Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2022

30 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 2 \cdot 243-18 \right) \div \left( 10 \cdot 165 \cdot 0 + 20 \div 5 \right) =$

Zobrazit odpověď

117

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v první závorce. Nejdříve násobíme:
2 · 243 = 486
Poté odečteme 18:
486 − 18 = 468

Druhá závorka

Nyní vypočítáme hodnotu v druhé závorce. Víme, že cokoli vynásobené nulou je nula, tedy:
10 · 165 · 0 = 0
Dále vypočítáme dělení:
20 : 5 = 4
Výsledky v závorce sečteme:
0 + 4 = 4

Celkový výpočet

Nakonec vydělíme výsledek z první závorky výsledkem z druhé závorky:
468 : 4 = 117

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 4 \cdot \left( 540-360 \right) - \left( 8 \cdot 180 - 5 \cdot 180 \right) =$

Zobrazit odpověď

180

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část příkladu

Nejdříve vypočítáme první závorku: $540 - 360 = 180$.
Tento výsledek pak vynásobíme čtyřmi: $4 \cdot 180 = 720$.

Druhá část příkladu

Ve druhé závorce vypočítáme oba součiny:
$8 \cdot 180 = 1440$
$5 \cdot 180 = 900$
Rozdíl těchto dvou čísel je $1440 - 900 = 540$.

Konečný výsledek

Teď už jen odečteme výsledek druhé části od první části:
$720 - 540 = 180$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Na číselné ose je zobrazeno devět bodů oddělujících osm stejných dílků. Body A, B, C, D představují čtyři čísla. V bodě C je číslo 48, které je trojnásobkem čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě A.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení čísla v bodě B

V bodě C je číslo 48. Podle zadání je toto číslo trojnásobkem čísla v bodě B, proto: $48 \div 3 = 16$ V bodě B je číslo 16.

Velikost jednoho dílku

Bod B je na 3. rysce zleva a bod C na 5. rysce zleva, takže mezi nimi jsou 2 stejné dílky. Rozdíl hodnot je: $48 - 16 = 32$ Jeden dílek má tedy hodnotu: $32 \div 2 = 16$

Výpočet čísla v bodě A

Bod A je na 2. rysce zleva, tedy o 1 dílek vlevo od bodu B. Odečteme proto jeden dílek: $16 - 16 = 0$

Závěr

V bodě A je číslo 0.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Na číselné ose je zobrazeno devět bodů oddělujících osm stejných dílků. Body A, B, C, D představují čtyři čísla. V bodě C je číslo 48, které je trojnásobkem čísla v bodě B.

Určete číslo v bodě D.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení čísla v bodě B

V bodě C je číslo 48. Podle zadání je toto číslo trojnásobkem čísla v bodě B, proto: $48 \div 3 = 16$ V bodě B je číslo 16.

Velikost jednoho dílku

Bod B je na 3. rysce zleva a bod C na 5. rysce zleva, takže mezi nimi jsou 2 stejné dílky. Rozdíl hodnot je: $48 - 16 = 32$ Jeden dílek má tedy hodnotu: $32 \div 2 = 16$

Výpočet čísla v bodě D

Bod D je na 7. rysce zleva, tedy o 2 dílky vpravo od bodu C. Přičteme proto dva dílky: $48 + 2 \cdot 16 = 48 + 32 = 80$

Závěr

V bodě D je číslo 80.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Neznámé číslo je větší než 1. Když ho vynásobíme samo sebou, dostaneme číslo o 17 menší než devítinásobek čísla 9.

Určete neznámé číslo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Devítinásobek devítky

Nejprve si vypočítáme, kolik je devítinásobek čísla 9. To je podle malé násobilky $9 \cdot 9 = 81$.

Odečtení sedmnácti

V zadání se píše, že hledaný součin je o 17 menší než 81. Vypočítáme tedy:
$81 - 17 = 64$

Neznámé číslo

Hledáme číslo, které po vynásobení samo sebou (tedy „číslo krát to samé číslo“) dává 64. Z malé násobilky víme, že $8 \cdot 8 = 64$.

Ověření a odpověď

Neznámé číslo je 8. Číslo 8 je větší než 1, což přesně odpovídá podmínce v zadání.
Neznámé číslo je 8.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

V každé bedýnce je 6 lahví se sirupem. Každá lahev obsahuje půl litru sirupu. Ve všech bedýnkách je celkem 321 litrů sirupu.

Určete počet bedýnek se sirupem.

Zobrazit odpověď

107

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sirup v jedné bedýnce

V jedné bedýnce je 6 lahví a v každé je půl litru sirupu. Víme, že dvě lahve dají dohromady 1 litr ($2 \cdot 0,5 = 1$). V bedýnce je tedy celkem 3 litry sirupu ($6 \div 2 = 3$).

Počet bedýnek

Celkem máme 321 litrů sirupu a v každé bedýnce jsou 3 litry. Pro zjištění počtu bedýnek musíme celkový objem vydělit objemem jedné bedýnky: $321 \div 3 = 107$ (3 : 3 = 1, 2 : 3 = 0 se zbytkem 2, 21 : 3 = 7).

Výsledek

Počet bedýnek se sirupem je 107.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Graf udává počet nehod, k nimž došlo v obcích A, B, C,D v jednotlivých čtvrtletích loňského roku, a celoroční počet nehod v obci E.
V obci E
– nebyla ve 4. čtvrtletí žádná nehoda,
– bylo ve 2. čtvrtletí dvakrát více nehod než v 1. čtvrtletí,
– byl ve 3. čtvrtletí stejný počet nehod jako v 1. čtvrtletí.(První pololetí se skládá z 1. a 2. čtvrtletí, druhé pololetí ze 3. a 4. čtvrtletí.)

Určete celkový počet nehod, k nimž došlo ve 3. čtvrtletí v obcích A, B, C a D.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z legendy pod grafem zjistíme, že 3. čtvrtletí je znázorněno tečkovanou barvou. Budeme tedy sledovat výšku tečkovaných částí u sloupců A, B, C a D.

Zjištění hodnot pro jednotlivé obce

Odečteme počet nehod ve 3. čtvrtletí z grafu pro každou obec:

Obec A: Tečkovaná část začíná na hodnotě 2 a končí na 5. Rozdíl je $5 - 2 = 3$ nehody.
Obec B: Tečkovaná část začíná na 5 a končí na 11. Rozdíl je $11 - 5 = 6$ nehod.
Obec C: Tečkovaná část začíná na 5 a končí na 9. Rozdíl je $9 - 5 = 4$ nehody.
Obec D: Tečkovaná část začíná na 9 a končí na 11. Rozdíl je $11 - 9 = 2$ nehody.

Celkový výpočet

Nyní sečteme počty nehod ve všech čtyřech obcích dohromady:
$3 + 6 + 4 + 2 = 15$

Závěr

Ve 3. čtvrtletí došlo v obcích A, B, C a D celkem k 15 nehodám.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Určete, o kolik nehod více se v prvním pololetí stalo v obci D než v obci A.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního pololetí

První pololetí tvoří 1. a 2. čtvrtletí. V grafu jsou tato období znázorněna šikmým šrafováním (1. čtvrtletí) a šedou barvou (2. čtvrtletí). Budeme sledovat tyto části u sloupců A a D.

Výpočet pro obec A

V obci A vidíme následující hodnoty:

1. čtvrtletí: 0 nehod (tato barva ve sloupci není)
2. čtvrtletí: 2 nehody (sahá od 0 do 2)

Celkem v obci A za první pololetí: $0 + 2 = 2$ nehody.

Výpočet pro obec D

V obci D vidíme následující hodnoty:

1. čtvrtletí: 4 nehody (sahá od 0 do 4)
2. čtvrtletí: 5 nehod (sahá od 4 do 9)

Celkem v obci D za první pololetí: $4 + 5 = 9$ nehod.

Porovnání výsledků

Nyní určíme rozdíl mezi počtem nehod v obci D a v obci A:
$9 - 2 = 7$

Závěr

V obci D se v prvním pololetí stalo o 7 nehod více než v obci A.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.3

Určete počet nehod, k nimž došlo ve 2. čtvrtletí v obci E.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění celkového počtu nehod v obci E

Z grafu vidíme, že sloupec pro obec E je bílý (není rozdělen na čtvrtletí) a jeho horní hrana sahá přesně k rysce s hodnotou 12. Celoroční počet nehod v obci E je tedy 12.

Sestavení vztahů mezi čtvrtletími

Podle textu zadání platí pro obec E tyto vztahy:

4. čtvrtletí: 0 nehod
1. čtvrtletí: neznámý počet (označíme jako jeden dílek)
3. čtvrtletí: stejný počet jako v 1. čtvrtletí (také jeden dílek)
2. čtvrtletí: dvakrát více než v 1. čtvrtletí (tedy dva dílky)

Výpočet počtu nehod

Celkem máme $1 + 2 + 1 + 0 = 4$ stejné dílky, které dohromady tvoří 12 nehod.
Jeden dílek vypočítáme jako: $12 : 4 = 3$.

Nyní můžeme určit počet nehod v jednotlivých čtvrtletích:

1. čtvrtletí: 3 nehody
2. čtvrtletí: $2 \cdot 3 = 6$ nehod
3. čtvrtletí: 3 nehody
4. čtvrtletí: 0 nehod

Kontrola: $3 + 6 + 3 + 0 = 12$. Vše souhlasí.

Závěr

Ve 2. čtvrtletí došlo v obci E k 6 nehodám.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Vypočtěte, kolik gramů váží jedna koule.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvních vah

Na prvních vahách vidíme, že 2 válce a jedno 50g závaží vyvažují 3 koule. Můžeme si to představit jako rovnici:
2 válce + 50 g = 3 koule

Rozbor druhých vah

Na druhých vahách vidíme, že 1 válec a jedno 70g závaží vyvažují 2 koule. To nám říká:
1 válec + 70 g = 2 koule

Úprava vztahů

Z druhých vah víme, kolik váží 2 koule. Kdybychom měli na obou stranách dvojnásobné množství (tedy 4 koule), musely by je vyvážit 2 válce a dvě 70g závaží ($70 + 70 = 140$ g):
2 válce + 140 g = 4 koule

Porovnání a výpočet

Nyní porovnáme dva vztahy, které obsahují 2 válce:

2 válce + 50 g = 3 koule
2 válce + 140 g = 4 koule

Vidíme, že přidáním 90 gramů ($140 - 50 = 90$) na levou stranu se počet koulí na pravé straně zvýšil o jednu ($4 - 3 = 1$).

Z toho vyplývá, že jedna koule váží 90 gramů.

Závěr

Jedna koule váží 90 gramů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik gramů váží jeden válec.

Zobrazit odpověď

110

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vztahů z vah

Z nákresu vah můžeme vyčíst dva důležité vztahy:

Vztah 1 (vlevo): 2 válce + 50 g = 3 koule
Vztah 2 (uprostřed): 1 válec + 70 g = 2 koule

Hledání váhy koule

Abychom zjistili váhu válce, je nejprve užitečné znát váhu koule. Pokud u druhého vztahu zdvojnásobíme množství na obou stranách, dostaneme:
2 válce + 140 g = 4 koule

Porovnáním s prvním vztahem (2 válce + 50 g = 3 koule) vidíme, že přidáním 90 gramů ($140 - 50$) získáme přesně jednu kouli navíc. Jedna koule tedy váží 90 g.

Výpočet váhy válce

Nyní použijeme váhu koule (90 g) a dosadíme ji do druhého vztahu:
1 válec + 70 g = 2 koule
1 válec + 70 g = $2 \cdot 90$ g
1 válec + 70 g = 180 g

Váhu válce vypočítáme tak, že od celkové váhy 180 g odečteme závaží 70 g:
$180 - 70 = 110$ g

Závěr

Jeden válec váží 110 gramů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Každý z obrazců A, B, C, D má obsah 96 cm² a skládá se ze čtyř stejných trojúhelníků. V trojúhelníku mají dvě kratší strany délky 4 cm a 13 cm. Obvod obrazce B je o 4 cm menší než obvod obrazce C.

Vypočtěte v cm² obsah jednoho trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

24 cm²

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

V zadání je uvedeno, že každý ze čtyř obrazců (A, B, C a D) má celkový obsah 96 cm² a každý z nich se skládá ze čtyř shodných (stejných) trojúhelníků.

Výpočet obsahu jednoho trojúhelníku

Jelikož se celý obrazec o obsahu 96 cm² skládá přesně ze čtyř stejných dílků (trojúhelníků), vypočítáme obsah jednoho dílku jednoduše dělením:
$96 : 4 = 24$

Závěr

Obsah jednoho trojúhelníku je 24 cm².

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte v cm obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

60 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Obsah jednoho trojúhelníku

Víme, že každý ze čtyř obrazců má celkový obsah 96 cm² a každý se skládá ze čtyř stejných trojúhelníků. Obsah jednoho takového trojúhelníku vypočítáme snadno vydělením:
96 : 4 = 24 cm²

Krok 2: Určení délky nejdelší strany trojúhelníku

V trojúhelníku známe dvě kratší strany: 4 cm a 13 cm. Abychom mohli spočítat obvod, musíme zjistit délku třetí (nejdelší) strany. Využijeme k tomu informaci, že obvod obrazce B je o 4 cm menší než obvod obrazce C. To znamená, že v obrazci B jsou uvnitř schované strany o 2 cm delší než v obrazci C ($2 \times 2 = 4$). Jelikož jedna ze známých stran je 13 cm, můžeme odvodit, že třetí strana je o 2 cm delší:
13 + 2 = 15 cm
(Pro kontrolu: trojúhelník se stranami 4 cm, 13 cm a 15 cm má skutečně obsah 24 cm².)

Krok 3: Výpočet obvodu obrazce A

Obrazec A je složen ze čtyř trojúhelníků tak, že jsou k sobě přiloženy svými nejdelšími stranami (15 cm) a vzniklé dvojice jsou pak spojeny nejkratší stranou (4 cm). Na obvodu obrazce tedy zůstanou 4 strany o délce 13 cm a 2 strany o délce 4 cm:
Obvod = 4 × 13 + 2 × 4
Obvod = 52 + 8 = 60 cm

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Vypočtěte v cm obvod jednoho trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

32 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obsahu

Známe celkový obsah každého z obrazců A, B, C a D, který je 96 cm². Protože se každý obrazec skládá ze čtyř stejných trojúhelníků, můžeme vypočítat obsah jednoho z nich:
96 : 4 = 24 cm².
Ze zadání také víme, že dvě kratší strany tohoto trojúhelníku měří 4 cm a 13 cm.

Určení třetí strany trojúhelníku

K výpočtu obvodu potřebujeme znát délku třetí, nejdelší strany trojúhelníku. Tu zjistíme porovnáním obvodů obrazců B a C. Víme, že obvod obrazce B je o 4 cm menší než obvod obrazce C. Tento rozdíl je způsoben odlišným uspořádáním trojúhelníků – obrazec C má na svém vnějším obvodu o dvě nejdelší strany více a o dvě strany délky 13 cm méně než obrazec B.
Označíme-li nejdelší stranu jako x, platí:
2 · x − 2 · 13 = 4
2 · x − 26 = 4
2 · x = 30
x = 15 cm.

Výpočet obvodu

Nyní již známe délky všech tří stran trojúhelníku: 4 cm, 13 cm a 15 cm. Obvod vypočítáme jejich sečtením:
4 + 13 + 15 = 32 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.4

Vypočtěte v cm obvod obrazce D.

Zobrazit odpověď

46 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení stran jednoho trojúhelníku

Všechny čtyři obrazce (A, B, C, D) mají stejný obsah 96 cm² a každý se skládá ze čtyř shodných trojúhelníků. Obsah jednoho trojúhelníku je tedy:
96 : 4 = 24 cm²

Známe délky dvou kratších stran tohoto trojúhelníku: 4 cm a 13 cm. Aby byl obsah trojúhelníku roven 24 cm², musí mít jeho třetí (nejdelší) strana délku 15 cm.
(Ověření: Pro strany 4, 13 a 15 cm je obsah skutečně 24 cm², což lze ověřit např. pomocí Heronova vzorce nebo výpočtem výšky).

Krok 2: Rozbor obrazce D

Obrazec D je popsán jako vějíř nebo korunka, kde se všechny čtyři trojúhelníky stýkají v jednom společném horním vrcholu. Jsou k sobě přiloženy stranami, které se v tomto vrcholu sbíhají.

Z porovnání obvodů ostatních obrazců (kde obvod B je o 4 cm menší než obvod C) vyplývá, že v tomto uspořádání tvoří vnější „žebra“ vějíře nejdelší strany trojúhelníků (15 cm) a spodní lomenou hranu tvoří ty nejkratší strany (4 cm). Vnitřní (slepené) strany mají délky 13 cm a 15 cm.

Krok 3: Výpočet obvodu

Obvod obrazce D se skládá ze dvou vnějších bočních stran (2 × 15 cm) a čtyř spodních stran (4 × 4 cm).

Obvod D = 15 + 15 + 4 + 4 + 4 + 4 = 46 cm

Závěr

Obvod obrazce D je 46 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 7.1

V rovině leží body P, S a přímka q.

Bod P je vrchol trojúhelníku PQR.
Na přímce q leží vrchol Q tohoto trojúhelníku.
Vrcholy P a Q leží na téže kružnici se středem S.
Bod S je zároveň středem strany QR.

Sestrojte vrcholy Q, R trojúhelníku PQR, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží body A, T, V a přímka p procházející body T, V.

Bod A je vrchol čtverce ABCD.
Přímka p protíná stranu AB tohoto čtverce v bodě T a stranu CD v bodě V.

Sestrojte vrcholy B, C, D čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny tři útvary, jejichž vrcholy leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o útvaru, zda je osově souměrný (A), či nikoli (N).

1. útvar

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny tři útvary, jejichž vrcholy leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o útvaru, zda je osově souměrný (A), či nikoli (N).

2. útvar

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny tři útvary, jejichž vrcholy leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o útvaru, zda je osově souměrný (A), či nikoli (N).

3. útvar

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 9

Petr šel z domova do sportovní haly. Každou pětinu cesty ušel za stejnou dobu. Když ušel první pětinu cesty od domova, jeho hodinky ukazovaly čas 14:54. Když mu k hale zbývala ještě pětina cesty, ukazovaly hodinky čas 15:12.

Jaký čas ukazovaly Petrovy hodinky, když vycházel z domova?

A) méně než 14:35
D) 14:48
B) 14:35
E) více než 14:48
C) 14:42

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Petr rozdělil cestu na 5 stejných částí (pětin). Víme, že každou pětinu ušel za stejnou dobu. Celá cesta z domova do haly se tedy skládá z pěti časově shodných úseků.

Určení počtu úseků mezi měřeními

První čas (14:54) byl změřen po první pětině cesty. Druhý čas (15:12) byl změřen, když mu zbývala pětina do cíle, což odpovídá čtyřem pětinám cesty. Mezi těmito dvěma body tedy Petr ušel tři pětiny cesty (druhou, třetí a čtvrtou).

Výpočet doby jedné pětiny

Časový rozdíl mezi 14:54 a 15:12 vypočítáme takto:

Do 15:00 zbývá 6 minut (od 14:54).
Od 15:00 do 15:12 je to 12 minut.
Celkem: $6 + 12 = 18$ minut.

Protože tyto 18 minut odpovídají třem úsekům, jeden úsek (pětina cesty) trval 6 minut ($18 : 3 = 6$).

Výpočet času odchodu

Petr vycházel z domova v čase 0/5. První měření proběhlo v čase 1/5, tedy po 6 minutách chůze. Od času prvního měření odečteme 6 minut: $14:54 - 0:06 = 14:48$

Závěr

Petr vycházel z domova v 14:48. Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Všechny děti z oddílu se rozdělily do čtyřčlenných hlídek. V každé hlídce byla jediná dívka. V oddílu je celkem 36 chlapců.

Kolik dětí je v oddílu?

A) 48 dětí
D) 40 dětí
B) 45 dětí
E) jiný počet dětí
C) 42 dětí

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení hlídky

Každá hlídka má 4 členy a je v ní právě jedna dívka. Zbývající 3 členové hlídky jsou tedy chlapci ($4 - 1 = 3$).

Počet hlídek

V oddílu je celkem 36 chlapců. Protože v každé hlídce jsou 3 chlapci, vypočítáme počet hlídek vydělením:
$36 : 3 = 12$ hlídek.

Počet dětí v oddílu

Známe počet hlídek (12) i počet dětí v každé hlídce (4). Celkový počet dětí v oddílu vypočítáme násobením:
$12 \cdot 4 = 48$ dětí.

Výsledek

V oddílu je celkem 48 dětí. Správná odpověď je A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Na Dračí horu přiletěli dvouhlaví a tříhlaví draci. Dohromady měli 115 hlav. Dvouhlavých draků přiletělo o 35 více než tříhlavých.

Kolik draků přiletělo na Dračí horu?

A) 53 draků
D) 40 draků
B) 50 draků
E) jiný počet draků
C) 44 draků

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hlavy draků navíc

Dvouhlavých draků bylo o 35 více než tříhlavých. Tyto „extra“ dvouhlavé draky si můžeme pomyslně dát stranou a spočítat, kolik mají dohromady hlav:
$35 \cdot 2 = 70$ hlav.

Zbývající hlavy

Od celkového počtu 115 hlav odečteme hlavy draků, které jsme dali stranou:
$115 - 70 = 45$ hlav.
Těchto 45 hlav patří drakům, kteří zbyli (po odebrání „extra“ draků jich je nyní stejný počet dvouhlavých i tříhlavých).

Počet trojhlavých draků

Zbytek draků si můžeme rozdělit do dvojic, kde je vždy jeden dvouhlavý a jeden tříhlavý drak. Jedna taková dvojice má dohromady $2 + 3 = 5$ hlav.
Počet těchto dvojic zjistíme vydělením:
$45 \div 5 = 9$.
To znamená, že tříhlavých draků bylo 9.

Celkový počet draků

Tříhlavých draků bylo 9. Dvouhlavých draků bylo o 35 více, tedy:
$9 + 35 = 44$.
Dohromady na horu přiletělo:
$44 + 9 = 53$ draků.

Závěr

Celkem přiletělo 53 draků. Správná odpověď je tedy možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Na stadionu se konalo hromadné vystoupení dětí.
Cvičil stejný počet děvčat i chlapců. Na začátku vystoupení všechna děvčata vytvořila
devítičlenné skupiny a všichni chlapci šestičlenné skupiny.
Děvčata vytvořila o 30 skupin méně než chlapci.

Kolik skupin vytvořily na začátku vystoupení všechny děti?

A) méně než 70 skupin
D) 150 skupin
B) 70 skupin
E) více než 150 skupin
C) 90 skupin

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání na malém počtu dětí

Představme si, že máme 18 děvčat a 18 chlapců. Číslo 18 jsme vybrali proto, že se dá dobře rozdělit do skupin po 9 i po 6.
Děvčata by vytvořila $18 \div 9 = 2$ skupiny.
Chlapci by vytvořili $18 \div 6 = 3$ skupiny.
V tomto případě by chlapci měli o 1 skupinu více než děvčata ($3 - 2 = 1$).

Výpočet celkového počtu dětí

V zadání se píše, že děvčata vytvořila o 30 skupin méně (to znamená, že chlapci jich vytvořili o 30 více).
Už víme, že na každých 18 dětí připadá rozdíl 1 skupina. Aby byl rozdíl 30 skupin, musí být dětí 30krát více:
$30 \times 18 = 540$
Cvičilo tedy 540 děvčat a 540 chlapců.

Počet skupin děvčat a chlapců

Nyní vypočítáme, kolik skupin vytvořili chlapci a kolik děvčata:
Děvčata: $540 \div 9 = 60$ skupin.
Chlapci: $540 \div 6 = 90$ skupin.
Rozdíl je skutečně 30 skupin ($90 - 60 = 30$).

Celkový počet všech skupin

Otázka se ptá na celkový počet všech skupin dohromady:
$60 + 90 = 150$

Všechny děti vytvořily dohromady 150 skupin, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Ze stejných kostek tvaru krychle se slepují tělesa. Skrz každou kostku je provrtaný jeden otvor.
Kostky v tělese mohou být otočeny třemi směry: otvor směřuje buď zepředu dozadu (P), z boku na druhý bok (B), nebo shora dolů (H).
Otvory v tělese jsou vyznačeny dvěma způsoby: světlé otvory vedou skrz naskrz celým tělesem, tmavé otvory jsou uvnitř tělesa uzavřeny jinou kostkou.
V tělese určíme počty kostek otočených v daném směru. Např. v ukázkovém tělese jsou 2 kostky ve směru P, 1 kostka ve směru B a 2 kostky ve směru H.

Přiřaďte k tělesu počty kostek, které jsou v tělese otočené v daném směru (A–F).

A) 1P + 3B + 2H
D) 2P + 1B + 3H
B) 1P + 2B + 3H
E) 3P + 1B + 2H
C) 2P + 2B + 2H
F) jiné počty

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet kostek v tělese

Nejdříve si určíme celkový počet kostek, ze kterých je těleso složeno. V dolní vrstvě jsou 3 kostky (dvě v přední řadě a jedna v zadní řadě za pravou přední kostkou). Na této zadní kostce jsou postaveny další 2 kostky, které tvoří sloupec o celkové výšce 3 kostek. Celkem je tedy v tělese 5 kostek.

Určení směrů otvorů

Podle legendy a popisu určíme směry otvorů (P – zepředu dozadu, B – z boku na bok, H – shora dolů):
1. Přední levá kostka: Má na čelní stěně černý kruh, což odpovídá směru P.
2. Přední pravá kostka: Má na čelní stěně bílý kruh, což také odpovídá směru P. Protože je otvor světlý (vede skrz naskrz), musí mít stejný směr i kostka za ní (spodní kostka v zadním sloupci). Máme tedy zatím 3 kostky se směrem P.
3. Nejvyšší kostka ve sloupci: Má na horní stěně otvor, což odpovídá směru H.
U prostřední kostky ve sloupci směr z popisu neznáme, ale každá kostka má právě jeden otvor.

Závěr a výběr možnosti

Všechny nabízené možnosti A–E (např. 1P + 3B + 2H) uvádějí součet 6 kostek. Naše těleso se však skládá pouze z 5 kostek. Z toho vyplývá, že žádná z možností A–E nemůže být správná. Správnou odpovědí je tedy možnost F (jiné počty).

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k tělesu počty kostek, které jsou v tělese otočené v daném směru (A–F).

A) 1P + 3B + 2H
D) 2P + 1B + 3H
B) 1P + 2B + 3H
E) 3P + 1B + 2H
C) 2P + 2B + 2H
F) jiné počty

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Orientace a barvy otvorů

Každá kostka má jeden otvor v jednom ze tří směrů:
• P (zepředu dozadu): otvor na přední stěně,
• B (z boku na bok): otvor na boční stěně,
• H (shora dolů): otvor na horní stěně.

Bílý otvor (světlý) znamená, že cesta prochází celým tělesem. Všechny kostky v této linii musí mít stejnou orientaci.
Černý otvor (tmavý) znamená, že je uvnitř tělesa zablokován jinou kostkou s jinou orientací.

Krok 2: Analýza vodorovné řady

Vodorovná řada se skládá ze 3 kostek a směřuje od nás dozadu.
• První kostka má na přední stěně černý otvor P. Je tedy typu P, ale otvor je zablokován kostkou za ní.
• Prostřední kostka má na boku bílý otvor B. Je tedy typu B. Protože v tomto směru (z boku na bok) je v řadě jen tato jedna kostka, otvor volně prochází a je bílý.
• Poslední (třetí) kostka řady není vidět, ale doplňuje řadu. Předpokládáme, že je stejného typu jako začátek řady, tedy P. Otvor první kostky je zablokován prostřední kostkou (B).
V řadě máme tedy 2 kostky P a 1 kostku B.

Krok 3: Analýza svislého sloupce

Svislý sloupec se skládá ze 3 kostek nad sebou.
• Nejvyšší kostka má na horní stěně černý otvor H. Je tedy typu H, ale otvor je zablokován kostkou pod ní.
• Aby byl otvor H zablokován, musí být alespoň jedna z kostek pod ní jiného typu. Ve svislých sloupcích bývá zvykem, že spodní kostka slouží jako „zátka“. Spodní kostka bude tedy typu P a zbývající dvě (horní a prostřední) budou typu H.
Ve sloupci máme tedy 2 kostky H a 1 kostku P.

Krok 4: Celkový součet a výsledek

Nyní sečteme kostky z obou částí tělesa:
• Kostky P: 2 (z řady) + 1 (ze sloupce) = 3P
• Kostky B: 1 (z řady) + 0 (ze sloupce) = 1B
• Kostky H: 0 (z řady) + 2 (ze sloupce) = 2H

Celkem v tělese určíme počty: 3P + 1B + 2H.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k tělesu počty kostek, které jsou v tělese otočené v daném směru (A–F).

A) 1P + 3B + 2H
D) 2P + 1B + 3H
B) 1P + 2B + 3H
E) 3P + 1B + 2H
C) 2P + 2B + 2H
F) jiné počty

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet kostek v tělese

Nejdříve si určíme celkový počet kostek v tělese. V levé části je sloupec o výšce 3 kostek. K jeho nejvyšší kostce je zprava připojena 1 kostka. Základnu pak tvoří čtverec 2x2 (4 kostky), přičemž zadní levá kostka základny je zároveň spodní kostkou sloupce. Celkový počet je tedy 3 (sloupec) + 1 (pravá horní) + 3 (zbytek základny) = 7 kostek.

Analýza možností

Nyní se podíváme na součty kostek v nabízených možnostech A–E:
• A: 1P + 3B + 2H = 6 kostek
• B: 1P + 2B + 3H = 6 kostek
• C: 2P + 2B + 2H = 6 kostek
• D: 2P + 1B + 3H = 6 kostek
• E: 3P + 1B + 2H = 6 kostek
Všechny tyto možnosti popisují tělesa složená pouze ze 6 kostek.

Závěr

Vzhledem k tomu, že naše těleso se skládá ze 7 kostek, nemůže mu odpovídat žádná z možností A–E. Správnou odpovědí je tedy možnost F (jiné počty).

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Pyramida se skládá ze shodných čtverců. Horní řadu tvoří vždy jeden tmavý čtverec. V pyramidě, která má více než 1 čtverec, se pravidelně střídají řady s tmavými a řady s bílými čtverci. Každá další řada má vždy o 1 čtverec více než řada nad ní.

Pyramida má 10 řad.

Určete, o kolik se liší počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza řad

V pyramidě se pravidelně střídají tmavé a bílé řady. První řada (nahoře) je tmavá, druhá je bílá, třetí je opět tmavá a tak dále až do desáté řady. Počet čtverců v každé řadě odpovídá jejímu pořadí (1. řada má 1 čtverec, 2. řada má 2 čtverce atd.).
Tmavé řady: 1., 3., 5., 7. a 9. řada.
Bílé řady: 2., 4., 6., 8. a 10. řada.

Počet tmavých čtverců

Sečteme počty čtverců v tmavých řadách:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$
V pyramidě je 25 tmavých čtverců.

Počet bílých čtverců

Sečteme počty čtverců v bílých řadách:
$2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$
V pyramidě je 30 bílých čtverců.

Výpočet rozdílu

Rozdíl mezi počtem bílých a tmavých čtverců zjistíme odečtením:
$30 - 25 = 5$
Počet tmavých a bílých čtverců se v pyramidě liší o 5.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Pyramida má 73 řad.

Určete, o kolik se liší počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidla pyramidy

V pyramidě se střídají tmavé a bílé řady. V každé řadě je o jeden čtverec více než v řadě nad ní:

1. řada: 1 tmavý čtverec
2. řada: 2 bílé čtverce
3. řada: 3 tmavé čtverce
4. řada: 4 bílé čtverce

Vidíme, že liché řady jsou tmavé a sudé řady jsou bílé. Počet čtverců v každé řadě odpovídá jejímu pořadí.

Párování řad

Pyramida má celkem 73 řad. Prvních 72 řad si můžeme rozdělit do dvojic (vždy jedna tmavá řada a bílá řada přímo pod ní): (1. a 2. řada), (3. a 4. řada), ... až (71. a 72. řada). Celkem máme $72 : 2 = 36$ takových dvojic. Poslední 73. řada zůstane samostatná.

Rozdíl v počtu čtverců

V každé dvojici řad je o 1 bílý čtverec více než tmavý (např. ve 2. řadě jsou 2 bílé a v 1. řadě je 1 tmavý, tedy $2 - 1 = 1$). Ve všech 36 dvojicích je tedy celkem o 36 bílých čtverců více než tmavých. Poslední 73. řada je lichá, obsahuje tedy 73 tmavých čtverců.

Celkový výsledek

Teď už jen stačí porovnat 73 tmavých čtverců z poslední řady s náskokem 36 bílých čtverců z předchozích řad: $73 - 36 = 37$ Počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě se liší o 37.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

V pyramidě je o 101 bílých čtverců méně než tmavých čtverců.

Určete, kolik řad má pyramida.

Zobrazit odpověď

201

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidelnosti

V pyramidě se střídají tmavé a bílé řady. V každé řadě je o 1 čtverec více než v řadě nad ní:

1. řada: 1 tmavý čtverec
2. řada: 2 bílé čtverce
3. řada: 3 tmavé čtverce
4. řada: 4 bílé čtverce

A tak dále. Tmavé jsou řady s lichým číslem (1., 3., 5. ...), bílé jsou řady se sudým číslem (2., 4., 6. ...).

Sledování rozdílu

Sledujme, jak se mění rozdíl mezi počtem tmavých a bílých čtverců při přidávání řad:

U 1. řady je o 1 tmavý čtverec více (1 tmavý, 0 bílých).
Když přidáme 2. a 3. řadu, přibudou 2 bílé a 3 tmavé čtverce. Tmavých přibude o 1 více než bílých (3 − 2 = 1). Celkový rozdíl bude 1 + 1 = 2.
Když přidáme 4. a 5. řadu, přibudou 4 bílé a 5 tmavých čtverců. Opět přibude o 1 tmavý čtverec více (5 − 4 = 1). Celkový rozdíl bude 2 + 1 = 3.

Vidíme, že každá další dvojice řad (bílá a pod ní tmavá) zvýší náskok tmavých čtverců o 1.

Výpočet počtu řad

Víme, že v celém obrazci je o 101 bílých čtverců méně než tmavých (tmavé mají náskok 101).

První řada nám dala náskok 1.
Potřebujeme získat ještě náskok 100 (protože 101 − 1 = 100).
Protože každá dvojice řad (bílá + tmavá) přidá náskok 1, musíme přidat přesně 100 takových dvojic.
100 dvojic řad znamená 200 řad (100 × 2 = 200).

K první řadě tedy přidáme 200 dalších řad. Celkový počet řad je $1 + 200 = 201$.

Závěr

Pyramida má celkem 201 řad.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body