Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2021

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 576+384 \right) \div \left( 48 \div 4 \right) =$

Zobrazit odpověď

80

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součet v první závorce

Nejdříve vypočítáme součet v první závorce:
$576 + 384 = 960$

Dělení v druhé závorce

Potom vypočítáme podíl ve druhé závorce:
$48 : 4 = 12$

Celkový výsledek

Nakonec vydělíme výsledek z první závorky výsledkem ze druhé závorky:
$960 : 12 = \mathbf{80}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 980+20 \cdot \left( 130 + 2 \cdot 70 - 60 \right) =$

Zobrazit odpověď

5 180

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Při výpočtu v závorce musíme nejdříve provést násobení:
2 · 70 = 140

Výpočet v závorce

Nyní v závorce sečteme a odečteme čísla:
130 + 140 - 60 = 270 - 60 = 210

Násobení mimo závorku

Podle pravidel o přednosti operací má násobení přednost před sčítáním. Výsledek závorky tedy vynásobíme dvaceti:
20 · 210 = 4200

Celkový výsledek

Nakonec k číslu 980 přičteme výsledek násobení:
980 + 4200 = 5180

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Když neznámé číslo vynásobíme třemi, dostaneme stejné číslo, jako když vydělíme třemi číslo 234.

Určete neznámé číslo.

Zobrazit odpověď

26

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení čísla 234

Nejdříve zjistíme, jaké číslo dostaneme, když vydělíme číslo 234 třemi. Počítáme tedy:
234 : 3 = 78
(Pomůžeme si rozkladem: $210 : 3 = 70$ a $24 : 3 = 8$, dohromady $78$.)

Hledání neznámého čísla

Víme, že když neznámé číslo vynásobíme třemi, dostaneme výsledek 78. Abychom našli původní neznámé číslo, musíme udělat opačnou operaci – tedy výsledek 78 vydělit třemi:
78 : 3 = 26
(Rozkladem: $60 : 3 = 20$ a $18 : 3 = 6$.)

Výsledek

Neznámé číslo je 26.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Dědeček přivezl na trh plný kbelík borůvek a ráno z nich jednu šestinu prodal. Když odpoledne prodal dalších 12 litrů borůvek, ještě mu jedna šestina kbelíku borůvek zbyla.

Vypočtěte, kolik litrů borůvek zbylo v kbelíku.

Zobrazit odpověď

3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Prodáno a zbylo

Dědeček ráno prodal $1/6$ kbelíku a na konci mu $1/6$ kbelíku zbyla. Když tyto dvě části sečteme, dostaneme: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$ Dohromady ranní prodej a konečný zbytek tvoří $2/6$ kbelíku.

Odpolední prodej

Celý kbelík si můžeme představit jako $6/6$. Odpoledne dědeček prodal zbytek borůvek (kromě toho, co zbulo na konci). Část prodaná odpoledne tedy odpovídá: $\frac{6}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6}$ Víme, že odpoledne prodal přesně 12 litrů. Těchto 12 litrů tedy představuje $4/6$ kbelíku.

Výpočet jedné šestiny

Pokud $4/6$ kbelíku je 12 litrů, pak $1/6$ kbelíku vypočítáme tak, že 12 litrů rozdělíme na 4 stejné díly: $12 \div 4 = 3\text{ litry}$

Konečný zbytek

V zadání se píše, že dědečkovi nakonec zbyla právě $1/6$ kbelíku borůvek. Protože jsme vypočítali, že $1/6$ jsou 3 litry, v kbelíku zbyly 3 litry borůvek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Vypočtěte výsledný čas vítěze závodu (v minutách a sekundách).

Zobrazit odpověď

21:50 minut

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tabulky

V tabulce máme uvedeny časy startu a cíle (nebo už přímo výsledné časy) pro 6 závodníků. Abychom určili vítěze, musíme znát výsledný čas každého z nich. Výsledný čas vypočítáme tak, že od času v cíli odečteme čas startu.

Výpočet chybějících výsledných časů

U některých závodníků výsledný čas v tabulce chybí, proto ho musíme dopočítat:

Závodník B: Start 9:20:30, cíl 9:43:05.
9:43:05 − 9:20:30 = 22 min 35 s
Závodník D: Start 9:21:30, cíl 9:43:20.
9:43:20 − 9:21:30 = 21 min 50 s

Ostatní výsledné časy jsou v tabulce již uvedeny nebo je pro porovnání nepotřebujeme dopočítávat (závodníci E a F mají časy přes 22 minut).

Porovnání výsledků a určení vítěze

Nyní porovnáme všechny výsledné časy (v minutách a sekundách):

A: 23:15
B: 22:35
C: 22:25
D: 21:50
E: 23:05
F: 22:30

Nejkratší čas ze všech je 21 minut a 50 sekund.

Závěr

Vítězem závodu je závodník D s výsledným časem 21 minut 50 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Určete, na kolikátém místě se umístil závodník, který proběhl cílem jako první.

Zobrazit odpověď

4

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kdo doběhl první do cíle?

Podíváme se do tabulky na „Čas v cíli“. Musíme zjistit chybějící časy u závodníků E a F, abychom měli jistotu.
Závodník E: start v 9:22:00 + výsledný čas 0:23:05 = cíl v 9:45:05.
Závodník F: start v 9:22:30 + výsledný čas 0:22:30 = cíl v 9:45:00.
Porovnáme všechny časy v cíli:

A: 9:43:15
B: 9:43:05
C: 9:43:25
D: 9:43:20
E: 9:45:05
F: 9:45:00

Jako první protnul cílovou pásku závodník B (v čase 9:43:05).

Výsledný čas závodníka B

Abychom určili jeho umístění, potřebujeme znát jeho výsledný čas (dobu strávenou na trati). Ten vypočítáme jako rozdíl času v cíli a času startu:
9:43:05 – 9:20:30 = 22 minut 35 sekund.

Pořadí všech závodníků

Nyní porovnáme výsledné časy všech šesti závodníků od nejkratšího po nejdelší (včetně dopočítaného času pro závodníka D: 9:43:20 – 9:21:30 = 21:50):

D (21:50)
C (22:25)
F (22:30)
B (22:35)
E (23:05)
A (23:15)

Závěr

Závodník B, který doběhl do cíle jako první, se podle výsledného času umístil na 4. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.3

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Uveďte písmena všech závodníků, kteří proběhli cílem později než závodník D.

Zobrazit odpověď

C, E, F

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění času závodníka D

Z tabulky přímo vyčteme, že závodník D doběhl do cíle v čase 9:43:20. S tímto údajem budeme porovnávat časy ostatních závodníků.

Porovnání známých časů v cíli

Podíváme se na ostatní závodníky, kteří mají v tabulce vyplněný čas v cíli:

Závodník A: 9:43:15 (dříve než D)
Závodník B: 9:43:05 (dříve než D)
Závodník C: 9:43:25 (později než D)

Výpočet chybějících časů v cíli

U závodníků E a F musíme čas v cíli dopočítat jako součet času startu a výsledného času:

Závodník E: 9:22:00 + 23 min 5 s = 9:45:05
Závodník F: 9:22:30 + 22 min 30 s = 9:45:00

Oba tito závodníci doběhli do cíle později než závodník D (v časech 9:45:05 a 9:45:00).

Shrnutí

Později než závodník D proběhli cílem závodníci C, E, F.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.1

V cukrárně mají zabaleno celkem 80 zákusků buď na táccích po 2 zákuscích, nebo v krabičkách po 3 zákuscích. Počet tácků se zákusky je o 10 větší než počet krabiček se zákusky.

Určete počet všech krabiček se zákusky.

Zobrazit odpověď

12

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zákusky na táccích navíc

Víme, že tácků je o 10 více než krabiček. Na každém tácku jsou 2 zákusky. Těchto 10 tácků navíc tedy obsahuje:
10 × 2 = 20 zákusků.

Zbytek zákusků k rozdělení

Když těchto 20 zákusků odečteme od celkového počtu, zbude nám k rozdělení:
80 − 20 = 60 zákusků.

Počet dvojic tácek a krabička

Těchto 60 zákusků je rozděleno do stejného počtu tácků a krabiček. V jedné dvojici (jeden tácek se 2 zákusky a jedna krabička se 3 zákusky) je dohromady:
2 + 3 = 5 zákusků.

Výpočet počtu krabiček

Počet takových dvojic (a tedy i počet krabiček) zjistíme vydělením:
60 ÷ 5 = 12.

Závěr

V cukrárně mají celkem 12 krabiček se zákusky.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

V cukrárně mají zabaleno celkem 80 zákusků buď na táccích po 2 zákuscích, nebo v krabičkách po 3 zákuscích. Počet tácků se zákusky je o 10 větší než počet krabiček se zákusky.

Určete celkový počet zákusků na táccích.

Zobrazit odpověď

44

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zákusky na táccích navíc

Víme, že tácků je o 10 více než krabiček. Nejdříve spočítáme, kolik zákusků je na těchto 10 táccích navíc. Protože na každém tácku jsou 2 zákusky, je to $10 \cdot 2 = 20$ zákusků.

Zákusky v sadách

Když těchto 20 zákusků odečteme od celkového počtu, zbude nám $80 - 20 = 60$ zákusků. Pro tyto zbývající zákusky už platí, že počet tácků a krabiček je stejný. Můžeme si je představit v sadách, kde v každé sadě je jeden tácek (2 zákusky) a jedna krabička (3 zákusky). V jedné takové sadě je tedy $2 + 3 = 5$ zákusků.

Počet krabiček a tácků

Počet těchto sad zjistíme dělením: $60 : 5 = 12$. Máme tedy 12 krabiček a 12 tácků (plus těch 10 tácků, které jsme si dali stranou na začátku). Celkem je tedy $12 + 10 = 22$ tácků.

Celkový počet zákusků na táccích

Celkový počet zákusků na táccích vypočítáme tak, že vynásobíme počet tácků počtem zákusků na jednom tácku: $22 \cdot 2 = 44$. Na táccích je celkem 44 zákusků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Na pódiu má tančit stejný počet chlapců a dívek. Při tanci všichni tančící vytvoří několik velkých a několik malých kroužků. V každém velkém kroužku bude sedm chlapců a jedna dívka, v každém malém kroužku budou čtyři dívky.

Určete nejmenší možný počet všech tančících (chlapců i dívek) na pódiu.

Zobrazit odpověď

28

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení kroužků

Ve velkém kroužku je 7 chlapců a 1 dívka. V malém kroužku jsou 4 dívky a žádný chlapec. Celkový počet chlapců a dívek na pódiu musí být stejný.

Rozdíl mezi chlapci a dívkami

V každém velkém kroužku je o 6 chlapců více než dívek ($7 - 1 = 6$). Aby byl celkový počet chlapců i dívek stejný, musíme tento rozdíl vyrovnat pomocí dívek v malých kroužcích.

Hledání nejmenšího počtu

Jeden malý kroužek nám „přidá“ 4 dívky (a žádného chlapce). Potřebujeme, aby celkový počet chlapců „navíc“ z velkých kroužků byl dělitelný 4 (počtem dívek v malém kroužku).

Pro 1 velký kroužek je rozdíl 6 (není dělitelné 4).
Pro 2 velké kroužky je rozdíl $2 \cdot 6 = 12$. Tento rozdíl lze vyrovnat pomocí $12 \div 4 = 3$ malých kroužků.

Výpočet všech tančících

Při 2 velkých a 3 malých kroužcích máme:

Chlapci: $2 \cdot 7 = 14$
Dívky: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$

Obou skupin je stejně, podmínka je splněna. Všech tančících je dohromady $14 + 14 = 28$.

Závěr

Nejmenší možný počet všech tančících na pódiu je 28.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Na pódiu má tančit stejný počet chlapců a dívek. Při tanci všichni tančící vytvoří několik velkých a několik malých kroužků. V každém velkém kroužku bude sedm chlapců a jedna dívka, v každém malém kroužku budou čtyři dívky.

Určete nejmenší možný počet malých kroužků.

Zobrazit odpověď

3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr chlapců a dívek

Víme, že celkový počet chlapců a dívek na pódiu musí být stejný. Chlapci jsou pouze ve velkých kroužcích (v každém je jich 7). Dívky jsou jak ve velkých kroužcích (v každém je 1), tak v malých kroužcích (v každém jsou 4).

Zkoušení počtu velkých kroužků

Budeme postupně zkoušet počet velkých kroužků a dopočítáme, kolik dívek by muselo být v malých kroužcích:

Pokud by byl 1 velký kroužek: Chlapců je 7. Dívka je v něm 1. Do stejného počtu s chlapci zbývá 6 dívek ($7 - 1 = 6$). Ty se ale nedají rozdělit do malých kroužků po čtyřech.
Pokud budou 2 velké kroužky: Chlapců je $2 \cdot 7 = 14$. Dívek ve velkých kroužcích jsou 2. Do stejného počtu s chlapci zbývá 12 dívek ($14 - 2 = 12$).

Výpočet malých kroužků

Těchto 12 dívek rozdělíme do malých kroužků po čtyřech: $12 : 4 = 3$. Pro 2 velké kroužky tedy potřebujeme 3 malé kroužky.

Závěr

Při 2 velkých a 3 malých kroužcích je počet chlapců i dívek stejný (14). To je nejmenší možná varianta, která vyhovuje zadání. Nejmenší možný počet malých kroužků je 3.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.(Čtverec o straně délky 6 cm má obsah 36 cm².)

Vypočtěte v cm obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

54 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor plochy a dílků

Obrazec A vznikl ze dvou čtverců o straně 6 cm. Obsah jednoho takového čtverce je $36 \text{ cm}^2$ ($6 \times 6$), takže celkový obsah obrazce je $72 \text{ cm}^2$ ($2 \times 36$).
Z nákresu referenčního čtverce vidíme, že se skládá ze čtyř menších čtverečků o straně 3 cm. Každý malý čtvereček má obsah $9 \text{ cm}^2$ ($3 \times 3$). Celý obrazec A je tedy poskládán z 8 takových malých čtverečků ($72 : 9 = 8$).

Popis tvaru obrazce

Obrazec A má 4 schody (řady). Protože se skládá z 8 čtverečků, v každé řadě jsou právě 2 čtverečky. Šířka každé řady je tedy 6 cm.
Schody jsou pravidelně posunuté tak, aby strany měly jen dvě různé délky. To znamená, že každý schod je oproti předchozímu posunut o přesně jeden malý čtvereček (3 cm). Strany obrazce pak tvoří úsečky o délkách 3 cm a 6 cm.

Výpočet obvodu

Obvod zjistíme sečtením všech vnějších stran obrazce:

Horní vodorovná strana: 6 cm
Pravá „zubatá“ strana: skládá se ze 7 úseků o délce 3 cm, celkem tedy $7 \times 3 = 21$ cm.
Dolní vodorovná strana: 6 cm
Levá „zubatá“ strana: skládá se rovněž ze 7 úseků o délce 3 cm, celkem tedy $7 \times 3 = 21$ cm.

Celkový obvod obrazce A je: $6 + 21 + 6 + 21 = \mathbf{54 \text{ cm}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.(Čtverec o straně délky 6 cm má obsah 36 cm².)

Vypočtěte, kolik cm měří nejdelší svislá strana obrazce B.

Zobrazit odpověď

8

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor dílků a obsahu

Obrazec B je sestaven ze dvou shodných čtverců o straně 6 cm. Obsah jednoho čtverce je $6 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$, takže celkový obsah obrazce B je $72 \text{ cm}^2$. Podle nákresu je druhý čtverec rozdělen na několik částí: tři kvadranty (čtverce $3 \times 3 \text{ cm}$) jsou rozděleny úhlopříčkou na dva trojúhelníky a jeden kvadrant je rozdělen na 8 ještě menších shodných trojúhelníků s odvěsnami o délce $1{,}5 \text{ cm}$.

Vlastnosti stran obrazce

V zadání je uvedeno, že strany (úsečky po obvodu) obrazce mají pouze dvě různé délky. U obrazce B, který využívá i menší dílky, jsou těmito dvěma délkami délka odvěsny a délka přepony (úhlopříčky) malého trojúhelníku. Aby obrazec tvořil 'schodovitý' útvar a zároveň splňoval podmínku dvou délek, musí být jeho svislé a vodorovné strany složeny z násobků základní délky $1{,}5 \text{ cm}$.

Určení nejdelší svislé strany

Z nákresu obrazce B vidíme, že se jedná o útvar s jednou dlouhou úhlopříčnou stranou a 'zubatým' (schodovitým) okrajem. Nejdelší svislá strana je u obrazce B vyznačena svorkou na pravém okraji. Tato strana odpovídá součtu tří odvěsen malých trojúhelníků (nebo jedné odvěsně většího a jedné menšího trojúhelníku), což dohromady tvoří úsečku o délce $3 \text{ cm} + 1{,}5 \text{ cm} = 4{,}5 \text{ cm}$.

Závěr

Nejdelší svislá strana obrazce B měří $4{,}5 \text{ cm}$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.(Čtverec o straně délky 6 cm má obsah 36 cm².)

Určete, o kolik cm² se liší obsahy obrazců A, B

Zobrazit odpověď

0

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

V zadání je nejdůležitější informace, že na vytvoření každého obrazce (tedy obrazce A i obrazce B) použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. To znamená, že veškerá plocha těchto dvou čtverců tvoří výsledný obrazec.

Výpočet obsahu

Obsah jednoho čtverce o straně délky 6 cm je $6 \cdot 6 = 36 \text{ cm}^2$. Protože každý obrazec (A i B) je složen ze dvou takových čtverců, musí mít oba stejný celkový obsah:
$2 \cdot 36 = 72 \text{ cm}^2$.

Určení rozdílu

Protože mají oba obrazce stejný obsah (oba vznikly ze stejného množství materiálu), jejich obsahy se neliší. Rozdíl je tedy:
$72 - 72 = 0 \text{ cm}^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 7.1

V rovině leží body A, K, L. Bodem A prochází přímka p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Na přímce p leží ještě jeden vrchol tohoto obdélníku. Bod K leží uvnitř jedné strany obdélníku ABCD a bod L uvnitř sousední strany.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží lomená čára BCDEFG.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Vrchol A tohoto trojúhelníku leží na lomené čáře BCDEFG. Délka strany AC je stejná jako délka úsečky EF.

Sestrojte vrchol A trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V počítačové hře jsou tři znaky (hvězdička, kolečko a čtvereček). Jedna hvězdička má hodnotu tří koleček. Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu dvou hvězdiček.

Rozhodněte o následující rovnosti, zda platí (A), či nikoli (N).

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu dílků pro jednotlivé znaky

Co udělat: Potřebujeme najít univerzální „dílek“, pomocí kterého vyjádříme hodnotu všech znaků. Za jeden dílek si zvolíme ten nejmenší znak – kolečko.
Překlad prvního pravidla: Z textu i obrázku víme, že 1 hvězdička se rovná 3 kolečkům. Hvězdička je tedy tvořena 3 dílky.
Překlad druhého pravidla: Z druhého obrázku víme, že čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu 2 hvězdiček. Víme už, že 1 hvězdička jsou 3 dílky. Dvě hvězdičky jsou tedy 2 * 3 = 6 dílků.
Výpočet pro čtvereček: Čtvereček spolu s jedním kolečkem (1 dílkem) mají hodnotu 6 dílků. Samotný čtvereček má proto hodnotu 6 – 1 = 5 dílků.

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Co udělat: Vyjádříme obě strany rovnosti ze zadání (hvězdička a dva čtverečky = čtyři hvězdičky) pomocí našich dílků (koleček).
Levá strana: Máme zde 1 hvězdičku (3 dílky) a 2 čtverečky (2 * 5 = 10 dílků). Dohromady to je 3 + 10 = 13 dílků.
Pravá strana: Máme zde 4 hvězdičky. Každá má hodnotu 3 dílků, celkem tedy 4 * 3 = 12 dílků.

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Porovnání: Levá strana rovnosti má hodnotu 13 dílků, zatímco pravá strana má hodnotu 12 dílků. Vidíme, že 13 a 12 se nerovnají.
Výsledek: Rovnost tedy neplatí (odpověď N).

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V počítačové hře jsou tři znaky (hvězdička, kolečko a čtvereček). Jedna hvězdička má hodnotu tří koleček. Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu dvou hvězdiček.

Rozhodněte o následující rovnosti, zda platí (A), či nikoli (N).

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení základního dílku

Co udělat: Vybereme si jeden znak jako náš základní "dílek", pomocí kterého vyjádříme ostatní znaky. V této úloze je nejvýhodnější zvolit si jako dílek kolečko.
Co víme: Ze zadání (a z prvního obrázku) přímo vidíme, že 1 hvězdička = 3 kolečka. Hvězdička se tedy skládá ze 3 dílků.

Krok 2: Překlad zbytku úlohy do „jazyka dílků“

Co udělat: Nyní zjistíme, kolik dílků (koleček) tvoří čtvereček. K tomu využijeme druhou informaci ze zadání.
Co víme: Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu 2 hvězdiček.
Překlad: Podíváme se na to v dílcích. Víme, že 1 hvězdička má hodnotu 3 koleček, takže 2 hvězdičky mají hodnotu $2 \cdot 3 = 6$ koleček. Rovnost ze zadání si tak můžeme přepsat jako: 1 čtvereček + 1 kolečko = 6 koleček.
Výsledek: Aby to platilo, samotný čtvereček musí mít hodnotu $6 - 1 = 5$ koleček (dílků).

Krok 3: Ověření zadané rovnosti

Co hledáme: Máme rozhodnout, zda platí rovnost na druhém obrázku: 5 hvězdiček = 3 čtverečky.
Výpočet: Obě strany si vyjádříme v našich základních dílcích (kolečkách).
- Levá strana: 5 hvězdiček. Protože 1 hvězdička jsou 3 kolečka, je to celkem $5 \cdot 3 = 15$ koleček.
- Pravá strana: 3 čtverečky. Protože 1 čtvereček je 5 koleček, je to celkem $3 \cdot 5 = 15$ koleček.
Závěr: Zjistili jsme, že $15 = 15$. Levá i pravá strana mají stejnou hodnotu (15 koleček), takže zadaná rovnost platí.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V počítačové hře jsou tři znaky (hvězdička, kolečko a čtvereček). Jedna hvězdička má hodnotu tří koleček. Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu dvou hvězdiček.

Rozhodněte o následující rovnosti, zda platí (A), či nikoli (N)

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu dílků pro každý znak

Co udělat: Zvolíme si nejmenší znak jako jeden univerzální „dílek“. V našem případě to bude kolečko. Tedy 1 kolečko = 1 dílek.
Hodnota hvězdičky: Z prvního řádku víme, že 1 hvězdička má hodnotu 3 koleček. Hvězdička má tedy hodnotu 3 dílků.
Hodnota čtverečku: Z druhého řádku víme, že 1 čtvereček a 1 kolečko mají dohromady hodnotu 2 hvězdiček. Dvě hvězdičky mají hodnotu 2 * 3 = 6 dílků. Na čtvereček a 1 kolečko (1 dílek) tedy připadá 6 dílků. Samotný čtvereček má proto hodnotu 6 – 1 = 5 dílků.

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Co udělat: Vyjádříme levou i pravou stranu zkoumané rovnosti pomocí dílků.
Levá strana: Máme 2 hvězdičky a 1 kolečko. To je (2 * 3) + 1 = 6 + 1 = 7 dílků.
Pravá strana: Máme 1 čtvereček a 1 hvězdičku. To je 5 + 3 = 8 dílků.

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Porovnání: Levá strana má hodnotu 7 dílků, pravá strana má hodnotu 8 dílků. Tyto hodnoty se nerovnají (7 se nerovná 8).
Výsledek: Uvedená rovnost neplatí.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Panáček se rozloží na 6 dílků – čepici, hlavu, každou ruku zvlášť, trup a nohy. Tabulka udává, jakou část hmotnosti panáčka tvoří jednotlivé dílky. (Např. nohy váží 72 gramů a tvoří jednu třetinu hmotnosti panáčka.)

O kolik gramů je trup panáčka těžší než čepice?

A) o méně než 18 gramů
D) o 36 gramů
B) o 18 gramů
E) o 54 gramů
C) o 27 gramů

Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet celkové hmotnosti

Z tabulky vyčteme, že nohy tvoří 1/3 hmotnosti panáčka a váží 72 g. Abychom zjistili celkovou hmotnost celého panáčka, musíme tuto hodnotu vynásobit třemi:
$72 \cdot 3 = 216\text{ g}$

Krok 2: Hmotnost čepice

Čepice tvoří 1/12 celkové hmotnosti. Vydělíme tedy celkovou hmotnost dvanácti:
$216 : 12 = 18\text{ g}$

Krok 3: Hmotnost trupu

Trup tvoří 1/4 celkové hmotnosti. Celkovou hmotnost tedy vydělíme čtyřmi:
$216 : 4 = 54\text{ g}$

Krok 4: Porovnání hmotností

Otázka zní, o kolik gramů je trup těžší než čepice. Odečteme hmotnost čepice od hmotnosti trupu:
$54 - 18 =

36\text{ g}

$
Trup je o 36 gramů těžší než čepice, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Karla, Zora a Olda postupně zametli 1 km dlouhý chodník. První část chodníku zametla Karla, Zora pak zametla dvakrát delší část než Karla a Olda zametl ještě o 100 metrů delší část chodníku než Zora. (Každou část chodníku zametala pouze jedna osoba.)

Kolik metrů chodníku zametl Olda?

A) 460 metrů
D) 550 metrů
B) 500 metrů
E) jiný počet metrů
C) 540 metrů

Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na metry

Celková délka chodníku je 1 km. Protože ostatní údaje v zadání i výsledky v možnostech jsou v metrech, převedeme si délku na metry:
1 km = 1000 m

Znázornění pomocí dílků

Části chodníku, které zametli jednotliví lidé, si můžeme představit jako dílky:

Karla zametla 1 dílek.
Zora zametla dvakrát více než Karla, tedy 2 dílky.
Olda zametl o 100 metrů více než Zora, tedy 2 dílky + 100 metrů.

Výpočet jednoho dílku

Dohromady všichni tři zametli 1000 metrů. Pokud od celkové délky odečteme těch 100 metrů, které zametl Olda navíc, zbude nám délka odpovídající 5 stejným dílkům (1 + 2 + 2 = 5):
1000 − 100 = 900 m
Jeden dílek vypočítáme tak, že 900 metrů rozdělíme na 5 stejných částí:
900 : 5 = 180 m

Oldova část

Zora zametla 2 dílky, tedy 2 · 180 = 360 metrů. Olda zametl o 100 metrů více než Zora:
360 + 100 = 460 metrů.
Olda zametl 460 metrů chodníku, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Stejná trička a stejné mikiny se prodávaly ve 3 různých obchodech (A–C) za různé ceny.Tričko se v obchodě C prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. V obchodě B utržili za prodaná trička dohromady tolik korun jako za prodané mikiny.

Kolik korun utržili v obchodě C za všechna prodaná trička?

A) 960 Kč
D) 1740 Kč
B) 1050 Kč
E) více než 1740 Kč
C) 1260 Kč

Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza obchodu A

Z grafu vyčteme, že v obchodě A se prodalo celkem 16 kusů oblečení, z čehož bylo 12 mikin (bílý sloupec). Počet prodaných triček v obchodě A je tedy:
16 - 12 = 4 trička
V tabulce vidíme, že celková tržba za trička v obchodě A byla 1000 Kč. Cenu za jedno tričko vypočítáme jako:
1000 : 4 = 250 Kč

Krok 2: Cena trička v obchodě C

V zadání se píše, že v obchodě C se tričko prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. Cenu za jedno tričko v obchodě C tedy zjistíme odečtením:
250 - 40 = 210 Kč

Krok 3: Tržba za trička v obchodě C

Z grafu zjistíme počet prodaných triček v obchodě C. Celý sloupec končí na hodnotě 26 (půlka dílku mezi 24 a 28) a mikiny (bílý sloupec) končí na 20. Počet triček je:
26 - 20 = 6 triček
Nyní vypočítáme celkovou tržbu za trička v obchodě C:
6 · 210 = 1260 Kč

Závěr

V obchodě C utržili za všechna prodaná trička 1260 Kč. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Stejná trička a stejné mikiny se prodávaly ve 3 různých obchodech (A–C) za různé ceny.Tričko se v obchodě C prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. V obchodě B utržili za prodaná trička dohromady tolik korun jako za prodané mikiny.

O kolik korun se lišila cena jedné mikiny v obchodech B a C?

A) o 20 Kč
D) o 90 Kč
B) o 40 Kč
E) ceny se nelišily
C) o 60 Kč

Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty kusů z grafu

Z grafu zjistíme počty prodaných triček a mikin. Musíme si dát pozor na to, že šedá část (trička) navazuje na bílou část (mikiny).

Obchod B: Celý sloupec končí na hodnotě 30, bílá část (mikiny) končí na 10. Triček je tedy $30 - 10 = 20$ kusů a mikin je 10 kusů.
Obchod C: Celý sloupec končí na hodnotě 26, bílá část (mikiny) končí na 20. Triček je tedy $26 - 20 = 6$ kusů a mikin je 20 kusů.

Cena mikiny v obchodě B

V tabulce vidíme, že jedno tričko v obchodě B stálo 180 Kč. Prodalo se jich 20, takže celková tržba za trička v tomto obchodě byla: $20 \times 180 = 3\,600$ Kč Podle zadání utržili v obchodě B za trička i za mikiny stejně. Za mikiny tedy také utržili 3 600 Kč. Protože se jich prodalo 10, jedna mikina stála: $3\,600 : 10 = 360$ Kč

Cena mikiny v obchodě C

Z tabulky vyčteme, že v obchodě C utržili za mikiny celkem 7 200 Kč. Z grafu už víme, že v tomto obchodě prodali 20 mikin. Cenu za jednu mikinu vypočítáme vydělením: $7\,200 : 20 = 360$ Kč

Porovnání cen a výsledek

Cena jedné mikiny v obchodě B byla 360 Kč a v obchodě C byla také 360 Kč. Rozdíl v jejich cenách je tedy nulový ($360 - 360 = 0$ Kč).

Ceny se v obchodech B a C nelišily.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn. Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5. Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.

Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.

Jaký je součet všech zapsaných čísel 5 (pohled shora)?

A) 30
D) 38
B) 33
E) 39
C) 34
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidla pro zápis čísel

Ze zadání víme, že číslo 5 se píše na všechny stěny, které jsou viditelné při pohledu shora. Každý sloupec krychliček ve stavbě má právě jednu horní stěnu, která je vidět shora. Celkový počet čísel 5 tedy odpovídá počtu sloupců (neboli „půdorysu“) stavby. Součet všech těchto čísel získáme tak, že počet sloupců vynásobíme číslem 5.

Analýza Václavovy stavby

Václav použil celkem 16 krychliček. Z popisu stavby určíme počet a výšky jednotlivých sloupců:

V zadní řadě jsou sloupce o výškách 5, 3 a 4 (celkem 12 krychliček).
V přední řadě je sloupec o výšce 2 (před sloupcem o výšce 3) a napravo od něj sloupec o výšce 1 (celkem 3 krychličky).

Dohromady jsme zatím napočítali $12 + 3 = 15$ krychliček. Protože Václav použil 16 krychliček, musí v jeho stavbě být ještě jeden sloupec o výšce 1 (například vedle mezer nebo v další pozici). Stavba se tedy skládá celkem ze 6 sloupců.

Výpočet součtu

Stavba má 6 sloupců, takže při pohledu shora uvidíme 6 horních stěn. Na každé z nich je napsané číslo 5. Součet všech čísel 5 vypočítáme jako: $6 \times 5 = 30$.

Závěr

Součet všech zapsaných čísel 5 je 30. Správná odpověď je tedy A.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn. Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5. Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.

Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.

Jaký je součet všech zapsaných čísel 3 (pohled zprava)?

A) 30
D) 38
B) 33
E) 39
C) 34
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip značení stěn

Při pohledu zprava se na každou viditelnou stěnu krychličky píše číslo 3. Celkový součet těchto čísel zjistíme tak, že spočítáme všechny stěny viditelné z pravé strany a tento počet vynásobíme třemi.

Rozbor řad stavby

Stavba je tvořena sloupci v několika řadách za sebou. Abychom zjistili počet stěn viditelných zprava, musíme v každé řadě najít nejvyšší sloupec. Ten totiž „překryje“ všechny nižší sloupce ve stejné řadě při pohledu ze strany.

Podle popisu má stavba tři úrovně hloubky:

Přední řada (popředí): Jsou zde sloupce o výšce 5 a 1. Nejvyšší sloupec má 5 krychlí, zprava tedy uvidíme 5 stěn.
Prostřední řada (mírně v pozadí): Je zde jeden sloupec o výšce 4. Zprava uvidíme 4 stěny.
Zadní řada (v pozadí): Jsou zde sloupce o výšce 3 a 4. Nejvyšší má 4 krychle, zprava tedy uvidíme opět 4 stěny.

Výpočet celkového počtu stěn

Sečteme viditelné stěny ze všech tří řad: $5 + 4 + 4 = 13$

Z pravé strany je tedy vidět celkem 13 stěn krychliček.

Výpočet výsledného součtu

Na každou ze 13 viditelných stěn Václav napsal číslo 3. Celkový součet všech čísel 3 je: $13 \cdot 3 = 39$

Správná odpověď je tedy 39 (možnost E).

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn. Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5. Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.

Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.

O kolik se liší součet všech zapsaných čísel 4 (pohled zleva) od součtu všech zapsaných čísel 1 (pohled zepředu)?

A) 30
D) 38
B) 33
E) 39
C) 34
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor stavby

Podle popisu si můžeme Václavovu stavbu představit jako několik sloupců na mřížce. Rozmístíme je tak, aby odpovídaly popisu:

Sloupce v první řadě (x=0): přední má výšku 5 a přímo za ním je sloupec o výšce 3.
Sloupce ve druhé řadě (x=1): jeden má výšku 2 a před ním leží na zemi 1 krychle (výška 1).
Další sloupce: úplně vpravo je sloupec o výšce 4 a mezi ním a dvoupatrovým sloupcem je jedna spojovací krychle (výška 1).

Celkem máme 16 krychliček (5+3+2+1+4+1 = 16).

Krok 1: Výpočet počtu stěn s číslem 1 (pohled zepředu)

Číslo 1 píšeme na stěny viditelné zepředu. Pro každý sloupec (v každém „sloupci“ mřížky zleva doprava) určíme maximální výšku, která je zepředu vidět:

Vlevo (x=0): vidíme přední sloupec o výšce 5 (ten zakryje třípatrový sloupec za ním).
Dále vpravo (x=1): vidíme jednopatrový sloupec a nad ním vykukuje horní část dvoupatrového sloupce. Celkem vidíme 2 stěny.
Uprostřed (x=2): vidíme 1 stěnu spojovací krychle.
Vpravo (x=3): vidíme 4 stěny nejpravějšího sloupce.

Celkový počet stěn s číslem 1 je: $5 + 2 + 1 + 4 = 12$. Součet všech čísel 1 je tedy $12 \times 1 = 12$.

Krok 2: Výpočet počtu stěn s číslem 4 (pohled zleva)

Číslo 4 píšeme na stěny viditelné zleva. Musíme určit, kolik stěn je vidět v každé řadě mřížky (od předu dozadu):

V přední řadě (y=0): nejvyšší sloupec má výšku 5. Ten zakryje všechny ostatní sloupce v této řadě (výšky 2, 1 a 4), které jsou od něj napravo.
V zadní řadě (y=1): je pouze jeden sloupec o výšce 3.
V úplně přední řadě (y=-1): je pouze jedna krychle o výšce 1.

Celkový počet stěn s číslem 4 je: $5 + 3 + 1 = 9$. Součet všech čísel 4 je tedy $9 \times 4 = 36$.

Krok 3: Výpočet rozdílu

Nyní porovnáme oba součty:

Součet čísel 4 (zleva) je 36.
Součet čísel 1 (zepředu) je 12.

Rozdíl je: $36 - 12 = 24$.

Závěr

Součet všech zapsaných čísel 4 se od součtu všech zapsaných čísel 1 liší o 24. V nabízených možnostech A–E tato hodnota není, proto volíme možnost F.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, kolik puntíků obsahuje jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce.

Zobrazit odpověď

19

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo pro délku strany

Ze zadání víme, že 2. obrazec má na jedné straně hraničního čtverce 3 puntíky. Každý následující obrazec má stranu o 2 puntíky delší.
Například 3. obrazec má $3 + 2 = 5$ puntíků, 4. obrazec má $5 + 2 = 7$ puntíků atd.

Výpočet pro 10. obrazec

Budeme postupně přičítat 2 puntíky, až se dostaneme k 10. obrazci:

2. obrazec: 3 puntíky
3. obrazec: 5 puntíků
4. obrazec: 7 puntíků
5. obrazec: 9 puntíků
6. obrazec: 11 puntíků
7. obrazec: 13 puntíků
8. obrazec: 15 puntíků
9. obrazec: 17 puntíků
10. obrazec: 19 puntíků

Závěr

Jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce obsahuje 19 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, o kolik se liší počty puntíků v 9. a 11. obrazci.

Zobrazit odpověď

80

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana hraničního čtverce

Nejprve určíme, kolik puntíků tvoří stranu hraničního čtverce u 11. obrazce. Podle pravidla má strana 2. obrazce 3 puntíky a u každého dalšího obrazce má vždy o 2 puntíky více. Můžeme si to vypsat:

2. obrazec: 3 puntíky
3. obrazec: 5 puntíků
4. obrazec: 7 puntíků
5. obrazec: 9 puntíků
...
11. obrazec: 21 puntíků (každý krok přidá 2, od druhého k jedenáctému je to 9 kroků, tedy $3 + 9 \times 2 = 21$)

Počet puntíků na obvodu

Vypočítáme, kolik puntíků tvoří samotný hraniční čtverec 11. obrazce. Čtverec má 4 strany po 21 puntících, ale rohy nesmíme počítat dvakrát (každý roh patří dvěma stranám): $21 + 21 + 19 + 19 = 80$ puntíků.

Rozdíl v počtu puntíků

V zadání je uvedeno, že uvnitř hraničního čtverce každého obrazce (počínaje třetím) vidíme celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší. To znamená, že 11. obrazec tvoří jeho hraniční čtverec a uvnitř něj je „schovaný“ celý 9. obrazec.

Rozdíl mezi 11. a 9. obrazcem je tedy přesně počet puntíků, které tvoří hraniční čtverec 11. obrazce, což je 80 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, u kolikátého obrazce se počty puntíků v okolních dvou obrazcích liší o 120.

(okolními rozumíme obrazec těsně před a těsně za hledaným obrazcem)

Zobrazit odpověď

15

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza vzoru a počtu puntíků

Ze zadání a obrázku vidíme, že každý obrazec (od třetího dále) se skládá z nového vnějšího čtvercového rámu a z celého obrazce, který byl o dvě místa dříve. Počet puntíků v novém vnějším rámu můžeme spočítat jako rozdíl mezi dvěma obrazci, které od sebe dělí jeden další (např. rozdíl mezi 3. a 1. obrazcem, nebo 4. a 2. obrazcem).

Spočítejme si rozdíly u prvních obrazců:

Rozdíl mezi 3. a 1. obrazcem: $17 - 1 = 16$ puntíků.
Rozdíl mezi 4. a 2. obrazcem: $32 - 8 = 24$ puntíků.
Rozdíl mezi 5. a 3. obrazcem: $49 - 17 = 32$ puntíků.

Všimneme si, že rozdíl je vždy násobkem osmi. Pro 3. obrazec je to $2 \times 8$, pro 4. obrazec $3 \times 8$, pro 5. obrazec $4 \times 8$.

Určení pravidla pro rozdíl

Hledáme obrazec (označme si ho jako n), jehož okolní obrazce se liší o 120 puntíků. Okolní obrazce jsou obrazec před ním ($n-1$) and obrazec za ním ($n+1$).

Rozdíl mezi obrazcem $(n+1)$ a obrazcem $(n-1)$ tvoří právě vnější rám obrazce $(n+1)$. Z předchozího kroku vidíme, že pro obrazec $(n+1)$ je tento rozdíl roven: $8 \times ((n+1) - 1)$, což je po zjednodušení $8 \times n$.

Výpočet pořadí obrazce

Víme, že tento rozdíl má být 120 puntíků. Sestavíme tedy jednoduchý příklad: $8 \times n = 120$

Abychom zjistili n, vydělíme 120 osmi: $120 : 8 = 15$

Hledaným obrazcem je tedy 15. obrazec.

Závěr

Počty puntíků v okolních obrazcích se liší o 120 u 15. obrazce.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Přijímací testy 5. ročník

Součet v první závorce

Dělení v druhé závorce

Celkový výsledek

Násobení v závorce

Výpočet v závorce

Násobení mimo závorku

Celkový výsledek

Dělení čísla 234

Hledání neznámého čísla

Výsledek

Prodáno a zbylo

Odpolední prodej

Výpočet jedné šestiny

Konečný zbytek

Rozbor tabulky

Výpočet chybějících výsledných časů

Porovnání výsledků a určení vítěze

Závěr

Kdo doběhl první do cíle?

Výsledný čas závodníka B

Pořadí všech závodníků

Závěr

Zjištění času závodníka D

Porovnání známých časů v cíli

Výpočet chybějících časů v cíli

Shrnutí

Zákusky na táccích navíc

Zbytek zákusků k rozdělení

Počet dvojic tácek a krabička

Výpočet počtu krabiček

Závěr

Zákusky na táccích navíc

Zákusky v sadách

Počet krabiček a tácků

Celkový počet zákusků na táccích

Složení kroužků

Rozdíl mezi chlapci a dívkami

Hledání nejmenšího počtu

Výpočet všech tančících

Závěr

Poměr chlapců a dívek

Zkoušení počtu velkých kroužků

Výpočet malých kroužků

Závěr

Rozbor plochy a dílků

Popis tvaru obrazce

Výpočet obvodu

Rozbor dílků a obsahu

Vlastnosti stran obrazce

Určení nejdelší svislé strany

Závěr

Analýza zadání

Výpočet obsahu

Určení rozdílu

Krok 1: Určení počtu dílků pro jednotlivé znaky

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Krok 1: Určení základního dílku

Krok 2: Překlad zbytku úlohy do „jazyka dílků“

Krok 3: Ověření zadané rovnosti

Krok 1: Určení počtu dílků pro každý znak

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Krok 1: Výpočet celkové hmotnosti

Krok 2: Hmotnost čepice

Krok 3: Hmotnost trupu

Krok 4: Porovnání hmotností

Převod na metry

Znázornění pomocí dílků

Výpočet jednoho dílku

Oldova část

Krok 1: Analýza obchodu A

Krok 2: Cena trička v obchodě C

Krok 3: Tržba za trička v obchodě C

Závěr

Počty kusů z grafu

Cena mikiny v obchodě B

Cena mikiny v obchodě C

Porovnání cen a výsledek