Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. náhradní termín 2022

28 úloh

Úloha 1.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 96 - 3 \cdot \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} =18+36 \div 3$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve vypočítáme hodnotu na pravé straně rovnosti. Přednost má dělení:
18 + 36 : 3 = 18 + 12 = 30

Úprava rovnosti

Nyní víme, že výsledek na levé straně musí být také 30:
96 − 3 · $\boxed{\phantom{10}}$ = 30

Hledání neznámé části

Zjistíme, kolik musíme odečíst od čísla 96, aby nám zbylo 30:
96 − 30 = 66
To znamená, že celý výraz 3 · $\boxed{\phantom{10}}$ se musí rovnat 66.

Výpočet čísla v rámečku

Hledáme číslo, které po vynásobení třemi dá 66. To zjistíme dělením:
66 : 3 = 22

Závěr

Do rámečku doplníme číslo 22.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \left( 96 \div 3 - \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \right) \cdot 2=2 \cdot 18$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve si vypočítáme pravou stranu rovnosti, abychom věděli, jaký má být celkový výsledek:
$2 \cdot 18 = 36$

Úprava levé strany

V závorce na levé straně si nejdříve vypočítáme dělení:
$96 \div 3 = 32$

Hodnota v závorce

Nyní víme, že $(32 - \boxed{\phantom{1}}) \cdot 2 = 36$. Aby po vynásobení dvěma vyšlo 36, musí se celá závorka rovnat 18 (protože $36 \div 2 = 18$).

Doplnění čísla

Hledáme tedy číslo, které musíme odečíst od 32, aby nám zbylo 18:
$32 - 18 = 14$
Do rámečku doplníme číslo 14.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Měsíc vyšel nad obzor včera večer v 18:17 a zapadl dnes ráno v 9:48.

Vypočtěte, jak dlouho byl měsíc nad obzorem.

Výsledek uveďte v hodinách a minutách.

Zobrazit odpověď

15:31 hodin

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas do půlnoci

Nejdříve vypočítáme, jak dlouho byl Měsíc nad obzorem včera (do půlnoci). Od 18:17 do 19:00 je to 43 minut. Od 19:00 do půlnoci (24:00) je to dalších 5 hodin. Do půlnoci tedy uplynulo 5 h 43 min.

Čas po půlnoci

Od půlnoci do dnešního rána, kdy Měsíc zapadl v 9:48, uplynulo přesně 9 h 48 min.

Celková doba

Oba časy sečteme dohromady: 5 h 43 min + 9 h 48 min. Nejdříve sečteme hodiny (5 + 9 = 14 h) a poté minuty (43 + 48 = 91 min). Protože 60 minut tvoří jednu hodinu, 91 minut převedeme na 1 h 31 min.

Výsledek

Celkovou dobu získáme sečtením: 14 h + 1 h 31 min = 15 hodin 31 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Vypočtěte v metrech:

$\displaystyle \frac{1}{20}$ kilometru + 34 000 centimetrů =

Zobrazit odpověď

390 m

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kilometry na metry

Nejdříve si převedeme $\frac{1}{20}$ kilometru na metry. Víme, že 1 kilometr má 1000 metrů. Jednu dvacetinu vypočítáme tak, že 1000 vydělíme dvaceti:
$1000 \div 20 = 50$ m

Centimetry na metry

Potom převedeme 34 000 centimetrů na metry. Protože 1 metr má 100 centimetrů, stačí číslo vydělit stem (nebo „odmazat“ dvě nuly):
$34\,000 \div 100 = 340$ m

Výsledek v metrech

Nakonec obě hodnoty v metrech sečteme:
$50 + 340 = 390$ m

Výsledek je 390 metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Obrazec se skládá ze čtverce, dvou rovnostranných
trojúhelníků a dvou stejných obdélníků.
(Sousední útvary mají společnou jednu stranu.)

Obvod celého obrazce je 54 cm a délka strany čtverce je 5 cm.

Vypočtěte v cm obvod jednoho obdélníku.

Zobrazit odpověď

22 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Obrazec je složen z pěti částí: jednoho čtverce, dvou rovnostranných trojúhelníků a dvou stejných obdélníků. Víme, že čtverec má stranu dlouhou 5 cm. Protože trojúhelníky jsou rovnostranné a sdílejí se čtvercem jednu stranu, mají všechny jejich strany délku 5 cm. Obdélníky sdílejí jednu stranu s trojúhelníky, takže jedna jejich strana měří také 5 cm. Druhou stranu obdélníku si označíme jako $b$.

Strany tvořící obvod

Obvod celého obrazce tvoří pouze vnější strany. Podívejme se, kolik kterých stran to je:

Čtverec: Sdílí dvě strany s trojúhelníky. Na obvodu jsou tedy 2 jeho strany, což je $2 \times 5 = 10$ cm.
Trojúhelníky: Každý sdílí jednu stranu se čtvercem a jednu s obdélníkem. Na obvodu je tedy z každého trojúhelníku jen 1 strana. Dohromady za oba trojúhelníky je to $2 \times 5 = 10$ cm.
Obdélníky: Každý sdílí jednu stranu s trojúhelníkem. Na obvodu jsou tedy z každého obdélníku zbývající 3 strany. Jedna z nich měří 5 cm a dvě mají délku $b$. Za oba obdélníky je to $2 \times (5 + 2b) = 10 + 4b$ cm.

Výpočet neznámé strany

Součet všech vnějších stran musí být 54 cm: $10 + 10 + 10 + 4b = 54$, tedy $30 + 4b = 54$. Odtud $4b = 24$ a $b = 6$ cm. Délka druhé strany obdélníku je tedy 6 cm.

Výpočet obvodu obdélníku

Obdélník má strany o délkách 5 cm a 6 cm. Jeho obvod vypočítáme jako součet všech jeho čtyř stran: $O = 2 \times (5 + 6) = 2 \times 11 = 22$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Na obrázku je zakreslena část čtvercové sítě.

Určete počet všech čtverců, u kterých jsou zakresleny všechny strany.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

V obrázku vidíme část čtvercové sítě uspořádané do 6 sloupců a 3 řad. Ne všechna políčka jsou ale zakreslena.

V prvních čtyřech sloupcích jsou všechny 3 řady plné (4 × 3 = 12 čtverečků).
V pátém sloupci chybí horní čtvereček, jsou tam jen 2 (střední a dolní).
V šestém sloupci chybí dolní čtvereček, jsou tam také jen 2 (horní a střední).

Celkem je tedy v síti 12 + 2 + 2 = 16 malých čtverečků (1×1).

Hledání větších čtverců

Kromě malých čtverečků musíme najít i ty větší, které se skládají z více políček (2×2 a 3×3). Čtverec existuje pouze tehdy, pokud jsou zakreslena všechna jeho políčka.

Čtverce 2×2:

V horních dvou řadách najdeme 3 takové čtverce (v 1., 2. a 3. sloupci). Ve 4. a 5. sloupci to nejde, protože chybí políčko v 5. sloupci nahoře.
V dolních dvou řadách najdeme 4 takové čtverce (v 1., 2., 3. a 4. sloupci). V 5. sloupci to nejde, protože chybí políčko v 6. sloupci dole.

Celkem máme 3 + 4 = 7 čtverců o velikosti 2×2.

Největší čtverce a celkový součet

Čtverce 3×3: Tyto čtverce zabírají všechny tři řady sítě (horní, střední i dolní).

Jeden najdeme v 1.–3. sloupci.
Druhý najdeme v 2.–4. sloupci.

Dále už to nejde, protože v 5. sloupci nahoře i v 6. sloupci dole chybí políčka, která by tyto větší čtverce musely obsahovat. Celkem máme 2 čtverce o velikosti 3×3.

Celkový výsledek

Nyní sečteme všechny typy čtverců, které jsme v síti našli:

16 (1×1) + 7 (2×2) + 2 (3×3) = 25

Počet všech čtverců se zakreslenými stranami je 25.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Do prázdných kroužků a čtverečků se v souladu s uvedenými výpočty doplňují pouze celá čísla větší než 0.

Doplňte taková čísla, aby byl součet v silně ohraničeném čtverečku v I. nákresu co nejmenší.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu

Podle vzoru vidíme, že čísla v horních kroužcích po vynásobení čísly u šipek (3 a 4) dávají čísla v dolních kroužcích. Číslo v horním čtverečku je součtem obou horních kroužků. V I. nákresu víme, že součet v dolním čtverečku je 43.

Sestavení výpočtu

Hledáme dvě celá čísla větší než 0 (označíme si je jako první a druhý horní kroužek), pro která platí:
(3 × první kroužek) + (4 × druhý kroužek) = 43
Chceme, aby součet obou kroužků byl co nejmenší.

Hledání možností

Zkoušíme dosazovat za druhý kroužek a dopočítat první kroužek tak, aby byl celkový výsledek 43:

Druhý kroužek = 1: 43 − 4 = 39; 39 : 3 = 13. Součet kroužků je 13 + 1 = 14.
Druhý kroužek = 4: 43 − 16 = 27; 27 : 3 = 9. Součet kroužků je 9 + 4 = 13.
Druhý kroužek = 7: 43 − 28 = 15; 15 : 3 = 5. Součet kroužků je 5 + 7 = 12.
Druhý kroužek = 10: 43 − 40 = 3; 3 : 3 = 1. Součet kroužků je 1 + 10 = 11.

Větší číslo už za druhý kroužek dosadit nemůžeme, protože by pro první kroužek nezbylo kladné číslo.

Výsledek

Nejmenší možný součet v silně ohraničeném čtverečku v I. nákresu je tedy 11.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Do prázdných kroužků a čtverečků se v souladu s uvedenými výpočty doplňují pouze celá čísla větší než 0.

Doplňte taková čísla, aby byl součet v silně ohraničeném čtverečku ve II. nákresu co největší.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schématu a pravidla

Podle vzoru vidíme, že čísla v horních kroužcích se sčítají do horního čtverečku. Mezi řadami probíhá násobení: levý kroužek se násobí 3 a pravý 4. Součet těchto výsledků v dolní řadě musí být 43.
Označíme-li horní kroužky jako $A$ a $B$, platí: $(A \cdot 3) + (B \cdot 4) = 43$. Naším úkolem je najít takové hodnoty $A$ a $B$ (celá čísla větší než 0), aby jejich součet $A + B$ v horním čtverečku byl co největší.

Hledání největšího součtu

Protože číslo 4 (násobitel u $B$) je větší než číslo 3 (násobitel u $A$), každé zvýšení hodnoty $B$ nám „ubere“ z celkového součtu více než zvýšení hodnoty $A$. Aby byl součet $A + B$ co největší, musíme zvolit pro $B$ co nejmenší možnou hodnotu tak, aby zbytek do 43 byl dělitelný 3.

Výpočet a výsledek

Zkusíme nejmenší možnost $B = 1$:

$1 \cdot 4 = 4$
$43 - 4 = 39$
$39 : 3 = 13$

V horních kroužcích tedy budou čísla 13 a 1. Jejich součet v horním čtverečku je:
$13 + 1 = 14$
Pokud bychom zvolili pro $B$ další možnou hodnotu ($B = 4$), dostali bychom $A = 9$ a součet by byl pouze 13. Největší možný součet je tedy 14.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Z nádvoří se chodí nahoru na ochoz věže po 120 stejných vyšších schodech, zatímco zpět na nádvoří se chodí dolů jiným schodištěm po 180 stejných nižších schodech. Obě schodiště jsou ve dvou místech propojena odpočívadly. Mezi 1. odpočívadlem a ochozem je třikrát více vyšších schodů než mezi nádvořím a 1. odpočívadlem. (Totéž musí platit o nižších schodech.) Z nádvoří na 2. odpočívadlo vede směrem nahoru 96 vyšších schodů.

Vypočtěte, kolik vyšších schodů vede směrem nahoru z nádvoří na 1. odpočívadlo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor schodiště

Zadání nám říká, že celá cesta nahoru po vyšších schodech má 120 schodů. První odpočívadlo rozděluje tuto cestu na dvě části: z nádvoří na 1. odpočívadlo a z 1. odpočívadla na ochoz věže.

Rozdělení na díly

Mezi 1. odpočívadlem a ochozem je třikrát více schodů než v první části. Pokud si první část (nádvoří až 1. odpočívadlo) představíme jako 1 díl, potom druhá část (1. odpočívadlo až ochoz) tvoří 3 stejné díly. Celá cesta má tedy dohromady 4 stejné díly ($1 + 3 = 4$).

Výpočet počtu schodů

Víme, že celých 120 schodů odpovídá 4 dílům. Jeden díl tedy vypočítáme vydělením:
$120 : 4 = 30$

Závěr

Hledaná spodní část cesty (z nádvoří na 1. odpočívadlo) odpovídá právě jednomu dílu, což je 30 schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik nižších schodů vede směrem dolů z ochozu na 1. odpočívadlo.

Zobrazit odpověď

135

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor počtu schodů a dílků

Víme, že mezi 1. odpočívadlem a ochozem je třikrát více schodů než mezi nádvořím a 1. odpočívadlem. Celé schodiště (ať už nahoru nebo dolů) si tedy můžeme představit jako rozdělené na dílky:

úsek nádvoří – 1. odpočívadlo: 1 dílek
úsek 1. odpočívadlo – ochoz: 3 dílky

Dohromady má celé schodiště 4 stejné dílky (1 + 3 = 4).

Výpočet počtu schodů na jeden dílek

Z nádvoří se chodí nahoru po 120 vyšších schodech, ale zpět se chodí jiným schodištěm po 180 nižších schodech. Protože se ptáme na nižší schody (směrem dolů), budeme pracovat s číslem 180.

Celkem 180 schodů odpovídá 4 stejným dílkům. Počet schodů na jeden dílek vypočítáme dělením: $180 : 4 = 45$

Výpočet pro hledaný úsek

Hledáme počet nižších schodů, které vedou směrem dolů z ochozu na 1. odpočívadlo. Tento úsek odpovídá 3 dílkům: $3 \times 45 = 135$

Závěr

Z ochozu na 1. odpočívadlo vede 135 nižších schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.3

Vypočtěte, kolik nižších schodů vede směrem dolů z 2. odpočívadla na nádvoří.

Zobrazit odpověď

144

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vztah mezi vyššími a nižšími schody

Celková výška věže je stejná, ať už jdeme po vyšších schodech nahoru, nebo po nižších dolů. Víme, že 120 vyšších schodů odpovídá 180 nižším schodům. Můžeme si tedy spočítat, kolik nižších schodů odpovídá jednomu vyššímu schodu:
180 : 120 = 1,5
Každý jeden vyšší schod je tedy stejně vysoký jako 1,5 nižšího schodu.

Výpočet pro 2. odpočívadlo

Z nákresu a textu víme, že z nádvoří na 2. odpočívadlo vede 96 vyšších schodů. Chceme zjistit, kolik je to v nižších schodech. Počet vyšších schodů tedy vynásobíme koeficientem 1,5:
96 · 1,5 = 144
(Výpočet si můžeme usnadnit: 96 + polovina z 96, tedy 96 + 48 = 144.)

Závěr

Z 2. odpočívadla na nádvoří vede dolů 144 nižších schodů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Stejné zahradní dlaždice se skládají na stejné dřevěné palety. Plná paleta obsahuje 10 kusů dlaždic. Dvě plné palety s dlaždicemi váží dohromady 340 kg. Jedna paleta se 4 dlaždicemi váží 80 kg.

Vypočtěte, kolik kg váží jedna dlaždice.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost jedné plné palety

Ze zadání víme, že dvě plné palety s dlaždicemi váží dohromady 340 kg. Jedna plná paleta s 10 dlaždicemi tedy váží polovinu: $340 \div 2 = 170$ kg.

Porovnání hmotností

Nyní porovnáme plnou paletu a paletu, na které jsou jen 4 dlaždice:

Paleta s 10 dlaždicemi: 170 kg
Paleta se 4 dlaždicemi: 80 kg

Rozdíl v hmotnosti je způsoben právě těmi dlaždicemi, které na druhé paletě chybí.

Hmotnost chybějících dlaždic

Na druhé paletě chybí $10 - 4 = 6$ dlaždic. Tyto dlaždice váží dohromady $170 - 80 = 90$ kg.

Výpočet hmotnosti jedné dlaždice

Pokud 6 dlaždic váží 90 kg, hmotnost jedné dlaždice vypočítáme tak, že celkovou hmotnost rozdělíme počtem kusů: $90 \div 6 = 15$ kg. Jedna dlaždice váží 15 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik kg váží jedna prázdná paleta.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Váha jedné plné palety

Dvě plné palety váží dohromady 340 kg. Jedna plná paleta (s 10 dlaždicemi) tedy váží polovinu:
$340 \div 2 = 170$ kg.

Porovnání palet

Máme plnou paletu (10 dlaždic), která váží 170 kg, a paletu se 4 dlaždicemi, která váží 80 kg. Rozdíl v počtu dlaždic je $10 - 4 = 6$ kusů.

Váha jedné dlaždice

Rozdíl v celkové váze je $170 - 80 = 90$ kg. Tento rozdíl připadá na 6 chybějících dlaždic. Jedna dlaždice tedy váží:
$90 \div 6 = 15$ kg.

Váha prázdné palety

Paleta se 4 dlaždicemi váží 80 kg. Čtyři dlaždice váží $4 \cdot 15 = 60$ kg. Když od celkové váhy 80 kg odečteme váhu těchto dlaždic, získáme váhu prázdné palety:
$80 - 60 = 20$ kg.

Výsledek

Jedna prázdná paleta váží 20 kg.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží přímky a, b, které se protínají v bodě C. Na přímce b leží bod M.

Bod C je vrchol obdélníku ABCD.
Vrchol A tohoto obdélníku leží na přímce a. Úsečka AM je dvakrát delší než úsečka CM.
Vrchol B obdélníku ABCD leží na přímce b.

Sestrojte vrcholy A, B, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží bod F a různoběžné přímky g, h.

Bod F je vrchol trojúhelníku FGH. Na přímce g leží vrchol G tohoto trojúhelníku a na přímce h leží vrchol H. Obě strany FG i GH mají stejnou délku, a to 5 cm.

Sestrojte vrcholy G, H trojúhelníku FGH, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar A má pouze 2 osy souměrnosti.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar B má pouze 2 osy souměrnosti.

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Správně upravený útvar C má pouze 1 osu souměrnosti.

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 9

Ve stánku mají celkem 140 krabiček s čaji. Všechny jsou naskládány do sloupečků po čtyřech
krabičkách. V 10 sloupečcích jsou pouze krabičky s černými čaji a v každém ze zbývajících
sloupečků je jedna krabička s černým čajem a 3 krabičky s ovocnými čaji.

Kolik krabiček s ovocnými čaji mají ve stánku?

A) 30 krabiček
D) 100 krabiček
B) 40 krabiček
E) jiný počet krabiček
C) 75 krabiček

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet sloupečků

Nejdříve zjistíme, kolik je ve stánku celkem sloupečků. Protože jsou v každém sloupečku 4 krabičky a celkem jich je 140, vydělíme celkový počet počtem krabiček v jednom sloupečku:
$140 \div 4 = 35$
Celkem je tedy ve stánku 35 sloupečků.

Sloupečky s ovocným čajem

Víme, že v 10 sloupečcích jsou jen krabičky s černým čajem. Ovocné čaje se nacházejí ve všech zbývajících sloupečcích. Jejich počet zjistíme odečtením:
$35 - 10 = 25$
Ve stánku je tedy 25 sloupečků, které obsahují ovocné čaje.

Počet krabiček s ovocným čajem

V zadání se píše, že v každém z těchto 25 sloupečků jsou právě 3 krabičky s ovocným čajem. Celkový počet krabiček s ovocným čajem vypočítáme násobením:
$25 \cdot 3 = 75$

Závěr

Ve stánku mají celkem 75 krabiček s ovocnými čaji. To odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Čtyři chlapci (Petr, Radek, Standa a Tomáš) sbírají kartičky s legendárními hokejisty. V grafu znázorňujícím počty jejich kartiček některé údaje chybí.Standa má o polovinu méně kartiček než Tomáš a oba dohromady mají 24 kartiček. Petr má o 5 kartiček více než Radek.

O kolik se liší počet Petrových a Standových kartiček?

A) o 1 kartičku
D) o 17 kartiček
B) o 8 kartiček
E) o jiný počet kartiček
C) o 10 kartiček

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet počtu kartiček Tomáše a Standy

Ze zadání víme, že Standa má o polovinu méně kartiček než Tomáš, což znamená, že má přesně polovinu Tomášova počtu. Dohromady mají oba chlapci 24 kartiček.
Pokud si Tomášův počet představíme jako 2 stejné díly, Standa má 1 takový díl. Dohromady mají 3 stejné díly:
24 : 3 = 8 kartiček (to je 1 díl).
Standa má tedy 8 kartiček a Tomáš má 16 kartiček (2 × 8).

Krok 2: Určení měřítka grafu

V grafu vidíme, že Tomášův pruh končí na páté svislé čáře (včetně počáteční osy s nulou). To znamená, že jeho pruh odpovídá 4 polím (mezerám) v grafu.
Těmto 4 polím odpovídá 16 kartiček. Jedno pole v grafu tedy představuje:
16 : 4 = 4 kartičky.

Krok 3: Výpočet počtu kartiček Radka a Petra

Radkův pruh končí na šesté svislé čáře (včetně nuly), což odpovídá 5 polím v grafu.
Radek má tedy: 5 × 4 = 20 kartiček.
Petr má o 5 kartiček více než Radek:
Petr má: 20 + 5 = 25 kartiček.

Krok 4: Výpočet rozdílu

Máme zjistit, o kolik se liší počet Petrových (25) a Standových (8) kartiček:
25 − 8 = 17.
Počet Petrových a Standových kartiček se liší o 17.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Těžítko je vyrobeno ze skla – část ze šedého skla, zbytek z průhledného skla. Na obrázku jsou dva pohledy na toto těžítko.

Který popis těžítka je v souladu s uvedenými podmínkami?

A) Ve skleněné krychli je šedý kužel.
D) Ve skleněném válci je šedý kužel.
B) Ve skleněném válci je šedý jehlan.
E) Ve skleněném kuželi je šedý kvádr.
C) Ve skleněném kvádru je šedý jehlan.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza pohledu shora

Při pohledu shora vidíme vnější černou kružnici a uvnitř šedý čtverec. Kružnice na obvodu znamená, že vnější těleso musí mít kruhovou podstavu, což odpovídá válci nebo kuželi. Šedý čtverec uvnitř odpovídá pohledu na základnu jehlanu se čtvercovou podstavou.

Analýza pohledu zepředu

Při pohledu zepředu vidíme vnější černý obrys ve tvaru čtverce. U těles s kruhovou podstavou se jako čtverec (nebo obdélník) jeví válec viděný ze strany. Uvnitř je šedý trojúhelník, který odpovídá pohledu na jehlan ze strany. Trojúhelník je obrácený vrcholem dolů, což znamená, že jehlan je v těžítku umístěn špičkou dolů.

Kombinace informací

Srovnáme-li oba pohledy:

Vnější těleso: Shora kruh, zepředu čtverec. To je skleněný válec.
Vnitřní těleso: Shora čtverec, zepředu trojúhelník. To je šedý jehlan.

Těžítko tedy tvoří šedý jehlan umístěný ve skleněném válci.

Závěr

Podmínkám odpovídá popis: Ve skleněném válci je šedý jehlan.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Na podložce je postavena stavba ze 6 stejných krychliček a 2 stejných kvádrů.

Který z následujících obrázků (A–E) může představovat pohled na stavbu zezadu?

A)
B)
C)
D)
E)žádný z uvedených obrázků

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor stavby

Stavba je postavena na čtvercové síti a skládá se ze tří sloupců (při pohledu zepředu):

Levý sloupec: V přední řadě jsou 2 kostky nad sebou, za nimi (ve třetí řadě) je sloupec vysoký 3 kostky.
Prostřední sloupec: V přední řadě je 1 kostka, za ní (ve druhé řadě) je sloupec vysoký 2 kostky a úplně vzadu (ve třetí řadě) je další 1 kostka.
Pravý sloupec: Obsahuje pouze 1 kostku v přední řadě.

Celkem je použito 10 jednotek (6 krychliček a 2 kvádry po dvou krychličkách).

Určení siluety zezadu

Při pohledu zezadu se levá a pravá strana stranově obrátí. Sledujeme nejvyšší body v každém sloupci:

Levý sloupec (původně pravý): Vidíme pouze jednu kostku, která byla v přední řadě. Výška je 1.
Prostřední sloupec: Vidíme kostku v zadní řadě a nad ní vyčnívající část prostředního sloupce. Celková výška je 2.
Pravý sloupec (původně levý): Vidíme nejvyšší část, tedy sloupec vysoký 3 kostky.

Pohled zezadu tedy musí mít sloupce o výškách 1, 2 a 3 (při pohledu zleva doprava).

Analýza dělících čar

V nákresu pohledu vidíme čáry všude tam, kde se mění hloubka (vzdálenost od pozorovatele) nebo kde končí jeden blok a začíná jiný.

V prostředním sloupci je spodní kostka v první řadě (pro pohled zezadu) a horní část ve druhé řadě. Mezi nimi je tedy vodorovná čára.
V pravém sloupci jsou tři kostky nad sebou. Protože kvádry jsou umístěny jinde (např. v nižších nebo skrytých částech), vidíme tento sloupec jako tři samostatné čtverce s vodorovnými čarami mezi nimi.

Závěr a výběr odpovědi

Hledáme obrázek, který má tři sloupce o výškách 1, 2 a 3 a obsahuje všechny vnitřní dělící čáry mezi čtverci. Tomu přesně odpovídá obrázek D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik chlapců chodí do 1. třídy?

Do 1. třídy chodí 24 žáků, přitom chlapců je dvakrát více než dívek.

A) 12 chlapců
D) 15 chlapců
B) 13 chlapců
E) 16 chlapců
C) 14 chlapců
F) jiný počet chlapců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na dílky

Do 1. třídy chodí celkem 24 žáků. Víme, že chlapců je dvakrát více než dívek. To znamená, že pokud si dívky představíme jako 1 dílek, chlapci budou tvořit 2 stejné dílky. Celkem tedy máme 3 stejné dílky (1 dílek dívek + 2 dílky chlapců).

Výpočet jednoho dílku

Celkový počet žáků (24) rozdělíme na 3 stejné dílky:
$24 \div 3 = 8$
Jeden dílek tedy odpovídá 8 žákům. Protože dívky tvoří 1 dílek, víme, že dívek je 8.

Počet chlapců

Chlapci tvoří 2 stejné dílky. Jejich počet vypočítáme tak, že hodnotu jednoho dílku vynásobíme dvěma:
$2 \cdot 8 = 16$
Do 1. třídy tedy chodí 16 chlapců.

Výsledek

V 1. třídě je 16 chlapců. Správná odpověď je tedy možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik chlapců chodí do 2. třídy?

Do 2. třídy chodí 25 žáků. Když chyběli 3 chlapci a 2 dívky, mezi přítomnými bylo chlapců o 4 více než dívek.

A) 12 chlapců
D) 15 chlapců
B) 13 chlapců
E) 16 chlapců
C) 14 chlapců
F) jiný počet chlapců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet přítomných žáků

Nejdříve zjistíme, kolik žáků bylo ten den ve škole. Od celkového počtu 25 žáků odečteme ty, kteří chyběli (3 chlapci a 2 dívky):
25 − (3 + 2) = 25 − 5 = 20 přítomných žáků

Rozdělení na chlapce a dívky

Víme, že přítomných žáků bylo 20 a chlapců bylo o 4 více než dívek. Kdybychom od celkového počtu 20 odečetli tento rozdíl 4, zbyl by nám počet dětí, který by se dal rozdělit přesně na polovinu mezi chlapce a dívky:
20 − 4 = 16
16 ÷ 2 = 8
Přítomných dívek tedy bylo 8 a přítomných chlapců bylo o 4 více, tedy 8 + 4 = 12.

Celkový počet chlapců

K počtu přítomných chlapců musíme přičíst ty, kteří ten den chyběli:
12 + 3 = 15

Závěr

Do 2. třídy chodí celkem 15 chlapců. Správná odpověď je tedy D.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik chlapců chodí do 3. třídy?

Do 3. třídy chodí chlapců o pětinu méně než dívek. Počty dívek a chlapců se liší o 3.

A) 12 chlapců
D) 15 chlapců
B) 13 chlapců
E) 16 chlapců
C) 14 chlapců
F) jiný počet chlapců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dílky a pětina

Chlapců je o pětinu méně než dívek. To znamená, že si počet dívek můžeme představit jako celek rozdělený na 5 stejných dílků. Chlapců je o jeden takový dílek (pětinu) méně, mají tedy 4 tyto dílky.

Rozdíl v počtu

Víme, že počty dívek a chlapců se liší o 3. Protože dívek je 5 dílků a chlapců 4 dílky, rozdíl mezi nimi je právě 1 dílek.

Hodnota jednoho dílku

Jeden dílek tedy odpovídá 3 dětem.

Počet chlapců

Chlapci mají 4 dílky, každý po 3 dětech. Počet chlapců vypočítáme jako:
$4 \cdot 3 = 12$
Do 3. třídy chodí 12 chlapců.

Výsledek

Správná odpověď je 12 chlapců, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.

V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …

Určete, na kolikátém místě řady je poprvé číslo 12.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení řady

Řada se skládá z trojic čísel. První trojice je 0, 1, 2. Každá další trojice začíná číslem o 1 vyšším než ta předchozí.

Hledání první dvanáctky

V každé trojici jsou čísla uspořádána od nejmenšího po největší. Číslo 12 se tedy poprvé objeví jako největší (poslední) číslo v nějaké trojici.
Pokud má být v trojici největší číslo 12, musí tato trojice vypadat takto: 10, 11, 12.

Pořadí trojice

Musíme zjistit, o kolikátou trojici se jedná:

1. trojice začíná číslem 0.
2. trojice začíná číslem 1.
3. trojice začíná číslem 2.

Vidíme, že pořadí trojice je vždy o 1 větší než číslo, kterým začíná. Trojice začínající číslem 10 je tedy 11. trojice v pořadí.

Výpočet místa

Každá trojice zabírá 3 místa v řadě. Jedenáctá trojice končí na místě:
$11 \cdot 3 = 33$.

Výsledek

Číslo 12 je v jedenácté trojici na posledním místě, nachází se tedy poprvé na 33. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Určete, na kolika místech řady je mezi prvními 125 čísly uvedeno liché číslo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na trojice

Celou řadu tvoří trojice čísel. Prvních 125 čísel si můžeme rozdělit na 41 celých trojic a zbylá 2 čísla (protože $125 = 41 \cdot 3 + 2$).

Lichá čísla v trojicích

Podíváme se, kolik lichých čísel je v každé trojici:

1. trojice (0, 1, 2) má 1 liché číslo.
2. trojice (1, 2, 3) má 2 lichá čísla.
3. trojice (2, 3, 4) má opět 1 liché číslo.
4. trojice (3, 4, 5) má opět 2 lichá čísla.

Vzor se pravidelně střídá: liché trojice (1., 3., 5., ...) mají 1 liché číslo, sudé trojice (2., 4., 6., ...) mají 2 lichá čísla.

Počet v 41 trojicích

Mezi prvními 41 trojicemi je:

21 lichých trojic (1., 3., ..., 41.), každá má jedno liché číslo: $21 \cdot 1 = 21$.
20 sudých trojic (2., 4., ..., 40.), každá má dvě lichá čísla: $20 \cdot 2 = 40$.

Dohromady je v celých trojicích $21 + 40 = 61$ lichých čísel.

Poslední dvě čísla

Zbývá určit 124. a 125. číslo. Tato čísla patří do 42. trojice. Ta vznikne zvětšením čísel ze 41. trojice (40, 41, 42) o jedna, tedy je to (41, 42, 43).

124. číslo je 41 (liché).
125. číslo je 42 (sudé).

Tím získáme ještě 1 liché číslo.

Celkový součet

Mezi prvními 125 čísly je celkem $61 + 1 = 62$ lichých čísel.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Určete, které číslo je na 152. místě řady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na trojice

Čísla v řadě jsou rozdělena do trojic: (0, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 3, 4) a tak dále. Každá další trojice začíná o 1 větším číslem než ta předchozí.

Která trojice to je?

Potřebujeme najít číslo na 152. místě. Protože jsou čísla po trojicích, vydělíme 152 číslem 3:
$152 : 3 = 50$ (zbytek 2)
To znamená, že před námi je 50 celých trojic a hledané číslo je druhé v pořadí v 51. trojici.

Čím začíná 51. trojice?

Podíváme se, jak trojice začínají:
1. trojice začíná 0.
2. trojice začíná 1.
3. trojice začíná 2.
Vidíme, že trojice vždy začíná číslem, které je o 1 menší než její pořadové číslo. 51. trojice tedy musí začínat číslem $51 - 1 = 50$.

Výsledek

51. trojice vypadá takto: (50, 51, 52). Hledané 152. místo je druhé v této trojici, což je číslo 51.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body