Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2021

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 576+384 \right) \div \left( 48 \div 4 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součet v první závorce

Nejdříve vypočítáme součet v první závorce:
$576 + 384 = 960$

Dělení v druhé závorce

Potom vypočítáme podíl ve druhé závorce:
$48 : 4 = 12$

Celkový výsledek

Nakonec vydělíme výsledek z první závorky výsledkem ze druhé závorky:
$960 : 12 = \mathbf{80}$

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

80

Stav úlohy

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 980+20 \cdot \left( 130 + 2 \cdot 70 - 60 \right) =$

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení v závorce

Při výpočtu v závorce musíme nejdříve provést násobení:
2 · 70 = 140

Výpočet v závorce

Nyní v závorce sečteme a odečteme čísla:
130 + 140 - 60 = 270 - 60 = 210

Násobení mimo závorku

Podle pravidel o přednosti operací má násobení přednost před sčítáním. Výsledek závorky tedy vynásobíme dvaceti:
20 · 210 = 4200

Celkový výsledek

Nakonec k číslu 980 přičteme výsledek násobení:
980 + 4200 = 5180

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

5 180

Stav úlohy

2 body

Úloha 2.1

Když neznámé číslo vynásobíme třemi, dostaneme stejné číslo, jako když vydělíme třemi číslo 234.

Určete neznámé číslo.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení čísla 234

Nejdříve zjistíme, jaké číslo dostaneme, když vydělíme číslo 234 třemi. Počítáme tedy:
234 : 3 = 78
(Pomůžeme si rozkladem: $210 : 3 = 70$ a $24 : 3 = 8$, dohromady $78$.)

Hledání neznámého čísla

Víme, že když neznámé číslo vynásobíme třemi, dostaneme výsledek 78. Abychom našli původní neznámé číslo, musíme udělat opačnou operaci – tedy výsledek 78 vydělit třemi:
78 : 3 = 26
(Rozkladem: $60 : 3 = 20$ a $18 : 3 = 6$.)

Výsledek

Neznámé číslo je 26.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

26

Stav úlohy

2 body

Úloha 2.2

Dědeček přivezl na trh plný kbelík borůvek a ráno z nich jednu šestinu prodal. Když odpoledne prodal dalších 12 litrů borůvek, ještě mu jedna šestina kbelíku borůvek zbyla.

Vypočtěte, kolik litrů borůvek zbylo v kbelíku.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Prodáno a zbylo

Dědeček ráno prodal $1/6$ kbelíku a na konci mu $1/6$ kbelíku zbyla. Když tyto dvě části sečteme, dostaneme:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$
Dohromady ranní prodej a konečný zbytek tvoří $2/6$ kbelíku.

Odpolední prodej

Celý kbelík si můžeme představit jako $6/6$. Odpoledne dědeček prodal zbytek borůvek (kromě toho, co zbulo na konci). Část prodaná odpoledne tedy odpovídá:
$\frac{6}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6}$
Víme, že odpoledne prodal přesně 12 litrů. Těchto 12 litrů tedy představuje $4/6$ kbelíku.

Výpočet jedné šestiny

Pokud $4/6$ kbelíku je 12 litrů, pak $1/6$ kbelíku vypočítáme tak, že 12 litrů rozdělíme na 4 stejné díly:
$12 \div 4 = 3\text{ litry}$

Konečný zbytek

V zadání se píše, že dědečkovi nakonec zbyla právě $1/6$ kbelíku borůvek. Protože jsme vypočítali, že $1/6$ jsou 3 litry, v kbelíku zbyly 3 litry borůvek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.1

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Vypočtěte výsledný čas vítěze závodu (v minutách a sekundách).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tabulky

V tabulce máme uvedeny časy startu a cíle (nebo už přímo výsledné časy) pro 6 závodníků. Abychom určili vítěze, musíme znát výsledný čas každého z nich. Výsledný čas vypočítáme tak, že od času v cíli odečteme čas startu.

Výpočet chybějících výsledných časů

U některých závodníků výsledný čas v tabulce chybí, proto ho musíme dopočítat:

Závodník B: Start 9:20:30, cíl 9:43:05.
9:43:05 − 9:20:30 = 22 min 35 s
Závodník D: Start 9:21:30, cíl 9:43:20.
9:43:20 − 9:21:30 = 21 min 50 s

Ostatní výsledné časy jsou v tabulce již uvedeny nebo je pro porovnání nepotřebujeme dopočítávat (závodníci E a F mají časy přes 22 minut).

Porovnání výsledků a určení vítěze

Nyní porovnáme všechny výsledné časy (v minutách a sekundách):

A: 23:15
B: 22:35
C: 22:25
D: 21:50
E: 23:05
F: 22:30

Nejkratší čas ze všech je 21 minut a 50 sekund.

Závěr

Vítězem závodu je závodník D s výsledným časem 21 minut 50 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

21:50 minut

Stav úlohy

2 body

Úloha 3.2

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Určete, na kolikátém místě se umístil závodník, který proběhl cílem jako první.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kdo doběhl první do cíle?

Podíváme se do tabulky na „Čas v cíli“. Musíme zjistit chybějící časy u závodníků E a F, abychom měli jistotu.
Závodník E: start v 9:22:00 + výsledný čas 0:23:05 = cíl v 9:45:05.
Závodník F: start v 9:22:30 + výsledný čas 0:22:30 = cíl v 9:45:00.
Porovnáme všechny časy v cíli:

A: 9:43:15
B: 9:43:05
C: 9:43:25
D: 9:43:20
E: 9:45:05
F: 9:45:00

Jako první protnul cílovou pásku závodník B (v čase 9:43:05).

Výsledný čas závodníka B

Abychom určili jeho umístění, potřebujeme znát jeho výsledný čas (dobu strávenou na trati). Ten vypočítáme jako rozdíl času v cíli a času startu:
9:43:05 – 9:20:30 = 22 minut 35 sekund.

Pořadí všech závodníků

Nyní porovnáme výsledné časy všech šesti závodníků od nejkratšího po nejdelší (včetně dopočítaného času pro závodníka D: 9:43:20 – 9:21:30 = 21:50):

D (21:50)
C (22:25)
F (22:30)
B (22:35)
E (23:05)
A (23:15)

Závěr

Závodník B, který doběhl do cíle jako první, se podle výsledného času umístil na 4. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

4

Stav úlohy

1 bod

Úloha 3.3

Závod mladších žáků v běhu na lyžích absolvovalo 6 závodníků (A–F). První závodník vyběhl na trať v 9 hodin 20 minut, další vybíhali v půlminutových intervalech. Zvítězil závodník, který strávil na trati nejkratší dobu, tedy má nejlepší výsledný čas.(Všechny časy v tabulce jsou uvedeny ve tvaru h:min:s.)

Uveďte písmena všech závodníků, kteří proběhli cílem později než závodník D.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění času závodníka D

Z tabulky přímo vyčteme, že závodník D doběhl do cíle v čase 9:43:20. S tímto údajem budeme porovnávat časy ostatních závodníků.

Porovnání známých časů v cíli

Podíváme se na ostatní závodníky, kteří mají v tabulce vyplněný čas v cíli:

Závodník A: 9:43:15 (dříve než D)
Závodník B: 9:43:05 (dříve než D)
Závodník C: 9:43:25 (později než D)

Výpočet chybějících časů v cíli

U závodníků E a F musíme čas v cíli dopočítat jako součet času startu a výsledného času:

Závodník E: 9:22:00 + 23 min 5 s = 9:45:05
Závodník F: 9:22:30 + 22 min 30 s = 9:45:00

Oba tito závodníci doběhli do cíle později než závodník D (v časech 9:45:05 a 9:45:00).

Shrnutí

Později než závodník D proběhli cílem závodníci C, E, F.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

C, E, F

Stav úlohy

1 bod

Úloha 4.1

V cukrárně mají zabaleno celkem 80 zákusků buď na táccích po 2 zákuscích, nebo v krabičkách po 3 zákuscích. Počet tácků se zákusky je o 10 větší než počet krabiček se zákusky.

Určete počet všech krabiček se zákusky.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zákusky na táccích navíc

Víme, že tácků je o 10 více než krabiček. Na každém tácku jsou 2 zákusky. Těchto 10 tácků navíc tedy obsahuje:
10 × 2 = 20 zákusků.

Zbytek zákusků k rozdělení

Když těchto 20 zákusků odečteme od celkového počtu, zbude nám k rozdělení:
80 − 20 = 60 zákusků.

Počet dvojic tácek a krabička

Těchto 60 zákusků je rozděleno do stejného počtu tácků a krabiček. V jedné dvojici (jeden tácek se 2 zákusky a jedna krabička se 3 zákusky) je dohromady:
2 + 3 = 5 zákusků.

Výpočet počtu krabiček

Počet takových dvojic (a tedy i počet krabiček) zjistíme vydělením:
60 ÷ 5 = 12.

Závěr

V cukrárně mají celkem 12 krabiček se zákusky.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

12

Stav úlohy

2 body

Úloha 4.2

V cukrárně mají zabaleno celkem 80 zákusků buď na táccích po 2 zákuscích, nebo v krabičkách po 3 zákuscích. Počet tácků se zákusky je o 10 větší než počet krabiček se zákusky.

Určete celkový počet zákusků na táccích.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zákusky na táccích navíc

Víme, že tácků je o 10 více než krabiček. Nejdříve spočítáme, kolik zákusků je na těchto 10 táccích navíc. Protože na každém tácku jsou 2 zákusky, je to $10 \cdot 2 = 20$ zákusků.

Zákusky v sadách

Když těchto 20 zákusků odečteme od celkového počtu, zbude nám $80 - 20 = 60$ zákusků. Pro tyto zbývající zákusky už platí, že počet tácků a krabiček je stejný. Můžeme si je představit v sadách, kde v každé sadě je jeden tácek (2 zákusky) a jedna krabička (3 zákusky). V jedné takové sadě je tedy $2 + 3 = 5$ zákusků.

Počet krabiček a tácků

Počet těchto sad zjistíme dělením: $60 : 5 = 12$. Máme tedy 12 krabiček a 12 tácků (plus těch 10 tácků, které jsme si dali stranou na začátku). Celkem je tedy $12 + 10 = 22$ tácků.

Celkový počet zákusků na táccích

Celkový počet zákusků na táccích vypočítáme tak, že vynásobíme počet tácků počtem zákusků na jednom tácku: $22 \cdot 2 = 44$. Na táccích je celkem 44 zákusků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

44

Stav úlohy

2 body

Úloha 5.1

Na pódiu má tančit stejný počet chlapců a dívek. Při tanci všichni tančící vytvoří několik velkých a několik malých kroužků. V každém velkém kroužku bude sedm chlapců a jedna dívka, v každém malém kroužku budou čtyři dívky.

Určete nejmenší možný počet všech tančících (chlapců i dívek) na pódiu.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení kroužků

Ve velkém kroužku je 7 chlapců a 1 dívka. V malém kroužku jsou 4 dívky a žádný chlapec. Celkový počet chlapců a dívek na pódiu musí být stejný.

Rozdíl mezi chlapci a dívkami

V každém velkém kroužku je o 6 chlapců více než dívek ($7 - 1 = 6$). Aby byl celkový počet chlapců i dívek stejný, musíme tento rozdíl vyrovnat pomocí dívek v malých kroužcích.

Hledání nejmenšího počtu

Jeden malý kroužek nám „přidá“ 4 dívky (a žádného chlapce). Potřebujeme, aby celkový počet chlapců „navíc“ z velkých kroužků byl dělitelný 4 (počtem dívek v malém kroužku).

Pro 1 velký kroužek je rozdíl 6 (není dělitelné 4).
Pro 2 velké kroužky je rozdíl $2 \cdot 6 = 12$. Tento rozdíl lze vyrovnat pomocí $12 \div 4 = 3$ malých kroužků.

Výpočet všech tančících

Při 2 velkých a 3 malých kroužcích máme:

Chlapci: $2 \cdot 7 = 14$
Dívky: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14$

Obou skupin je stejně, podmínka je splněna. Všech tančících je dohromady $14 + 14 = 28$.

Závěr

Nejmenší možný počet všech tančících na pódiu je 28.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

28

Stav úlohy

1 bod

Úloha 5.2

Na pódiu má tančit stejný počet chlapců a dívek. Při tanci všichni tančící vytvoří několik velkých a několik malých kroužků. V každém velkém kroužku bude sedm chlapců a jedna dívka, v každém malém kroužku budou čtyři dívky.

Určete nejmenší možný počet malých kroužků.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kolik dívek chybí

V každém velkém kroužku je o $7 - 1 = 6$ chlapců více než dívek. Tento rozdíl musí doplnit dívky v malých kroužcích po čtyřech.

Dvojice dívek

Počítejme dívky ve dvojicích. Jeden velký kroužek potřebuje tři dvojice navíc a jeden malý poskytne dvě dvojice. Aby šly trojice dvojic rozdělit po dvou, musí být počet velkých kroužků sudý. Nejmenší kladný sudý počet je 2.

Malé kroužky

Dva velké kroužky potřebují $2 \times 6 = 12$ dalších dívek. Vytvoří $12 : 4 = 3$ malé kroužky. Celkem bude 14 chlapců a 14 dívek.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.1

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.(Čtverec o straně délky 6 cm má obsah 36 cm².)

Vypočtěte v cm obvod obrazce A.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka malého dílku

V levém obrázku je malý čtvercový díl v pravém horním rohu původního čtverce. Jeho strana zabírá polovinu strany původního čtverce, tedy 6 : 2 = 3 cm. Krátké úseky na obvodu obrazce A mají právě tuto délku.

Popis tvaru obrazce

Obrazec A má čtyři řady posunuté vždy o jeden malý čtverec. Pro snadnější počítání si v obrázku doplň vodorovné a svislé čáry vedené rohy schodů: vznikne osm čtverců po dvou v každé řadě. Horní a dolní vodorovná strana tedy měří 2 · 3 = 6 cm, ostatní úseky obvodu po 3 cm.

Výpočet obvodu

Obvod zjistíme sečtením všech vnějších stran obrazce:

Horní vodorovná strana: 6 cm
Pravá „zubatá“ strana: skládá se ze 7 úseků o délce 3 cm, celkem tedy $7 \times 3 = 21$ cm.
Dolní vodorovná strana: 6 cm
Levá „zubatá“ strana: skládá se rovněž ze 7 úseků o délce 3 cm, celkem tedy $7 \times 3 = 21$ cm.

Celkový obvod obrazce A je: $6 + 21 + 6 + 21 = \mathbf{54 \text{ cm}}$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

54 cm

Stav úlohy

2 body

Úloha 6.2

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.(Čtverec o straně délky 6 cm má obsah 36 cm².)

Vypočtěte, kolik cm měří nejdelší svislá strana obrazce B.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení původního čtverce

Podívej se na čtverec o straně 6 cm vedle obrazce B. Krátké svislé a vodorovné řezy vymezují malé čtverce. Prodloužením těchto čar si doplň síť: podél každé strany původního čtverce jsou tři stejné dílky. Jeden dílek měří 6 : 3 = 2 cm.

Délka označené strany

Stejnou síť doplň přes obrazec B pomocí jeho krátkých schodů. Pravá strana označená svorkou sahá od úrovně horního schodu vpravo až ke spodnímu rohu. Přes její výšku napočítáme čtyři malé dílky.

Výpočet

Označená nejdelší svislá strana měří 4 · 2 = 8 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

8

Stav úlohy

1 bod

Úloha 6.3

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.(Čtverec o straně délky 6 cm má obsah 36 cm².)

Určete, o kolik cm² se liší obsahy obrazců A, B

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza zadání

V zadání je nejdůležitější informace, že na vytvoření každého obrazce (tedy obrazce A i obrazce B) použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. To znamená, že veškerá plocha těchto dvou čtverců tvoří výsledný obrazec.

Výpočet obsahu

Obsah jednoho čtverce o straně délky 6 cm je $6 \cdot 6 = 36 \text{ cm}^2$. Protože každý obrazec (A i B) je složen ze dvou takových čtverců, musí mít oba stejný celkový obsah:
$2 \cdot 36 = 72 \text{ cm}^2$.

Určení rozdílu

Protože mají oba obrazce stejný obsah (oba vznikly ze stejného množství materiálu), jejich obsahy se neliší. Rozdíl je tedy:
$72 - 72 = 0 \text{ cm}^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

0

Stav úlohy

1 bod

Úloha 7.1

V rovině leží body A, K, L. Bodem A prochází přímka p.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Na přímce p leží ještě jeden vrchol tohoto obdélníku. Bod K leží uvnitř jedné strany obdélníku ABCD a bod L uvnitř sousední strany.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce obou řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Nastane jedna z následujících situací:

Kromě obou požadovaných obdélníků je sestrojen (a popsán) další čtyřúhelník, které není pravoúhelníkem.
Oba požadované obdélníky jsou sestrojeny s mírnou nepřesností.
Je sestrojen pouze jeden požadovaný obdélník, a to přesně.

1 bod

Nastane některá z následujících situací:

Je sestrojen pouze jeden požadovaný obdélník, a to s mírnou nepřesností.
Je sestrojen pouze jeden požadovaný obdélník a dále je sestrojen (a popsán) další čtyřúhelník, které není pravoúhelníkem.

0 bodů

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2021, úloha 7.1

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží lomená čára BCDEFG.

Body B, C jsou vrcholy trojúhelníku ABC. Vrchol A tohoto trojúhelníku leží na lomené čáře BCDEFG. Délka strany AC je stejná jako délka úsečky EF.

Sestrojte vrchol A trojúhelníku ABC, označte ho písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Kontrola odpovědi

Automatická kontrola není dostupná.

Zobrazit odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

3 body

Vzorové řešení výše.

Je-li konstrukce obou řešení správná, toleruje se nepatrná nepřesnost.

2 body

Nastane jedna z následujících situací:

Oba požadované trojúhelníky jsou sestrojeny s větší nepřesností.
Je sestrojeno pouze jedno správné řešení, a to přesně.

1 bod

Pouze jedno správné řešení s mírnou nepřesností.

0 bodů

Chybná konstrukce.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2021, úloha 7.2

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V počítačové hře jsou tři znaky (hvězdička, kolečko a čtvereček). Jedna hvězdička má hodnotu tří koleček. Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu dvou hvězdiček.

Rozhodněte o následující rovnosti, zda platí (A), či nikoli (N).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu dílků pro jednotlivé znaky

Co udělat: Potřebujeme najít univerzální „dílek“, pomocí kterého vyjádříme hodnotu všech znaků. Za jeden dílek si zvolíme ten nejmenší znak – kolečko.
Překlad prvního pravidla: Z textu i obrázku víme, že 1 hvězdička se rovná 3 kolečkům. Hvězdička je tedy tvořena 3 dílky.
Překlad druhého pravidla: Z druhého obrázku víme, že čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu 2 hvězdiček. Víme už, že 1 hvězdička jsou 3 dílky. Dvě hvězdičky jsou tedy 2 * 3 = 6 dílků.
Výpočet pro čtvereček: Čtvereček spolu s jedním kolečkem (1 dílkem) mají hodnotu 6 dílků. Samotný čtvereček má proto hodnotu 6 – 1 = 5 dílků.

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Co udělat: Vyjádříme obě strany rovnosti ze zadání (hvězdička a dva čtverečky = čtyři hvězdičky) pomocí našich dílků (koleček).
Levá strana: Máme zde 1 hvězdičku (3 dílky) a 2 čtverečky (2 * 5 = 10 dílků). Dohromady to je 3 + 10 = 13 dílků.
Pravá strana: Máme zde 4 hvězdičky. Každá má hodnotu 3 dílků, celkem tedy 4 * 3 = 12 dílků.

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Porovnání: Levá strana rovnosti má hodnotu 13 dílků, zatímco pravá strana má hodnotu 12 dílků. Vidíme, že 13 a 12 se nerovnají.
Výsledek: Rovnost tedy neplatí (odpověď N).

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V počítačové hře jsou tři znaky (hvězdička, kolečko a čtvereček). Jedna hvězdička má hodnotu tří koleček. Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu dvou hvězdiček.

Rozhodněte o následující rovnosti, zda platí (A), či nikoli (N).

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení základního dílku

Co udělat: Vybereme si jeden znak jako náš základní "dílek", pomocí kterého vyjádříme ostatní znaky. V této úloze je nejvýhodnější zvolit si jako dílek kolečko.
Co víme: Ze zadání (a z prvního obrázku) přímo vidíme, že 1 hvězdička = 3 kolečka. Hvězdička se tedy skládá ze 3 dílků.

Krok 2: Překlad zbytku úlohy do „jazyka dílků“

Co udělat: Nyní zjistíme, kolik dílků (koleček) tvoří čtvereček. K tomu využijeme druhou informaci ze zadání.
Co víme: Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu 2 hvězdiček.
Překlad: Podíváme se na to v dílcích. Víme, že 1 hvězdička má hodnotu 3 koleček, takže 2 hvězdičky mají hodnotu $2 \cdot 3 = 6$ koleček. Rovnost ze zadání si tak můžeme přepsat jako: 1 čtvereček + 1 kolečko = 6 koleček.
Výsledek: Aby to platilo, samotný čtvereček musí mít hodnotu $6 - 1 = 5$ koleček (dílků).

Krok 3: Ověření zadané rovnosti

Co hledáme: Máme rozhodnout, zda platí rovnost na druhém obrázku: 5 hvězdiček = 3 čtverečky.
Výpočet: Obě strany si vyjádříme v našich základních dílcích (kolečkách).
- Levá strana: 5 hvězdiček. Protože 1 hvězdička jsou 3 kolečka, je to celkem $5 \cdot 3 = 15$ koleček.
- Pravá strana: 3 čtverečky. Protože 1 čtvereček je 5 koleček, je to celkem $3 \cdot 5 = 15$ koleček.
Závěr: Zjistili jsme, že $15 = 15$. Levá i pravá strana mají stejnou hodnotu (15 koleček), takže zadaná rovnost platí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

V počítačové hře jsou tři znaky (hvězdička, kolečko a čtvereček). Jedna hvězdička má hodnotu tří koleček. Čtvereček a kolečko mají dohromady hodnotu dvou hvězdiček.

Rozhodněte o následující rovnosti, zda platí (A), či nikoli (N)

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu dílků pro každý znak

Co udělat: Zvolíme si nejmenší znak jako jeden univerzální „dílek“. V našem případě to bude kolečko. Tedy 1 kolečko = 1 dílek.
Hodnota hvězdičky: Z prvního řádku víme, že 1 hvězdička má hodnotu 3 koleček. Hvězdička má tedy hodnotu 3 dílků.
Hodnota čtverečku: Z druhého řádku víme, že 1 čtvereček a 1 kolečko mají dohromady hodnotu 2 hvězdiček. Dvě hvězdičky mají hodnotu 2 * 3 = 6 dílků. Na čtvereček a 1 kolečko (1 dílek) tedy připadá 6 dílků. Samotný čtvereček má proto hodnotu 6 – 1 = 5 dílků.

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Co udělat: Vyjádříme levou i pravou stranu zkoumané rovnosti pomocí dílků.
Levá strana: Máme 2 hvězdičky a 1 kolečko. To je (2 * 3) + 1 = 6 + 1 = 7 dílků.
Pravá strana: Máme 1 čtvereček a 1 hvězdičku. To je 5 + 3 = 8 dílků.

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Porovnání: Levá strana má hodnotu 7 dílků, pravá strana má hodnotu 8 dílků. Tyto hodnoty se nerovnají (7 se nerovná 8).
Výsledek: Uvedená rovnost neplatí.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

Ne

Stav úlohy

4 body za skupinu

Úloha 9

Panáček se rozloží na 6 dílků – čepici, hlavu, každou ruku zvlášť, trup a nohy. Tabulka udává, jakou část hmotnosti panáčka tvoří jednotlivé dílky. (Např. nohy váží 72 gramů a tvoří jednu třetinu hmotnosti panáčka.)

O kolik gramů je trup panáčka těžší než čepice?

A) o méně než 18 gramů
D) o 36 gramů
B) o 18 gramů
E) o 54 gramů
C) o 27 gramů

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet celkové hmotnosti

Z tabulky vyčteme, že nohy tvoří 1/3 hmotnosti panáčka a váží 72 g. Abychom zjistili celkovou hmotnost celého panáčka, musíme tuto hodnotu vynásobit třemi:
$72 \cdot 3 = 216\text{ g}$

Krok 2: Hmotnost čepice

Čepice tvoří 1/12 celkové hmotnosti. Vydělíme tedy celkovou hmotnost dvanácti:
$216 : 12 = 18\text{ g}$

Krok 3: Hmotnost trupu

Trup tvoří 1/4 celkové hmotnosti. Celkovou hmotnost tedy vydělíme čtyřmi:
$216 : 4 = 54\text{ g}$

Krok 4: Porovnání hmotností

Otázka zní, o kolik gramů je trup těžší než čepice. Odečteme hmotnost čepice od hmotnosti trupu:
54 − 18 = 36 g.
Trup je o 36 gramů těžší než čepice, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy

2 body

Úloha 10

Karla, Zora a Olda postupně zametli 1 km dlouhý chodník. První část chodníku zametla Karla, Zora pak zametla dvakrát delší část než Karla a Olda zametl ještě o 100 metrů delší část chodníku než Zora. (Každou část chodníku zametala pouze jedna osoba.)

Kolik metrů chodníku zametl Olda?

A) 460 metrů
D) 550 metrů
B) 500 metrů
E) jiný počet metrů
C) 540 metrů

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na metry

Celková délka chodníku je 1 km. Protože ostatní údaje v zadání i výsledky v možnostech jsou v metrech, převedeme si délku na metry:
1 km = 1000 m

Znázornění pomocí dílků

Části chodníku, které zametli jednotliví lidé, si můžeme představit jako dílky:

Karla zametla 1 dílek.
Zora zametla dvakrát více než Karla, tedy 2 dílky.
Olda zametl o 100 metrů více než Zora, tedy 2 dílky + 100 metrů.

Výpočet jednoho dílku

Dohromady všichni tři zametli 1000 metrů. Pokud od celkové délky odečteme těch 100 metrů, které zametl Olda navíc, zbude nám délka odpovídající 5 stejným dílkům (1 + 2 + 2 = 5):
1000 − 100 = 900 m
Jeden dílek vypočítáme tak, že 900 metrů rozdělíme na 5 stejných částí:
900 : 5 = 180 m

Oldova část

Zora zametla 2 dílky, tedy 2 · 180 = 360 metrů. Olda zametl o 100 metrů více než Zora:
360 + 100 = 460 metrů.
Olda zametl 460 metrů chodníku, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy

2 body

Úloha 11

Stejná trička a stejné mikiny se prodávaly ve 3 různých obchodech (A–C) za různé ceny.Tričko se v obchodě C prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. V obchodě B utržili za prodaná trička dohromady tolik korun jako za prodané mikiny.

Kolik korun utržili v obchodě C za všechna prodaná trička?

A) 960 Kč
D) 1740 Kč
B) 1050 Kč
E) více než 1740 Kč
C) 1260 Kč

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza obchodu A

Z grafu vyčteme, že v obchodě A se prodalo celkem 16 kusů oblečení, z čehož bylo 12 mikin (bílý sloupec). Počet prodaných triček v obchodě A je tedy:
16 - 12 = 4 trička
V tabulce vidíme, že celková tržba za trička v obchodě A byla 1000 Kč. Cenu za jedno tričko vypočítáme jako:
1000 : 4 = 250 Kč

Krok 2: Cena trička v obchodě C

V zadání se píše, že v obchodě C se tričko prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. Cenu za jedno tričko v obchodě C tedy zjistíme odečtením:
250 - 40 = 210 Kč

Krok 3: Tržba za trička v obchodě C

Z grafu zjistíme počet prodaných triček v obchodě C. Celý sloupec končí na hodnotě 26 (půlka dílku mezi 24 a 28) a mikiny (bílý sloupec) končí na 20. Počet triček je:
26 - 20 = 6 triček
Nyní vypočítáme celkovou tržbu za trička v obchodě C:
6 · 210 = 1260 Kč

Závěr

V obchodě C utržili za všechna prodaná trička 1260 Kč. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy

2 body

Úloha 12

Stejná trička a stejné mikiny se prodávaly ve 3 různých obchodech (A–C) za různé ceny.Tričko se v obchodě C prodávalo o 40 Kč levněji než v obchodě A. V obchodě B utržili za prodaná trička dohromady tolik korun jako za prodané mikiny.

O kolik korun se lišila cena jedné mikiny v obchodech B a C?

A) o 20 Kč
D) o 90 Kč
B) o 40 Kč
E) ceny se nelišily
C) o 60 Kč

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počty kusů z grafu

Z grafu zjistíme počty prodaných triček a mikin. Musíme si dát pozor na to, že šedá část (trička) navazuje na bílou část (mikiny).

Obchod B: Celý sloupec končí na hodnotě 30, bílá část (mikiny) končí na 10. Triček je tedy $30 - 10 = 20$ kusů a mikin je 10 kusů.
Obchod C: Celý sloupec končí na hodnotě 26, bílá část (mikiny) končí na 20. Triček je tedy $26 - 20 = 6$ kusů a mikin je 20 kusů.

Cena mikiny v obchodě B

V tabulce vidíme, že jedno tričko v obchodě B stálo 180 Kč. Prodalo se jich 20, takže celková tržba za trička v tomto obchodě byla: $20 \times 180 = 3\,600$ Kč Podle zadání utržili v obchodě B za trička i za mikiny stejně. Za mikiny tedy také utržili 3 600 Kč. Protože se jich prodalo 10, jedna mikina stála: $3\,600 : 10 = 360$ Kč

Cena mikiny v obchodě C

Z tabulky vyčteme, že v obchodě C utržili za mikiny celkem 7 200 Kč. Z grafu už víme, že v tomto obchodě prodali 20 mikin. Cenu za jednu mikinu vypočítáme vydělením: $7\,200 : 20 = 360$ Kč

Porovnání cen a výsledek

Cena jedné mikiny v obchodě B byla 360 Kč a v obchodě C byla také 360 Kč. Rozdíl v jejich cenách je tedy nulový ($360 - 360 = 0$ Kč).

Ceny se v obchodech B a C nelišily.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn. Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5. Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.

Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.

Jaký je součet všech zapsaných čísel 5 (pohled shora)?

A) 30
D) 38
B) 33
E) 39
C) 34
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidla pro zápis čísel

Ze zadání víme, že číslo 5 se píše na všechny stěny, které jsou viditelné při pohledu shora. Každý sloupec krychliček ve stavbě má právě jednu horní stěnu, která je vidět shora. Celkový počet čísel 5 tedy odpovídá počtu sloupců (neboli „půdorysu“) stavby. Součet všech těchto čísel získáme tak, že počet sloupců vynásobíme číslem 5.

Sloupce na obrázku

V levé části stavby jsou za sebou tři sloupce: od předu mají výšky 5, 2 a 3 krychličky. Prostřední část tvoří dva sloupce vysoké po jedné krychličce. Vpravo vzadu stojí sloupec vysoký 4 krychličky. Celkem je to 3 + 2 + 1 = 6 sloupců. Kontrola počtu kostek: 5 + 2 + 3 + 1 + 1 + 4 = 16.

Výpočet součtu

Stavba má 6 sloupců, takže při pohledu shora uvidíme 6 horních stěn. Na každé z nich je napsané číslo 5. Součet všech čísel 5 vypočítáme jako: $6 \times 5 = 30$.

Závěr

Součet všech zapsaných čísel 5 je 30. Správná odpověď je tedy A.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn. Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5. Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.

Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.

Jaký je součet všech zapsaných čísel 3 (pohled zprava)?

A) 30
D) 38
B) 33
E) 39
C) 34
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip značení stěn

Při pohledu zprava se na každou viditelnou stěnu krychličky píše číslo 3. Celkový součet těchto čísel zjistíme tak, že spočítáme všechny stěny viditelné z pravé strany a tento počet vynásobíme třemi.

Tři řady od předu dozadu

V přední řadě stojí levý sloupec vysoký 5 krychliček. V prostřední řadě je levý sloupec vysoký 2 a vedle něj jedna krychlička, takže boční obrys má výšku 2. V zadní řadě jsou sloupce vysoké 3, 1 a 4, takže boční obrys má výšku 4.

Počet stěn viditelných zprava

V každé řadě se sloupce při pohledu zprava překrývají. Stačí proto spočítat výšku nejvyššího sloupce v každé řadě: 5 + 2 + 4 = 11 viditelných stěn.

Součet trojek

Na každé z 11 stěn je číslo 3. Součet je 11 · 3 = 33. Správná je možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn. Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5. Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.

Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.

O kolik se liší součet všech zapsaných čísel 4 (pohled zleva) od součtu všech zapsaných čísel 1 (pohled zepředu)?

A) 30
D) 38
B) 33
E) 39
C) 34
F) jiný počet

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pohled zleva

Sleduj tři řady od předu dozadu. Nejvyšší sloupce v nich mají 5, 2 a 4 krychličky. Nižší sloupce se s nimi při pohledu zleva překryjí. Viditelných stěn je 5 + 2 + 4 = 11. Součet zapsaných čtyřek je 11 · 4 = 44.

Pohled zepředu

V levé části se překryjí sloupce výšek 5, 2 a 3; výsledná výška je 5. Uprostřed jsou dvě krychličky za sebou a překryjí se v jediný čtverec. Vpravo je sloupec výšky 4. Zepředu tedy vidíme 5 + 1 + 4 = 10 stěn. Součet jedniček je 10.

Rozdíl součtů

Součty se liší o 44 − 10 = 34. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, kolik puntíků obsahuje jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo pro délku strany

Ze zadání víme, že 2. obrazec má na jedné straně hraničního čtverce 3 puntíky. Každý následující obrazec má stranu o 2 puntíky delší.
Například 3. obrazec má $3 + 2 = 5$ puntíků, 4. obrazec má $5 + 2 = 7$ puntíků atd.

Výpočet pro 10. obrazec

Budeme postupně přičítat 2 puntíky, až se dostaneme k 10. obrazci:

2. obrazec: 3 puntíky
3. obrazec: 5 puntíků
4. obrazec: 7 puntíků
5. obrazec: 9 puntíků
6. obrazec: 11 puntíků
7. obrazec: 13 puntíků
8. obrazec: 15 puntíků
9. obrazec: 17 puntíků
10. obrazec: 19 puntíků

Závěr

Jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce obsahuje 19 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

19

Stav úlohy

1 bod

Úloha 14.2

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, o kolik se liší počty puntíků v 9. a 11. obrazci.

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana hraničního čtverce

Nejprve určíme, kolik puntíků tvoří stranu hraničního čtverce u 11. obrazce. Podle pravidla má strana 2. obrazce 3 puntíky a u každého dalšího obrazce má vždy o 2 puntíky více. Můžeme si to vypsat:

2. obrazec: 3 puntíky
3. obrazec: 5 puntíků
4. obrazec: 7 puntíků
5. obrazec: 9 puntíků
...
11. obrazec: 21 puntíků (každý krok přidá 2, od druhého k jedenáctému je to 9 kroků, tedy $3 + 9 \times 2 = 21$)

Počet puntíků na obvodu

Vypočítáme, kolik puntíků tvoří samotný hraniční čtverec 11. obrazce. Čtverec má 4 strany po 21 puntících, ale rohy nesmíme počítat dvakrát (každý roh patří dvěma stranám): $21 + 21 + 19 + 19 = 80$ puntíků.

Rozdíl v počtu puntíků

V zadání je uvedeno, že uvnitř hraničního čtverce každého obrazce (počínaje třetím) vidíme celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší. To znamená, že 11. obrazec tvoří jeho hraniční čtverec a uvnitř něj je „schovaný“ celý 9. obrazec.

Rozdíl mezi 11. a 9. obrazcem je tedy přesně počet puntíků, které tvoří hraniční čtverec 11. obrazce, což je 80 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

80

Stav úlohy

1 bod

Úloha 14.3

První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více (např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší (např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).(Následují další obrazce.)

Určete, u kolikátého obrazce se počty puntíků v okolních dvou obrazcích liší o 120.

(okolními rozumíme obrazec těsně před a těsně za hledaným obrazcem)

Kontrola odpovědi

Připravuji zadání…

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Co tvoří rozdíl

Pozdější ze dvou okolních obrazců obsahuje celý dřívější obrazec a navíc vnější čtvercový rám. Tento rám tedy musí mít 120 puntíků.

Puntíky na straně rámu

Při obcházení rámu přidělíme každé straně její počáteční roh, ale koncový roh už patří další straně. Na každou ze čtyř stran tak připadá $120 : 4 = 30$ puntíků. S oběma rohy má strana $30 + 1 = 31$ puntíků.

Pořadí obrazce

Počet puntíků na straně začíná jedním a v každém dalším obrazci přibudou dva. K 31 puntíkům vede $(31 - 1) : 2 = 15$ zvětšení, takže rám patří 16. obrazci. Hledaný obrazec je těsně před ním, tedy 15. obrazec.

Pomohlo vám toto řešení?

Zobrazit odpověď

15

Stav úlohy

2 body

Přijímací testy 5. ročník

Součet v první závorce

Dělení v druhé závorce

Celkový výsledek

Násobení v závorce

Výpočet v závorce

Násobení mimo závorku

Celkový výsledek

Dělení čísla 234

Hledání neznámého čísla

Výsledek

Prodáno a zbylo

Odpolední prodej

Výpočet jedné šestiny

Konečný zbytek

Rozbor tabulky

Výpočet chybějících výsledných časů

Porovnání výsledků a určení vítěze

Závěr

Kdo doběhl první do cíle?

Výsledný čas závodníka B

Pořadí všech závodníků

Závěr

Zjištění času závodníka D

Porovnání známých časů v cíli

Výpočet chybějících časů v cíli

Shrnutí

Zákusky na táccích navíc

Zbytek zákusků k rozdělení

Počet dvojic tácek a krabička

Výpočet počtu krabiček

Závěr

Zákusky na táccích navíc

Zákusky v sadách

Počet krabiček a tácků

Celkový počet zákusků na táccích

Složení kroužků

Rozdíl mezi chlapci a dívkami

Hledání nejmenšího počtu

Výpočet všech tančících

Závěr

Kolik dívek chybí

Dvojice dívek

Malé kroužky

Délka malého dílku

Popis tvaru obrazce

Výpočet obvodu

Rozdělení původního čtverce

Délka označené strany

Výpočet

Analýza zadání

Výpočet obsahu

Určení rozdílu

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Krok 1: Určení počtu dílků pro jednotlivé znaky

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Krok 1: Určení základního dílku

Krok 2: Překlad zbytku úlohy do „jazyka dílků“

Krok 3: Ověření zadané rovnosti

Krok 1: Určení počtu dílků pro každý znak

Krok 2: Překlad zkoumané rovnosti do „jazyka dílků“

Krok 3: Vyhodnocení rovnosti

Krok 1: Výpočet celkové hmotnosti

Krok 2: Hmotnost čepice

Krok 3: Hmotnost trupu

Krok 4: Porovnání hmotností

Převod na metry

Znázornění pomocí dílků

Výpočet jednoho dílku

Oldova část

Krok 1: Analýza obchodu A

Krok 2: Cena trička v obchodě C

Krok 3: Tržba za trička v obchodě C

Závěr

Počty kusů z grafu

Cena mikiny v obchodě B

Cena mikiny v obchodě C

Porovnání cen a výsledek