Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2020

26 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 305-20+15 \div 5-2 \cdot \left( 4+2 \cdot 3 \right) =$

Zobrazit odpověď

268

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Závorka

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce. V závorce má přednost násobení před sčítáním:
$4 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10$

Násobení a dělení

Nyní v celém příkladu provedeme násobení a dělení, které mají přednost před sčítáním a odčítáním:

$15 \div 5 = 3$
$2 \cdot 10 = 20$

Příklad teď vypadá takto: $305 - 20 + 3 - 20$

Sčítání a odčítání

Nakonec provedeme zbývající operace postupně zleva doprava:

$305 - 20 = 285$
$285 + 3 = 288$
$288 - 20 = 268$

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 268.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 883+884+885 \right) \div 3 - 880 \div 4=$

Zobrazit odpověď

664

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky a dělení

V závorce máme součet tří po sobě jdoucích čísel: $883 + 884 + 885$. Jejich součet je $2652$. Když tento součet vydělíme třemi, dostaneme:
$2652 \div 3 = 884$

Druhé dělení

Nyní vypočítáme druhou část příkladu:
$880 \div 4 = 220$

Odečtení výsledků

Nakonec od prvního výsledku odečteme druhý:
$884 - 220 = 664$

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 664.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Sjezdovka je o polovinu delší než lanovka. Jejich délky se liší o čtvrt kilometru.

Vypočtěte v metrech délku sjezdovky.

Zobrazit odpověď

750 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v délce

Ze zadání víme, že sjezdovka je o polovinu delší než lanovka. To znamená, že rozdíl mezi jejich délkami tvoří přesně polovinu délky lanovky.

Převod na metry

Jejich délky se liší o čtvrt kilometru. Protože máme výsledek uvést v metrech, převedeme si tento rozdíl: 1 km má 1000 metrů, tedy čtvrt kilometru je $1000 : 4 = 250

nbsp;metrů.

Délka lanovky

Jestliže polovina délky lanovky je 250 metrů, pak celá lanovka měří dvakrát tolik: $2 \cdot 250 = 500

nbsp;metrů.

Výpočet délky sjezdovky

Sjezdovka je o 250 metrů delší než lanovka. Její délka je tedy: $500 + 250 = 750

nbsp;metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Jízda lanovkou trvala 1 minutu a 24 sekund. Lyžař sjel sjezdovku za dobu o třetinu kratší.

Vypočtěte v sekundách, za jak dlouho sjel lyžař sjezdovku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na sekundy

Nejdříve si čas jízdy lanovkou převedeme na sekundy. Víme, že jedna minuta má 60 sekund.
$1\text{ min } 24\text{ s} = 60\text{ s} + 24\text{ s} = 84\text{ s}$

Výpočet třetiny času

Lyžař sjel sjezdovku o třetinu rychleji než lanovka. Musíme tedy zjistit, kolik je jedna třetina z 84 sekund:
$84 : 3 = 28\text{ s}$

Čas lyžaře

Od celkového času lanovky odečteme vypočítanou třetinu, abychom získali výsledný čas lyžaře:
$84 - 28 = 56\text{ s}$

Výsledek

Lyžař sjel sjezdovku za 56 sekund.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3

Na každé z 6 kartiček bylo zapsáno jedno číslo od 1 do 6. Žádná dvojice kartiček neobsahovala stejné číslo.
Tři kartičky měl Eda a zbývající tři Petr. Součet čísel na Edových kartičkách byl o 3 větší než součet čísel na Petrových kartičkách.

Určete, která čísla byla na Petrových kartičkách.

Najděte všechna řešení. (Nezapisujte čísla na Edových kartičkách.)

Zobrazit odpověď

1,2,6; 1,3,5; 2,3,4

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Celkový součet všech čísel

Nejdříve si spočítáme, jaký je součet všech šesti čísel na kartičkách:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Krok 2: Výpočet součtu Petrových kartiček

Víme, že celkový součet 21 je rozdělen mezi Edu a Petra tak, že Eda má o 3 více.
Když od celkového součtu odečteme tento rozdíl:
21 – 3 = 18
Tento zbytek si oba rozdělí rovným dílem:
18 : 2 = 9
Petr má tedy na svých kartičkách součet 9 (a Eda má 9 + 3 = 12).

Krok 3: Hledání všech možností pro Petra

Musíme najít všechny trojice různých čísel od 1 do 6, které mají součet 9. Budeme postupovat systematicky:

Začneme jedničkou: 1 + 2 + 6 = 9 a 1 + 3 + 5 = 9
Začneme dvojkou: 2 + 3 + 4 = 9

Další možnosti už neexistují, protože čísla se nesmí opakovat a hledáme trojice.

Závěr

Petr mohl mít na kartičkách tyto tři sady čísel: 1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 4.1

Děti koupily mamince k narozeninám kytici růží, bonboniéru, ozdobnou záložku a knihu. Kytice s bonboniérou stály celkem 180 korun. Kytice byla dvakrát dražší než bonboniéra. Všechny čtyři dárky stály celkem 310 korun. Samotná kniha byla o 100 korun dražší než ozdobná záložka.

Vypočtěte, kolik korun zaplatily děti za kytici růží.

Zobrazit odpověď

120

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení na díly

Ze zadání víme, že kytice byla dvakrát dražší než bonboniéra. Můžeme si tedy cenu bonboniéry představit jako 1 díl a cenu kytice jako 2 stejné díly.

Výpočet jednoho dílu

Dohromady kytice s bonboniérou stály 180 korun a tvoří celkem 3 stejné díly ($1 + 2 = 3$). Cenu jednoho dílu (bonboniéry) vypočítáme tak, že celkovou částku vydělíme třemi:
180 : 3 = 60 korun

Cena kytice

Kytice růží tvoří 2 díly, její cenu tedy získáme vynásobením ceny jednoho dílu dvěma:
60 · 2 = 120 korun

Závěr

Děti za kytici růží zaplatily 120 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Vypočtěte, kolik korun stála ozdobná záložka.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena bonboniéry a kytice

Víme, že kytice a bonboniéra stály dohromady 180 korun a kytice byla dvakrát dražší než bonboniéra. Celkovou částku 180 korun si tedy můžeme představit jako tři stejné díly (dva díly za kytici a jeden za bonboniéru).
Jeden díl vypočítáme jako: $180 \div 3 = 60$ korun.
Bonboniéra tedy stála 60 korun a kytice 120 korun ($2 \cdot 60$).

Cena záložky a knihy dohromady

Všechny čtyři dárky stály celkem 310 korun. Pokud od této částky odečteme cenu kytice a bonboniéry (180 korun), získáme cenu za záložku a knihu dohromady.
$310 - 180 = 130$ korun.

Výpočet ceny záložky

Víme, že kniha byla o 100 korun dražší než záložka. Pokud by kniha stála stejně jako záložka, stály by obě věci dohromady o 100 korun méně.
$130 - 100 = 30$ korun.
Tuto zbývající částku rozdělíme na dvě stejné části (jednu pro záložku a jednu pro knihu).
$30 \div 2 = 15$ korun.

Závěr

Ozdobná záložka stála 15 korun. (Kniha by pak stála $15 + 100 = 115$ korun, což dohromady dává $15 + 115 = 130$ korun).

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Kouzelník přinesl víle kouzelný podnos se 42 bílými perlami.
Víla z podnosu odebírala perly na šperky. Za každou odebranou bílou perlu se na podnose okamžitě vykouzlily 4 růžové perly, ale na růžové perly kouzlo nefungovalo.
Z prvních 30 odebraných bílých perel víla vytvořila náhrdelník. Když ho dokončila, začala z podnosu odebírat další perly (bílé i růžové) na korunku. Perly na korunku odebírala tak dlouho, dokud nebyl podnos prázdný.

Vypočtěte, kolik perel bylo na podnose, když víla dokončila náhrdelník.

Zobrazit odpověď

132

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zbývající bílé perly

Na začátku bylo na podnose 42 bílých perel. Víla jich 30 odebrala na náhrdelník, takže na podnose jich zbylo:
42 - 30 = 12 bílých perel

Nové růžové perly

Za každou odebranou bílou perlu se vykouzlily 4 růžové. Protože víla odebrala 30 bílých perel, na podnose se objevilo:
30 · 4 = 120 růžových perel

Celkový počet perel

Nyní spočítáme všechny perly, které na podnose zůstaly. Jsou tam zbývající bílé perly a nově vykouzlené růžové perly:
12 + 120 = 132 perel

Závěr

Když víla dokončila náhrdelník, bylo na podnose celkem 132 perel.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik perel odebrala víla z podnosu na korunku.

Zobrazit odpověď

180

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Všechny perly na podnose

Víla postupně z podnosu odebere všech 42 bílých perel. Za každou z nich se na podnose objeví 4 růžové perly. Celkový počet růžových perel, které se na podnose během celého kouzlení objeví, je tedy:
$42 \cdot 4 = 168$

Celkový počet perel

Dohromady se na podnose objeví 42 bílých perel a 168 růžových perel. Celkový počet všech perel je:
$42 + 168 = 210$

Výpočet pro korunku

Na náhrdelník víla použila 30 bílých perel. Všechny ostatní perly, které na podnose byly nebo se na něm objevily, použila na korunku. Počet perel na korunku vypočítáme tak, že od celkového počtu všech perel odečteme ty, které víla vzala na náhrdelník:
$210 - 30 = 180$

Závěr

Víla odebrala na korunku celkem 180 perel.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Každý ze tří spolužáků měl zapsat co nejvíce hlavních měst evropských států.
Adam zapsal 12 hlavních měst, stejně jako Bětka, ale Eliška jich zapsala jen 6.
Mezi všemi zapsanými hlavními městy byla 2 města zapsána třikrát, 7 měst dvakrát a ostatní jen jedenkrát.

Vypočtěte, kolik hlavních měst bylo zapsáno jen jedenkrát.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet zápisů

Nejdříve zjistíme, kolik hlavních měst zapsali všichni tři spolužáci dohromady. Adam zapsal 12 měst, Bětka také 12 měst a Eliška 6 měst.
$12 + 12 + 6 = 30$
Dohromady tedy zapsali 30 názvů (i když se některé opakovaly).

Města zapsaná vícekrát

Nyní spočítáme, kolik z těchto 30 zápisů tvoří města, která se v seznamech opakovala:

2 města byla zapsána třikrát: $2 \cdot 3 = 6$ zápisů
7 měst bylo zapsáno dvakrát: $7 \cdot 2 = 14$ zápisů

Dohromady tato opakovaná města tvoří $6 + 14 = 20$ zápisů.

Města zapsaná jednou

Od celkového počtu 30 zápisů odečteme 20 zápisů, která patřila opakujícím se městům. Zbytek jsou města, která se v seznamech objevila jen jedenkrát.
$30 - 20 = 10$
Jen jedenkrát bylo zapsáno 10 hlavních měst.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, kolik různých hlavních měst bylo celkem zapsáno.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet zápisů

Nejdříve zjistíme, kolik hlavních měst zapsali všichni tři spolužáci dohromady. Sečteme jejich výkony:
12 (Adam) + 12 (Bětka) + 6 (Eliška) = 30 zápisů.

Města zapsaná vícekrát

Víme, že některá města se v seznamech opakovala. Vypočítáme, kolik zápisů tato opakující se města spotřebovala:

2 města byla zapsána třikrát: $2 \cdot 3 = 6$ zápisů
7 měst bylo zapsáno dvakrát: $7 \cdot 2 = 14$ zápisů

Dohromady tato města tvoří $6 + 14 = 20$ zápisů.

Města zapsaná jen jednou

Od celkového počtu všech zápisů odečteme ty, které patří městům zapsaným vícekrát:
$30 - 20 = 10$
Zbývá nám 10 zápisů. Protože tato zbývající města byla zapsána každé jen jedenkrát, musí jich být přesně 10.

Celkový počet různých měst

Nyní už jen stačí sečíst počty všech různých měst, o kterých víme:

města zapsaná třikrát: 2
města zapsaná dvakrát: 7
města zapsaná jedenkrát: 10

Celkem bylo zapsáno $2 + 7 + 10 = 19$ různých hlavních měst.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží polopřímka XY a bod A.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Jiné dva vrcholy tohoto obdélníku leží na polopřímce XY a délka strany AB je 7 cm.

Sestrojte vrcholy B, C, D obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží přímka p a body N, O.

Body N, O jsou vrcholy trojúhelníku NOP. Vrchol P tohoto trojúhelníku leží na přímce p. Délka strany NO je polovinou délky strany OP.

Sestrojte vrchol P trojúhelníku NOP, označte jej písmenem a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B. Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je 7 cm².

Zobrazit odpověď

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B. Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je o 1 cm² větší než obsah obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A můžeme rozdělit na dvě jednodušší části, abychom snadno určili jeho obsah:

První část je velký trojúhelník v horní a pravé části. Ten tvoří přesně polovinu čtverce o straně 4 cm, takže jeho obsah je $(4 \cdot 4) : 2 = 8 \text{ cm}^2$.
Druhá část je menší trojúhelník v dolní části (pod diagonálou). Ten má základnu dlouhou 4 cm (pokud bychom ho doplnili) a výšku 1 cm, nebo ho můžeme spočítat pomocí mřížových bodů. Jeho obsah jsou $2 \text{ cm}^2$.

Celkový obsah obrazce A je tedy $8 + 2 = 10 \text{ cm}^2$.

Obsah obrazce B

Obsah obrazce B určíme nejsnáze tak, že ho doplníme na obdélník o stranách 7 cm a 3 cm a odečteme prázdná místa v rozích:

Celý obdélník má obsah $7 \cdot 3 = 21 \text{ cm}^2$.
Vlevo nahoře chybí trojúhelník o obsahu $(5 \cdot 3) : 2 = 7,5 \text{ cm}^2$.
Vpravo nahoře chybí trojúhelník o obsahu $(2 \cdot 2) : 2 = 2 \text{ cm}^2$.
Vlevo dole chybí trojúhelník o obsahu $(3 \cdot 1) : 2 = 1,5 \text{ cm}^2$.

Obsah obrazce B je tedy $21 - (7,5 + 2 + 1,5) = 21 - 11 = 10 \text{ cm}^2$.

Porovnání a závěr

Nyní porovnáme oba vypočítané obsahy:

Obsah obrazce A = $10 \text{ cm}^2$
Obsah obrazce B = $10 \text{ cm}^2$

Tvrzení v úloze říká, že obsah obrazce B je o $1 \text{ cm}^2$ větší než obsah obrazce A. Protože jsou oba obsahy stejné ($10 = 10$), tvrzení není pravdivé.

Správná odpověď je tedy N.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B. Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm a obsah 1 cm².

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce B je stejný jako obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 9

Adéla a Hana dostaly stejnou knihu. Hana přečetla z knihy denně 10 stran. Adéla přečetla celou knihu za 8 dní a každý den z ní přečetla o polovinu více stran než Hana.

Za kolik dní přečetla celou knihu Hana?

A) za méně než 10 dní
D) za 15 dní
B) za 10 dní
E) za více než 15 dní
C) za 12 dní

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Stránky přečtené Adélou za den

Hana přečetla denně 10 stran. Adéla přečetla o polovinu více stran než Hana. Polovina z 10 je 5, takže Adéla přečetla denně $10 + 5 = 15$ stran.

Celkový počet stran v knize

Adéla přečetla celou knihu za 8 dní. Každý den přečetla 15 stran, celkem tedy kniha má $8 \cdot 15 = 120$ stran.

Doba čtení Hany

Hana přečte denně 10 stran. Celou knihu o 120 stranách tedy přečte za $120 \div 10 = 12$ dní.

Výsledek

Hana přečetla celou knihu za 12 dní. Správná je možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Všichni žáci 4. a 5. třídy se zúčastnili soutěže, v níž mohl každý z nich získat 0 až 3 body.
V následujícím grafu jsou uvedeny počty žáků, kteří získali v soutěži daný počet bodů, jeden údaj však chybí.Žáci 4. třídy získali v soutěži celkem o 2 body méně než žáci 5. třídy.

Kolik bodů celkem získali v soutěži žáci 5. třídy?

A) 34 bodů
D) 40 bodů
B) 36 bodů
E) jiný počet bodů
C) 38 bodů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet bodů 4. třídy

Nejdříve spočítáme, kolik bodů celkem získali žáci 4. třídy (tmavě šedé sloupce). Počet žáků v každé kategorii vynásobíme příslušným počtem bodů:

0 bodů: 3 žáci $\rightarrow 3 \cdot 0 = 0$ bodů
1 bod: 10 žáků $\rightarrow 10 \cdot 1 = 10$ bodů
2 body: 8 žáků $\rightarrow 8 \cdot 2 = 16$ bodů
3 body: 4 žáci $\rightarrow 4 \cdot 3 = 12$ bodů

Celkem za 4. třídu: $0 + 10 + 16 + 12 = 38$ bodů.

Určení celkového počtu bodů 5. třídy

V zadání je uvedeno, že žáci 4. třídy získali o 2 body méně než žáci 5. třídy. Z toho vyplývá, že žáci 5. třídy získali o 2 body více než žáci 4. třídy.
Výpočet: $38 + 2 = 40$ bodů.

Ověření

Můžeme si ověřit, zda tento výsledek odpovídá grafu pro 5. třídu (světle šedé sloupce):

0 bodů: 5 žáků ($0$ bodů)
1 bod: 4 žáci ($4$ body)
2 body: 9 žáků ($18$ bodů)

Dosavadní součet pro 5. třídu je $0 + 4 + 18 = 22$ bodů. Aby byl celkový součet 40 bodů, musí zbývající žáci získat $40 - 22 = 18$ bodů. Protože každý z nich získal 3 body, musí jich být $18 : 3 = 6$. To odpovídá prázdnému místu s otazníkem v grafu.

Závěr

Žáci 5. třídy získali v soutěži celkem 40 bodů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Kolik žáků chodí do 5. třídy?

A) méně než 24 žáků
D) 26 žáků
B) 24 žáků
E) více než 26 žáků
C) 25 žáků

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Výpočet bodů 4. třídy

Z grafu vyčteme počty žáků 4. třídy pro jednotlivé bodové zisky a vypočítáme jejich celkový bodový zisk:

0 bodů: 3 žáci ($3 \times 0 = 0$ bodů)
1 bod: 10 žáků ($10 \times 1 = 10$ bodů)
2 body: 8 žáků ($8 \times 2 = 16$ bodů)
3 body: 4 žáci ($4 \times 3 = 12$ bodů)

Celkem získali žáci 4. třídy: $0 + 10 + 16 + 12 = 38$ bodů.

Krok 2: Určení bodů 5. třídy

V zadání je uvedeno, že žáci 4. třídy získali o 2 body méně než žáci 5. třídy. To znamená, že 5. třída získala o 2 body více než 4. třída:
$38 + 2 = 40$ bodů.

Krok 3: Výpočet počtu žáků 5. třídy se 3 body

Z grafu zjistíme body, které získali žáci 5. třídy za 0 až 2 body:

0 bodů: 5 žáků ($5 \times 0 = 0$ bodů)
1 bod: 4 žáci ($4 \times 1 = 4$ body)
2 body: 9 žáků ($9 \times 2 = 18$ bodů)

Dohromady tito žáci získali: $0 + 4 + 18 = 22$ bodů.
Do celkového počtu 40 bodů zbývá 5. třídě získat: $40 - 22 = 18$ bodů.
Tyto body získali žáci za 3 body, jejich počet tedy je: $18 : 3 = 6$ žáků.

Krok 4: Celkový počet žáků 5. třídy

Nyní sečteme všechny žáky 5. třídy z grafu (včetně dopočítaných žáků se 3 body):
$5 + 4 + 9 + 6 = 24$ žáků.

Správná odpověď je 24 žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

První číslo je čtvrtinou druhého čísla. Třetí číslo je 64, což je čtyřnásobek druhého čísla.

Jaké je první číslo?

A) 64
D) 8
B) 32
E) 4
C) 16

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Druhé číslo

Ze zadání víme, že třetí číslo je 64 a zároveň je to čtyřnásobek druhého čísla. Druhé číslo tedy zjistíme tak, že 64 vydělíme čtyřmi:
$64 : 4 = 16$

První číslo

První číslo je čtvrtinou druhého čísla. Čtvrtinu vypočítáme dělením čtyřmi:
$16 : 4 = 4$

Výsledek

První číslo je 4. Správná je tedy možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Ve stavebnici je 18 stejných krychlí. Krychle mají na každé stěně jeden puntík. Na každé krychli jsou 2 bílé a 4 černé puntíky. Bílé puntíky jsou na krychli umístěny vždy proti sobě (buď nahoře a dole, nebo vpředu a vzadu, nebo vpravo a vlevo).Slepili jsme první a druhé těleso, každé z 6 krychlí. První těleso má na celém svém povrchu (tedy i zespodu) 26 puntíků (bílých i černých dohromady).
Podle schématu slepíme ze zbývajících 6 krychlí třetí těleso.

Přiřaďte k otázce správnou odpověď (A–F).

Jaký je počet černých puntíků na povrchu prvního tělesa?

A) 17
D) 20
B) 18
E) 21
C) 19
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet puntíků na povrchu

Ze zadání víme, že první těleso je složeno z 6 stejných krychlí a na celém svém povrchu (včetně spodní strany) má dohromady 26 puntíků. Protože každá stěna krychle má právě jeden puntík, znamená to, že na povrchu tělesa je vidět 26 stěn těchto krychlí.

Rozmístění bílých puntíků

Každá krychle má 2 bílé a 4 černé puntíky. Důležité je, že bílé puntíky jsou vždy proti sobě. Pokud je tedy bílý puntík nahoře, druhý musí být dole. Pokud je vpravo, druhý je vlevo. Pokud je vpředu, druhý je vzadu.

Bílé puntíky na povrchu tělesa

Podle obrázku a popisu určíme, kolik bílých puntíků je na povrchu vidět:

První, druhá a pátá krychle (vlevo a vzadu) mají bílý puntík nahoře. To znamená, že mají bílý puntík i vespod. Obě tyto stěny jsou na povrchu tělesa. Celkem: $3 \cdot 2 = 6$ bílých puntíků.
Třetí krychle má bílý puntík vpředu (na povrchu). Druhý bílý puntík je vzadu, kde se dotýká páté krychle, takže není vidět. Celkem: $1$ bílý puntík.
Čtvrtá krychle má bílý puntík vpravo (na povrchu). Druhý je vlevo, kde se dotýká třetí krychle. Celkem: $1$ bílý puntík.
Šestá krychle (vpravo vzadu) má bílý puntík vpravo (na povrchu). Druhý je vlevo, kde se dotýká páté krychle. Celkem: $1$ bílý puntík.

Dohromady je na povrchu $6 + 1 + 1 + 1 = 9$ bílých puntíků.

Výpočet černých puntíků

Nyní od celkového počtu puntíků na povrchu odečteme ty bílé:

26 - 9 = 17

Na povrchu prvního tělesa je tedy 17 černých puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k otázce správnou odpověď (A–F).

Jaký je počet černých puntíků na povrchu druhého tělesa?

A) 17
D) 20
B) 18
E) 21
C) 19
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Počet stěn na povrchu tělesa

Druhé těleso se skládá ze 6 stejných krychlí. Každá krychle má 6 stěn, celkem tedy mají 36 stěn ($6 \times 6 = 36$).
Abychom zjistili počet puntíků na povrchu, musíme odečíst stěny, které jsou schované uvnitř tělesa (tam, kde se krychle dotýkají). Každý spoj zakryje 2 stěny. V druhém tělese je 6 spojů:

2 spoje v přední řadě (mezi levou, prostřední a pravou krychlí),
2 spoje mezi přední a zadní řadou,
1 spoj v zadní řadě (mezi dvěma krychlemi),
1 spoj pod horní krychlí.

Celkem je schovaných 12 stěn ($6 \times 2 = 12$). Na povrchu tělesa (včetně spodní strany) je tedy 24 stěn ($36 - 12 = 24$).

Krok 2: Rozmístění bílých puntíků

Víme, že každá krychle má 2 bílé puntíky umístěné proti sobě. Ostatní 4 stěny mají černé puntíky. Musíme určit, kolik bílých puntíků je na povrchu tělesa:

1. krychle (vlevo vpředu): Má bílé puntíky na bocích. Pravý bok je schovaný, levý je vidět. (1 bílý)
2. krychle (uprostřed vpředu): Má bílé puntíky na bocích. Oba boky jsou schované. (0 bílých)
3. krychle (vpravo vpředu): Má bílý puntík v jedné z viditelných dvojic (např. vpravo/vlevo nebo vpředu/vzadu). Vždy je jeden bílý puntík schovaný v místě spoje a jeden je na povrchu. (1 bílý)
4. krychle (uprostřed vzadu): Má bílé puntíky nahoře a dole. Obě tyto stěny jsou na povrchu. (2 bílé)
5. krychle (vpravo vzadu): Má jeden bílý puntík schovaný (např. v místě spoje s horní krychlí) a jeden na povrchu (např. dole). (1 bílý)
6. krychle (nahoře): Má bílé puntíky na bocích. Oba jsou na povrchu. (2 bílé)

Celkem je na povrchu 7 bílých puntíků ($1 + 0 + 1 + 2 + 1 + 2 = 7$).

Krok 3: Výpočet černých puntíků

Na povrchu tělesa je celkem 24 stěn (tedy 24 puntíků).
Už víme, že 7 z nich jsou bílé.
Počet černých puntíků na povrchu vypočítáme snadno: $24 - 7 = 17$.
Na povrchu druhého tělesa je tedy 17 černých puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Přiřaďte k otázce správnou odpověď (A–F).

Jaký je největší možný počet černých puntíků na povrchu třetího tělesa?

A) 17
D) 20
B) 18
E) 21
C) 19
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet krychlí a stěn tělesa

Ve stavebnici je celkem 18 krychlí. První i druhé těleso jsou každé ze 6 krychlí, dohromady tedy spotřebovaly 12 krychlí. Na třetí těleso zbývá posledních 6 krychlí ($18 - 6 - 6 = 6$).
Podle schématu má třetí těleso 5 krychlí v základně (3 v zadní řadě a 2 v přední řadě), které jsou vzájemně slepeny v 5 spojích. Abychom využili všech 6 krychlí a vytvořili těleso, musíme přidat ještě jednu krychli (například prodloužit zadní řadu), čímž vznikne celkem 6 spojů. Každý spoj zakryje 2 stěny. Celkový počet stěn na povrchu tělesa bude:
$6 \times 6 - 2 \times 6 = 36 - 12 = 24$ stěn.

Rozmístění puntíků na krychlích

Každá krychle má 6 stěn a na každé stěně je právě jeden puntík. Celkem jsou na každé krychli 2 bílé a 4 černé puntíky. Důležité je, že bílé puntíky jsou vždy proti sobě. To znamená, že na každé krychli můžeme bílé puntíky umístit buď na dvojici stěn nahoře-dole, vlevo-vpravo, nebo vpředu-vzadu.

Maximalizace černých puntíků

Abychom měli na povrchu co nejvíce černých puntíků, musíme se snažit „schovat“ co nejvíce bílých puntíků do spojů mezi krychlemi. Bílý puntík se schová, pokud je stěna s ním použitá ke slepení. Protože jsou bílé puntíky proti sobě, může jedna krychle schovat oba své bílé puntíky jen tehdy, pokud je slepena s jinými krychlemi na dvou protilehlých stranách (tedy leží „uvnitř“ nějaké řady).
V našem tělese ze 6 krychlí (např. 4 v zadní řadě, 2 v přední) mohou být takto „uvnitř“ řady dvě krychle v zadní řadě. Ty schovají celkem 4 bílé puntíky ($2 + 2$). Ostatní 4 krychle jsou na koncích nebo mají spoje v různých směrech, takže každá z nich může schovat nejvýše 1 bílý puntík (celkem 4). Celkem lze tedy schovat 8 bílých puntíků ($4 + 4 = 8$).

Výpočet výsledku

Všech 6 krychlí má dohromady 12 bílých puntíků ($6 \times 2 = 12$). Pokud se nám podaří 8 bílých puntíků schovat dovnitř tělesa, na povrchu zůstanou 4 bílé puntíky ($12 - 8 = 4$).
Na povrchu tělesa je celkem 24 stěn s puntíky. Když od nich odečteme 4 bílé, dostaneme počet černých puntíků:
20
Největší možný počet černých puntíků na povrchu třetího tělesa je tedy 20.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

První obrazec je sestaven z 9 sirek, druhý obrazec je sestaven ze 13 sirek a třetí i všechny následující obrazce se postupně zvětšují podle téhož pravidla.

Určete, o kolik sirek má 5. obrazec více než 3. obrazec.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hledání pravidla

Ze zadání víme, že 1. obrazec má 9 sirek a 2. obrazec má 13 sirek. Rozdíl mezi nimi je $13 - 9 = 4$ sirky. Protože se všechny následující obrazce zvětšují podle stejného pravidla, každý další obrazec bude mít vždy o 4 sirky více než ten předchozí.

Výpočet počtu sirek

Můžeme postupně dopočítat počty sirek pro další obrazce:

3. obrazec: $13 + 4 = 17$ sirek
4. obrazec: $17 + 4 = 21$ sirek
5. obrazec: $21 + 4 = 25$ sirek

Určení rozdílu

Máme určit, o kolik sirek má 5. obrazec více než 3. obrazec:

$25 - 17 = 8$

Alternativně si můžeme uvědomit, že mezi 3. a 5. obrazcem jsou dva kroky zvětšení. Protože v každém kroku přibudou 4 sirky, celkový rozdíl je $2 \cdot 4 = 8$ sirek.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

První obrazec je sestaven z 9 sirek, druhý obrazec je sestaven ze 13 sirek a třetí i všechny následující obrazce se postupně zvětšují podle téhož pravidla.

Určete, z kolika sirek je sestaven 20. obrazec.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení pravidla

První obrazec má 9 sirek a druhý má 13 sirek. Rozdíl mezi nimi je 4 sirky ($13 - 9 = 4$). To znamená, že s každým dalším obrazcem přibudou vždy 4 sirky. Každý nový obrazec totiž vznikne přidáním jednoho čtverce s úhlopříčkou, který sdílí jednu stranu s předchozím čtvercem.

Krok 2: Výpočet pro 20. obrazec

Chceme zjistit počet sirek ve 20. obrazci. Od 1. obrazce do 20. obrazce musíme udělat 19 kroků zvětšení. V každém z těchto 19 kroků přibudou 4 sirky:
$19 \times 4 = 76$
K těmto přidaným sirkám musíme připočítat 9 sirek z prvního obrazce:
$9 + 76 = 85$

Závěr

20. obrazec je sestaven z 85 sirek.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

První obrazec je sestaven z 9 sirek, druhý obrazec je sestaven ze 13 sirek a třetí i všechny následující obrazce se postupně zvětšují podle téhož pravidla.

Určete, kolikátý obrazec je sestaven ze 129 sirek.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazců a hledání pravidla

Z textu a obrázku vidíme, jak se počet sirek mění:

1. obrazec: 9 sirek
2. obrazec: 13 sirek (přibyly 4 sirky)
3. obrazec: 17 sirek (přibyly další 4 sirky)

Každý další obrazec má o 4 sirky více než ten předchozí (přidá se jeden čtverec s úhlopříčkou, který ale sdílí jednu stranu s předchozím čtvercem).

Výpočet rozdílu v počtu sirek

Hledáme obrazec, který má celkem 129 sirek. Nejprve zjistíme, o kolik více sirek má tento obrazec oproti úplně prvnímu obrazci:

$129 - 9 = 120$

Určení počtu přidaných kroků

Víme, že v každém dalším kroku přibudou 4 sirky. Vypočítáme, kolikrát se tyto 4 sirky vejdou do našeho rozdílu 120 sirek:

$120 : 4 = 30$

To znamená, že k prvnímu obrazci jsme museli přidat 30 dalších čtverců.

Výsledné pořadí obrazce

Hledaný obrazec je tedy o 30 kroků dále než ten první:

$1 + 30 = 31$

Závěr

Ze 129 sirek je sestaven 31. obrazec.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body