Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2022

28 úloh

Úloha 1.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby byly výpočty správné:

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \div 21 + 6=14$

Zobrazit odpověď

168

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet rozdílu

V příkladu vidíme, že když k podílu hledaného čísla a čísla 21 přičteme 6, dostaneme 14. Nejdříve tedy zjistíme, kolik muselo vyjít po dělení: $14 - 6 = 8$.

Hledání neznámého čísla

Nyní víme, že hledané číslo po vydělení 21 dává výsledek 8. Abychom ho našli, musíme provést opačnou operaci, tedy násobení: $8 \cdot 21 = 168$.

Ověření výsledku

Pro kontrolu dosadíme číslo 168 zpět do zadání: $168 \div 21 = 8$ a $8 + 6 = 14$. Výsledek sedí.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 1.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby byly výpočty správné:

$\displaystyle 213 \div \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} = 14$ , zbytek 3

Zobrazit odpověď

15

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odečtení zbytku

Při dělení se zbytkem platí, že pokud od dělence odečteme zbytek, získáme číslo, které je dělitelem dělitelné beze zbytku. Nejdříve tedy odečteme zbytek 3 od čísla 213:
$213 - 3 = 210$

Nalezení dělitele

Nyní víme, že číslo 210 je dělitelné hledaným číslem a výsledkem je 14. Hledané číslo tedy zjistíme tak, že 210 vydělíme 14:
$210 \div 14 = 15$

Výsledek

Do rámečku musíme doplnit číslo 15. Pro kontrolu si můžeme ověřit, že $14 \cdot 15 + 3 = 210 + 3 = 213$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.1

Z kabelu dlouhého 610 centimetrů jsme uřízli pět půlmetrových kusů a zbytek jsme rozdělili na 9 stejně dlouhých dílů.

Určete, kolik centimetrů měří jeden díl.

Zobrazit odpověď

40

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pět půlmetrových kusů

Půl metru má 50 centimetrů. Pokud z kabelu uřízneme pět takových kusů, celkem uřízneme:
$5 \cdot 50 = 250$ cm

Zbytek kabelu

Od celkové délky kabelu (610 cm) odečteme uříznutou část (250 cm), abychom zjistili, kolik centimetrů zbylo k rozdělení:
$610 - 250 = 360$ cm

Délka jednoho dílu

Zbývajících 360 centimetrů rozdělíme na 9 stejných dílů. Jeden díl tedy měří:
$360 \div 9 = 40$ cm

Výsledek

Jeden díl měří 40 centimetrů.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

Cesta na kole z Roztok do Neratovic trvá 1 hodinu a 50 minut. S využitím přívozu se doba cestování zkrátí o tři čtvrtě hodiny.

Vypočtěte, kolik minut trvá cesta z Roztok do Neratovic s využitím přívozu.

Zobrazit odpověď

65

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si spočítáme, kolik minut trvá cesta bez přívozu. Víme, že 1 hodina má 60 minut. K tomu přičteme 50 minut:
60 + 50 = 110 minut

Úspora času

Přívoz cestu zkrátí o tři čtvrtě hodiny. Jedna čtvrtina hodiny je 15 minut ($60 : 4 = 15$). Tři čtvrtě hodiny jsou tedy třikrát více:
3 · 15 = 45 minut

Cesta s přívozem

Od celkové doby cesty odečteme ušetřený čas:
110 − 45 = 65 minut

Výsledek

Cesta s využitím přívozu trvá 65 minut.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Kapli si během dne prohlédlo celkem 630 návštěvníků. Na každou prohlídku šla stejně
početná skupina návštěvníků, kterou doprovázel vždy jeden z 5 průvodců.
Každý průvodce provedl 4 skupiny návštěvníků dopoledne a 2 skupiny odpoledne.

Vypočtěte, kolik návštěvníků bylo v jedné skupině.

Zobrazit odpověď

21

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet skupin jednoho průvodce

Každý průvodce provedl 4 skupiny dopoledne a 2 odpoledne. Jeden průvodce tedy celkem za den provedl $4 + 2 = 6$ skupin.

Celkový počet skupin

V kapli pracuje 5 průvodců a každý z nich provedl 6 skupin. Celkem tedy proběhlo $5 \cdot 6 = 30$ prohlídek.

Počet návštěvníků v jedné skupině

Celkem 630 návštěvníků se rovnoměrně rozdělilo do 30 skupin. V jedné skupině tedy bylo $630 \div 30 = 21$ návštěvníků.

Závěr

V jedné skupině bylo 21 návštěvníků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.2

Kapli si během dne prohlédlo celkem 630 návštěvníků. Na každou prohlídku šla stejně
početná skupina návštěvníků, kterou doprovázel vždy jeden z 5 průvodců.
Každý průvodce provedl 4 skupiny návštěvníků dopoledne a 2 skupiny odpoledne.

Vypočtěte, kolik návštěvníků si kapli prohlédlo během dopoledne.

Zobrazit odpověď

420

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet skupin

Nejdříve zjistíme, kolik skupin celkem se během dne vystřídalo. Každý z 5 průvodců provedl 4 skupiny dopoledne a 2 skupiny odpoledne, což je dohromady 6 skupin na jednoho průvodce. Celkem to tedy bylo:
$5 \cdot (4 + 2) = 5 \cdot 6 = 30$ skupin.

Návštěvníků v jedné skupině

Víme, že 630 návštěvníků bylo rozděleno do 30 stejně velkých skupin. V jedné skupině tedy bylo:
$630 \div 30 = 21$ návštěvníků.

Dopolední návštěvníci

Dopoledne provedl každý průvodce 4 skupiny. Všech 5 průvodců tak dopoledne doprovázelo:
$5 \cdot 4 = 20$ skupin.
Počet návštěvníků dopoledne pak zjistíme vynásobením počtu skupin počtem lidí v jedné skupině:
$20 \cdot 21 = 420$.

Výsledek

Během dopoledne si kapli prohlédlo 420 návštěvníků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet kříd v jedné menší krabičce.

Zobrazit odpověď

6

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy ve větších krabičkách

Víme, že jedna větší krabička obsahuje 10 kříd. Tři větší krabičky tedy dohromady obsahují 30 kříd ($3 \cdot 10 = 30$).

Křídy v menších krabičkách

V zadání se píše, že v 5 menších krabičkách je celkem tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách. V 5 menších krabičkách je tedy dohromady také 30 kříd.

Jedna menší krabička

Pokud je v 5 stejných krabičkách celkem 30 kříd, v jedné krabičce jich musí být 6, protože $30 : 5 = 6$.

Výsledek

V jedné menší krabičce je 6 kříd.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.2

Pro soutěž Malování na chodník bylo připraveno celkem 300 kříd zabalených v krabičkách
dvou velikostí – menších a větších. V krabičkách téže velikosti byl vždy stejný počet kříd.
Menších krabiček bylo pouze 5 a celkem v nich bylo tolik kříd jako ve 3 větších krabičkách.
Každá z větších krabiček obsahovala 10 kříd.

Určete počet všech větších krabiček s křídami.

Zobrazit odpověď

27

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Křídy v menších krabičkách

Víme, že v 5 menších krabičkách je dohromady tolik kříd jako ve 3 větších. Protože jedna větší krabička má 10 kříd, ve třech větších je $3 \cdot 10 = 30$ kříd. V pěti menších krabičkách je tedy celkem 30 kříd.

Křídy ve všech větších krabičkách

Celkem bylo připraveno 300 kříd. Od tohoto počtu odečteme 30 kříd, které jsou v menších krabičkách. Na všechny větší krabičky nám tedy zbývá $300 - 30 = 270$ kříd.

Počet větších krabiček

Každá větší krabička obsahuje 10 kříd. Celkový počet větších krabiček vypočítáme tak, že 270 kříd rozdělíme po deseti (do krabiček po deseti kusech): $270 \div 10 = 27$.

Výsledek

Počet všech větších krabiček s křídami je 27.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.1

Displej byl zapnutý 10 hodin.
Na počátku se na displeji zobrazilo číslo 51 436
a každou další sekundu se zobrazilo číslo o 1 větší.
Číslo zobrazené na displeji bylo buď oranžové, nebo zelené.
Zelená byla právě ta čísla, která čteme zleva i zprava stejně, např. 62 526.

Ze všech zelených čísel, která se zobrazila na displeji, určete nejmenší.

Zobrazit odpověď

51 515

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zelená čísla

Zelená čísla jsou taková, která se čtou zleva i zprava stejně (tzv. palindromy). Protože na začátku bylo na displeji číslo 51 436 a čísla se každou sekundu o 1 zvětšovala, hledáme nejmenší pěticiferné číslo, které je větší nebo rovno 51 436 a čte se z obou stran stejně.

Hledání nejmenšího čísla

Pěticiferné zelené číslo musí mít stejnou první a poslední číslici a také stejnou druhou a čtvrtou číslici. Má tedy tvar ABCBA. Protože začínáme od čísla 51 436, zkusíme najít číslo, které začíná dvojčíslím 51. Takové číslo musí končit opět číslicemi 1 a 5, aby bylo zelené. Hledáme tedy číslo ve tvaru 51 B 15.

Ověření prostřední číslice

Zkusíme za prostřední číslici B dosadit různé hodnoty tak, abychom dostali číslo co nejblíže 51 436:
  • Pokud B = 4, dostaneme číslo 51 415. To je ale menší než naše počáteční číslo 51 436.
  • Zkusíme tedy další vyšší číslici, B = 5. Tím získáme číslo 51 515.

Závěr

Číslo 51 515 je větší než 51 436 a zároveň je to nejmenší možné zelené číslo, které se mohlo na displeji objevit. Všechna další zelená čísla začínající 51 by měla uprostřed vyšší číslici a čísla začínající 52 nebo vyšším dvojčíslím by byla ještě větší.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 5.2

Displej byl zapnutý 10 hodin.
Na počátku se na displeji zobrazilo číslo 51 436
a každou další sekundu se zobrazilo číslo o 1 větší.
Číslo zobrazené na displeji bylo buď oranžové, nebo zelené.
Zelená byla právě ta čísla, která čteme zleva i zprava stejně, např. 62 526.

Ze všech zelených čísel, která se zobrazila na displeji, určete největší.

Zobrazit odpověď

87 378

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozsah čísel na displeji

Nejdříve musíme zjistit, jaké největší číslo se na displeji objevilo. Displej byl zapnutý 10 hodin. Víme, že jedna hodina má 3 600 sekund (60 minut po 60 sekundách), takže 10 hodin je 36 000 sekund.
Počáteční číslo bylo 51 436. Po 36 000 sekundách se na displeji objevilo číslo:
$51\,436 + 36\,000 = 87\,436$

Zelená čísla (palindromy)

Zelená čísla jsou ta, která se čtou zleva i zprava stejně (např. 62 526). Protože hledáme největší takové číslo v rozmezí od 51 436 do 87 436, musí toto číslo začínat co nejvyšší číslicí, tedy 8.

Hledání největšího zeleného čísla

Pokud pěticiferné číslo začíná číslicí 8, musí jí i končit, aby bylo zelené. Má tedy tvar $8\dots8$.
Zkusíme druhou číslici 7 (protože největší číslo na displeji začíná 87). Číslo pak vypadá takto: $87\dots78$.
Doplníme prostřední číslici tak, aby výsledné číslo bylo co největší, ale stále menší nebo rovno 87 436:
  • Zkusíme číslici 4: $87\,478$ (to už je více než $87\,436$).
  • Zkusíme číslici 3: $87\,378$ (to je méně než $87\,436$ a je to tedy naše hledané číslo).

Výsledek

Největší zelené číslo, které se na displeji zobrazilo, je 87 378.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, kolik žáků měla škola.

Zobrazit odpověď

240

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Páteční docházka

Z textu víme, že v pátek byla ve škole $\frac{1}{3}$ všech žáků a toto množství odpovídalo 80 žákům.

Výpočet celku

Pokud jedna třetina ze všech žáků je 80, pak celou školu (všechny tři třetiny) tvoří třikrát více žáků. Počet žáků v celé škole vypočítáme násobením:
80 ⋅ 3 = 240

Výsledek

Škola měla celkem 240 žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.2

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, kolik žáků bylo v pondělí ve škole.

Zobrazit odpověď

200

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků

Víme, že v pátek byla ve škole už jen třetina všech žáků, což odpovídalo 80 žákům. Celkový počet žáků školy tedy zjistíme tak, že tento počet vynásobíme třemi:
$\displaystyle 3 \cdot 80 = 240$
Škola má celkem 240 žáků.

Chybějící žáci v pondělí

V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. Z celkového počtu 240 žáků tedy v pondělí chybělo:
$\displaystyle 240 \div 6 = 40$ žáků.

Žáci ve škole v pondělí

Počet žáků, kteří byli v pondělí ve škole, zjistíme odečtením chybějících od celkového počtu:
$\displaystyle 240 - 40 = 200$

Výsledek

V pondělí bylo ve škole
200
žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.3

Po jarních prázdninách postupně onemocnělo mnoho žáků.
V pondělí chyběla $\displaystyle \frac{1}{6}$ všech žáků školy. V úterý byla nemocná již $\displaystyle \frac{1}{4}$ všech žáků školy.
V pátek byla ve škole už jen $\displaystyle \frac{1}{3}$ všech žáků školy, tedy 80 nejodolnějších žáků.
Všichni ostatní žáci školy byli nemocní.

Vypočtěte, o kolik nemocných žáků bylo v pátek více než v úterý.

Zobrazit odpověď

100

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků

V pátek byla ve škole jen jedna třetina všech žáků a víme, že to bylo 80 dětí. Pokud jedna třetina odpovídá 80 žákům, pak celá škola má třikrát více žáků:
$80 \cdot 3 = 240$ žáků

Nemocní v pátek

Jestliže bylo v pátek ve škole 80 žáků z celkových 240, ostatní byli nemocní. Počet nemocných v pátek vypočítáme odečtením:
$240 - 80 = 160$ nemocných

Nemocní v úterý

V úterý byla nemocná jedna čtvrtina všech žáků. Celkem je ve škole 240 žáků, takže jednu čtvrtinu vypočítáme dělením čtyřmi:
$240 \div 4 = 60$ nemocných

Porovnání pátku a úterý

Ptáme se, o kolik více nemocných bylo v pátek než v úterý. V pátek bylo 160 nemocných a v úterý 60. Rozdíl vypočítáme jako:
$160 - 60 = 100$

Výsledek

V pátek bylo o 100 nemocných žáků více než v úterý.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 7.1

V rovině leží body K, S a přímka q procházející bodem K.

Bod K je vrchol trojúhelníku KLM.
Všechny tři vrcholy K, L, M tohoto trojúhelníku leží na kružnici se středem S.
Na přímce q leží ještě druhý vrchol trojúhelníku KLM a třetí vrchol leží na přímce s,
která prochází bodem S a je kolmá k přímce q.

Sestrojte vrcholy L, M trojúhelníku KLM, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.
Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží body A, X a rovnoběžné přímky c, p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Bod X leží uvnitř strany AB obdélníku.
Na přímce c leží vrchol C obdélníku ABCD
a na přímce p jeden ze zbývajících dvou vrcholů obdélníku.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.
Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 8.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 neprodaných kusů vzrostlých rostlin.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Pro zjištění počtu neprodaných vzrostlých rostlin musíme z grafu odečíst počty vzrostlých (šedý sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) kusů pro každý druh. Počet neprodaných kusů je rozdíl mezi těmito dvěma hodnotami.

Výpočet pro jednotlivé druhy

Z grafu odečteme hodnoty a vypočítáme zbývající kusy:
  • Druh A: $12 - 7 = 5$ kusů
  • Druh B: $9 - 9 = 0$ kusů
  • Druh C: $8 - 4 = 4$ kusy
  • Druh D: $8 - 8 = 0$ kusů

Celkový součet a závěr

Sečteme neprodané kusy všech čtyř druhů:
$5 + 0 + 4 + 0 = 9$

Zahrádkáři zůstalo celkem 9 kusů, tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář zakoupil o polovinu více kusů rostlin, než jich prodal.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených (tečkovaný sloupec) a prodaných (šrafovaný sloupec) rostlin pro každý druh:
  • Druh A: 14 zakoupeno, 7 prodáno
  • Druh B: 9 zakoupeno, 9 prodáno
  • Druh C: 8 zakoupeno, 4 prodáno
  • Druh D: 11 zakoupeno, 8 prodáno

Celkové počty

Nyní vypočítáme celkové počty pro všechny druhy rostlin dohromady:
  • Zakoupeno celkem: $14 + 9 + 8 + 11 = 42$
  • Prodáno celkem: $7 + 9 + 4 + 8 = 28$

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je zakoupených rostlin o polovinu více, než kolik se jich prodalo.
1. Vypočítáme polovinu z prodaných rostlin: $28 : 2 = 14$.
2. Přičteme tuto polovinu k počtu prodaných: $28 + 14 = 42$.

Počet zakoupených rostlin (42) je skutečně o polovinu vyšší než počet prodaných (28). Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Zahrádkář zakoupil několik kusů rostlin od každého ze čtyř druhů A, B, C a D. Některé zakoupené rostliny uschly, ostatní vzrostly. Většinu vzrostlých rostlin zahrádkář později prodal.
Graf udává počty zakoupených, vzrostlých a prodaných kusů rostlin jednotlivých druhů.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu rostlin.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu a zadání

V grafu máme pro každý druh rostliny (A, B, C, D) tři sloupce. Tečkovaný sloupec představuje počet zakoupených kusů a šrafovaný sloupec počet prodaných kusů. Tvrzení říká, že zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy jen u jednoho druhu. Musíme tedy u každého druhu porovnat tyto dvě hodnoty.

Porovnání hodnot z grafu

Z grafu vyčteme počty zakoupených a prodaných kusů pro jednotlivé druhy:
  • Druh A: zakoupeno 14, prodáno 7 (nejsou to všechny).
  • Druh B: zakoupeno 9, prodáno 9 (všechny zakoupené kusy byly prodány).
  • Druh C: zakoupeno 8, prodáno 4 (nejsou to všechny).
  • Druh D: zakoupeno 11, prodáno 8 (nejsou to všechny).

Závěr

Zahrádkář prodal všechny zakoupené kusy pouze u druhu B. To znamená, že tato situace nastala právě u jednoho druhu rostlin ze čtyř. Tvrzení je tedy pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 9

Hruškový král rozdělil podle zásluh všechny zlaté hrušky mezi tři rytíře.
Druhý rytíř dostal o 24 hrušek více než první rytíř
a třetí rytíř dostal dvakrát více hrušek než první rytíř.
Druhý a třetí rytíř dostali dohromady šestkrát více hrušek než první rytíř.

Kolik zlatých hrušek rozdělil král mezi tři rytíře?

  • A) 36
  • D) 56
  • B) 42
  • E) jiný počet
  • C) 48
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání počtu hrušek

Víme, že třetí rytíř dostal dvakrát více hrušek než první rytíř. Pokud si počet hrušek prvního rytíře představíme jako jeden „dílek“, třetí rytíř dostal dva takové dílky.

Druhý a třetí rytíř dohromady

Druhý a třetí rytíř dostali společně šestkrát více hrušek než první rytíř, což odpovídá šesti dílkům. Protože víme, že třetí rytíř dostal dva dílky, musí na druhého rytíře zbývat 4 dílky:
$6 - 2 = 4$

Výpočet hodnoty jednoho dílku

O druhém rytíři také víme, že dostal o 24 hrušek více než první rytíř. První rytíř má 1 dílek a druhý má 4 dílky. Rozdíl mezi nimi jsou tedy 3 dílky:
$4 - 1 = 3$
Tyto 3 dílky odpovídají 24 hruškám. Jeden dílek (počet hrušek prvního rytíře) vypočítáme takto:
$24 \div 3 = 8$

Počty hrušek jednotlivých rytířů

Nyní vypočítáme hrušky pro každého rytíře:
První rytíř: 8 hrušek
Druhý rytíř: $8 + 24 = 32$ hrušek
Třetí rytíř: $2 \cdot 8 = 16$ hrušek

Celkový počet hrušek

Sečteme hrušky všech rytířů:
$8 + 32 + 16 = 56$
Král celkem rozdělil 56 hrušek. Správná odpověď je D.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 10

Obdélník je sestaven z bílého čtverce o obsahu 120 cm² a dvou menších bílých čtverců. Uvnitř každého bílého čtverce je zakreslen tmavý čtverec, jehož vrcholy dělí všechny strany tohoto bílého čtverce na poloviny.

Jaký je celkový obsah všech tří tmavých čtverců v obdélníku?

  • A) 60 cm²
  • D) 105 cm²
  • B) 75 cm²
  • E) 120 cm²
  • C) 90 cm²
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Obdélník je sestaven z jednoho velkého bílého čtverce a dvou menších shodných bílých čtverců umístěných nad sebou. Ze zadání víme, že velký bílý čtverec má obsah 120 cm². Protože výška velkého čtverce odpovídá součtu výšek dvou menších čtverců, je strana velkého čtverce dvakrát delší než strana malého čtverce.

Obsah malých bílých čtverců

Pokud je strana čtverce dvakrát delší, je jeho obsah čtyřikrát větší ($2 \cdot 2 = 4$). Obsah jednoho malého bílého čtverce tedy vypočítáme jako čtvrtinu obsahu velkého čtverce:
$120 : 4 = 30$ cm²

Obsah tmavých čtverců

V každém bílém čtverci je vepsán tmavý čtverec tak, že jeho vrcholy dělí strany bílého čtverce na poloviny. Obsah takového vepsaného čtverce je vždy přesně polovina obsahu čtverce vnějšího.
  • Tmavý čtverec ve velkém bílém čtverci: $120 : 2 = 60$ cm²
  • Tmavý čtverec v každém malém bílém čtverci: $30 : 2 = 15$ cm²

Celkový obsah

V obdélníku máme jeden velký tmavý čtverec a dva malé tmavé čtverce. Jejich celkový obsah je:
$60 + 15 + 15 = 90$ cm²

Závěr

Celkový obsah všech tří tmavých čtverců je 90 cm², což odpovídá možnosti C.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 11

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku. Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů. Nejmenší čtverec s vrcholy v mřížových bodech má obsah 1 cm².

První sestrojený obdélník obsahuje celkem 120 mřížových bodů (včetně mřížových bodů po jeho obvodu).

Jaký je obsah tohoto obdélníku?

  • A) 90 cm²
  • D) 120 cm²
  • B) 99 cm²
  • E) jiný obsah
  • C) 108 cm²
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza čtvercové sítě

V zadání je uvedeno, že nejmenší čtverec v mříži má obsah 1 cm². Z toho vyplývá, že délka strany tohoto malého čtverce je 1 cm (protože $1 \text{ cm} \cdot 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$). Vzdálenost mezi dvěma sousedními body mřížky je tedy přesně 1 cm.

Rozbor kratší strany

Kratší strana obdélníku má délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů. To souhlasí s naší úvahou – mezi 10 body je 9 mezer (dílů), a protože každá mezera měří 1 cm, je délka strany $9 \cdot 1 = 9 \text{ cm}$.

Výpočet počtu bodů na delší straně

Celý obdélník obsahuje celkem 120 mřížových bodů uspořádaných do řad a sloupců. Víme, že v jednom směru (na kratší straně) je 10 bodů. Počet bodů na delší straně vypočítáme tak, že celkový počet bodů vydělíme počtem bodů na kratší straně:
120 : 10 = 12
Delší strana tedy obsahuje 12 mřížových bodů.

Určení délky delší strany

Mezi 12 body na delší straně je 11 mezer (dílů). Protože každá mezera mezi sousedními body měří 1 cm, je délka delší strany:
11 · 1 = 11 cm

Výpočet obsahu obdélníku

Obsah obdélníku vypočítáme vynásobením délky jeho stran:
S = 9 cm · 11 cm = 99 cm²
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku. Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů. Nejmenší čtverec s vrcholy v mřížových bodech má obsah 1 cm².

Obvod druhého sestrojeného obdélníku je 120 cm.

Kolik mřížových bodů celkem obsahuje tento obdélník (včetně mřížových bodů po jeho obvodu)?

  • A) 500
  • D) 530
  • B) 510
  • E) jiný počet
  • C) 520
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza mřížky

Ve čtvercové síti s nejmenšími čtverci o obsahu 1 cm² je vzdálenost mezi sousedními mřížovými body přesně 1 cm. Pokud má strana délku 9 cm, obsahuje 9 takových centimetrových dílků, což znamená, že na ní leží $9 + 1 = 10$ mřížových bodů (včetně obou krajních).

Určení rozměrů druhého obdélníku

Obvod obdélníku vypočítáme jako dvojnásobek součtu jeho stran ($o = 2 \cdot (a + b)$). Víme, že obvod je 120 cm a jedna strana (kratší) měří 9 cm:
$120 = 2 \cdot (9 + b)$
$60 = 9 + b$
$b = 51$ cm
Delší strana obdélníku tedy měří 51 cm.

Výpočet počtu mřížových bodů

Počet mřížových bodů na straně o délce 51 cm je $51 + 1 = 52$. Celkový počet mřížových bodů v obdélníku zjistíme vynásobením počtu bodů na obou stranách:
$10 \cdot 52 = 520$
Obdélník obsahuje celkem 520 mřížových bodů, což odpovídá možnosti C.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.1
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Ze stejně velkých krychliček lepíme těleso podle návodu. Návod obsahuje zobrazení tělesa při pohledu zepředu a při pohledu zprava.Těleso slepené podle vzorového návodu může obsahovat nejvíce 12 krychliček. Podle téhož návodu je možné slepit i těleso z menšího počtu krychliček (vynechat lze např. některé tmavé krychličky).

Přiřaďte k návodu největší počet krychliček (A–F), z nichž může být těleso slepeno.

Obrázek k úloze
  • A) 11 krychliček
  • D) 14 krychliček
  • B) 12 krychliček
  • E) 15 krychliček
  • C) 13 krychliček
  • F) jiný počet krychliček
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor pohledu zepředu

Pohled zepředu má tvar písmene „L“ o výšce 5 čtverečků a šířce 3 čtverečky. To znamená, že v prvním sloupci (zleva) mohou být kostky až do výšky 5, zatímco v druhém a třetím sloupci je vodorovná řada o výšce pouze 1 čtvereček.

Krok 2: Rozbor pohledu zprava

Pohled zprava má tvar písmene „F“ o výšce 5 čtverečků. Svislá část (páteř) sahá od 1. do 5. patra. Horní rameno v 5. patře má šířku 3 čtverečky (zasahuje do 3 řad do hloubky). Prostřední rameno ve 3. patře má šířku 2 čtverečky (zasahuje do 2 řad do hloubky). V 1., 2. a 4. patře je v tomto pohledu vidět pouze jeden čtvereček (páteř).

Krok 3: Výpočet kostek v jednotlivých patrech

Maximální počet kostek v každém patře určíme jako průnik obou pohledů:
  • 1. patro: Zepředu 3 sloupce, zprava 1 řada. Max: $3 \cdot 1 = 3$ kostky.
  • 2. patro: Zepředu 1 sloupec, zprava 1 řada. Max: $1 \cdot 1 = 1$ kostka.
  • 3. patro: Zepředu 1 sloupec, zprava 2 řady (střední rameno). Max: $1 \cdot 2 = 2$ kostky.
  • 4. patro: Zepředu 1 sloupec, zprava 1 řada. Max: $1 \cdot 1 = 1$ kostka.
  • 5. patro: Zepředu 1 sloupec, zprava 3 řady (horní rameno). Max: $1 \cdot 3 = 3$ kostky.

Krok 4: Celkový součet a výsledek

Sečteme kostky ze všech pater: $3 + 1 + 2 + 1 + 3 = 10$. Maximální počet kostek, ze kterých může být těleso slepeno, je tedy 10. Protože v možnostech A–E tato hodnota není, volíme možnost F.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Ze stejně velkých krychliček lepíme těleso podle návodu. Návod obsahuje zobrazení tělesa při pohledu zepředu a při pohledu zprava.Těleso slepené podle vzorového návodu může obsahovat nejvíce 12 krychliček. Podle téhož návodu je možné slepit i těleso z menšího počtu krychliček (vynechat lze např. některé tmavé krychličky).

Přiřaďte k návodu největší počet krychliček (A–F), z nichž může být těleso slepeno.

  • A) 11 krychliček
  • D) 14 krychliček
  • B) 12 krychliček
  • E) 15 krychliček
  • C) 13 krychliček
  • F) jiný počet krychliček
Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor návodu

Z návodu si určíme, kolik čtverečků vidíme v jednotlivých patrech (vrstvách) pro oba pohledy:
  • Pohled zepředu (tvar L): V 1. patře (základna) vidíme 3 čtverečky vedle sebe. Ve 2., 3., 4. a 5. patře vidíme vždy jen 1 čtvereček (levý sloupec).
  • Pohled zprava (tvar H): V 1., 2., 4. a 5. patře vidíme 2 čtverečky (dva krajní sloupce). Ve 3. patře vidíme 3 čtverečky vedle sebe (dva krajní sloupce propojené spojkou).

Krok 2: Výpočet počtu krychliček pro každé patro

Pro každé patro vypočítáme maximální počet krychliček tak, že vynásobíme počet viditelných čtverečků zepředu počtem viditelných čtverečků zprava:
  • 1. patro: $3 \text{ (zepředu)} \times 2 \text{ (zprava)} = 6$ krychliček
  • 2. patro: $1 \text{ (zepředu)} \times 2 \text{ (zprava)} = 2$ krychličky
  • 3. patro: $1 \text{ (zepředu)} \times 3 \text{ (zprava)} = 3$ krychličky
  • 4. patro: $1 \text{ (zepředu)} \times 2 \text{ (zprava)} = 2$ krychličky
  • 5. patro: $1 \text{ (zepředu)} \times 2 \text{ (zprava)} = 2$ krychličky

Krok 3: Celkový počet krychliček

Všechny krychličky z jednotlivých pater sečteme: $6 + 2 + 3 + 2 + 2 = 15$

Těleso může být slepeno nejvýše z 15 krychliček. Správná možnost je tedy E.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Ze stejně velkých krychliček lepíme těleso podle návodu. Návod obsahuje zobrazení tělesa při pohledu zepředu a při pohledu zprava.Těleso slepené podle vzorového návodu může obsahovat nejvíce 12 krychliček. Podle téhož návodu je možné slepit i těleso z menšího počtu krychliček (vynechat lze např. některé tmavé krychličky).

Přiřaďte k návodu největší počet krychliček (A–F), z nichž může být těleso slepeno.

  • A) 11 krychliček
  • D) 14 krychliček
  • B) 12 krychliček
  • E) 15 krychliček
  • C) 13 krychliček
  • F) jiný počet krychliček
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza pohledů

Při pohledu zepředu (bílý obrazec) vidíme tři sloupce o výškách 5, 1 a 1 krychle. To znamená, že v každém sloupci sítě musí mít nejvyšší věž právě tuto výšku.
Při pohledu zprava (šedý obrazec) vidíme také tři sloupce o výškách 2, 1 a 5. Tyto sloupce odpovídají řadám tělesa odzepředu dozadu: přední řada má max. výšku 2, prostřední řada 1 a zadní řada 5.

Určení maximálních výšek

Abychom získali největší možný počet krychliček, musíme do každého pole pomyslné sítě 3×3 dosadit co nejvíce krychliček. Výška v každém poli je omezena jak pohledem zepředu, tak pohledem zprava. Do každého pole tedy můžeme dát maximálně tolik krychliček, kolik odpovídá nižší z obou hodnot (výšky pro daný sloupec zepředu a výšky pro danou řadu zprava).

Výpočet počtu krychliček

Vypočítáme maximální počty pro každou řadu:
  • Přední řada (max. 2): Věže mohou mít výšky $\min(5; 2)=2$, $\min(1; 2)=1$ a $\min(1; 2)=1$. Součet: $2+1+1 = 4$ krychličky.
  • Prostřední řada (max. 1): Věže mohou mít výšky $\min(5; 1)=1$, $\min(1; 1)=1$ a $\min(1; 1)=1$. Součet: $1+1+1 = 3$ krychličky.
  • Zadní řada (max. 5): Věže mohou mít výšky $\min(5; 5)=5$, $\min(1; 5)=1$ a $\min(1; 5)=1$. Součet: $5+1+1 = 7$ krychliček.

Celkový výsledek

Sečteme krychličky ve všech třech řadách:
$4 + 3 + 7 = 14$

Největší možný počet krychliček je 14, což odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.

Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.

Zobrazit odpověď

11

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor postupu

Podle popisu postupu vzniká obrazec, ve kterém jsou černé puntíky uspořádány do řad tvořících trojúhelníkovou síť. Každá vodorovná přímka obsahuje určitý počet puntíků. V horní řadě je 1 puntík, ve druhé řadě jsou 2 puntíky, ve třetí 3 puntíky a tak dále.

Určení počtu puntíků v řadách

Celkový počet puntíků v takovém trojúhelníkovém uspořádání vypočítáme jako součet puntíků v jednotlivých řadách: $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + H$, kde $H$ je počet vodorovných přímek. Pro malé počty bodů na základně (např. 2 body) vidíme, že celkový počet puntíků odpovídá tzv. trojúhelníkovým číslům.

Výpočet pro 36 puntíků

Hledáme počet vodorovných přímek, pro který je součet puntíků roven 36. Zkusíme sčítat po sobě jdoucí čísla:
  • 1. přímka: 1
  • 2. přímka: 1 + 2 = 3
  • 3. přímka: 3 + 3 = 6
  • 4. přímka: 6 + 4 = 10
  • 5. přímka: 10 + 5 = 15
  • 6. přímka: 15 + 6 = 21
  • 7. přímka: 21 + 7 = 28
  • 8. přímka: 28 + 8 = 36
Součet 36 puntíků odpovídá přesně 8 vodorovným přímkám.

Závěr

V obrazci s 36 černými puntíky je celkem 8 vodorovných přímek. (Poznámka: I když v posledním kroku konstrukce některé krajní body zbělejí, zadání uvádí výsledný počet černých puntíků jako 36, což odpovídá plnému trojúhelníku o 8 řadách.)
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.2

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.

Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.

Zobrazit odpověď

48

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu počátečních bodů

Z popisu a obrázku můžeme vypozorovat vztah mezi počtem bodů na první vodorovné přímce a celkovým počtem vodorovných přímek v obrazci. Pokud jsou na začátku 2 body, obrazec má 4 přímky. Pokud jsou na začátku 3 body, obrazec má 5 přímek. Celkový počet přímek je tedy vždy o 2 větší než počet počátečních bodů. V našem případě má obrazec 49 přímek, takže počet počátečních bodů musel být:
$49 - 2 = 47$ bodů.

Krok 2: Určení počtu bílých puntíků

Bílé puntíky se nacházejí na nejspodnější vodorovné přímce. Z příkladů vidíme, že pro 2 počáteční body jsou na spodní přímce 2 bílé puntíky (1 vlevo a 1 vpravo). Pro 3 počáteční body jsou na spodní přímce 4 bílé puntíky (2 vlevo a 2 vpravo). Počet bílých puntíků na každé straně je tedy vždy o 1 menší než počet počátečních bodů ($n - 1$).

Krok 3: Výpočet výsledku

Protože náš obrazec vychází ze 47 počátečních bodů, bude na každé straně spodní přímky $47 - 1 = 46$ bílých puntíků. Celkový počet bílých puntíků na spodní přímce tedy bude:
$2 \times 46 = 92$.

Závěr

Počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce je 92.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.3

Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.

Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.

Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.

Zobrazit odpověď

1089

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vzoru

Z popisu postupu a obrázku vidíme, jak se obrazec vyvíjí v závislosti na počtu bodů na základní vodorovné přímce (označme tento počet $n$):
  • Pro $n=2$ má výsledný obrazec 3 vodorovné řady bodů (1, 2 a 3 body). Celkem je v obrazci $1+2+3=6$ bodů.
  • Pro $n=3$ má obrazec 5 vodorovných řad (1, 2, 3, 4 a 5 bodů). Celkem je v obrazci $1+2+3+4+5=15$ bodů.
Z toho vyplývá, že pro $n$ bodů má obrazec $2n-1$ vodorovných řad a celkový počet bodů odpovídá součtu řady $1+2+3+\dots+(2n-1)$.

Určení počtu bílých bodů

Bílé body jsou pouze na spodní vodorovné přímce. Z popisu víme:
  • Pro $n=2$ je na spodní přímce celkem 3 body, z toho 2 jsou bílé (krajní).
  • Pro $n=3$ je na spodní přímce celkem 5 bodů a všech 5 je bílých.
Všimneme si, že počet bodů na spodní přímce je vždy $2n-1$. Pokud je $n$ liché (jako u $n=3$), jsou všechny body na spodní přímce bílé ($W = 2n-1$). Pokud je $n$ sudé (jako u $n=2$), je prostřední bod černý a ostatní jsou bílé ($W = 2n-1 - 1 = 2n-2$).

Výpočet počtu bodů n

V zadání je uvedeno, že na spodní přímce je celkem 64 bílých bodů. Vyzkoušíme obě možnosti pro $n$:
  • Pokud by $n$ bylo liché: $2n-1 = 64 \implies 2n = 65$ (není celé číslo).
  • Pokud by $n$ bylo sudé: $2n-2 = 64 \implies 2n = 66 \implies n = 33$.
Jelikož 33 je liché číslo, musíme se vrátit k pravidlu pro lichá $n$. Pokud $n=33$ (liché), mělo by být na spodní přímce $2 \cdot 33 - 1 = 65$ bílých bodů. Pokud jich je 64, znamená to, že jeden bod (prostřední) zůstal černý i pro toto liché $n$.

Výpočet celkového počtu černých bodů

Pro $n=33$ má obrazec $2 \cdot 33 - 1 = 65$ vodorovných řad. Celkový počet všech bodů v obrazci je:
$\frac{65 \cdot (65 + 1)}{2} = \frac{65 \cdot 66}{2} = 65 \cdot 33 = 2145$.

Víme, že bílých bodů je 64. Počet černých bodů tedy určíme jako rozdíl celkového počtu bodů a počtu bílých bodů:
$2145 - 64 = 2081$.

Závěr

V obrazci je celkem 2081 černých puntíků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body