet modrých a bílých stěn má tedy 1 krychlička.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží body A, O a přímka p procházející bodem O.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Na přímce p leží vrchol C tohoto obdélníku.
Bod O je střed některé strany obdélníku ABCD.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.
Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží body P, S a přímka m.

Bod S je střed kružnice k, která má poloměr 5 cm.
Bod P je vrchol rovnostranného trojúhelníku PQR.
Další vrchol tohoto trojúhelníku leží na přímce m a zároveň na kružnici k
a poslední vrchol trojúhelníku PQR leží uvnitř kružnice k.

Sestrojte vrcholy Q, R trojúhelníku PQR, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.
Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V prvních dvou lednových týdnech učitel matematiky vyzkoušel všech 30 žáků třídy 5. A, a to každého právě jednou. Graf udává počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V 1. týdnu učitel vyzkoušel o 6 žáků méně než ve 2. týdnu.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků v 1. týdnu

Z grafu vyčteme počty žáků pro jednotlivé dny v 1. týdnu:
Pondělí (3. 1.): 3 žáci
Úterý (4. 1.): 0 žáků
Středa (5. 1.): 5 žáků
Čtvrtek (6. 1.): 2 žáci
Pátek (7. 1.): 2 žáci
Dohromady v 1. týdnu učitel vyzkoušel: $3 + 0 + 5 + 2 + 2 = 12$ žáků.

Počet žáků ve 2. týdnu

Z grafu vyčteme počty žáků pro jednotlivé dny ve 2. týdnu:
Pondělí (10. 1.): 6 žáků
Úterý (11. 1.): 3 žáci
Středa (12. 1.): 0 žáků
Čtvrtek (13. 1.): 2 žáci
Pátek (14. 1.): 7 žáků
Dohromady ve 2. týdnu učitel vyzkoušel: $6 + 3 + 0 + 2 + 7 = 18$ žáků.

Porovnání a závěr

Nyní porovnáme oba týdny. Ve 2. týdnu bylo vyzkoušeno 18 žáků a v 1. týdnu 12 žáků. Rozdíl spočítáme jako: $18 - 12 = 6$ žáků. V 1. týdnu tedy učitel skutečně vyzkoušel o 6 žáků méně než ve 2. týdnu. Pro kontrolu můžeme sečíst všechny žáky: $12 + 18 = 30$, což odpovídá zadání. Tvrzení je pravdivé.

Výsledek

Tvrzení je pravdivé (A).

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V prvních dvou lednových týdnech učitel matematiky vyzkoušel všech 30 žáků třídy 5. A, a to každého právě jednou. Graf udává počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve 2. týdnu učitel vyzkoušel v pátek sedmkrát více žáků než ve středu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme počty vyzkoušených žáků ve 2. týdnu pro příslušné dny:

středa (12. 1.): v grafu pro tento den není žádný sloupec, což znamená 0 vyzkoušených žáků,
pátek (14. 1.): sloupec pro tento den sahá k hodnotě 7 na svislé ose.

Výpočet a porovnání

Tvrzení říká, že v pátek učitel vyzkoušel 7krát více žáků než ve středu. Pokud bychom počet žáků ze středy (0) vynásobili sedmi, dostaneme:

$0 \cdot 7 = 0$

V pátek však bylo vyzkoušeno 7 žáků. Protože 7 není totéž co 0, tvrzení je nepravdivé. (Pozor, v pátek bylo vyzkoušeno o 7 více žáků, ale ne 7krát více.)

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V prvních dvou lednových týdnech učitel matematiky vyzkoušel všech 30 žáků třídy 5. A, a to každého právě jednou. Graf udává počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

V úterý 11. 1. učitel vyzkoušel čtvrtinu z těch žáků, kteří nebyli vyzkoušeni v žádném z předchozích dnů.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme počty žáků vyzkoušených v jednotlivých dnech před úterým 11. 1.:

Pondělí 3. 1.: 3 žáci
Úterý 4. 1.: 0 žáků
Středa 5. 1.: 5 žáků
Čtvrtek 6. 1.: 2 žáci
Pátek 7. 1.: 2 žáci
Pondělí 10. 1.: 6 žáků

Výpočet žáků vyzkoušených před 11. 1.

Sečteme všechny žáky, kteří už byli vyzkoušeni před úterým 11. 1.: $3 + 0 + 5 + 2 + 2 + 6 = 18$ Do pondělí 10. 1. včetně bylo vyzkoušeno 18 žáků.

Výpočet zbývajících žáků

Víme, že ve třídě je celkem 30 žáků. Od celkového počtu odečteme ty, kteří už byli vyzkoušeni: $30 - 18 = 12$ Před úterým 11. 1. tedy zbývalo vyzkoušet 12 žáků.

Ověření tvrzení

V úterý 11. 1. byli podle grafu vyzkoušeni 3 žáci. Máme zjistit, zda je to čtvrtina z těch, kteří do té doby nebyli vyzkoušeni (tedy z 12 žáků). Čtvrtinu z 12 vypočítáme jako: $12 : 4 = 3$ Počet vyzkoušených žáků v úterý (3) skutečně odpovídá čtvrtině ze zbývajících žáků (12). Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Květinářka měla v prodejně celkem 105 růží, některé byly červené a ostatní bílé.
Ze všech těchto růží uvázala kytice po 5 růžích. V každé kytici byly právě 3 růže červené.

Kolik bílých růží měla květinářka v prodejně?

A) 21
D) 63
B) 35
E) více než 63
C) 42

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet kytic

Celkem bylo 105 růží a v každé kytici jich bylo 5. Nejdříve spočítáme, kolik kytic květinářka celkem uvázala:
$105 \div 5 = 21$

Bílé růže v jedné kytici

Víme, že v každé kytici o 5 růžích byly právě 3 červené. Zbytek do pěti tedy musí být bílé růže:
$5 - 3 = 2$

Celkový počet bílých růží

Kytic bylo celkem 21 a v každé z nich byly 2 bílé růže. Celkový počet bílých růží v prodejně tedy byl:
$21 \cdot 2 = 42$

Výsledek

Květinářka měla v prodejně 42 bílých růží. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

V nákresu se do tří prázdných kroužků doplní čísla v souladu se všemi uvedenými výpočty.

Jaký je součet čísel doplněných do tří prázdných kroužků?

A) 89
D) 188
B) 100
E) jiný součet
C) 122

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor nákresu

V nákresu vidíme tři prázdné kroužky uspořádané do uzavřeného cyklu. Operace na šipkách nám říkají, jak spolu čísla souvisejí. Pokud si do horního kroužku zvolíme číslo, projdeme celým kolečkem výpočtů a vrátíme se zpět nahoru, musíme dostat to samé číslo, se kterým jsme začali.

Krok 1: První odhad

Vyzkoušení čísla namátkou.

Zvolíme si pro horní kroužek například číslo 10.

Provedeme výpočet cyklu: 10 + 34 = 44 (pravý kroužek), 44 − 12 = 32 (levý kroužek), 32 : 2 = 16.
Zjištění odchylky: Mělo nám vyjít původní číslo 10, ale vyšlo 16. Spočítáme rozdíl (chybu): 16 − 10 = 6.
Závěr 1. kroku: Trefili jsme se s chybou 6 (výsledek je o 6 větší než tip).

Krok 2: Druhý odhad

Úprava čísla a sledování změny.

Tipované číslo v horním kroužku zvýšíme, například na 20, a celý postup zopakujeme.

Provedeme výpočet cyklu: 20 + 34 = 54 (pravý kroužek), 54 − 12 = 42 (levý kroužek), 42 : 2 = 21.
Zjištění odchylky: Mělo vyjít 20, ale vyšlo 21. Spočítáme rozdíl: 21 − 20 = 1.
Závěr 2. kroku: Trefili jsme se s chybou 1.

Krok 3: Finální dopočet

Nalezení výsledku pomocí logiky.

Nyní porovnáme oba pokusy. Cílem je, aby chyba byla 0.

Co jsme zjistili: Když jsme zvýšili tip o +10 (z 10 na 20), chyba klesla o 5 (ze 6 na 1).
Co potřebujeme: Potřebujeme snížit zbývající chybu 1 na nulu.
Výpočet: Protože na snížení chyby o 5 bodů musíme k tipu přidat 10, na snížení chyby o 1 bod musíme přidat 2 (10 : 5 = 2).
Závěr: K poslednímu tipu 20 přidáme 2 a dostaneme 22.

V kroužcích jsou tedy čísla 22 (horní), 56 (pravý) a 44 (levý).

Výpočet součtu

Úloha se ptá na součet všech tří doplněných čísel:

$22 + 56 + 44 = 122$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Obdélník je rozdělen na 12 čtverců čtyř různých velikostí (S, M, L a XL). Delší strana obdélníku měří 260 cm.

Jaký je obvod čtverce velikosti L?

A) méně než 320 cm
D) 400 cm
B) 320 cm
E) více než 400 cm
C) 360 cm

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a vztahy mezi čtverci

Z nákresu a popisu vyplývá, že levá část obdélníku je rozdělena na horní a dolní oddíl. V horním oddílu vidíme dva svislé sloupce po čtyřech malých čtvercích (velikost S) a mezi nimi čtverec L. Výška tohoto oddílu odpovídá čtyřem stranám malého čtverce ($4 \cdot s$), což je zároveň délka strany čtverce L ($l = 4s$).
V dolním oddílu jsou dva shodné čtverce (velikost M). Jejich strana $m$ odpovídá součtu šířky malého čtverce a poloviny šířky čtverce L (protože dělící úsečka mezi nimi je v polovině šířky L). Tedy $m = s + l/2$.

Vyjádření rozměrů pomocí strany malého čtverce

Dosadíme vztah $l = 4s$ do vzorce pro stranu čtverce M:
$m = s + (4s)/2 = s + 2s = 3s$.
Celková výška levé části je součtem výšky horního a dolního oddílu: $4s + 3s = 7s$. Tato výška je zároveň stranou největšího čtverce XL ($xl = 7s$).
Celková šířka obdélníku se skládá ze šířky levé části ($s + l + s = 6s$) a šířky pravé části ($xl = 7s$):
$Šířka = 6s + 7s = 13s$.

Výpočet strany a obvodu čtverce L

Víme, že šířka obdélníku je 260 cm. Sestavíme rovnici:
$13s = 260$
$s = 20\text{ cm}$
Nyní vypočítáme stranu čtverce L:
$l = 4s = 4 \cdot 20 = 80\text{ cm}$
Obvod čtverce L je čtyřnásobek jeho strany:
$O = 4 \cdot 80 = 320\text{ cm}$

Závěr

Obvod čtverce L je 320 cm. Správná odpověď je tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Petr postavil na podložce stavbu ze 13 stejných krychliček.

Každá z pěti staveb (A–E) byla postavena na podložce ze 14 stejných krychliček. V každé stavbě (i v Petrově) jsou sousední krychličky vždy slepeny k sobě.

Kterou ze staveb A–E lze spojit s Petrovou stavbou tak, že vznikne krychle?

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor Petrovy stavby

Stavba je složena ze 13 stejných krychliček. Aby vznikla plná krychle o rozměrech $3 \times 3 \times 3$, muselo by v ní být celkem 27 krychliček ($3 \times 3 \times 3 = 27$). Každá z nabízených staveb A–E má 14 krychliček, což je přesně počet, který Petrovi do 27 chybí ($27 - 13 = 14$).

Hledání chybějících částí

Při podrobném pohledu na Petrovu stavbu zjistíme, kde přesně krychličky chybí:

V nejnižším patře chybí 2 krychličky v prostřední části (vytvářejí tam volný tunel).
V prostředním patře chybí 4 krychličky v pravé přední části (tvoří čtverec $2 \times 2$).
V horním patře chybí 8 krychliček. Jediná přítomná krychlička je v levém zadním rohu (tvoří nejvyšší věž).

Výběr doplňkové stavby

Hledáme tedy stavbu, která má 2 krychličky úplně dole (jako nožičky), nad nimi 4 krychličky ve čtverci a úplně nahoře 8 krychliček (všechny kromě jednoho rohu, aby do něj zapadla věž Petrovy stavby).

Tyto požadavky přesně splňuje stavba D. Když ji přisuneme k Petrově stavbě, zapadnou její části do všech volných prostorů a vznikne celistvá krychle.

Závěr

S Petrovou stavbou lze spojit stavbu D.

Správná odpověď je D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na začátku hry si hráč vylosuje určitý počet žetonů. Během hry může žetony vyhrát, ale i prohrát. Na konci hry zjistí, kolik žetonů mu zůstalo. Následující tabulka udává některé údaje tří hráčů.

Kolik žetonů Blanka během hry prohrála?

Blance zůstala na konci hry jen třetina žetonů, které si na začátku vylosovala.

A) 30 žetonů
D) 36 žetonů
B) 32 žetonů
E) 38 žetonů
C) 34 žetonů
F) jiný počet žetonů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu žetonů na konci hry

Z tabulky vidíme, že Blanka měla na začátku hry 48 žetonů. V textu je uvedeno, že jí na konci zůstala jen třetina žetonů, které si na začátku vylosovala. Nejdříve tedy vypočítáme, kolik žetonů měla na konci hry: $48 : 3 = 16$ žetonů.

Výpočet stavu žetonů po výhrách

K počátečním 48 žetonům přičteme 6 žetonů, které Blanka během hry vyhrála: $48 + 6 = 54$ žetonů.

Výpočet prohraných žetonů

Víme, že po započtení výher měla Blanka 54 žetonů, ale na konci hry jí zbylo jen 16 žetonů. Rozdíl mezi těmito hodnotami udává počet žetonů, které prohrála: $54 - 16 = 38$ žetonů.

Závěr

Blanka během hry prohrála 38 žetonů.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik žetonů si Emil vylosoval na začátku hry?

Emil si na začátku hry vylosoval o 8 žetonů více, než vyhrál během hry.

A) 30 žetonů
D) 36 žetonů
B) 32 žetonů
E) 38 žetonů
C) 34 žetonů
F) jiný počet žetonů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor údajů pro Emila

Z tabulky vyčteme, že Emil měl na konci hry 52 žetonů a během hry 0 žetonů prohrál. To znamená, že jeho konečný počet žetonů vznikl sečtením toho, co měl na začátku, a toho, co vyhrál.
V zadání se také píše, že na začátku si Emil vylosoval o 8 žetonů více, než kolik jich vyhrál během hry.

Výpočet počtu žetonů

Kdyby si Emil na začátku vylosoval stejný počet žetonů, jako vyhrál, měl by na konci o 8 žetonů méně (protože víme, že na začátku jich měl o 8 více).
Takový upravený součet by byl: $52 - 8 = 44$.
Tento součet (44 žetonů) by se skládal ze dvou stejných částí (začátek a výhra). Jedna část by tedy byla: $44 : 2 = 22$.
Těchto 22 žetonů odpovídá počtu vyhraných žetonů. Na začátku si Emil vylosoval o 8 více: $22 + 8 = 30$ žetonů.

Kontrola a odpověď

Provedeme kontrolu: Na začátku měl 30 žetonů, vyhrál 22 a prohrál 0. Na konci mu tedy zůstalo $30 + 22 - 0 = 52$ žetonů. To odpovídá údaji v tabulce.
Emil si na začátku hry vylosoval 30 žetonů.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik žetonů si Ivana vylosovala na začátku hry?

Ivana měla na konci hry o jednu šestinu žetonů více, než si vylosovala na začátku hry.

A) 30 žetonů
D) 36 žetonů
B) 32 žetonů
E) 38 žetonů
C) 34 žetonů
F) jiný počet žetonů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Změna počtu žetonů během hry

Z tabulky vidíme, že Ivana během hry vyhrála 18 žetonů a prohrála 12 žetonů. Celkovou změnu zjistíme odečtením prohraných žetonů od vyhraných:
18 − 12 = 6
Během hry se tedy Ivaně zvýšil počet žetonů o 6.

Výpočet počátečního počtu žetonů

V zadání se píše, že na konci hry měla Ivana o jednu šestinu žetonů více než na začátku. To znamená, že oněch 6 získaných žetonů představuje přesně jednu šestinu počátečního stavu.
Pokud jedna šestina je 6 žetonů, pak celý počáteční počet (šest šestin) vypočítáme vynásobením šesti:
6 × 6 = 36

Ověření a závěr

Pro kontrolu: Jedna šestina z 36 je $36 : 6 = 6$. Pokud si Ivana vylosovala 36 žetonů a na konci jich měla o 6 více ($36 + 6 = 42$), odpovídá to údajům z tabulky ($36 + 18 - 12 = 42$).
Ivana si na začátku vylosovala 36 žetonů.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Amélka, Viktorka a Zuzanka vytvářely stavby z kostek podle následujících pravidel: První sloupec stavby tvoří 1 tmavá kostka a dalších 5 sloupců je postaveno postupně ze 2, 3, 4, 3 a 2 bílých kostek. Poté se sloupce opakují ve stejném pořadí, ale po dostavění kteréhokoliv sloupce lze stavbu ukončit.
Např. stavba na obrázku má celkem 23 sloupců, z nichž je 19 sloupců bílých a 4 tmavé.

Amélčina stavba má celkem 42 sloupců.

Vypočtěte, kolik kostek (bílých i tmavých dohromady) obsahuje Amélčina stavba.

Zobrazit odpověď

105

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza opakující se části (cyklu)

Nejprve si určíme, z kolika sloupců se skládá jedna opakující se část stavby. Podle zadání tvoří začátek 1 tmavá kostka a dalších 5 sloupců jsou bílé kostky v počtech 2, 3, 4, 3 a 2. Jeden cyklus má tedy dohromady 6 sloupců.

Počet kostek v jednom cyklu

Vypočítáme, kolik kostek je v jednom kompletním cyklu o 6 sloupcích (sečteme kostky ve všech šesti sloupcích):
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 15 kostek

Celkový výpočet pro Amélčinu stavbu

Amélčina stavba má celkem 42 sloupců. Zjistíme, kolik celých cyklů stavba obsahuje vydělením počtu sloupců délkou jednoho cyklu:
42 : 6 = 7 cyklů
Protože v každém ze 7 cyklů je 15 kostek, vypočítáme celkový počet kostek vynásobením:
7 * 15 = 105

Závěr

Amélčina stavba obsahuje celkem 105 kostek (bílých i tmavých dohromady).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Viktorčina stavba má 58 bílých sloupců.

Vypočtěte, kolik tmavých kostek obsahuje Viktorčina stavba.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidla stavby

Stavba se skládá z opakujících se skupin (cyklů) o 6 sloupcích. Každý cyklus začíná 1 tmavým sloupcem (který tvoří 1 tmavá kostka) a pokračuje 5 bílými sloupci (s počty kostek 2, 3, 4, 3 a 2).
V každém dokončeném i načatém cyklu tedy vždy najdeme jednu tmavou kostku na začátku, za kterou následují bílé sloupce.

Výpočet počtu celých cyklů

Víme, že Viktorčina stavba má celkem 58 bílých sloupců. Zjistíme, kolik celých skupin po pěti bílých sloupcích se do stavby vejde:
58 : 5 = 11 (zbytek 3)
Stavba tedy obsahuje 11 celých cyklů a k tomu ještě 3 bílé sloupce z dalšího cyklu.

Výpočet počtu tmavých kostek

V 11 celých cyklech je celkem 11 tmavých kostek (v každém cyklu jedna).
Protože po 11. cyklu stavba pokračuje dalšími bílými sloupci, musel začít i 12. cyklus. Ten začíná opět 1 tmavou kostkou, za kterou pak následují zbývající 3 bílé sloupce.
Celkový počet tmavých kostek je tedy:
11 + 1 = 12

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Zuzančina stavba obsahuje celkem 156 kostek (bílých i tmavých dohromady).

Vypočtěte, kolik sloupců má Zuzančina stavba.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza jednoho opakujícího se úseku (cyklu)

Podle pravidel tvoří jeden cyklus stavby 6 sloupců. První sloupec tvoří 1 tmavá kostka, dalších pět sloupců tvoří postupně 2, 3, 4, 3 a 2 bílé kostky.
Počet kostek v jednom cyklu je: $1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 = 15$ kostek.
Počet sloupců v jednom cyklu je: 6 sloupců.

Krok 2: Výpočet počtu celých cyklů ve stavbě

Zuzančina stavba má celkem 156 kostek. Zjistíme, kolik celých cyklů o 15 kostkách se do stavby vejde:
$156 : 15 = 10$ (zbytek 6)
Stavba tedy obsahuje 10 celých cyklů. V těchto deseti cyklech je použito $10 \cdot 15 = 150$ kostek a tvoří je $10 \cdot 6 = 60$ sloupců.

Krok 3: Určení počtu zbývajících sloupců

Do celkového počtu 156 kostek nám zbývá doplnit $156 - 150 = 6$ kostek. Tyto kostky tvoří další sloupce v pořadí nového cyklu:

1. sloupec: 1 tmavá kostka (celkem 151 kostek),
2. sloupec: 2 bílé kostky (celkem 153 kostek),
3. sloupec: 3 bílé kostky (celkem 156 kostek).

Tím jsme dosáhli cílového počtu kostek. K dokončení stavby jsme potřebovali další 3 sloupce.

Krok 4: Celkový počet sloupců

K 60 sloupcům z deseti celých cyklů přičteme 3 sloupce z nedokončeného cyklu:
$60 + 3 = 63$
Zuzančina stavba má celkem 63 sloupců.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body