Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. náhradní termín 2021

29 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 11706 - 7302 \right) \div 12=$

Zobrazit odpověď

367

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Podle pravidel o přednosti operací vypočítáme nejdříve rozdíl čísel v závorce. Provedeme písemné odčítání:
11 706 − 7 302 = 4 404

Dělení výsledku

Nyní musíme výsledek ze závorky vydělit dvanácti:
4 404 : 12 = ?
Dělíme postupně zleva:

44 : 12 = 3 a zbude 8 (protože 3 · 12 = 36)
80 : 12 = 6 a zbude 8 (protože 6 · 12 = 72)
84 : 12 = 7 a zbude 0 (protože 7 · 12 = 84)

Výsledek dělení je tedy 367.

Závěr

Výpočet celého příkladu vypadá takto:
(11 706 − 7 302) : 12 = 4 404 : 12 = 367

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 2 \cdot 1600 - 585 - 85 \cdot 20=$

Zobrazit odpověď

915

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První násobení

Při výpočtu má násobení přednost před odčítáním. Začneme tedy prvním násobením: $2 \cdot 1600 = 3200$

Druhé násobení

Dále vypočítáme druhé násobení v příkladu: $85 \cdot 20 = 1700$

Postupné odčítání

Nyní můžeme odčítat v pořadí, jak jdou čísla za sebou. Nejdříve odečteme číslo 585: $3200 - 585 = 2615$

Nakonec odečteme výsledek druhého násobení: $2615 - 1700 = 915$

Výsledek

Výsledek celého příkladu je 915.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Na číselné ose je zobrazeno šestnáct stejných dílků, číslo 45 a dvě neznámá čísla A a B. Číslo B je dvakrát větší než číslo A. Součet čísel A a B je stejný jako součet čísel 45 a C.

K odpovídajícímu bodu číselné osy zapište číslo 0.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Číslo 45 je na 7. rysce zleva, A je na 9. rysce a B je na 14. rysce.

Vyjádření čísel A a B

Od čísla 45 k číslu A jsou 2 dílky, od čísla 45 k číslu B je 7 dílků. Označíme-li velikost jednoho dílku jako $d$, pak platí: $A = 45 + 2d$ $B = 45 + 7d$

Výpočet velikosti dílku

Podle zadání je číslo B dvakrát větší než číslo A: $45 + 7d = 2 \cdot (45 + 2d)$ $45 + 7d = 90 + 4d$ $3d = 45$ $d = 15$

Umístění čísla 0

Jeden dílek má hodnotu 15. Číslo 0 je od čísla 45 o 45 menší, tedy o 3 dílky vlevo: $45 \div 15 = 3$ Od 7. rysky se posuneme o 3 rysky vlevo na 4. rysku zleva.

Závěr

Číslo 0 patří na 4. rysku zleva.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

K odpovídajícímu bodu číselné osy zapište číslo C.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Označení dílků

Na číselné ose jsou všechny dílky stejně dlouhé. Číslo 45 je na 7. rysce zleva, A je na 9. rysce a B je na 14. rysce.

Vyjádření čísel A a B

Od čísla 45 k číslu A jsou 2 dílky, od čísla 45 k číslu B je 7 dílků. Označíme-li velikost jednoho dílku jako $d$, pak platí: $A = 45 + 2d$ $B = 45 + 7d$

Výpočet velikosti dílku

Podle zadání je číslo B dvakrát větší než číslo A: $45 + 7d = 2 \cdot (45 + 2d)$ $45 + 7d = 90 + 4d$ $3d = 45$ $d = 15$

Výpočet čísla C

Nejdřív dopočítáme čísla A a B: $A = 45 + 2 \cdot 15 = 75$ $B = 45 + 7 \cdot 15 = 150$ Podle zadání platí $A + B = 45 + C$, tedy: $75 + 150 = 45 + C$ $225 = 45 + C$ $C = 180$

Umístění čísla C

Číslo C je o 135 větší než 45. Jeden dílek má hodnotu 15, proto je C o 9 dílků vpravo od čísla 45: $135 \div 15 = 9$ Od 7. rysky se posuneme o 9 rysek vpravo na 16. rysku zleva.

Závěr

Číslo C = 180 patří na 16. rysku zleva.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Telefonní hovor trval 8 minut a 55 sekund. Během hovoru blikala žárovka. Žárovka poprvé blikla po prvních 25 sekundách hovoru a poté znovu po každých 25 sekundách.

Určete, kolikrát během celého hovoru blikla žárovka.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času na sekundy

Nejdříve si musíme převést celou délku hovoru na sekundy. Víme, že 1 minuta má 60 sekund.
8 minut je $8 \cdot 60 = 480$ sekund.
Celý hovor trval $480 + 55 = 535$ sekund.

Výpočet počtu bliknutí

Žárovka blikne poprvé po 25 sekundách a pak každých dalších 25 sekund. Zjistíme, kolikrát se těchto 25 sekund „vejde“ do celkového času hovoru 535 sekund.
Vydělíme $535 : 25 = 21$ (zbytek 10).

Kontrola výsledku

Poslední (21.) bliknutí proběhlo v čase 525 sekund ($21 \cdot 25 = 525$). Další bliknutí by následovalo až v čase 550 sekund ($525 + 25 = 550$), což už je po skončení hovoru (535 sekund).

Výsledek

Během celého hovoru blikla žárovka 21krát.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Řeka Labe protéká pouze dvěma státy a délka celého jejího toku je 1094 km. V Německu je tok Labe o 352 km delší než v České republice.

Vypočtěte délku toku Labe v Německu.

Zobrazit odpověď

723

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Odstranění rozdílu

Celková délka toku je 1094 km. V Německu je řeka o 352 km delší. Pokud tento „přebytek“ od celkové délky odečteme, dostaneme délku, kterou by Labe mělo, kdyby v obou státech teklo stejnou vzdálenost (rovnou délce v ČR).
$1094 - 352 = 742$ km

Výpočet délky v ČR

Těchto 742 km nyní tvoří dvě stejné části. Jedna z nich je délka toku v České republice.
$742 : 2 = 371$ km

Výpočet délky v Německu

Víme, že v Německu je tok o 352 km delší než v ČR. K vypočítané délce v ČR tedy tento rozdíl přičteme.
$371 + 352 = 723$ km

Odpověď

Délka toku Labe v Německu je 723 km.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.1

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 3 autíčka,
– za 3 mince lze koupit 4 figurky.

Amélie si chce koupit několik autíček a dvakrát tolik figurek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podmínka nákupu

Amélie si chce koupit několik autíček a dvakrát tolik figurek. To znamená, že na každé 1 autíčko musí připadat 2 figurky.

Možnosti pro autíčka

Autíčka se dají koupit jen v balíčcích po 3 kusech (každý stojí 5 mincí). Celkový počet autíček tedy musí být násobkem čísla 3:

3 autíčka (za 5 mincí)
6 autíček (za 10 mincí)
9 autíček (za 15 mincí)
...

Možnosti pro figurky

Figurky se dají koupit jen v balíčcích po 4 kusech (každý stojí 3 mince). Celkový počet figurek musí být násobkem čísla 4:

4 figurky (za 3 mince)
8 figurek (za 6 mincí)
12 figurek (za 9 mincí)
16 figurek (za 12 mincí)
...

Hledání nejmenšího nákupu

Hledáme nejmenší počet autíček tak, aby Amélie mohla koupit přesně dvojnásobek figurek:

Pokud by koupila 3 autíčka, potřebovala by $3 \cdot 2 = 6$ figurek. Číslo 6 ale není násobkem 4, takže by nemohla koupit figurky přesně.
Pokud by koupila 6 autíček, potřebovala by $6 \cdot 2 = 12$ figurek. Číslo 12 je násobkem 4 ($12 = 3 \cdot 4$), což už koupit lze.

Výpočet mincí

Nyní spočítáme cenu za tento nákup:

Za 6 autíček (2 balíčky po 3 kusech) zaplatí $2 \cdot 5 = 10$ mincí.
Za 12 figurek (3 balíčky po 4 kusech) zaplatí $3 \cdot 3 = 9$ mincí.

Dohromady potřebuje $10 + 9 = 19$ mincí.

Výsledek

Nejmenší počet mincí, které Amélie k nákupu potřebuje, je 19.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

V dětské hře se smí provádět pouze následující nákupy:
– za 5 mincí lze koupit 3 autíčka,
– za 3 mince lze koupit 4 figurky.

Franta si chce koupit přesně o 10 autíček více než figurek.

Určete nejmenší počet mincí, které k takovému nákupu potřebuje.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza nákupů

Ze zadání víme, že:

3 autíčka stojí 5 mincí (balíček po 3 kusech),
4 figurky stojí 3 mince (balíček po 4 kusech).

Autíčka tedy můžeme kupovat jen v počtech 3, 6, 9, 12, 15, 18 atd. Figurky můžeme kupovat jen v počtech 4, 8, 12, 16 atd.

Hledání počtu kusů

Franta chce o 10 autíček více než figurek. Budeme postupně zkoušet násobky 4 pro počet figurek a zjistíme, kolik by k nim muselo být autíček (o 10 více). Tento počet autíček musí být dělitelný 3:

0 figurek: $0 + 10 = 10$ autíček (10 není dělitelné 3)
4 figurky: $4 + 10 = 14$ autíček (14 není dělitelné 3)
8 figurek: $8 + 10 = 18$ autíček (18 je dělitelné 3, protože $18 = 6 \times 3$)

Našli jsme první možnou kombinaci: 18 autíček a 8 figurek.

Výpočet ceny

Nyní spočítáme, kolik bude tento nákup stát:

18 autíček: To je 6 nákupů po 3 kusech ($18 \div 3 = 6$). Cena je $6 \times 5 = 30$ mincí.
8 figurek: To jsou 2 nákupy po 4 kusech ($8 \div 4 = 2$). Cena je $2 \times 3 = 6$ mincí.

Celková cena je $30 + 6 = 36$ mincí.

Výsledek

Nejmenší počet mincí, které Franta k nákupu potřebuje, je 36.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Bílá krabička je prázdná, v zelené krabičce jsou jen zelené kuličky a v modré krabičce jsou jen modré kuličky. Modrých kuliček je 60. Do bílé krabičky přendáme ze zelené a modré krabičky tolik kuliček, aby byl ve všech třech krabičkách stejný počet kuliček. Ze zelené krabičky tak musíme přendat o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Určete počet všech zelených kuliček.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stejný počet po přesunu

Na konci mají mít všechny tři krabičky stejný počet kuliček. To znamená, že v zelené krabičce zbyde stejný počet kuliček jako v modré krabičce.

Rozdíl v přesouvání

Víme, že ze zelené krabičky jsme do bílé krabičky přendali o 9 kuliček více než z modré krabičky.

Porovnání zelené a modré

Představme si, že by v obou krabičkách bylo na začátku stejně kuliček. Pokud bychom pak ze zelené vzali o 9 kuliček více, muselo by v ní zbýt o 9 méně než v modré. Jenže v obou krabičkách zbylo stejně. To znamená, že zelená krabička musela mít na začátku o těch 9 kuliček více, abychom tento rozdíl při odebírání vyrovnali.

Výpočet

V modré krabičce bylo 60 kuliček. V zelené jich tedy bylo o 9 více:
60 + 9 = 69

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik kuliček zůstane v modré krabičce.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Situace v krabičkách

Na konci mají být ve všech třech krabičkách stejné počty kuliček. Do bílé krabičky, která byla prázdná, se přendaly kuličky z modré a ze zelené. V bílé krabičce je tedy po přesunu přesně tolik kuliček, kolik se jich tam z obou krabiček dohromady přendalo.

Porovnání přendaných kuliček

Ze zelené krabičky se přendalo o 9 kuliček více než z modré. Pokud si počet kuliček přendaných z modré krabičky představíme jako jeden díl, tak ze zelené krabičky se přendalo 1 díl + 9 kuliček. V bílé krabičce jsou tedy po přesunu celkem 2 díly + 9 kuliček.

Kolik zbude v modré krabičce

V modré krabičce bylo na začátku 60 kuliček. Jeden díl jsme z ní vzali a dali ho do bílé. To znamená, že v modré krabičce teď zbývá 60 kuliček − 1 díl.

Výpočet jednoho dílu

Víme, že v modré i bílé krabičce je na konci stejně kuliček. Jejich obsahy se tedy musí rovnat:

60 kuliček − 1 díl = 2 díly + 9 kuliček

Z toho vidíme, že 3 stejné díly musí odpovídat rozdílu mezi 60 a 9 kuličkami:

$60 - 9 = 51$
Jeden díl: $51 \div 3 = 17$

Z modré krabičky jsme tedy do bílé přendali 17 kuliček.

Konečný výsledek

V modré krabičce bylo na začátku 60 kuliček a 17 jsme jich odebrali. Zůstalo v ní tedy:

$60 - 17 = 43$

V modré krabičce zůstane 43 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.3

Vypočtěte, kolik zelených kuliček přendáme do bílé krabičky.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cílový stav

Na konci mají být ve všech třech krabičkách stejné počty kuliček. V každé krabičce tedy bude jeden stejný „dílek“.

Složení kuliček v krabičkách

V modré krabičce bylo 60 kuliček. Část z nich jsme přendali do bílé krabičky a zbytek (jeden dílek) v ní zůstal.
V bílé krabičce je teď také jeden dílek, který se skládá z části vzaté z modré krabičky a části vzaté ze zelené krabičky. Víme, že ze zelené se přendalo o 9 kuliček více než z modré.

Výpočet počtu kuliček

Kdybychom ze zelené krabičky přendali stejný počet jako z modré, v bílé krabičce by byl jeden dílek bez těch 9 kuliček navíc.
Z modré krabičky jsme tedy vzali takový počet, který se do 60 kuliček vejde třikrát a ještě zbude 9 (jeden dílek v modré + dvě stejné části v bílé + 9 navíc ze zelené).
60 − 9 = 51
51 : 3 = 17
Z modré krabičky jsme tedy přendali 17 kuliček.

Zelené kuličky

Ze zelené krabičky jsme přendali o 9 kuliček více než z modré:
17 + 9 = 26

Výsledek

Do bílé krabičky přendáme 26 zelených kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Obrazec ABCDEF se skládá ze čtverce, rovnostranného a rovnoramenného trojúhelníku. Obvod čtverce je 24 cm, obvod rovnoramenného trojúhelníku je o třetinu větší než obvod čtverce.

Vypočtěte v cm obvod rovnostranného trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

18 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet strany čtverce

Ze zadání víme, že obvod čtverce je 24 cm. Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany, délku jedné strany tedy vypočítáme tak, že obvod vydělíme čtyřmi:
24 : 4 = 6 cm

Krok 2: Strana rovnostranného trojúhelníku

Z obrázku vidíme, že rovnostranný trojúhelník sdílí jednu stranu se čtvercem. To znamená, že všechny jeho tři strany mají stejnou délku jako strana čtverce, tedy 6 cm.

Krok 3: Výpočet obvodu trojúhelníku

Rovnostranný trojúhelník má tři stejně dlouhé strany. Jeho obvod vypočítáme jako trojnásobek délky jeho strany:
3 × 6 = 18 cm

Závěr

Obvod rovnostranného trojúhelníku je 18 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Obrazec ABCDEF se skládá ze čtverce, rovnostranného a rovnoramenného trojúhelníku. Obvod čtverce je 24 cm, obvod rovnoramenného trojúhelníku je o třetinu větší než obvod čtverce.

Vypočtěte v cm obvod rovnoramenného trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

32 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění obvodu čtverce

Ze zadání víme, že obvod čtverce je 24 cm.

Výpočet obvodu rovnoramenného trojúhelníku

V zadání je uvedeno, že obvod rovnoramenného trojúhelníku je o třetinu větší než obvod čtverce. Musíme tedy k obvodu čtverce přičíst jeho jednu třetinu:

Třetina z 24 cm: $24 : 3 = 8$ cm
Obvod trojúhelníku: $24 + 8 = 32$ cm

Závěr

Obvod rovnoramenného trojúhelníku je 32 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Obrazec ABCDEF se skládá ze čtverce, rovnostranného a rovnoramenného trojúhelníku. Obvod čtverce je 24 cm, obvod rovnoramenného trojúhelníku je o třetinu větší než obvod čtverce.

Vypočtěte v cm obvod celého obrazce ABCDEF.

Zobrazit odpověď

50 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strana čtverce

Obvod čtverce ABDE je 24 cm. Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany, takže délka jedné strany je 24 : 4 = 6 cm. Strany AB, BD, DE a EA tedy měří každá 6 cm.

Krok 2: Strany rovnostranného trojúhelníku

Rovnostranný trojúhelník AFE je připojen ke straně čtverce EA. Všechny jeho strany jsou tedy stejně dlouhé jako strana čtverce, tedy 6 cm. Na obvodu celého obrazce leží vnější strany AF a FE, každá měří 6 cm.

Krok 3: Strany rovnoramenného trojúhelníku

Obvod rovnoramenného trojúhelníku BCD je o třetinu větší než obvod čtverce. Třetina z 24 je 8 (24 : 3 = 8), takže obvod trojúhelníku je 24 + 8 = 32 cm. Trojúhelník je připojen ke straně čtverce BD (6 cm). Na dvě shodná ramena BC a CD zbývá 32 - 6 = 26 cm. Jedno rameno tedy měří 26 : 2 = 13 cm.

Krok 4: Celkový obvod

Obvod celého obrazce ABCDEF tvoří vnější strany: AB, BC, CD, DE, EF a FA.
Součet délek je: 6 + 13 + 13 + 6 + 6 + 6 = 50 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží body N, O, P.

Body N, O jsou středy protějších stran AB a CD obdélníku ABCD a bod P leží na straně BC tohoto obdélníku.

Sestrojte vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží polopřímka LS a bod U.

Bod L je vrchol rovnoramenného trojúhelníku KLM, bod S je střed strany LM. V tomto trojúhelníku je každé z obou ramen dvakrát delší než základna. Bod U leží uvnitř trojúhelníku KLM.

Sestrojte vrcholy K, M trojúhelníku KLM, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna 3 řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Ke každému útvaru doplňte jediný tmavý čtverec tak, aby byl útvar osově souměrný a měl co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar A doplněný o požadovaný čtverec má 4 osy souměrnosti.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar B doplněný o požadovaný čtverec má 2 osy souměrnosti.

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Útvar C doplněný o požadovaný čtverec má pouze 1 osu souměrnosti.

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 9

Soutěž měla čtyři kola. V grafu jsou uvedeny výsledky družstva v prvních třech kolech.
V 1. kole družstvo získalo o 15 bodů méně než ve 2. kole.
Ve 4. kole družstvo získalo o polovinu více bodů než ve 3. kole.

Kolik bodů získalo družstvo ve 4. kole?

A) 25 bodů
D) 40 bodů
B) 30 bodů
E) jiný počet bodů
C) 35 bodů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení hodnoty jedné mřížkové linky v grafu

Ze zadání víme, že v 1. kole získalo družstvo o 15 bodů méně než ve 2. kole. Podíváme se na výšku sloupců v grafu:

V 1. kole dosahuje sloupec ke 4. lince nad nulou.
V 2. kole dosahuje sloupec k 7. lince nad nulou.

Rozdíl mezi těmito koly jsou 3 mřížkové linky ($7 - 4 = 3$). Protože tyto 3 linky odpovídají 15 bodům, jedna linka v grafu představuje 5 bodů ($15 : 3 = 5$).

Krok 2: Výpočet počtu bodů ve 3. kole

Sloupec pro 3. kolo dosahuje ke 3. mřížkové lince nad nulou. Počet bodů ve 3. kole tedy vypočítáme vynásobením počtu linek hodnotou jedné linky:
$3 \cdot 5 = 15$ bodů.

Krok 3: Výpočet počtu bodů ve 4. kole

Ve 4. kole získalo družstvo o polovinu více bodů než ve 3. kole. Nejdříve určíme polovinu z bodů ve 3. kole:
$15 : 2 = 7,5$ bodu.
Nyní tuto polovinu přičteme k bodům ze 3. kola:
$15 + 7,5 = 22,5$ bodu.

Krok 4: Závěr

Družstvo ve 4. kole získalo 22,5 bodu. Protože tato hodnota neodpovídá možnostem A, B, C ani D, správnou odpovědí je možnost E (jiný počet bodů).

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.

Kolik ležících dílů stavba obsahuje?

A) 0
D) 18
B) 6
E) 24
C) 12

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor dílků

Dílky stavebnice mají rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.

Stojící dílek má výšku 2 cm a základnu 1 cm × 1 cm.
Ležící dílek má výšku 1 cm a základnu 1 cm × 2 cm (nebo 2 cm × 1 cm).

Abychom ve stavbě měli co nejvíce stojících dílků, musíme do každého sloupce o základně 1 cm × 1 cm umístit co nejvíce dílků o výšce 2 cm.

Analýza sloupců

Stavba se skládá ze tří kvádrů, které můžeme rozdělit na jednotlivé sloupce o základně 1 cm × 1 cm:

V každém sloupci s lichou výškou (např. 1 cm nebo 3 cm) zbude po zaplnění stojícími dílky volný prostor o výšce 1 cm (jedna krychlička 1 cm × 1 cm × 1 cm).
V každém sloupci se sudou výškou (např. 2 cm) nezbude žádné volné místo, protože ho celý vyplní stojící dílky.

Z obrázku vidíme, že stavba má celkem 12 sloupců s lichou výškou (dva krajní kvádry mají každý 4 sloupce o výšce 3 cm a prostřední kvádr má 4 sloupce o výšce 1 cm, dohromady tedy $4 + 4 + 4 = 12$ sloupců).

Výpočet ležících dílků

Každý ležící dílek má výšku 1 cm a půdorys 1 cm × 2 cm. To znamená, že jeden ležící dílek vyplní volné místo přesně ve dvou sousedních sloupcích s lichou výškou. Máme celkem 12 lichých sloupců, v každém z nich zbyla jedna volná „krychlička“ o výšce 1 cm. Pro jejich zaplnění tedy potřebujeme: $12 : 2 = 6$ Stavba obsahuje 6 ležících dílů.

Závěr

Stavba obsahuje celkem 6 ležících dílů.

Správná odpověď je B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Provaz je 216 cm dlouhý. Třetina tohoto provazu je dvakrát delší než nit. Nit rozstřihneme na tři stejně dlouhé části.

O kolik cm je provaz delší než jedna část niti?

A) o 108 cm
D) o 204 cm
B) o 168 cm
E) o jiný počet cm
C) o 180 cm

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Třetina provazu

Provaz měří 216 cm. Jeho třetinu vypočítáme dělením třemi:
$216 : 3 = 72$ cm.

Délka niti

Víme, že třetina provazu (72 cm) je dvakrát delší než nit. Nit je tedy dvakrát kratší než tato třetina:
$72 : 2 = 36$ cm.

Jedna část niti

Nit o délce 36 cm rozstřihneme na tři stejné části. Délku jedné části zjistíme dělením:
$36 : 3 = 12$ cm.

Rozdíl délek

Nyní porovnáme délku celého provazu (216 cm) a jedné části niti (12 cm):
$216 - 12 = 204$ cm.

Výsledek

Provaz je o 204 cm delší než jedna část niti.
Správná je možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Podél řeky byl z dlouhých a krátkých tyček postaven plot jako na obrázku.
Některé tyčky plotu slouží jako opěry. Každá opěra je sestavena ze dvou dlouhých tyček, které jsou opatřeny patkami.
Plot začíná i končí opěrou a opěry se v plotu pravidelně opakují. Mezi každými dvěma sousedními opěrami jsou už jen svislé tyčky bez patek, a to vždy tři dlouhé a čtyři krátké.
Všech dlouhých tyček (s patkami i bez patek) je v celém plotu o 80 více než krátkých.

Kolik patek bylo použito na stavbu celého plotu?

A) 156 patek
D) 162 patek
B) 158 patek
E) jiný počet patek
C) 160 patek

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza složení plotu

Z textu a obrázku víme, že plot se skládá z pravidelně se opakujících částí. Každá opěra (tvar obráceného V) je tvořena dvěma dlouhými tyčkami s patkami. Mezi každými dvěma opěrami je pak úsek se 3 dlouhými tyčkami (bez patek) a 4 krátkými tyčkami.

Rozdíl v počtu tyček v jednom úseku

Vezmeme-li jednu opěru a úsek tyček za ní, dostaneme jednu opakující se část plotu. V této části jsou:

Dlouhé tyčky: 2 (v opěře) + 3 (v úseku) = 5 dlouhých tyček
Krátké tyčky: 4 krátké tyčky

V každé takové části je tedy o jednu dlouhou tyčku více než krátkých ($5 - 4 = 1$).

Výpočet počtu opěr

Plot začíná i končí opěrou. Celý plot si tedy můžeme představit jako řadu opakujících se částí (opěra + úsek za ní) a jednu samostatnou opěru na úplném konci.

Poslední opěra obsahuje 2 dlouhé tyčky a žádnou krátkou (rozdíl je 2 dlouhé tyčky).
Celkový rozdíl v plotu je 80 dlouhých tyček.
Na opakující se části tedy zbývá rozdíl 78 tyček ($80 - 2 = 78$).

Protože v každé části je rozdíl přesně 1 tyčka, musí být těchto částí v plotu 78. Celkový počet opěr je tedy $78 + 1 = 79$ opěr.

Celkový počet patek

Každá opěra je tvořena dvěma dlouhými tyčkami, z nichž každá má jednu patku. Na jednu opěru tedy připadají 2 patky. Celkový počet patek v plotu vypočítáme jako:

79 \times 2 = 158

Celkem bylo použito 158 patek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V nákresu se do prázdných kroužků doplňují čísla v souladu se všemi uvedenými výpočty.(Ve vzorovém nákresu patří do silně ohraničeného kroužku číslo 12.)

Přiřaďte k nákresu číslo (A–F), které patří do silně ohraničeného kroužku.

A) číslo menší než 30
D) 32
B) 30
E) 33
C) 31
F) číslo větší než 33

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor schématu

Podle vzoru v zadání zjistíme, jak schéma funguje. První kroužek vlevo obsahuje základní číslo. Šipky, které z něj vedou, nám říkají, co máme přičíst nebo odečíst, abychom dostali čísla v dalších kroužcích. Číslo v silně ohraničeném kroužku je pak součtem druhého a třetího čísla (mezi kterými je znaménko plus).

Krok 2: Určení prvního čísla

V našem schématu vidíme, že ze spodní části prvního kroužku vede šipka s popiskem +6 do třetího kroužku, ve kterém je číslo 18. Musíme tedy najít číslo, ke kterému když přičteme 6, dostaneme 18:
$18 - 6 = 12$
První číslo v nákresu je tedy 12.

Krok 3: Výpočet druhého čísla

Z prvního kroužku (kde už víme, že je číslo 12) vede horní šipka s popiskem -1 do druhého kroužku. Druhé číslo vypočítáme takto:
$12 - 1 = 11$
Ve druhém kroužku je tedy číslo 11.

Krok 4: Výpočet výsledného čísla

Nyní už známe druhé i třetí číslo (11 a 18). Mezi těmito kroužky je znaménko +, které nás vede do silně ohraničeného kroužku. Výsledné číslo je tedy jejich součet:
$11 + 18 = 29$

Krok 5: Výběr správné možnosti

Vypočítali jsme, že do silně ohraničeného kroužku patří číslo 29. Porovnáme ho s nabízenými možnostmi:
Číslo 29 je menší než 30, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V nákresu se do prázdných kroužků doplňují čísla v souladu se všemi uvedenými výpočty.(Ve vzorovém nákresu patří do silně ohraničeného kroužku číslo 12.)

Přiřaďte k nákresu číslo (A–F), které patří do silně ohraničeného kroužku.

A) číslo menší než 30
D) 32
B) 30
E) 33
C) 31
F) číslo větší než 33

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor schématu

Celé schéma se skládá ze dvou stejných bloků. V každém bloku vycházíme z počátečního čísla, ze kterého vedou dvě šipky: horní přičte 3 (dostaneme horní kroužek) a dolní odečte 2 (dostaneme dolní kroužek). Součet těchto dvou kroužků pak tvoří počáteční číslo pro další blok.

Krok 2: Určení začátku druhého bloku

U druhého bloku známe číslo v horním kroužku, což je 64. Protože do tohoto kroužku vede šipka s popiskem +3, počáteční číslo druhého bloku vypočítáme zpětně:
$64 - 3 = 61$
Druhý blok tedy začíná číslem 61.

Krok 3: Výpočet počátku prvního bloku

Číslo 61, které je na začátku druhého bloku, vzniklo jako součet horního a dolního kroužku prvního bloku. Označíme-li počáteční číslo prvního bloku jako $x$, pak:
Horní kroužek = $x + 3$
Dolní kroužek = $x - 2$
Jejich součet je: $(x + 3) + (x - 2) = 2x + 1$

Krok 4: Nalezení neznámé

Nyní vyřešíme rovnici pro součet:
$2x + 1 = 61$
$2x = 60$
$x = 30$
První kroužek celého nákresu tedy obsahuje číslo 30.

Krok 5: Určení čísla v silně ohraničeném kroužku

Otázka se ptá na číslo v silně ohraničeném kroužku. V tomto nákresu je silně ohraničený horní kroužek prvního bloku. Vypočítáme jeho hodnotu:
$30 + 3 = 33$

Krok 6: Výběr správné možnosti

Vypočítali jsme, že hledané číslo je 33. To přesně odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

V nákresu se do prázdných kroužků doplňují čísla v souladu se všemi uvedenými výpočty(Ve vzorovém nákresu patří do silně ohraničeného kroužku číslo 12.)

Přiřaďte k nákresu číslo (A–F), které patří do silně ohraničeného kroužku.

A) číslo menší než 30
D) 32
B) 30
E) 33
C) 31
F) číslo větší než 33

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Jak schéma funguje

Podle vzoru vidíme, že z jednoho čísla vytvoříme dvě nová (jedno horní cestou a jedno dolní cestou). Tato dvě čísla pak sečteme a získáme další číslo v řadě.

V našem případě se v obou částech schématu od prvního čísla odečítá 3 (horní cesta) a 5 (dolní cesta).

Krok 2: Výpočet prostředního čísla

Budeme postupovat pozpátku od konce schématu, kde je číslo 120. Toto číslo vzniklo součtem dvou čísel z druhé části.

Pokud si prostřední číslo představíme jako neznámé, horní cesta je o 3 menší a dolní o 5 menší. Jejich součet je tedy o 8 menší než dvojnásobek prostředního čísla: $2 \times \text{prostřední číslo} - 8 = 120$ $2 \times \text{prostřední číslo} = 128$ Prostřední číslo je $128 : 2 = 64$.

Krok 3: Výpočet počátečního čísla

Stejným způsobem zjistíme počáteční číslo. Součet horní a dolní cesty v první části musí být 64 (to je naše vypočítané prostřední číslo): $2 \times \text{počáteční číslo} - 8 = 64$ $2 \times \text{počáteční číslo} = 72$ Počáteční číslo je $72 : 2 = 36$.

Krok 4: Číslo v silně ohraničeném kroužku

Silně ohraničený kroužek se nachází v dolní cestě první části schématu. Od počátečního čísla (36) tedy musíme odečíst 5: $36 - 5 = 31$

Krok 5: Výsledek

V silně ohraničeném kroužku je číslo 31. To odpovídá možnosti C.

Správná odpověď je C.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …

Určete, na kolikátém místě nové řady je číslo 100.

Zobrazit odpověď

133

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní řada

V řadě po sobě jdoucích čísel (1, 2, 3, 4, 5, ...) odpovídá pořadové místo přímo danému číslu. Číslo 100 by tedy v běžné řadě bylo na 100. místě.

Počet přidaných čísel

V nové řadě ale přidáváme jedno číslo navíc za každé číslo dělitelné třemi. Musíme tedy zjistit, kolik takových čísel je v řadě od 1 do 100. Jsou to násobky tří: 3, 6, 9, 12, ... až 99.

Výpočet násobků tří

Počet těchto čísel zjistíme vydělením: $99 \div 3 = 33$. Mezi čísly 1 až 99 je tedy celkem 33 čísel dělitelných třemi. Každé z nich se v nové řadě objeví jednou navíc.

Určení výsledného místa

K původnímu 100. místu musíme přičíst všech 33 čísel, která byla do řady vložena navíc před číslo 100:
$100 + 33 = 133$
Číslo 100 se samo neopakuje, protože není dělitelné třemi.

Závěr

Číslo 100 se v nové řadě nachází na 133. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Určete, které číslo je na 100. místě nové řady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vypozorování pravidla

Všimneme si, že čísla v nové řadě tvoří skupiny po čtyřech. Každá trojice původních čísel (například 1, 2, 3) vytvoří v nové řadě čtveřici, protože číslo dělitelné třemi se zopakuje: 1, 2, 3, 3.

Konec čtveřic

Každá tato čtveřice končí opakováním čísla dělitelného třemi. První čtveřice končí číslem 3 (na 4. místě), druhá čtveřice končí číslem 6 (na 8. místě), třetí číslem 9 (na 12. místě) a tak dále.

Výpočet počtu skupin

Hledáme číslo na 100. místě. Protože $100 : 4 = 25$, v nové řadě bude do 100. místa přesně 25 takových čtveřic.

Určení 100. místa

Poslední číslo 25. čtveřice bude právě na 100. místě. Toto číslo zjistíme tak, že vynásobíme $25 \cdot 3 = 75$. Celá 25. čtveřice tedy vypadá takto: 73, 74, 75, 75.

Výsledek

Na 100. místě nové řady je číslo 75.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Určete, na kolika místech nové řady je mezi čísly 1 až 101 uvedeno sudé číslo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo řady

V nové řadě se každé číslo dělitelné třemi (tedy 3, 6, 9, 12, ...) vyskytuje dvakrát. Všechna ostatní čísla, která nejsou dělitelná třemi, se v řadě vyskytují pouze jednou.

Sudá čísla do 101

Zajímají nás sudá čísla, která mají hodnotu od 1 do 101. Jsou to čísla 2, 4, 6, 8, ..., 100. Protože je to každé druhé číslo v řadě do 100, je jich celkem 50 (vypočítáme jako $100 : 2 = 50$).

Sudá čísla dělitelná třemi

Některá z těchto 50 sudých čísel jsou zároveň dělitelná třemi. Taková čísla jsou násobky šesti ($2 \cdot 3 = 6$). Jsou to čísla 6, 12, 18, ..., 96. Jejich počet zjistíme dělením: $96 : 6 = 16$. Máme tedy 16 sudých čísel, která se v nové řadě opakují.

Celkový počet výskytů

Každé z 50 sudých čísel se v řadě vyskytuje aspoň jednou. Těch 16 čísel, která jsou násobky šesti, je tam ale uvedeno ještě jednou navíc. Celkový počet míst se sudým číslem tedy vypočítáme jako $50 + 16 = 66$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body