Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2021

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 5 + 15 \cdot \left( 10-4 \right) - 15 \div 5=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme rozdíl v závorce:
10 - 4 = 6

Násobení a dělení

Potom vynásobíme výsledek závorky a vydělíme poslední dvě čísla:
15 · 6 = 90
15 : 5 = 3

Celkový výsledek

Nyní vše sečteme a odečteme podle zadání:
5 + 90 - 3 = 95 - 3 = 92
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

92

Stav úlohy
2 body
Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 55 \cdot 16+45 \cdot 16-50 \cdot 16=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Využití společného čísla

Všimneme si, že v celém příkladu násobíme stejným číslem 16. Můžeme si to představit jako počítání skupin po 16: nejdříve máme 55 takových skupin, pak přidáme dalších 45 a nakonec jich 50 odebereme.

Počet skupin

Vypočítáme si celkový počet těchto skupin:
55 + 45 − 50 = 100 − 50 = 50

Výpočet výsledku

Máme tedy celkem 50 skupin po 16. Stačí je už jen vynásobit:
50 ⋅ 16 = 800
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

800

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.1
2 podúlohy: 3 b.; 1 podúloha: 2 b.; 0 podúloh: 0 b.

Na číselné ose je zobrazeno deset stejných dílků, číslo A = 72, číslo B = 192 a neznámé číslo C.

Určete číslo C.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Číslo A = 72 je na 6. rysce zleva, C je na 9. rysce a B = 192 je na 11. rysce.

Velikost jednoho dílku

Od čísla A k číslu B je 5 dílků. Rozdíl hodnot je:
$192 - 72 = 120$
Jeden dílek má tedy hodnotu:
$120 \div 5 = 24$

Výpočet čísla C

Číslo C leží 3 dílky vpravo od čísla A. Přičteme tedy tři dílky:
$72 + 3 \cdot 24 = 72 + 72 = 144$

Závěr

Neznámé číslo je C = 144.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

144

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 2.1 a 2.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Body se určují podle počtu správně vyřešených podúloh. Úloha 2.1 se vyhodnotí automaticky. Úlohu 2.2 vyhodnotíte porovnáním se vzorovým řešením.

Vzorové řešení výše.

2 podúlohy

1 podúloha

0 podúloh

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 2.2
2 podúlohy: 3 b.; 1 podúloha: 2 b.; 0 podúloh: 0 b.

Na číselné ose je zobrazeno deset stejných dílků, číslo A = 72, číslo B = 192 a neznámé číslo C.

K odpovídajícímu bodu číselné osy zapište číslo 0 a bod na ose zvýrazněte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Číslo A = 72 je na 6. rysce zleva a B = 192 je na 11. rysce.

Velikost jednoho dílku

Od čísla A k číslu B je 5 dílků. Rozdíl hodnot je:
$192 - 72 = 120$
Jeden dílek má tedy hodnotu:
$120 \div 5 = 24$

Umístění čísla 0

Číslo 0 je o 72 menší než číslo A. Proto zjistíme, o kolik dílků se musíme posunout vlevo:
$72 \div 24 = 3$
Od 6. rysky se posuneme o 3 rysky vlevo na 3. rysku zleva.

Závěr

Číslo 0 patří na 3. rysku zleva.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 2.1 a 2.2 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 3 body.

Body se určují podle počtu správně vyřešených podúloh. Úloha 2.1 se vyhodnotí automaticky. Úlohu 2.2 vyhodnotíte porovnáním se vzorovým řešením.

Vzorové řešení výše.

2 podúlohy

1 podúloha

0 podúloh

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body za skupinu
Úloha 3.1

Kabel dlouhý 13 m a 8 cm rozdělíme na šest stejných dílů.

Vypočtěte v cm délku jednoho dílu.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na centimetry

Kabel měří 13 m a 8 cm. Protože 1 metr má 100 cm, 13 metrů je 1300 cm. Celkem tedy kabel měří:
$1300 + 8 = 1308$ cm

Rozdělení na díly

Celkovou délku 1308 cm musíme rozdělit na 6 stejných dílů. To provedeme dělením:
$1308 : 6 = 218$
(13 děleno 6 jsou 2, zbytek 1; 10 děleno 6 je 1, zbytek 4; 48 děleno 6 je 8, zbytek 0)

Výsledek

Jeden díl kabelu měří 218 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

218 cm

Stav úlohy
2 body
Úloha 3.2

Při příjezdu na letiště bylo ohlášené zpoždění odletu letadla 1 hodina a 50 minut, ale nakonec bylo zpoždění šestkrát delší.

Vypočtěte v hodinách, jaké bylo nakonec zpoždění odletu letadla.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení času

Původní zpoždění bylo 1 hodina a 50 minut. Aby se nám lépe počítalo šestkrát delší zpoždění, můžeme si tyto dvě části vynásobit zvlášť.

Vynásobení hodin a minut

Nejdříve vynásobíme hodiny: $1 \text{ hodina} \cdot 6 = 6 \text{ hodin}$.
Potom vynásobíme minuty: $50 \text{ minut} \cdot 6 = 300 \text{ minut}$.

Převod minut na hodiny

Víme, že 1 hodina má 60 minut. Vypočítáme, kolik hodin je 300 minut: $300 \div 60 = 5$ hodin.

Celkové zpoždění

Sečteme obě části dohromady: $6 \text{ hodin} + 5 \text{ hodin} = 11$ hodin.
Celkové zpoždění je tedy 11 hodin.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11 hodin

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.1

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 6 panáčků,
– za 20 mincí lze koupit 9 zvířátek.

Žofie koupila 12 panáčků a určitý počet zvířátek. Za panáčky a zvířátka zaplatila celkem 90 mincí.

Určete, kolik zvířátek koupila.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena za panáčky

Víme, že 6 panáčků stojí 5 mincí. Žofie koupila 12 panáčků, což je dvakrát více než 6 ($12 = 2 \cdot 6$). Za panáčky tedy zaplatila $2 \cdot 5 = 10$ mincí.

Mince na zvířátka

Celkem Žofie zaplatila 90 mincí. Od této částky odečteme 10 mincí, které dala za panáčky. Na zvířátka jí tedy zbylo $90 - 10 = 80$ mincí.

Počet zvířátek

Za 20 mincí lze koupit 9 zvířátek. Zjistíme, kolikrát se 20 mincí vejde do 80 mincí: $80 \div 20 = 4$. Žofie tedy koupila 4 skupiny po 9 zvířátkách. Celkem koupila $4 \cdot 9 = 36$ zvířátek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

36

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.2

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 6 panáčků,
– za 20 mincí lze koupit 9 zvířátek.

Pepa si chce koupit stejný počet panáčků jako zvířátek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Společný počet

Pepa chce mít stejný počet panáčků i zvířátek. Panáčky kupuje po 6 kusech a zvířátka po 9 kusech. Musíme tedy najít nejmenší číslo, které je dělitelné 6 i 9 (nejmenší společný násobek).
Násobky 6: 6, 12, 18, 24, ...
Násobky 9: 9, 18, 27, ...
Nejmenší společný počet je 18 kusů.

Cena za panáčky

Aby Pepa získal 18 panáčků, musí koupit 3 sady (protože $18 \div 6 = 3$). Za jednu sadu zaplatí 5 mincí, za tři sady tedy zaplatí $3 \cdot 5 = 15$ mincí.

Cena za zvířátka

Aby Pepa získal 18 zvířátek, musí koupit 2 sady (protože $18 \div 9 = 2$). Za jednu sadu zaplatí 20 mincí, za dvě sady tedy zaplatí $2 \cdot 20 = 40$ mincí.

Celkový počet mincí

Za panáčky i zvířátka dohromady Pepa zaplatí $15 + 40 = 55$ mincí.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

55

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček.
Modrých kuliček je o 10 více než bílých.
Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete počet všech zelených kuliček.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Víme, že v krabičkách je dohromady 180 kuliček. Pokud v nich má být na konci stejný počet, musí v každé krabičce být:
180 : 3 = 60 kuliček.

Zelená krabička

Zelená krabička měla na konci 60 kuliček. Víme ale, že jsme z ní předtím 40 kuliček vyndali. Před vyndáním v ní tedy muselo být o těchto 40 kuliček více:
60 + 40 = 100 kuliček.

Závěr

Původní počet zelených kuliček byl 100.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

100

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.2

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček.
Modrých kuliček je o 10 více než bílých.
Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Víme, že v krabičkách je dohromady 180 kuliček. Aby byl v každé krabičce stejný počet, musíme je rozdělit na tři stejné díly:
180 : 3 = 60 kuliček.
V každé krabičce tedy nakonec bude 60 kuliček.

Původní počty kuliček

V zelené krabičce bylo původně 100 kuliček (60, které v ní zůstaly, plus 40, které jsme vyndali).
V bílé a modré krabičce dohromady tedy muselo být:
180 - 100 = 80 kuliček.

Bílá a modrá krabička

Modrých kuliček je o 10 více než bílých. Pokud bychom od jejich společného počtu (80) odečetli tento rozdíl (10), zbylo by nám 70 kuliček. Tyto kuličky by byly rozděleny spravedlivě napůl:
70 : 2 = 35 kuliček.
V bílé krabičce tedy bylo na začátku 35 kuliček.

Počet přidaných kuliček

V bílé krabičce bylo 35 kuliček a po přidání kuliček ze zelené krabičky jich má být 60. Rozdíl nám řekne, kolik kuliček jsme do ní přisypali:
60 - 35 = 25 kuliček.

Závěr

Do bílé krabičky přendáme 25 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

25

Stav úlohy
1 bod
Úloha 5.3

V zelené krabičce jsou jen zelené kuličky, v bílé krabičce jen bílé kuličky a v modré krabičce jen modré kuličky. V těchto třech krabičkách je dohromady 180 kuliček.
Modrých kuliček je o 10 více než bílých.
Aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček, ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček a rozdělíme je do zbývajících dvou krabiček.

Určete počet všech modrých kuliček.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stejný počet kuliček v krabičkách

Všech kuliček v krabičkách je dohromady 180. Pokud má být po přesunu v každé ze tří krabiček stejný počet kuliček, musí jich v každé být:
$180 \div 3 = 60$ kuliček.

Počet kuliček v zelené krabičce

V zadání se píše, že ze zelené krabičky vyndáme 40 kuliček, aby v ní zůstal stejný počet jako v ostatních (tedy 60). Původně v ní tedy muselo být:
$60 + 40 = 100$ kuliček.

Bílá a modrá krabička dohromady

Když víme, že v zelené krabičce bylo 100 kuliček z celkových 180, v bílé a modré krabičce dohromady bylo:
$180 - 100 = 80$ kuliček.

Výpočet modrých kuliček

Víme, že modrých kuliček je o 10 více než bílých. Pokud bychom si těch 10 kuliček, které jsou navíc, dali na chvíli stranou, zbylo by nám:
$80 - 10 = 70$ kuliček.
Tento počet (70) by byl u obou krabiček stejný, takže v každé by bylo:
$70 \div 2 = 35$ kuliček.
V bílé krabičce tedy bylo 35 kuliček. V modré bylo o 10 více než v bílé:
$35 + 10 = 45$ kuliček.

Závěr

V modré krabičce je 45 kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

45

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Každý velký obdélník má rozměry 2 cm a 7 cm a obsah 14 cm².
Rozstřižením velkého obdélníku vznikne buď dvojice menších obdélníků, nebo dvojice shodných trojúhelníků.Každý z obrazců A, B, C, D je sestaven z jednoho velkého obdélníku a z 1. nebo 2. dvojice.

Vypočtěte v cm² obsah obrazce A.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvků obrazce

Ze zadání víme, že každý velký obdélník má obsah 14 cm². První i druhá dvojice dílů vznikly rozstřižením jednoho takového velkého obdélníku. To znamená, že celkový obsah každé dvojice (všech jejích částí dohromady) je také 14 cm².

Složení obrazce A

Obrazec A je sestaven z jednoho velkého obdélníku a z 1. dvojice (dvou menších obdélníků). Podle popisu se tedy skládá celkem ze tří obdélníkových částí, které dohromady odpovídají dvěma původním velkým obdélníkům.

Výpočet obsahu

Celkový obsah obrazce A vypočítáme jako součet obsahu velkého obdélníku a obsahu první dvojice:
14 cm² + 14 cm² = 28 cm²
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

28 cm²

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Každý velký obdélník má rozměry 2 cm a 7 cm a obsah 14 cm².
Rozstřižením velkého obdélníku vznikne buď dvojice menších obdélníků, nebo dvojice shodných trojúhelníků.Každý z obrazců A, B, C, D je sestaven z jednoho velkého obdélníku a z 1. nebo 2. dvojice.

Vypočtěte v cm obvod obrazce A.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obrazec A obsahuje celý obdélník 2 cm × 7 cm a dva menší obdélníky z první dvojice. Všechny mají výšku 2 cm. Menší obdélníky vznikly příčným rozstřižením druhého velkého obdélníku, takže součet jejich vodorovných délek je 7 cm; nemusí být stejně dlouhé.

Svislé strany

Obrazec má tvar schodů. Každý ze tří obdélníků přispívá do obvodu svými dvěma svislými stranami. Protože má každý obdélník výšku 2 cm, máme celkem 6 svislých úseček o délce 2 cm.
Výpočet: $3 \times 2 \times 2 = 12$ cm.

Vodorovné strany

Horní hrana horního dílu a odkrytá horní hrana prostředního obdélníku dohromady překlenou celou šířku 7 cm. Stejně tak odkrytá dolní hrana prostředního obdélníku a dolní hrana spodního dílu mají dohromady 7 cm. Vodorovné části obvodu tedy měří 7 + 7 = 14 cm.

Celkový obvod

Obvod obrazce získáme sečtením délek všech svislých a vodorovných stran.
Obvod: $12 + 14 = 26$ cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

26 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Každý velký obdélník má rozměry 2 cm a 7 cm a obsah 14 cm².
Rozstřižením velkého obdélníku vznikne buď dvojice menších obdélníků, nebo dvojice shodných trojúhelníků.Každý z obrazců A, B, C, D je sestaven z jednoho velkého obdélníku a z 1. nebo 2. dvojice.

Vypočtěte v cm obvod obrazce B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor dílů

Velký obdélník má rozměry 2 cm a 7 cm. První dvojice vznikla jeho příčným rozstřižením na dva menší obdélníky. Oba mají výšku 2 cm a součet jejich délek je 7 cm; jejich jednotlivé délky nepotřebujeme znát.

Sestavení obrazce B

Uprostřed je svislý obdélník široký 2 cm a vysoký 7 cm. Vlevo dole a vpravo výše je k němu připojen vždy jeden menší vodorovný obdélník. Každý zakrývá 2 cm svislé hrany prostředního obdélníku.

Vnější strany

Horní a dolní hrany obou menších obdélníků dohromady měří 2 · 7 = 14 cm. Přidáme horní a dolní hranu prostředního obdélníku: vodorovně je to 14 + 2 + 2 = 18 cm.
Svisle z prostředního obdélníku zbývá na každé straně 7 − 2 = 5 cm a oba připojené díly přidají po jedné vnější hraně délky 2 cm. Celkem svisle: 5 + 5 + 2 + 2 = 14 cm.

Celkový obvod

Sečteme všechny části dohromady: $18 + 14 = 32$ cm.

Obvod obrazce B je 32 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

32 cm

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.4

Každý velký obdélník má rozměry 2 cm a 7 cm a obsah 14 cm².
Rozstřižením velkého obdélníku vznikne buď dvojice menších obdélníků, nebo dvojice shodných trojúhelníků.Každý z obrazců A, B, C, D je sestaven z jednoho velkého obdélníku a z 1. nebo 2. dvojice.

Vypočtěte, o kolik cm se liší obvody obrazců C a D.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza částí obrazců

Oba obrazce C i D jsou složeny ze stejných dílů: jednoho velkého obdélníku (7 cm × 2 cm) a dvou shodných trojúhelníků (které vznikly rozstřižením druhého velkého obdélníku o rozměrech 7 cm × 2 cm). Protože jsou použité díly u obou obrazců stejné, jejich celkový obvod před spojením je totožný. Rozdíl v konečném obvodu obrazců C a D je dán pouze tím, jak dlouhé části stran se při skládání „schovají“ dovnitř (stanou se společnou hranicí).

Schované strany v obrazci D

V obrazci D je velký obdélník umístěn uprostřed nastojato (jeho svislé strany mají délku 7 cm). Ke každé z těchto stran je přiložen jeden trojúhelník svou delší odvěsnou (7 cm).
Uvnitř se tedy schovají dvě dvojice stran o délce 7 cm (jedna vlevo a jedna vpravo). Celkem se v obrazci D schová: $2 \times 7 + 2 \times 7 = 28$ cm z původních obvodů.

Schované strany v obrazci C

V horní části obrazce C sousedí obdélník a jeden trojúhelník. Sdílejí společnou svislou stranu o délce 7 cm. Druhý trojúhelník je připojen zespodu k obdélníku. Protože šířka obdélníku i kratší strana trojúhelníku jsou 2 cm, sdílejí společnou vodorovnou stranu o délce 2 cm.
Celkem se v obrazci C schová: $2 \times 7 + 2 \times 2 = 18$ cm z původních obvodů.

Výpočet rozdílu obvodů

Rozdíl v obvodech odpovídá rozdílu v celkové délce schovaných stran. V obrazci D se schovalo 28 cm, zatímco v obrazci C se schovalo jen 18 cm.
Rozdíl v obvodech je tedy: $28 - 18 = 10$ cm.

Závěr

Obvody obrazců C a D se liší o 10 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

10

Stav úlohy
1 bod
Úloha 7.1

V rovině leží polopřímka PX a bod S.

Bod S je střed jedné strany obdélníku ABCD.
Na polopřímce PX leží strana AB tohoto obdélníku a její délka je dvakrát větší než délka sousední strany BC.

Sestrojte vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce obou řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Kromě obou požadovaných obdélníků je sestrojen (popsán) další obdélník, jehož délky sousedních stran nevyhovují zadání.
  • Oba požadované obdélníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
  • Je sestrojen pouze jeden z požadovaných obdélníků, a to přesně.

Nastane některá z následujících situací:

  • Je sestrojen pouze jeden z požadovaných obdélníků, a to s mírnou nepřesností.
  • Je sestrojen pouze jeden z požadovaných obdélníků a u dalšího sestrojeného obdélníku délky sousedních stran nevyhovují zadání.

Není sestrojeno žádné správné řešení.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 7.1

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží přímka p a přímka AB.

Úsečka AB tvoří jednu stranu rovnostranného trojúhelníku ABC.
Vrchol C trojúhelníku ABC je současně vrcholem trojúhelníku CDE.
Strany CD a CE trojúhelníku CDE mají stejnou délku jako úsečka AB.
Strana DE leží na přímce p.

Sestrojte vrcholy C, D, E trojúhelníku CDE, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

Konstrukce obsahuje právě jeden z následujících nedostatků:

  • nepřesná (nikoli chybná) konstrukce vrcholu C,
  • bod C není vrcholem rovnostranného trojúhelníku ABC, ale je vrcholem rovnoramenného trojúhelníku ABC,
  • body E, D jsou sestrojeny nepřesně (nikoli chybně),
  • správně je sestrojen pouze jeden z vrcholů E, D, druhý z obou vrcholů buď neleží na přímce p, nebo nemá požadovanou vzdálenost od bodu C.

Nastane jedna z následujících situací:

  • Trojúhelník ABC není rovnostranný ani rovnoramenný (vrchol C leží jinde), ostatní podmínky pro vrcholy E, D jsou splněny.
  • Správně je umístěn pouze vrchol C.

Žádný z bodů C, D, E nevyhovuje zadání.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2021, úloha 7.2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 8.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole A je o polovinu méně chlapců než ve škole B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu chlapců z grafu

V grafu se podíváme na skupinu sloupců označenou „Chlapci“. Černý sloupec, který patří škole A, sahá k hodnotě 60. Šedý sloupec, který patří škole B, sahá k hodnotě 120.

Výpočet poloviny

Tvrzení říká, že ve škole A je o polovinu méně chlapců než ve škole B. Vypočítáme tedy, kolik je polovina z počtu chlapců ve škole B:
$120 : 2 = 60$

Závěr

Zjistili jsme, že ve škole A je 60 chlapců, což je přesně o polovinu méně než 120. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 8.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole B je o třetinu více chlapců než dívek.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtů z grafu

Z grafu odečteme počty pro školu B (šedé sloupce):
  • Počet dívek ve škole B: 80
  • Počet chlapců ve škole B: 120

Porovnání počtu chlapců a dívek

Zjistíme, o kolik více je ve škole B chlapců než dívek:
$120 - 80 = 40$
Chlapců je tedy o 40 více.

Ověření tvrzení

Třetina počtu dívek by po ztrojnásobení dala všech 80 dívek. Rozdíl 40 ale dává 3 · 40 = 120, nikoli 80. Rozdíl tedy není třetinou počtu dívek; je jeho polovinou, protože 2 · 40 = 80. Tvrzení je nepravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 8.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V grafu jsou znázorněny počty dívek a počty chlapců v jazykových školách A a B.Ve škole A je v každé třídě 10 dětí a ve škole B je v každé třídě 20 dětí.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Ve škole B je o třetinu méně tříd než ve škole A.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu dětí ve škole A

Z grafu vyčteme počty dětí pro školu A (černé sloupce):
  • Dívky: 90
  • Chlapci: 60
Celkový počet dětí ve škole A je: $90 + 60 = 150$.

Zjištění počtu dětí ve škole B

Z grafu vyčteme počty dětí pro školu B (šedé sloupce):
  • Dívky: 80
  • Chlapci: 120
Celkový počet dětí ve škole B je: $80 + 120 = 200$.

Výpočet počtu tříd

Nyní vypočítáme počet tříd v každé škole podle zadaného počtu dětí na třídu:
  • Škola A (10 dětí na třídu): $150 : 10 = 15$ tříd
  • Škola B (20 dětí na třídu): $200 : 20 = 10$ tříd

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je ve škole B o třetinu méně tříd než ve škole A.
Třetina z počtu tříd školy A je: $15 : 3 = 5$.
O třetinu méně než 15 je: $15 - 5 = 10$.
Počet tříd ve škole B (10) přesně odpovídá vypočtené hodnotě.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 9

Třídy 5. A a 5. B se zúčastnily soutěže, která měla tři kola. V tabulce jsou uvedeny počty bodů, které třídy získaly v jednotlivých kolech soutěže, některé údaje však chybí.

Třída 5. A získala nejméně bodů v 1. kole a nejvíce bodů ve 3. kole. Počet bodů získaných ve 2. kole se od obou zbývajících kol liší o stejný počet bodů.

Kolik bodů v soutěži získaly dohromady obě třídy?

  • A) méně než 264 bodů
  • D) 270 bodů
  • B) 264 bodů
  • E) více než 270 bodů
  • C) 267 bodů
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet bodů pro třídu 5. A ve 2. kole

Ze zadání víme, že třída 5. A získala v 1. kole 34 bodů a ve 3. kole 52 bodů. Počet bodů ve 2. kole se od obou těchto hodnot liší o stejný počet bodů, což znamená, že leží přesně uprostřed.
Rozdíl mezi 1. a 3. kolem je: $52 - 34 = 18$.
Polovina tohoto rozdílu je: $18 : 2 = 9$.
Ve 2. kole tedy třída 5. A získala: $34 + 9 = 43$ bodů (pro kontrolu: $52 - 9 = 43$).

Krok 2: Celkový počet bodů pro třídu 5. A

Nyní sečteme body třídy 5. A ze všech tří kol:
$34 + 43 + 52 = 129$ bodů.

Krok 3: Součet bodů pro obě třídy dohromady

V tabulce je uvedeno, že třída 5. B získala celkem 138 bodů. Pro získání celkového výsledku sečteme body obou tříd:
$129 + 138 = 267$ bodů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

Třídy 5. A a 5. B se zúčastnily soutěže, která měla tři kola. V tabulce jsou uvedeny počty bodů, které třídy získaly v jednotlivých kolech soutěže, některé údaje však chybí.

Třída 5.B získala ve 2. kole o 6 bodů méně než v 1. kole a ve 3. kole dvakrát více bodů než v 1. kole.

Kolik bodů získaly dohromady obě třídy v 1. kole soutěže?

  • A) 67 bodů
  • D) 82 bodů
  • B) 70 bodů
  • E) jiný počet bodů
  • C) 78 bodů
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza údajů pro třídu 5. B

Z tabulky vyčteme, že třída 5. B získala celkem 138 bodů. Ze zadání dále víme:
  • Ve 2. kole získala o 6 bodů méně než v 1. kole.
  • Ve 3. kole získala dvakrát více bodů než v 1. kole.

Výpočet bodů třídy 5. B v 1. kole

Kdyby třída 5. B získala ve 2. kole stejně bodů jako v 1. kole, byl by její celkový součet o 6 bodů vyšší, tedy:
$138 + 6 = 144$

V takovém případě by body za jednotlivá kola odpovídaly těmto „dílkům“:
  • 1. kolo: 1 dílek
  • 2. kolo: 1 dílek (stejně jako v 1. kole)
  • 3. kolo: 2 dílky (dvakrát více než v 1. kole)
Celkem by to byly 4 stejné dílky. Jeden dílek (body v 1. kole) tedy vypočítáme jako:
$144 : 4 = 36$

Třída 5. B získala v 1. kole 36 bodů.

Celkový počet bodů v 1. kole

Z tabulky vidíme, že třída 5. A získala v 1. kole 34 bodů. Abychom zjistili, kolik bodů získaly obě třídy dohromady, tyto hodnoty sečteme:
$34 + 36 = 70$

V 1. kole soutěže získaly obě třídy dohromady 70 bodů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 11

Na 23denní tábor přivezl vedoucí malým skautům 16 sáčků po 30 bonbonech. Během tábora dal každému malému skautovi celkem 21 bonbonů, a zbyly mu tak už jen bonbony v posledním načatém sáčku.

Kolik bonbonů zbylo vedoucímu v posledním načatém sáčku?

  • A) 18
  • D) 21
  • B) 19
  • E) 22
  • C) 20
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet bonbonů

Nejdříve si vypočítáme, kolik bonbonů měl vedoucí celkem. Přivezl 16 sáčků a v každém bylo 30 bonbonů.
$16 \cdot 30 = 480$
Vedoucí měl tedy celkem 480 bonbonů.

Hledání počtu skautů

Každý skaut dostal 21 bonbonů. Víme, že po rozdání všech bonbonů zbyl jen zbytek v posledním sáčku. To znamená, že vedoucí rozdal více než 15 celých sáčků (více než 450 bonbonů), ale méně než všech 16 sáčků (480 bonbonů).
Zkusíme vydělit celkový počet bonbonů počtem pro jednoho skauta:
$480 : 21 = 22$ (zbytek 18)
Protože $22 \cdot 21 = 462$.

Výpočet zbytku

Vedoucí rozdal 462 bonbonů mezi 22 skautů. Z celkového počtu 480 bonbonů mu tedy zbylo:
$480 - 462 = 18$
Zbylo mu 18 bonbonů. Protože je to méně než 30, bonbony jsou skutečně jen v posledním načatém sáčku.

Závěr

Vedoucímu v posledním sáčku zbylo 18 bonbonů.
Správná odpověď je A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

Ve čtvercové síti leží pět tmavých útvarů A–E. Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech. Některé útvary jsou souměrné podle osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).

Který útvar není souměrný podle žádné osy?

  • A) útvar A
  • D) útvar D
  • B) útvar B
  • E) útvar E
  • C) útvar C
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
2 body
Úloha 13.1
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce vytváříme stavby ze stejně velkých krychliček.
Spodní krychlička každého sloupce stojí na podložce a patří do prvního patra stavby.
Stavbu popisuje tabulka. Číslo v tabulce představuje počet krychliček umístěných ve sloupci nad sebou (počet pater).
Stavba na ukázce má v prvním patře celkem 6 krychliček, ve druhém 5 krychliček, ve třetím 2 krychličky a ve čtvrtém a pátém po 1 krychličce.V tabulkách tří staveb jsou kartičkami K, L a M zakryta tři čísla.

V 1. stavbě je celkem 24 krychliček.

Jaké číslo je zakryto kartičkou K?

  • A) menší než 4
  • D) 6
  • B) 4
  • E) 7
  • C) 5
  • F) větší než 7
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení tabulky

Čísla v tabulce představují počty krychliček v jednotlivých sloupcích postavených na podložce. Celkový počet krychliček v celé stavbě získáme tak, že všechna čísla v tabulce (včetně těch pod kartičkami) sečteme.

Součet známých čísel

V tabulce pro 1. stavbu vidíme tato čísla: 5, K, 3 v prvním řádku, 1, 3, 2 ve druhém řádku a dvě prázdná pole a číslo 2 ve třetím řádku. Prázdné pole znamená, že v daném místě není žádná krychlička (tedy 0).
Nejdříve sečteme všechna známá čísla: $5 + 3 + 1 + 3 + 2 + 0 + 0 + 2 = 16$.

Výpočet čísla K

Víme, že v 1. stavbě je celkem 24 krychliček. Číslo K tedy musí doplňovat náš dosavadní součet do 24.
Vypočítáme ho jako rozdíl: $24 - 16 = 8$.
Kartička K tedy zakrývá číslo 8.

Výběr správné možnosti

Vypočítali jsme, že $K = 8$. Nyní toto číslo porovnáme s nabízenými možnostmi:
Možnost F říká, že číslo je větší než 7. Protože 8 je větší než 7, je tato možnost správná.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

F

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce vytváříme stavby ze stejně velkých krychliček.
Spodní krychlička každého sloupce stojí na podložce a patří do prvního patra stavby.
Stavbu popisuje tabulka. Číslo v tabulce představuje počet krychliček umístěných ve sloupci nad sebou (počet pater).
Stavba na ukázce má v prvním patře celkem 6 krychliček, ve druhém 5 krychliček, ve třetím 2 krychličky a ve čtvrtém a pátém po 1 krychličce.V tabulkách tří staveb jsou kartičkami K, L a M zakryta tři čísla.

Ve 2. stavbě se počet krychliček v 5. a 6. patře liší o 2 krychličky.

Jaké číslo je zakryto kartičkou L?

  • A) menší než 4
  • D) 6
  • B) 4
  • E) 7
  • C) 5
  • F) větší než 7
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

Z ukázky vidíme, že číslo v tabulce udává počet pater daného sloupce. Počet krychliček v určitém patře (např. v 5. patře) zjistíme tak, že spočítáme všechna políčka v tabulce, která mají hodnotu stejnou nebo vyšší než toto číslo patra.

Rozdíl mezi patry

Rozdíl mezi počtem krychliček v 5. patře a v 6. patře je dán počtem sloupců, které mají výšku přesně 5 pater. Tyto sloupce jsou totiž započítány v 5. patře (protože 5 ≥ 5), ale v 6. patře už započítány nejsou (protože 5 není ≥ 6).

Určení hodnoty L

V zadání je uvedeno, že ve 2. stavbě se počty krychliček v 5. a 6. patře liší o 2. To znamená, že v tabulce 2. stavby musí být právě dvě políčka s číslem 5. Mezi známými čísly v tabulce (10, 1, 7, 5, 2, 6) je pouze jedna pětka. Aby byly pětky v tabulce celkem dvě, musí být pod kartičkou L také číslo 5.

Závěr

Kartička L zakrývá číslo 5.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce vytváříme stavby ze stejně velkých krychliček.
Spodní krychlička každého sloupce stojí na podložce a patří do prvního patra stavby.
Stavbu popisuje tabulka. Číslo v tabulce představuje počet krychliček umístěných ve sloupci nad sebou (počet pater).
Stavba na ukázce má v prvním patře celkem 6 krychliček, ve druhém 5 krychliček, ve třetím 2 krychličky a ve čtvrtém a pátém po 1 krychličce.V tabulkách tří staveb jsou kartičkami K, L a M zakryta tři čísla.

Ve 3. stavbě je v nejvyšších třech patrech celkem 9 krychliček.

Jaké číslo je zakryto kartičkou M?

  • A) menší než 4
  • D) 6
  • B) 4
  • E) 7
  • C) 5
  • F) větší než 7
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Porozumění tabulce

Čísla v tabulce nám říkají, jak vysoký je každý sloupec krychliček. Pokud je v tabulce číslo 8, znamená to, že v daném místě stojí na sobě 8 krychliček. Tyto krychličky zaplňují 1. až 8. patro stavby. Pokud je sloupec prázdný, znamená to, že v něm není žádná krychlička.

Nejvyšší patro

Známé sloupce mají výšky 7, 3, 6, 4, 8 a 7. Stavba tedy sahá alespoň do 8. patra. Sloupec M nemůže být vyšší než 8: pak by nejvyšší tři patra začínala nejdříve v 7. patře. Ze známých sloupců jsou v 7. a vyšších patrech jen 4 krychličky (tři v 7. a jedna v 8. patře). Sloupec M může do tří pater přidat jen 3 krychličky. Dohromady by jich bylo nejvýše 4 + 3 = 7, což nestačí na požadovaných 9. Nejvyšší patro je proto 8. a počítáme patra 6., 7. a 8.

Krok 3: Výpočet bez neznámého čísla M

Spočítáme, kolik krychliček se nachází v 6. až 8. patře v šesti známých sloupcích:
  • 8. patro: Obsahuje pouze 1 krychličku (ze sloupce s výškou 8).
  • 7. patro: Obsahuje 3 krychličky (ze sloupců s výškou 8, 7 a 7).
  • 6. patro: Obsahuje 4 krychličky (ze sloupců s výškou 8, 7, 7 a 6).
Dohromady v těchto sloupcích a patrech napočítáme $1 + 3 + 4 = 8$ krychliček.

Určení čísla M

V nejvyšších třech patrech má být 9 krychliček, známé sloupce jich obsahují 8. Sloupec M tedy přidává právě 9 − 8 = 1 krychličku. Protože sloupec začíná na podložce a nemá mezery, musí končit v nejnižším z těchto tří pater, tedy v 6. patře. Zakryté číslo je 6.

Krok 5: Výsledek

Pod kartičkou M je tedy číslo 6. Správná možnost je D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, v kolikáté sekundě bude poprvé na kratší liště rozsvíceno více žárovek než na delší liště.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza kratší lišty (4 žárovky)

Kratší lišta má 4 žárovky. Podle pravidel se žárovky rozsvěcují a zhasínají v tomto cyklu:
  • 1.–4. sekunda: Postupně se rozsvěcují (na konci 4. sekundy svítí všechny 4 žárovky).
  • 5.–8. sekunda: Postupně zhasínají ve stejném pořadí, v jakém se rozsvěcovaly (v 5. sekundě zhasne 1. žárovka, v 6. sekundě 2. žárovka atd.).
Počet svítících žárovek v 1. až 8. sekundě je tedy: 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0. Poté se cyklus opakuje.

Analýza delší lišty (6 žárovek)

Delší lišta má 6 žárovek a její cyklus vypadá následovně:
  • 1.–6. sekunda: Postupně se rozsvěcují (1, 2, 3, 4, 5, 6 svítících žárovek).
  • 7.–12. sekunda: Postupně zhasínají (5, 4, 3, 2, 1, 0 svítících žárovek).
Celý cyklus trvá 12 sekund a pak začíná znovu od začátku.

Porovnání obou lišt

První 4 sekundy jsou počty stejné. Potom kratší lišta zhasíná, zatímco delší ještě dvě sekundy rozsvěcí, a tak delší získá náskok 4 žárovek. V 7. a 8. sekundě obě zhasínají a náskok se nemění. V 8. sekundě tedy na kratší nesvítí nic a na delší svítí 4 žárovky. Od další sekundy kratší přidává jednu svítící žárovku a delší jednu ubírá. Rozdíl se každou sekundu zmenší o 2. Vyrovná se za $4 : 2 = 2$ sekundy, tedy v $8 + 2 = 10$. Kratší lišta bude mít poprvé více svítících žárovek hned v následující, 11. sekundě.

Závěr

V 11. sekundě poprvé nastane situace, kdy na kratší liště svítí více žárovek než na delší (3 > 1).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

11

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.2

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, kolik žárovek bude rozsvíceno na delší liště v 57. sekundě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor cyklu delší lišty

Na delší liště je celkem 6 žárovek. Podle popisu v zadání se žárovky nejdříve postupně rozsvěcují (1. až 6. sekunda) a od další sekundy začínají postupně zhasínat ve stejném pořadí. Celý průběh vypadá takto:
  • 1. až 6. sekunda: postupně se rozsvítí 1, 2, 3, 4, 5 a nakonec všech 6 žárovek.
  • 7. až 12. sekunda: žárovky postupně zhasínají (v 7. sekundě zhasne první, zůstává 5; v 8. sekundě zhasne druhá, zůstávají 4 atd.).
V 12. sekundě zhasne i poslední žárovka a od 13. sekundy začíná nový cyklus. Jeden úplný cyklus delší lišty tedy trvá 12 sekund.

Výpočet času v cyklu

Potřebujeme zjistit stav v 57. sekundě. Zjistíme, kolikátá sekunda cyklu to je, tím, že 57 vydělíme délkou cyklu (12):
$57 : 12 = 4$ (zbytek $9$)
To znamená, že proběhly 4 celé cykly a v 57. sekundě se nacházíme v 9. sekundě aktuálního cyklu.

Určení počtu rozsvícených žárovek

Nyní určíme, kolik žárovek svítí v 9. sekundě cyklu. Víme, že po 6. sekundě (kdy svítilo všech 6 žárovek) začínají žárovky zhasínat:
  • 7. sekunda: zhasne 1. žárovka $\rightarrow$ svítí 5 žárovek
  • 8. sekunda: zhasne 2. žárovka $\rightarrow$ svítí 4 žárovky
  • 9. sekunda: zhasne 3. žárovka $\rightarrow$ svítí 3 žárovky
V 57. sekundě bude tedy na delší liště rozsvíceno 3 žárovek.

Závěr

Na delší liště budou v 57. sekundě rozsvíceny 3 žárovky.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.3

Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.

Určete, kolik žárovek bude dohromady rozsvíceno na obou lištách v 91. sekundě.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza cyklu kratší lišty

Kratší lišta má 4 žárovky. Žárovky se postupně rozsvěcují (1., 2., 3. a 4. sekunda), čímž se rozsvítí všechny 4. Od další sekundy začínají postupně zhasínat ve stejném pořadí (5., 6., 7. a 8. sekunda). Celý cyklus se tedy opakuje každých 8 sekund (4 sekundy rozsvěcování a 4 sekundy zhasínání). Po 8 sekundách jsou všechny žárovky zhasnuté a od 9. sekundy začíná cyklus znovu.

Stav kratší lišty v 91. sekundě

Zjistíme, ve které fázi cyklu se kratší lišta nachází v 91. sekundě. Vydělíme 91 délkou cyklu:
$91 : 8 = 11$ (zbytek 3).
To znamená, že proběhlo 11 celých cyklů a lišta je právě ve 3. sekundě svého 12. cyklu. Ve 3. sekundě jsou na této liště rozsvíceny 3 žárovky.

Analýza cyklu delší lišty

Delší lišta má 6 žárovek. Rozsvěcování trvá 6 sekund a zhasínání trvá dalších 6 sekund. Celý cyklus má tedy délku $6 + 6 = 12$ sekund. Každých 12 sekund se stav lišty vrátí do výchozího bodu (všechny zhasnuté).

Stav delší lišty v 91. sekundě

Zjistíme fázi cyklu pro delší lištu:
$91 : 12 = 7$ (zbytek 7).
Jsme tedy v 7. sekundě aktuálního cyklu. Protože rozsvěcování trvalo prvních 6 sekund (kdy se rozsvítilo všech 6 žárovek), v 7. sekundě začíná zhasínání. První žárovka zleva zhasne, takže jich zůstane rozsvíceno $6 - 1 = 5$. V 91. sekundě na delší liště svítí 5 žárovek.

Celkový počet žárovek

Nyní sečteme svítící žárovky z obou lišt:
$3 + 5 = 8$
V 91. sekundě bude dohromady rozsvíceno 8 žárovek.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8

Stav úlohy
2 body