Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. náhradní termín 2021

28 úloh

Úloha 1.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle 6 200 - 1 550 \div 5 = \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} +10$

Zobrazit odpověď

5 880

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přednost operací

V levé části příkladu má dělení přednost před odčítáním. Nejdříve tedy vypočítáme podíl:
$1\,550 : 5 = 310$

Výpočet levé strany

Nyní od čísla $6\,200$ odečteme výsledek dělení:
$6\,200 - 310 = 5\,890$
Levá strana rovnosti má tedy hodnotu $5\,890$.

Doplnění rámečku

Rovnice vypadá takto: $5\,890 = \boxed{\phantom{0}} + 10$. Hledáme číslo, které po přičtení desítky dá $5\,890$. Výsledek získáme odčítáním:
$5\,890 - 10 = 5\,880$

Závěr

Do rámečku musíme doplnit číslo $5\,880$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost.

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} \cdot 2=3050+240 \cdot 4$

Zobrazit odpověď

2 005

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pravé strany

Nejdříve vypočítáme pravou stranu rovnosti. Musíme si pamatovat, že násobení má přednost před sčítáním.
$240 \cdot 4 = 960$

Součet na pravé straně

K výsledku násobení přičteme zbývající číslo na pravé straně.
$3050 + 960 = 4010$

Doplnění do rámečku

Nyní hledáme číslo, které po vynásobení dvěma dá výsledek $4010$. To zjistíme tak, že číslo $4010$ vydělíme dvěma.
$4010 \div 2 = 2005$

Závěr

Do rámečku patří číslo 2005.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Myslím si celé číslo, které je větší než 20 a menší než 25. Když k němu přičtu trojnásobek jiného celého čísla, dostanu 90.

Určete, které číslo si mohu myslet.

Uveďte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

21, 24

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Možná čísla

Mezi čísly 20 a 25 leží tato celá čísla: 21, 22, 23 a 24. Jedno z nich (nebo více) musí být hledaným řešením.

Podmínka pro výpočet

Víme, že když k myšlenému číslu přičteme trojnásobek jiného čísla, dostaneme 90. To znamená, že když od 90 odečteme myšlené číslo, musí nám vyjít výsledek, který je beze zbytku dělitelný třemi.

Vyzkoušení možností

Prověříme všechna čtyři možná čísla:

21: $90 - 21 = 69$. Číslo 69 je dělitelné třemi ($69 : 3 = 23$). Toto číslo vyhovuje.
22: $90 - 22 = 68$. Číslo 68 není dělitelné třemi.
23: $90 - 23 = 67$. Číslo 67 není dělitelné třemi.
24: $90 - 24 = 66$. Číslo 66 je dělitelné třemi ($66 : 3 = 22$). Toto číslo vyhovuje.

Výsledek

Myšlené číslo může být 21 nebo 24.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Do prázdné mísy jsme dali máslo o hmotnosti 120 g a přidali mouku a cukr.
Suroviny v míse váží dohromady půl kilogramu.
Cukru je v míse o 80 g méně než mouky.

Vypočtěte, kolik gramů mouky je v míse.

Zobrazit odpověď

230 m

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková hmotnost mouky a cukru

Nejdříve si převedeme půl kilogramu na gramy: 0,5 kg = 500 g. Víme, že máslo váží 120 g. Abychom zjistili, kolik váží mouka a cukr dohromady, odečteme máslo od celkové hmotnosti: $500 - 120 = 380$ Mouka a cukr tedy váží dohromady 380 g.

Výpočet hmotnosti mouky

Cukru je o 80 g méně než mouky. Pokud bychom od celkové hmotnosti mouky a cukru (380 g) odečetli oněch 80 g, zbylých 300 g by se rozdělilo přesně na polovinu mezi mouku a cukr. $380 - 80 = 300$ $300 : 2 = 150$ Tím jsme zjistili hmotnost cukru (150 g). Mouka váží o 80 g více: $150 + 80 = 230$ V míse je tedy 230 g mouky.

Ověření

Pro kontrolu sečteme všechny suroviny: $230\text{ (mouka)} + 150\text{ (cukr)} + 120\text{ (máslo)} = 500\text{ g}$ Výpočet je správný.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Dvě rekreační plavkyně Jana s Květou byly společně plavat. Každá uplavala 25 bazénů. Obě začaly plavat současně a každá plavala svým stále stejným tempem. Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut. Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny.

Vypočtěte, o kolik sekund se lišily časy obou plavkyň na první obrátce (tj. po uplavání prvního bazénu).

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas Jany na jeden bazén

Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut. Abychom zjistili čas za jeden bazén v sekundách, nejprve převedeme 7 minut na sekundy:
7 · 60 = 420 sekund.
Nyní celkový čas vydělíme počtem bazénů:
420 : 5 = 84 sekund.
Jana tedy jeden bazén uplavala za 84 sekund.

Čas Květy na jeden bazén

Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny, což je 15 minut. Opět převedeme čas na sekundy:
15 · 60 = 900 sekund.
Nyní vypočítáme čas za jeden bazén:
900 : 10 = 90 sekund.
Květě trval jeden bazén 90 sekund.

Rozdíl v časech

Na první obrátce (po prvním bazénu) se časy obou plavkyň lišily o rozdíl jejich časů na jeden bazén:
90 – 84 = 6 sekund.
Časy obou plavkyň se lišily o 6 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Dvě rekreační plavkyně Jana s Květou byly společně plavat. Každá uplavala 25 bazénů.
Obě začaly plavat současně a každá plavala svým stále stejným tempem.
Jana uplavala 5 bazénů za 7 minut.
Květa uplavala 10 bazénů za čtvrt hodiny.

Určete, za jak dlouho uplavala 25 bazénů pomalejší plavkyně.

(Čas uveďte v minutách a sekundách)

Zobrazit odpověď

37:30 minut

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas Jany

Jana uplave 5 bazénů za 7 minut. Celkem má uplavat 25 bazénů, což je pětkrát více ($25 \div 5 = 5$). Její celkový čas tedy bude $5 \cdot 7 = 35$ minut.

Čas Květy

Květa uplave 10 bazénů za čtvrt hodiny, tedy za 15 minut. Na 20 bazénů potřebuje $2 \cdot 15 = 30$ minut. Zbývajících 5 bazénů (polovina z deseti) jí zabere polovinu času, tedy 7 minut a 30 sekund ($15 \div 2 = 7{,}5$ minuty). Celkem tedy Květa plave $30 + 7{,}5 = 37{,}5$ minuty.

Pomalejší plavkyně

Jana plave 35 minut a Květa 37,5 minuty. Pomalejší je ta, které to trvá déle, tedy Květa.

Převod na sekundy

Čas 37,5 minuty musíme uvést v minutách a sekundách. Celých minut je 37. Zbývající půlminuta ($0{,}5$ minuty) odpovídá 30 sekundám. Pomalejší plavkyně tedy plavala 37 minut a 30 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Lukáš vyhrál nad Matějem 20 kuliček, ale pak někde 14 kuliček ztratil. Potom přišla Karla, která měla 90 kuliček. Když pětinu z nich rozdělila rovným dílem mezi oba chlapce, měli všichni tři stejný počet kuliček.

Vypočtěte, kolik kuliček zbylo Karle.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pětina kuliček

Karla měla na začátku 90 kuliček. Pětinu z nich rozdělila mezi oba chlapce. Pětinu vypočítáme tak, že celkový počet kuliček vydělíme pěti:
$90 \div 5 = 18$

Kolik kuliček Karle zbylo

Když Karla rozdala 18 kuliček, odečteme je od jejího původního počtu:
$90 - 18 = 72$

Výsledek

Karle zbylo 72 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Vypočtěte, kolik kuliček měl Lukáš před výhrou nad Matějem.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kuličky u Karly

Karla měla na začátku 90 kuliček. Pětinu z nich rozdělila mezi chlapce. Spočítáme si pětinu z 90:
90 : 5 = 18 kuliček
Karle tedy po rozdělení zbylo:
90 - 18 = 72 kuliček

Konečný stav

V zadání se píše, že nakonec měli všichni tři stejný počet kuliček. Protože Karle zbylo 72 kuliček, musel mít Lukáš i Matěj na konci také každý 72 kuliček.

Lukáš před dárkem od Karly

Karla rozdělila 18 kuliček rovným dílem mezi oba chlapce, každý tedy dostal 9 kuliček ($18 : 2 = 9$).
Než Lukáš dostal kuličky od Karly, měl jich o 9 méně:
72 - 9 = 63 kuliček

Lukášův původní počet

Víme, že Lukáš měl 63 kuliček poté, co 20 kuliček vyhrál a 14 jich ztratil. Postupujeme pozpátku:
Kdyby kuličky neztratil, měl by jich o 14 více: $63 + 14 = 77$.
Těchto 77 kuliček měl Lukáš po výhře nad Matějem. Před výhrou jich tedy musel mít o 20 méně:
77 - 20 = 57 kuliček

Výsledek

Lukáš měl před výhrou nad Matějem 57 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.3

Vypočtěte, kolik kuliček měl Matěj před prohrou s Lukášem.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kuličky u Karly

Karla měla na začátku 90 kuliček. Pětinu z nich rozdělila mezi oba chlapce. Pětinu vypočítáme jako $90 \div 5 = 18$ kuliček. Karle tedy zbylo $90 - 18 = 72$ kuliček.

Kuličky pro chlapce

Karla oněch 18 kuliček rozdělila Lukášovi a Matějovi rovným dílem. Každý chlapec tedy od Karly dostal $18 \div 2 = 9$ kuliček.

Stav u Matěje na konci

Víme, že na konci měli všichni tři stejný počet kuliček. Karla jich měla 72, takže i Matěj jich měl na konci 72. Těchto 72 kuliček měl poté, co k němu přišla Karla a dala mu 9 kuliček. Před příchodem Karly jich tedy měl $72 - 9 = 63$.

Matěj před prohrou

Matěj měl 63 kuliček poté, co jich 20 prohrál s Lukášem. Abychom zjistili, kolik jich měl úplně na začátku (před prohrou), musíme těchto 20 kuliček zase přičíst: $63 + 20 = 83$ kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.1

5 talířků a 2 hrnky váží stejně jako 2 mísy. 1 mísa váží stejně jako 3 hrnky.

Vypočtěte, kolik talířků váží stejně jako 4 hrnky.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost mísy vyjádřená v hrncích

Víme, že jedna mísa váží stejně jako 3 hrnky. Dvě mísy tedy budou vážit jako dvě skupiny po třech hrncích, což je dohromady $2 \cdot 3 = 6$ hrnků.

Porovnání talířků a hrnků

V zadání je uvedeno, že 5 talířků a 2 hrnky váží stejně jako 2 mísy. Místo dvou mís si ale můžeme představit 6 hrnků (podle našeho předchozího výpočtu). Platí tedy, že 5 talířků a 2 hrnky mají stejnou hmotnost jako 6 hrnků.

Výpočet počtu talířků

Když od obou stran pomyslné váhy odebereme 2 hrnky, na jedné straně nám zůstane 5 talířků a na druhé straně z původních 6 hrnků zbudou 4 hrnky ($6 - 2 = 4$). To znamená, že 5 talířků váží stejně jako 4 hrnky.

Odpověď

Stejně jako 4 hrnky váží 5 talířků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

5 talířků a 2 hrnky váží stejně jako 2 mísy. 1 mísa váží stejně jako 3 hrnky.

Vypočtěte, kolik talířků váží stejně jako 4 mísy.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vyjádření mísy pomocí hrnků

Víme, že jedna mísa váží stejně jako 3 hrnky. To znamená, že dvě mísy váží stejně jako $2 \cdot 3 = 6$ hrnků.

Porovnání talířků a hrnků

V zadání se píše, že 5 talířků a 2 hrnky váží stejně jako 2 mísy. Místo 2 mís si ale můžeme dosadit 6 hrnků, které jsme vypočítali v prvním kroku. Platí tedy:
5 talířků + 2 hrnky = 6 hrnků.

Vztah mezi talířky a hrnky

Pokud od obou stran „ubereme“ 2 hrnky, zjistíme, že 5 talířků váží stejně jako 4 hrnky ($6 - 2 = 4$).

Výpočet pro 4 mísy

Máme zjistit, kolik talířků váží stejně jako 4 mísy. Víme, že jedna mísa jsou 3 hrnky, takže 4 mísy váží stejně jako $4 \cdot 3 = 12$ hrnků.

Finální výpočet

Už víme, že 4 hrnky jsou totéž co 5 talířků. Protože 12 hrnků je třikrát více než 4 hrnky ($12 \div 4 = 3$), bude i počet talířků třikrát větší: $3 \cdot 5 = 15$. Čtyři mísy tedy váží stejně jako 15 talířků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na vytvoření obrazce můžeme použít velké a malé čtverce a trojúhelníky. Malý čtverec má obsah 4 cm². Velký čtverec lze složit z 9 malých čtverců. Trojúhelníky získáme rozstřižením malého nebo velkého čtverce na dvě poloviny.

Vypočtěte v cm² obsah obrazce A.

Zobrazit odpověď

82 cm²

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah základních dílů

Ze zadání víme, že obsah jednoho malého čtverce je 4 cm². Velký čtverec se skládá z 9 malých čtverců, jeho obsah je tedy $9 \cdot 4 = 36\text{ cm}^2$. Velký trojúhelník vznikne rozstřižením velkého čtverce na polovinu, má tedy obsah $36 : 2 = 18\text{ cm}^2$.

Rozbor obrazce A

Obrazec A se podle nákresu skládá z těchto částí:

Základna: 1 velký čtverec
Střecha: 2 velké trojúhelníky
Komín: 3 malé čtverce

Výpočet celkového obsahu

Nyní sečteme obsahy všech částí:

Základna: $1 \cdot 36 = 36\text{ cm}^2$
Střecha: $2 \cdot 18 = 36\text{ cm}^2$
Komín: $3 \cdot 4 = 12\text{ cm}^2$

Celkový obsah obrazce A je $36 + 36 + 12 = 84\text{ cm}^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Vypočtěte v cm² obsah obrazce B.

Zobrazit odpověď

104 cm²

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základních prvků

Ze zadání a popisu prvků určíme obsahy jednotlivých dílků:

Malý čtverec: má v zadání uvedený obsah $4\text{ cm}^2$.
Malý trojúhelník: vznikne rozstřižením malého čtverce na polovinu, jeho obsah je $4 : 2 = 2\text{ cm}^2$.
Velký čtverec: lze složit z 9 malých čtverců, jeho obsah je tedy $9 \cdot 4 = 36\text{ cm}^2$.
Velký trojúhelník: vznikne rozstřižením velkého čtverce na polovinu, jeho obsah je $36 : 2 = 18\text{ cm}^2$.

Obsah levé věže

Levá věž se skládá z těchto částí:

Čtvercová základna: tvoří ji 4 malé čtverce (v rozvržení $2 \times 2$), tedy $4 \cdot 4 = 16\text{ cm}^2$.
Dvě špičky: tvoří je 2 malé trojúhelníky, tedy $2 \cdot 2 = 4\text{ cm}^2$.
Boční trojúhelník: 1 malý trojúhelník připojený k levému boku, tedy $2\text{ cm}^2$.

Součet za levou věž: $16 + 4 + 2 = 22\text{ cm}^2$.

Obsah pravé věže

Pravá věž se skládá z těchto částí:

Čtvercová základna: tvoří ji 4 malé čtverce (v rozvržení $2 \times 2$), tedy $4 \cdot 4 = 16\text{ cm}^2$.
Jedna špička: 1 malý trojúhelník umístěný na levé polovině základny, tedy $2\text{ cm}^2$.
Šikmá stěna: 1 velký trojúhelník, který má obsah $18\text{ cm}^2$.

Součet za pravou věž: $16 + 2 + 18 = 36\text{ cm}^2$.

Celkový obsah Obrazce B

Celkový obsah obrazce B získáme sečtením obsahů obou jeho částí (věží):
$22 + 36 = 58\text{ cm}^2$.

Výsledný obsah obrazce B je $58\text{ cm}^2$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží body A, S a přímka p procházející bodem S.

Bod A je vrchol trojúhelníku ABC, jehož strana AC měří 4 cm.
Oba vrcholy B, C tohoto trojúhelníku leží na přímce p.
Bod S je střed strany BC.

Sestrojte vrcholy B, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží bod K a přímky a, b.

Bod K je vrchol obdélníku KLMN.
Jedna strana tohoto obdélníku leží na některé z přímek a, b a zbývající vrchol obdélníku leží na druhé z těchto přímek.

Sestrojte vrcholy L, M, N obdélníku KLMN, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Děti sbírají kartičky pokémonů.
Petr má 12 kartiček a Pavel má o $\displaystyle \frac{1}{3}$ kartiček více než Petr.
Marek má o $\displaystyle \frac{1}{8}$ kartiček více než Nela. Počty kartiček Marka a Nely se liší o 6.
Alice má 45 kartiček a Bára 30 kartiček.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Petr a Pavel mají dohromady méně než 28 kartiček.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet Pavlových kartiček

Petr má 12 kartiček. Pavel má o $\frac{1}{3}$ více než Petr. Třetina z 12 je $12 : 3 = 4$. Pavel má tedy o 4 kartičky více než Petr, což je $12 + 4 = 16$ kartiček.

Dohromady Petr a Pavel

Sečteme počet kartiček Petra a Pavla: $12 + 16 = 28$ kartiček.

Ověření tvrzení

Tvrzení uvádí, že mají dohromady méně než 28 kartiček. Protože jich mají přesně 28, je toto tvrzení nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Marek má 54 kartiček.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v počtu kartiček

V zadání je uvedeno, že Marek má o $\frac{1}{8}$ kartiček více než Nela. Zároveň víme, že se jejich počty liší o 6 kartiček. Těchto 6 kartiček tedy představuje právě $\frac{1}{8}$ z počtu kartiček, které má Nela.

Počet kartiček Nely

Jestliže jedna osmina ($\frac{1}{8}$) je 6 kartiček, pak celý počet (osm osmin) vypočítáme jako $8 \cdot 6 = 48$. Nela má tedy 48 kartiček.

Počet kartiček Marka

Marek má o 6 kartiček více než Nela. K počtu Neliných kartiček tedy přičteme 6:
$48 + 6 = 54$.
Marek má skutečně 54 kartiček.

Závěr

Tvrzení v zadání je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Alice má o jednu třetinu kartiček více než Bára.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet kartiček Báry

Bára má podle zadání 30 kartiček.

Třetina z počtu kartiček Báry

Vypočítáme si, kolik je jedna třetina z počtu kartiček, které má Bára:
$30 \div 3 = 10$

Kolik by měla mít Alice

Kdyby měla Alice o jednu třetinu více než Bára, musela by mít o 10 kartiček více než ona:
$30 + 10 = 40$

Závěr

V zadání je uvedeno, že Alice má ve skutečnosti 45 kartiček. Protože 45 není 40, tvrzení je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Farma vykupuje tři druhy léčivých bylin A, B, C. Výkupní cenu za 1 kg každé z bylin znázorňuje následující graf, i když skutečná cena v korunách není uvedena.

Vedoucí skautského oddílu nasbírala 2 kg byliny A a 1 kg byliny B. Za nasbírané byliny A dostala o 60 korun více než za byliny B.

Kolik korun celkem dostala vedoucí za nasbírané byliny?

A) 130 korun
D) 390 korun
B) 195 korun
E) více než 390 korun
C) 260 korun

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Rozbor grafu a určení cen

Z grafu vyčteme poměrné ceny za 1 kg jednotlivých bylin. Svislá osa je rozdělena na stejné dílky. První vyznačená linka nad nulou odpovídá hodnotě 2. Každá další linka pak představuje nárůst o 1 jednotku.

Bylina A končí na 3. lince, což odpovídá ceně 4 jednotky za 1 kg.
Bylina B končí na 4. lince, což odpovídá ceně 5 jednotek za 1 kg.
Bylina C končí na 6. lince, což odpovídá ceně 7 jednotek za 1 kg.

Krok 2: Výpočet tržby v jednotkách

Vedoucí nasbírala 2 kg byliny A a 1 kg byliny B. Vypočítáme, kolik jednotek („dílků“) za ně celkem dostala:

Za 2 kg byliny A: $2 \times 4 = 8$ jednotek
Za 1 kg byliny B: $1 \times 5 = 5$ jednotek

Krok 3: Určení hodnoty jedné jednotky

V zadání se píše, že za byliny A dostala o 60 korun více než za byliny B. Porovnáme tedy jejich hodnoty v jednotkách:

Rozdíl: $8 - 5 = 3$ jednotky

Těmto 3 jednotkám odpovídá 60 korun. Jedna jednotka má tedy hodnotu: $60 : 3 = 20$ korun.

Krok 4: Celková částka v korunách

Vedoucí celkem nasbírala byliny v hodnotě 13 jednotek ($8 + 5 = 13$). Celkovou částku v korunách vypočítáme vynásobením počtu jednotek hodnotou jedné jednotky: $13 \times 20 = 260$ korun.

Závěr

Vedoucí celkem dostala 260 korun. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Farma vykupuje tři druhy léčivých bylin A, B, C. Výkupní cenu za 1 kg každé z bylin znázorňuje následující graf, i když skutečná cena v korunách není uvedena.

Chlapci ze skautského oddílu nasbírali 14 kg byliny B, dívky sbíraly bylinu C. Dívky dostaly za nasbírané byliny stejnou částku jako chlapci.

Kolik kg byliny C nasbíraly dívky?

A) 5 kg
D) 9 kg
B) 7 kg
E) 10 kg
C) 8 kg

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 11

Na táboře dostalo ke svačině každé mladší dítě 1 housku a každé starší dítě 3 housky. Ke svačině tak všem 70 dětem rozdali celkem 100 housek

O kolik více bylo na táboře mladších dětí než starších dětí?

A) o 10
D) o 40
B) o 20
E) o 50
C) o 30

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Předpoklad všech mladších dětí

Kdyby bylo všech 70 dětí mladších, každé by dostalo 1 housku. Celkem by se tedy rozdalo 70 housek ($70 \cdot 1 = 70$).

Rozdíl v počtu housek

Ve skutečnosti se ale rozdalo 100 housek, což je o 30 housek více ($100 - 70 = 30$).

Počet starších dětí

Každé starší dítě dostane o 2 housky více než mladší dítě ($3 - 1 = 2$). Těchto 30 housek navíc tedy musí patřit starším dětem. Starších dětí je proto 15 ($30 \div 2 = 15$).

Počet mladších dětí a rozdíl

Mladších dětí je zbytek do 70, tedy 55 ($70 - 15 = 55$). Mladších dětí je o 40 více než starších ($55 - 15 = 40$).

Výsledek

Mladších dětí bylo o 40 více než starších. Správná možnost je D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Do čtvercové sítě jsme naskládali tmavé čtverce, a vytvořili tak ornament, který není souměrný podle žádné osy. Některé čtverce jsou označeny písmeny.Odebráním jednoho ze čtverců A, B, C, D, nebo E vytvoříme nový ornament. Nový ornament buď je, nebo není souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).

Který z označených čtverců odebereme, aby ani nový ornament nebyl souměrný podle žádné osy?

A) čtverec A
D) čtverec D
B) čtverec B
E) čtverec E
C) čtverec C

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce byla ze stejných krychliček postavena velká krychle, která měla 4 vrstvy po 16 krychličkách.
Klára odebrala z velké krychle několik krychliček, aby vytvořila stavbu podle nákresu 1.
Mirek odebral z Klářiny stavby několik krychliček, aby vytvořil stavbu podle nákresu 2.
Nora odebrala z Mirkovy stavby několik krychliček, aby vytvořila stavbu podle nákresu 3.(Děti krychličky pouze odebíraly, s ostatními krychličkami nehýbaly.)

Přiřaďte k otázce správnou odpověď (A–F).

Kolik krychliček odebrala Klára z velké krychle?

A) 7
D) 4
B) 6
E) 3
C) 5
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k otázce správnou odpověď (A–F).

Kolik nejvíce krychliček mohl Mirek odebrat z Klářiny stavby?

A) 7
D) 4
B) 6
E) 3
C) 5
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor nákresů

Při porovnání nákresu 1 (Klára) a nákresu 2 (Mirek) hledáme rozdíly v počtu krychliček. Mirek z Klářiny stavby krychličky pouze odebíral. Vidíme, že v nákresu 2 ubyly některé viditelné krychličky oproti nákresu 1. Konkrétně v zadní části stavby je viditelný rozdíl 1 krychličky.

Skryté krychličky

Slovo nejvíce v otázce naznačuje, že Mirek mohl odebrat i krychličky, které nebyly v nákresu vidět (byly schované za vyššími sloupci). Protože původní velká krychle měla 4 vrstvy, maximální výška jednoho sloupce jsou 4 krychličky.

Výpočet maxima

Aby Mirek odebral co nejvíce krychliček, musíme předpokládat, že v Klářině stavbě byl jeden celý skrytý sloupec o výšce 4, který Mirek kompletně odstranil, a k tomu odebral 1 viditelnou krychličku. Celkem tedy: $1 + 4 = 5$.

Závěr

Mirek mohl z Klářiny stavby odebrat nejvíce 5 krychliček.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k otázce správnou odpověď (A–F).

Kolik nejméně krychliček musela Nora odebrat z Mirkovy stavby?

A) 7
D) 4
B) 6
E) 3
C) 5
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.

Obrazec má 19 řad.

Určete počet bílých trojúhelníků v 9. řadě.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor struktury obrazce

Obrazce jsou tvořeny řadami malých trojúhelníků a mají tvar velkého trojúhelníku obráceného špičkou dolů. Řady jsou očíslovány od nejkratší (spodní špička) po nejdelší (horní strana).
Počet všech malých trojúhelníků v každé řadě se řídí pravidlem: v n-té řadě je vždy $2n - 1$ trojúhelníků.
Pro 9. řadu to znamená: $2 \times 9 - 1 = 17$ trojúhelníků celkem.

Pravidlo pro tmavé šestiúhelníky

Tmavé šestiúhelníky se skládají ze 6 malých tmavých trojúhelníků, které se stýkají v jednom společném vrcholu. Tento středový vrchol vždy leží na rozhraní dvou sousedních řad. To znamená, že každý šestiúhelník zasahuje do dvou řad: 3 trojúhelníky má v jedné řadě a 3 trojúhelníky v řadě přímo nad ní.

Počet šestiúhelníků v řadách

Z nákresu vidíme, že šestiúhelníky jsou uspořádány do dvojic řad (vrstev), přičemž v každé vyšší vrstvě je o jeden šestiúhelník více:

1. vrstva (2. a 3. řada): 1 šestiúhelník
2. vrstva (4. a 5. řada): 2 šestiúhelníky
3. vrstva (6. a 7. řada): 3 šestiúhelníky
4. vrstva (8. a 9. řada): 4 šestiúhelníky

Výpočet pro 9. řadu

V 9. řadě se nacházejí části 4 šestiúhelníků z jejich příslušné vrstvy. Protože každý šestiúhelník v této řadě zabírá 3 trojúhelníky, je v 9. řadě celkem $4 \times 3 = 12$ tmavých trojúhelníků.
Počet bílých trojúhelníků v 9. řadě získáme odečtením tmavých od celkového počtu:
$17 - 12 = 5$

Závěr

V 9. řadě je 5 bílých trojúhelníků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Obrazec má 19 řad.

Určete počet tmavých trojúhelníků v 16. řadě.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza obrazce a řad

Z popisu a obrázků vidíme, že obrazce se skládají z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Každý šestiúhelník se skládá ze 6 tmavých trojúhelníků. Šestiúhelníky jsou uspořádány do „pater“ (úrovní), přičemž každé patro zabírá dvě sousední řady trojúhelníků:

1. patro: 2. a 3. řada (obsahuje 1 šestiúhelník)
2. patro: 4. a 5. řada (obsahuje 2 šestiúhelníky)
3. patro: 6. a 7. řada (obsahuje 3 šestiúhelníky)

Obecně platí, že v $k$-tém patře, které tvoří řady $2k$ a $2k+1$, se nachází právě $k$ šestiúhelníků.

Počet trojúhelníků v šestiúhelníku

Každý šestiúhelník v tomto uspořádání zasahuje do dvou řad. V každé z těchto dvou řad je tvořen právě 3 tmavými trojúhelníky. To si můžeme ověřit u prvního obrazce v 3. řadě: řada má celkem 5 trojúhelníků, z toho 2 v rozích jsou bílé, takže zbývající $5 - 2 = 3$ jsou tmavé a patří šestiúhelníku.

Určení patra pro 16. řadu

Hledáme počet tmavých trojúhelníků v 16. řadě. Protože 16 je sudé číslo, je to první řada v příslušném patře. Číslo patra $k$ určíme ze vztahu $2k = 16$, tedy $k = 8$. 16. řada je tedy součástí 8. patra šestiúhelníků.

Výpočet celkového počtu

V 8. patře se nachází 8 šestiúhelníků. Protože každý z těchto šestiúhelníků má v 16. řadě 3 tmavé trojúhelníky, celkový počet spočítáme jako:

8 \times 3 = 24

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Obrazec má 19 řad.

Určete počet tmavých šestiúhelníků v celém obrazci.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor vzoru

Z obrázku a popisu vidíme, že tmavé šestiúhelníky se nacházejí pouze v sudých řadách (2., 4., 6. atd.). V každé další sudé řadě je o jeden šestiúhelník více než v té předchozí:

Ve 2. řadě je 1 šestiúhelník.
Ve 4. řadě jsou 2 šestiúhelníky.
V 6. řadě jsou 3 šestiúhelníky.

Počet šestiúhelníků v řadě odpovídá polovině čísla této řady (např. v 6. řadě jsou $6 : 2 = 3$ šestiúhelníky).

Určení řad v obrazci s 19 řadami

Obrazec má celkem 19 řad. Poslední řada, ve které se nacházejí tmavé šestiúhelníky, je tedy 18. řada (protože šestiúhelníky jsou jen v sudých řadách a 19 je liché číslo).

Počet šestiúhelníků v poslední řadě

Zjistíme, kolik šestiúhelníků je v 18. řadě:
$18 : 2 = 9$
V 18. řadě je tedy 9 šestiúhelníků.

Výpočet celkového počtu

Nyní sečteme počty šestiúhelníků ve všech sudých řadách od 2. až po 18. řadu:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$
Součet můžeme vypočítat postupně nebo si pomoci dvojicemi: $(1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45$.

Závěr

V celém obrazci, který má 19 řad, je celkem 45 tmavých šestiúhelníků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body