Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2019

29 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 9+9 \cdot 7-7+ \left( 7+7 \right) \cdot \left( 9-9 \right) =$

Zobrazit odpověď

65

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Závorky

Při výpočtu musíme nejdříve vyřešit to, co je v závorkách:
$7 + 7 = 14$
$9 - 9 = 0$

Násobení

Násobení má přednost před sčítáním a odčítáním. Dosadíme výsledky ze závorek a vynásobíme:
$9 \cdot 7 = 63$
$14 \cdot 0 = 0$

Nyní máme příklad ve tvaru: $9 + 63 - 7 + 0$

Sčítání a odčítání

Nakonec počítáme postupně zleva doprava:
$9 + 63 = 72$
$72 - 7 = 65$
$65 + 0 = 65$

Výsledek

Výsledkem příkladu je 65.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 105+105+105 \right) \div 3-105 \div 7=$

Zobrazit odpověď

90

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet se závorkou

V první části příkladu máme v závorce tři stejná čísla: $105 + 105 + 105 = 315$. Tento součet následně vydělíme třemi: $315 \div 3 = 105$.

Dělení sedmi

Ve druhé části vypočítáme $105 \div 7$. Můžeme si pomoci rozkladem čísla 105 na $70 + 35$. Protože $70 \div 7 = 10$ a $35 \div 7 = 5$, je výsledek $10 + 5 = 15$.

Odečtení

Nyní oba výsledky od sebe odečteme: $105 - 15 = 90$.

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 90.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

12 km $\displaystyle -$ 6 000 cm $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ m

Zobrazit odpověď

11940

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kilometry na metry

Nejdříve si převedeme kilometry na metry. Víme, že 1 kilometr má 1 000 metrů.
12 km = 12 000 m

Centimetry na metry

Dále převedeme centimetry na metry. Víme, že 1 metr má 100 centimetrů.
6 000 cm = 60 m

Odečtení

Nyní obě hodnoty v metrech odečteme:
12 000 - 60 = 11 940

Výsledek

Do rámečku patří číslo 11 940.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

120 minut $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 20 sekund

Zobrazit odpověď

360

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Abychom mohli obě strany porovnat, převedeme si 120 minut na sekundy. Víme, že jedna minuta má 60 sekund.
Vypočítáme: $120 \cdot 60 = 7200$ sekund.

Hledání násobku

Nyní hledáme číslo, kterým musíme vynásobit 20 sekund, abychom dostali vypočítaných 7200 sekund. To zjistíme tak, že 7200 vydělíme dvaceti.

Výpočet dělením

Vydělíme: $7200 : 20 = 360$.
Můžeme si to zjednodušit tak, že u obou čísel odmyslíme jednu nulu a počítáme $720 : 2 = 360$.

Výsledek

Do rámečku musíme doplnit číslo 360.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 3.1

Aleš má v pravé kapse o polovinu méně korun než v levé kapse. Kdyby přendal 40 korun z levé kapsy do pravé, měl by v obou kapsách stejně.

Vypočtěte, o kolik korun má Aleš v levé kapse více než v pravé.

Zobrazit odpověď

80

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi kapsami

Představme si, co se stane, když Aleš přendá 40 korun z levé kapsy do pravé. Levá kapsa o 40 korun přijde a pravá o 40 korun získá. Protože po tomto přesunu mají v obou kapsách stejně, musel být původní rozdíl mezi kapsami roven těmto dvěma částkám dohromady: $40 + 40 = 80$ korun.

Ověření

V zadání se píše, že v pravé kapse je o polovinu méně korun než v levé (v levé je tedy dvakrát více než v pravé). Pokud je rozdíl mezi kapsami 80 korun, musí být v pravé kapse právě 80 korun a v levé 160 korun ($160 - 80 = 80$ a zároveň $160$ je dvojnásobkem $80$). To přesně odpovídá zadání.

Výsledek

V levé kapse má Aleš o 80 korun více než v pravé.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 3.2

Aleš má v pravé kapse o polovinu méně korun než v levé kapse. Kdyby přendal 40 korun z levé kapsy do pravé, měl by v obou kapsách stejně.

Vypočtěte, kolik korun má Aleš celkem v obou kapsách.

Zobrazit odpověď

240

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Poměr peněz v kapsách

V pravé kapse má Aleš o polovinu méně korun než v levé kapse. To znamená, že v levé kapse má dvakrát tolik peněz co v pravé. Pokud si množství peněz v pravé kapse představíme jako 1 dílek, v levé kapse má 2 stejné dílky. Dohromady mají obě kapsy 3 stejné dílky.

Vyrovnání částek

Z levé kapsy (kde jsou 2 dílky) přendáme 40 korun do pravé (kde je 1 dílek). Tím se částky v obou kapsách vyrovnají. Aby se kapsy vyrovnaly, musíme z té bohatší kapsy vzít přesně polovinu jejich rozdílu a dát ji do té chudší. Ten jeden dílek, o který se kapsy lišily, se tak rozdělil na dvě stejné části.

Hodnota jednoho dílku

Těch 40 korun, které jsme přendali, odpovídá právě polovině toho jednoho dílku, o který měla levá kapsa více. Celý jeden dílek má tedy hodnotu 80 korun ($40 + 40 = 80$).

Celkový výpočet

Protože v obou kapsách jsou dohromady 3 dílky a jeden dílek je 80 korun, celkovou částku vypočítáme jako:
$3 \cdot 80 = 240$ korun.

Výsledek

Aleš má celkem v obou kapsách 240 Kč.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 4.1

Chovatel chová dospělé kočky a koťata. Kupuje jim univerzální granule balené vždy ve stejných pytlích.
Za jeden den sežerou 3 koťata stejné množství granulí jako 2 dospělé kočky.
Celý pytel granulí mají 2 dospělé kočky přesně na 6 dní.
(Každá dospělá kočka sežere denně stejné množství granulí. Totéž platí o koťatech.)

Vypočtěte, kolik koťat sežere za 1 den stejné množství granulí jako 6 dospělých koček.

Zobrazit odpověď

9

1 bod
Úloha 4.2

Chovatel chová dospělé kočky a koťata. Kupuje jim univerzální granule balené vždy ve stejných pytlích.
Za jeden den sežerou 3 koťata stejné množství granulí jako 2 dospělé kočky.
Celý pytel granulí mají 2 dospělé kočky přesně na 6 dní.
(Každá dospělá kočka sežere denně stejné množství granulí. Totéž platí o koťatech.)

Vypočtěte, kolik dospělých koček sežere půl pytle granulí přesně za 3 dny.

Zobrazit odpověď

2

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Spotřeba celého pytle

Ze zadání víme, že 2 dospělé kočky spotřebují celý pytel granulí za 6 dní.

Spotřeba poloviny pytle

Otázka se ptá na spotřebu půl pytle granulí za 3 dny. Protože půl pytle je polovina celého množství a 3 dny jsou polovina z původních 6 dní, poměr mezi množstvím krmiva a počtem dní zůstává stejný.

Závěr

Pokud 2 kočky snědí celý pytel za 6 dní, pak ty samé 2 dospělé kočky snědí polovinu pytle za polovinu času, tedy za 3 dny.
Výsledek: 2
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 4.3

Chovatel chová dospělé kočky a koťata. Kupuje jim univerzální granule balené vždy ve stejných pytlích.
Za jeden den sežerou 3 koťata stejné množství granulí jako 2 dospělé kočky.
Celý pytel granulí mají 2 dospělé kočky přesně na 6 dní.
(Každá dospělá kočka sežere denně stejné množství granulí. Totéž platí o koťatech.)

Vypočtěte, na kolik dní má jeden pytel granulí 1 kotě.

Zobrazit odpověď

18

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Spotřeba dospělých koček

Ze zadání víme, že 2 dospělé kočky mají pytel granulí na 6 dní. Kdybychom měli jen jednu dospělou kočku, vydržel by jí pytel dvakrát déle, tedy 12 dní ($2 \cdot 6 = 12$).

Přepočet na koťata

Dále víme, že 3 koťata snědí za den stejné množství jako 2 dospělé kočky. To znamená, že skupina 3 koťat spotřebuje pytel granulí za stejnou dobu jako 2 dospělé kočky. Pytel jim tedy vydrží také 6 dní.

Výpočet pro jedno kotě

Pokud 3 koťata snědí pytel za 6 dní, jedno samotné kotě ho bude jíst třikrát déle, protože sní za den méně granulí než celá skupina.
$3 \cdot 6 = 18$

Výsledek

Jedno kotě má jeden pytel granulí na 18 dní.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.1

Děti měřily šířku hřiště pomocí tyčí dvou různých délek.
Adam na celou šířku hřiště naskládal těsně za sebou 11 dlouhých tyčí a 2 krátké, zatímco Markéta 4 dlouhé tyče a 23 krátkých.

Určete, kolik krátkých tyčí nahradí jednu dlouhou tyč.

Zobrazit odpověď

3

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání obou měření

Adam i Markéta změřili stejnou šířku hřiště. Adam použil 11 dlouhých tyčí a 2 krátké, Markéta 4 dlouhé a 23 krátkých.

Rozdíl v počtu dlouhých tyčí

Adam použil o 7 dlouhých tyčí více než Markéta (11 − 4 = 7). Aby Markéta tuto chybějící délku nahradila, musela použít více krátkých tyčí.

Rozdíl v počtu krátkých tyčí

Markéta použila 23 krátkých tyčí, zatímco Adam jen 2. Markéta tedy použila o 21 krátkých tyčí více než Adam (23 − 2 = 21).

Výpočet náhrady

Těchto 21 krátkých tyčí navíc u Markéty přesně nahrazuje 7 dlouhých tyčí, které měl navíc Adam. Jednu dlouhou tyč tedy nahradíme 3 krátkými tyčemi, protože $21 \div 7 = 3$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 5.2

Děti měřily šířku hřiště pomocí tyčí dvou různých délek. Adam na celou šířku hřiště naskládal těsně za sebou 11 dlouhých tyčí a 2 krátké, zatímco Markéta 4 dlouhé tyče a 23 krátkých.

Určete, kolika krátkými tyčemi odměříme celou šířku hřiště.

Zobrazit odpověď

35

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Srovnání obou měření

Adam použil o 7 dlouhých tyčí více než Markéta (11 - 4 = 7). Markéta zase použila o 21 krátkých tyčí více než Adam (23 - 2 = 21). Protože oba měřili stejnou šířku hřiště, musí délka 7 dlouhých tyčí odpovídat délce 21 krátkých tyčí.

Délka jedné dlouhé tyče

Jestliže 7 dlouhých tyčí měří stejně jako 21 krátkých, pak jedna dlouhá tyč měří stejně jako 3 krátké tyče ($21 : 7 = 3$).

Celková šířka v krátkých tyčích

Adam naskládal 11 dlouhých tyčí a 2 krátké. Protože každá dlouhá tyč vydá za 3 krátké, odpovídá 11 dlouhých tyčí celkem 33 krátkým tyčím ($11 \cdot 3 = 33$). K nim přičteme Adamovy 2 krátké tyče a dostaneme celkovou šířku hřiště: $33 + 2 = 35$ krátkých tyčí.

Ověření výpočtu

Pro kontrolu zkusíme Markétino měření: 4 dlouhé tyče a 23 krátkých. 4 dlouhé tyče jsou jako 12 krátkých ($4 \cdot 3 = 12$). Celkem tedy $12 + 23 = 35$ krátkých tyčí. Výsledek u obou dětí souhlasí.

Závěr

Celou šířku hřiště tedy odměříme 35 krátkými tyčemi.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.1

Na papírové pásce jsou vyznačeny shodné čtverečky. Adéla z pásky odstřihla 3 proužky tvaru obdélníku, první proužek je nejkratší a třetí je nejdelší.
– Třetí proužek je šestkrát delší než první a skládá se jen z celých čtverečků.
– Druhý proužek je čtyřikrát delší než první a skládá se přesně z 10 čtverečků.
– První proužek obsahuje kromě 2 celých čtverečků ještě 2 cm pásky.

Určete počet čtverečků na třetím proužku.

Zobrazit odpověď

15

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Vztah mezi 1. a 2. proužkem

Víme, že druhý proužek je 4krát delší než první a tvoří ho přesně 10 čtverečků. Délka 10 čtverečků tedy odpovídá čtyřnásobku délky prvního proužku. Jeden první proužek by tedy svou délkou odpovídal $10 : 4 = 2{,}5$ čtverečku.

Krok 2: Určení délky strany čtverečku

O prvním proužku víme, že obsahuje 2 celé čtverečky a navíc 2 cm pásky. Zároveň jsme zjistili, že jeho délka odpovídá 2,5 čtverečku. Těchto 2,5 čtverečku tedy musí být totéž jako 2 čtverečky + 2 cm. Z toho vyplývá, že půlka čtverečku ($0{,}5$ dílku) měří 2 cm. Celý čtvereček má tedy stranu dlouhou $4$ cm.

Krok 3: Délka třetího proužku

Nejdříve si spočítáme délku prvního proužku: $2{,}5 \cdot 4\text{ cm} = 10\text{ cm}$ (nebo $2 \cdot 4\text{ cm} + 2\text{ cm} = 10\text{ cm}$). Třetí proužek je 6krát delší než první, jeho celková délka je tedy $6 \cdot 10\text{ cm} = 60\text{ cm}$.

Krok 4: Počet čtverečků na třetím proužku

Víme, že celý třetí proužek měří 60 cm a jeden čtvereček má délku 4 cm. Počet čtverečků zjistíme vydělením: $60 : 4 = 15$.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 6.2

Na papírové pásce jsou vyznačeny shodné čtverečky. Adéla z pásky odstřihla 3 proužky tvaru obdélníku, první proužek je nejkratší a třetí je nejdelší.
– Třetí proužek je šestkrát delší než první a skládá se jen z celých čtverečků.
– Druhý proužek je čtyřikrát delší než první a skládá se přesně z 10 čtverečků.
– První proužek obsahuje kromě 2 celých čtverečků ještě 2 cm pásky.

Určete v cm šířku papírové pásky,

Zobrazit odpověď

4 cm

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 1. a 2. proužku

Z textu víme, že 1. proužek obsahuje 2 celé čtverečky a navíc 2 cm délky. 2. proužek je 4krát delší než 1. proužek. Pokud bychom tedy vzali čtyři 1. proužky a dali je za sebe, dostaneme délku 2. proužku. Celkem by takový spojený proužek obsahoval 8 čtverečků ($4 \cdot 2$) a k tomu 8 cm ($4 \cdot 2$ cm).

Výpočet strany čtverečku

Víme, že 2. proužek se skládá přesně z 10 čtverečků. Z předchozího kroku víme, že jeho délka zároveň odpovídá 8 čtverečkům a 8 cm. Rozdíl v počtu čtverečků je tedy $10 - 8 = 2$ čtverečky. Tyto 2 čtverečky musí dohromady měřit oněch 8 cm. Jeden čtvereček má tedy stranu dlouhou $8 : 2 = 4$ cm.

Určení šířky pásky

Šířka papírové pásky odpovídá straně čtverečku, který je na ní vyznačen. Šířka pásky je tedy 4 cm.
Pro kontrolu: 1. proužek měří $2 \cdot 4 + 2 = 10$ cm, 3. proužek je 6krát delší, tedy 60 cm. To je přesně 15 čtverečků ($60 : 4 = 15$), což odpovídá zadání, že se 3. proužek skládá z celých čtverečků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 6.3

Na papírové pásce jsou vyznačeny shodné čtverečky. Adéla z pásky odstřihla 3 proužky tvaru obdélníku, první proužek je nejkratší a třetí je nejdelší.
– Třetí proužek je šestkrát delší než první a skládá se jen z celých čtverečků.
– Druhý proužek je čtyřikrát delší než první a skládá se přesně z 10 čtverečků.
– První proužek obsahuje kromě 2 celých čtverečků ještě 2 cm pásky.

Určete v cm délku prvního proužku.

Zobrazit odpověď

10 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Vztah mezi proužky

Víme, že druhý proužek je čtyřikrát delší než první. Pokud první proužek obsahuje 2 čtverečky a k tomu 2 cm, pak čtyři takové proužky (tedy celý druhý proužek) budou obsahovat $4 \times 2 = 8$ čtverečků a $4 \times 2 = 8$ cm.

Krok 2: Délka jednoho čtverečku

Zároveň víme, že druhý proužek se skládá přesně z 10 čtverečků. Můžeme tedy říct, že 10 čtverečků má stejnou délku jako 8 čtverečků a 8 cm. Z toho vyplývá, že zbývající 2 čtverečky musí měřit 8 cm. Jeden čtvereček tedy měří 4 cm ($8 : 2 = 4$).

Krok 3: Výpočet délky prvního proužku

První proužek obsahuje 2 čtverečky a 2 cm. Protože jeden čtvereček měří 4 cm, dva čtverečky měří 8 cm. Celková délka prvního proužku je tedy $8 + 2 = 10$ cm.

Závěr

Délka prvního proužku je 10 cm.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 7.1

V rovině leží bod O, přímka p a kružnice k se středem S. Bod A je jedním ze dvou průsečíků přímky p a kružnice k.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD.
Strana AB tohoto obdélníku leží na přímce p, bod S leží uvnitř některé ze tří zbývajících stran obdélníku ABCD.
Jeden krajní bod strany, která obsahuje bod S, leží na kružnici k.

Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy B, C, D obdélníku ABCD a obdélník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží bod O, přímka p a kružnice k se středem S. Bod A je jedním ze dvou průsečíků přímky p a kružnice k.

Body A, O jsou vrcholy trojúhelníku AOP. Vrchol P tohoto trojúhelníku leží na přímce p.
Strana AO má stejnou délku jako jedna z dalších stran trojúhelníku AOP.

Sestrojte a označte písmenem chybějící vrchol P trojúhelníku AOP a trojúhelník narýsujte. Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď
Odpověď
3 body
Úloha 8.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky o obsahu 1 cm². Ve čtvercové síti je zakreslen čtverec, který je rozdělen na 3 trojúhelníky a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až C.Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah trojúhelníku A je dvojnásobkem obsahu trojúhelníku B.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sítě

Strana velkého čtverce měří 6 políček, což odpovídá 6 cm. Každý trojúhelník má jednu svou stranu (základnu) na okraji tohoto čtverce a protější vrchol v průsečíku uvnitř čtverce. Průsečík je vzdálen 4 cm od levé strany a 2 cm od dolní strany čtverce.

Obsah trojúhelníku A

Trojúhelník A má základnu na horní straně čtverce, takže její délka je 6 cm. Výška tohoto trojúhelníku je vzdálenost od horní strany k průsečíku. Protože je průsečík 2 cm od dolní strany a celý čtverec je vysoký 6 cm, výška trojúhelníku A je $6 - 2 = 4$ cm. Obsah vypočítáme jako polovinu součinu základny a výšky: $(6 \cdot 4) : 2 = 12$ cm².

Obsah trojúhelníku B

Trojúhelník B má základnu na pravé straně čtverce o délce 6 cm. Výška tohoto trojúhelníku je vzdálenost od pravé strany k průsečíku. Protože je průsečík 4 cm od levé strany a celý čtverec je široký 6 cm, výška trojúhelníku B je $6 - 4 = 2$ cm. Obsah je: $(6 \cdot 2) : 2 = 6$ cm².

Závěr

Obsah trojúhelníku A je 12 cm², obsah trojúhelníku B je 6 cm². Číslo 12 je dvojnásobkem čísla 6, tedy tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky o obsahu 1 cm². Ve čtvercové síti je zakreslen čtverec, který je rozdělen na 3 trojúhelníky a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až C.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah celého čtverce je 12krát větší než obsah trojúhelníku C.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah celého čtverce

Nejprve určíme obsah celého čtverce. Ze zadání a obrázku víme, že čtverec má stranu dlouhou 6 políček. Protože každé políčko má obsah $1\text{ cm}^2$, je délka strany čtverce $6\text{ cm}$.
Obsah čtverce vypočítáme jako: $S = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}^2$.

Obsah trojúhelníku C

Trojúhelník C má základnu na spodní straně čtverce. Tato základna sahá od středu strany k pravému rohu, měří tedy polovinu strany čtverce: $6 : 2 = 3\text{ cm}$.
Výška trojúhelníku je vzdálenost jeho horního vrcholu (průsečíku) od spodní strany. Průsečík je ve vzdálenosti 4 políčka od horní strany, takže od spodní strany je to $6 - 4 = 2\text{ cm}$.
Obsah trojúhelníku C vypočítáme jako: $S_C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\text{ cm}^2$.

Porovnání obsahů

Nyní zjistíme, kolikrát je obsah celého čtverce větší než obsah trojúhelníku C:
$36 : 3 = 12$
Obsah čtverce je skutečně 12krát větší. Tvrzení je pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 8.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky o obsahu 1 cm². Ve čtvercové síti je zakreslen čtverec, který je rozdělen na 3 trojúhelníky a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až C.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah tmavého obrazce je větší než 15 cm².

Zobrazit odpověď

Ne

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení rozměrů čtverce

Čtvercová síť je tvořena čtverečky o obsahu 1 cm². Velký čtverec je v mřížce umístěn tak, že má ze všech stran okraj o šířce jednoho čtverečku. Protože mřížka má rozměry 8x8 čtverečků, strana velkého čtverce má délku 6 dílků (8 - 1 - 1 = 6). Celkový obsah velkého čtverce je tedy $6 \times 6 = 36$ cm².

Výpočet obsahů bílých částí

Obsah tmavého obrazce zjistíme tak, že od celkového obsahu čtverce odečteme obsahy bílých trojúhelníků A, B a C. Průsečík obou úseček se nachází ve vzdálenosti 4,5 dílku od horní strany a 1,5 dílku od pravé strany čtverce.
  • Trojúhelník A: má základnu na horní straně čtverce (6 cm) a výšku k průsečíku (4,5 cm). Jeho obsah je $(6 \times 4,5) : 2 = 13,5$ cm².
  • Trojúhelník B: má základnu na pravé straně čtverce (6 cm) a výšku k průsečíku (1,5 cm). Jeho obsah je $(6 \times 1,5) : 2 = 4,5$ cm².
  • Trojúhelník C: má základnu na dolní straně čtverce o délce 2 cm (vzdálenost od pravého rohu k bodu, kde končí druhá úsečka) a výšku k průsečíku (1,5 cm). Jeho obsah je $(2 \times 1,5) : 2 = 1,5$ cm².

Obsah tmavého obrazce

Součet obsahů všech tří bílých trojúhelníků je $13,5 + 4,5 + 1,5 = 19,5$ cm². Obsah tmavého obrazce vypočítáme odečtením tohoto součtu od celkového obsahu čtverce: $36 - 19,5 = 16,5$ cm².

Závěr

Vypočítaný obsah tmavého obrazce je 16,5 cm². Protože 16,5 je více než 15, je tvrzení v zadání pravdivé.
Pomohlo vám toto řešení?
4 body za skupinu
Úloha 9

Umělec prodal v létě 72 obrazů. Na podzim prodal o čtvrtinu obrazů méně než v létě. V zimě pak prodal jen osminu toho, co prodal v létě.

Kolikrát více obrazů umělec prodal na podzim než v zimě?

  • A) dvakrát
  • D) pětkrát
  • B) třikrát
  • E) šestkrát
  • C) čtyřikrát
Zobrazit odpověď

E

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Podzimní prodej

Nejdříve zjistíme, kolik obrazů umělec prodal na podzim. V zadání se píše, že jich prodal o čtvrtinu méně než v létě. V létě jich prodal 72.
Čtvrtina ze 72 je: $72 \div 4 = 18$ obrazů.
Na podzim tedy prodal: $72 - 18 = 54$ obrazů.

Zimní prodej

Dále vypočítáme, kolik obrazů prodal v zimě. To byla osmina z letního prodeje (72).
Osmina ze 72 je: $72 \div 8 = 9$ obrazů.

Porovnání prodejů

Otázka zní, kolikrát více obrazů prodal na podzim než v zimě. Musíme tedy vydělit počet obrazů prodaných na podzim počtem obrazů prodaných v zimě:
$54 \div 9 = 6$

Výsledek

Na podzim prodal umělec šestkrát více obrazů než v zimě. To odpovídá možnosti E.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 10

Do prázdného klobouku jsme vysypali červené a zelené kuličky, zelených bylo o 6 více než červených. Pak jsme z klobouku vytáhli třetinu všech červených a třetinu všech zelených kuliček. V klobouku tak ubylo 12 kuliček.

Kolik červených kuliček v klobouku zbylo?

  • A) 5
  • D) 15
  • B) 10
  • E) jiný počet
  • C) 12
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet kuliček

Víme, že když jsme vytáhli třetinu červených a třetinu zelených kuliček, ubylo celkem 12 kuliček. To znamená, že jedna třetina všech kuliček v klobouku je 12. Všechny kuličky v klobouku (tři třetiny) tedy byly $12 \cdot 3 = 36$.

Počet červených kuliček na začátku

Všech kuliček bylo 36 a zelených bylo o 6 více než červených. Kdybychom od celkového počtu 36 odečetli těch 6 „přebývajících“ zelených kuliček, zbude nám $36 - 6 = 30$ kuliček. Tento zbytek si červené a zelené kuličky rozdělí rovným dílem: $30 \div 2 = 15$. Na začátku tedy bylo v klobouku 15 červených kuliček.

Počet zbývajících červených kuliček

Z klobouku jsme vytáhli třetinu červených kuliček. Třetina z 15 je $15 \div 3 = 5$. V klobouku tedy zbylo $15 - 5 = 10$ červených kuliček.

Závěr

V klobouku zbylo 10 červených kuliček.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 11

V grafu jsou všichni žáci třídy rozděleni podle počtu svých sourozenců do čtyř skupin.Ve třídě je celkem 30 žáků a s nimi do třídy nechodí žádný z jejich sourozenců.
Pouze jeden žák má 3 sourozence.
Skupina žáků se 2 sourozenci tvoří šestinu žáků třídy.
Žáků, kteří mají nějakého sourozence (jednoho, dva, nebo tři), je dvakrát více než těch, kteří žádného sourozence nemají.

Kolik žáků třídy nemá žádného sourozence?

  • A) 8
  • D) 12
  • B) 10
  • E) 15
  • C) 11
Zobrazit odpověď

B

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ve třídě je celkem 30 žáků. Podle zadání jsou rozděleni do dvou hlavních skupin:
  • žáci, kteří nemají žádného sourozence,
  • žáci, kteří mají sourozence (jednoho, dva nebo tři).

Výpočet počtu žáků bez sourozenců

Ze zadání víme, že žáků se sourozenci je dvakrát více než těch bez sourozenců. Můžeme si to představit jako rozdělení na díly:
  • Žáci bez sourozenců = 1 díl
  • Žáci se sourozenci = 2 díly
Celkem tedy třídu tvoří 3 díly (1 + 2 = 3).

Výpočet velikosti jednoho dílu

Celkový počet žáků (30) rozdělíme na 3 stejné části:
30 : 3 = 10
Jeden díl představuje 10 žáků. Protože žáci bez sourozenců tvoří právě jeden díl, je jich 10.

Kontrola a závěr

Pokud je 10 žáků bez sourozenců, pak žáků se sourozenci musí být 20 (dvakrát více). Dohromady je to $10 + 20 = 30$ žáků, což odpovídá zadání.

Žádného sourozence nemá 10 žáků.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 12

V grafu jsou všichni žáci třídy rozděleni podle počtu svých sourozenců do čtyř skupin.Ve třídě je celkem 30 žáků a s nimi do třídy nechodí žádný z jejich sourozenců.
Pouze jeden žák má 3 sourozence.
Skupina žáků se 2 sourozenci tvoří šestinu žáků třídy.
Žáků, kteří mají nějakého sourozence (jednoho, dva, nebo tři), je dvakrát více než těch, kteří žádného sourozence nemají.

Kolik sourozenců mají dohromady všichni žáci třídy?

  • A) 27
  • D) 30
  • B) 28
  • E) jiný počet
  • C) 29
Zobrazit odpověď

A

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení žáků na skupiny

Víme, že žáků se sourozenci je dvakrát více než těch, kteří žádného sourozence nemají. Celou třídu (30 žáků) si tedy můžeme představit jako 3 stejné díly:
  • 1 díl jsou žáci bez sourozenců,
  • 2 díly jsou žáci, kteří mají aspoň jednoho sourozence.
Jeden díl vypočítáme jako $30 : 3 = 10$.
Bez sourozenců je tedy 10 žáků a nějakého sourozence má $2 \times 10 = 20 žáků$.

Počty žáků v jednotlivých skupinách

Nyní zjistíme, kolik žáků má konkrétní počty sourozenců:
  • 3 sourozence: Ze zadání víme, že je to pouze 1 žák.
  • 2 sourozence: Tvoří šestinu třídy, tedy $30 : 6 = 5 žáků$.
  • 1 sourozence: Jsou to všichni ostatní žáci ze skupiny se sourozenci. Od celkového počtu 20 žáků se sourozenci odečteme ty se dvěma a třemi: $20 - 5 - 1 = 14 žáků$.

Celkový počet sourozenců

Vynásobíme počet žáků v každé skupině počtem jejich sourozenců a vše sečteme:
  • 14 žáků po 1 sourozenci: $14 \times 1 = 14$
  • 5 žáků po 2 sourozencích: $5 \times 2 = 10$
  • 1 žák po 3 sourozencích: $1 \times 3 = 3$
Dohromady mají všichni žáci $14 + 10 + 3 = 27$ sourozenců.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body
Úloha 13.1
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce stavíme různé stavby ze stejných krychliček. Každá krychlička stavby stojí buď na podložce, nebo na jiné krychličce.
Stavbu z krychliček popisujeme dvěma plánky.
Na prvním plánku jsou v jednotlivých polích uvedeny počty krychliček nad sebou při pohledu shora. Na druhém plánku jsou počty krychliček za sebou při pohledu zepředu.Na pláncích jiné stavby jsou tři čísla zakryta šedými kartičkami K, L, M.

Jaké číslo je zakryté kartičkou K?

  • A) 0
  • D) 3
  • B) 1
  • E) 4
  • C) 2
  • F) 5
Zobrazit odpověď

C

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor principu

Z úvodního vzoru vidíme, že plánek „shora“ ukazuje výšku každého sloupce kostek v mřížce. Plánek „zepředu“ nám pak říká, kolik kostek je v daném sloupci v jednotlivých patrech za sebou. Horní řádek plánku „zepředu“ odpovídá 3. patru (výšce 3), prostřední 2. patru a spodní 1. patru.

Analýza prvního sloupce

Zaměříme se na první sloupec nové stavby. Z plánku „shora“ víme, že výšky v prvním sloupci jsou: 1, K a 2. Z plánku „zepředu“ pro první sloupec vyčteme tyto počty kostek:
  • ve 3. patře (horní číslo): 0 kostek
  • ve 2. patře (prostřední číslo): 2 kostky
  • v 1. patře (dolní číslo): 3 kostky

Výpočet hodnoty K

Aby v 1. patře byly 3 kostky, musí mít všechny tři pozice v prvním sloupci výšku alespoň 1. To platí (výšky 1, K i 2), tedy K musí být alespoň 1.
Aby ve 2. patře byly právě 2 kostky, musí mít přesně dvě pozice v prvním sloupci výšku alespoň 2. Víme, že jedna pozice má výšku 2 a jedna má výšku 1. Aby tedy byly ve 2. patře dvě kostky, musí mít zbývající pozice K výšku alespoň 2.
Aby ve 3. patře bylo 0 kostek, nesmí mít žádná pozice v prvním sloupci výšku 3 nebo více. Protože K musí být celé číslo a musí být alespoň 2 a zároveň méně než 3, zbývá jediná možnost.

Závěr

Kartičkou K je zakryto číslo 2.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce stavíme různé stavby ze stejných krychliček. Každá krychlička stavby stojí buď na podložce, nebo na jiné krychličce.
Stavbu z krychliček popisujeme dvěma plánky.
Na prvním plánku jsou v jednotlivých polích uvedeny počty krychliček nad sebou při pohledu shora. Na druhém plánku jsou počty krychliček za sebou při pohledu zepředu.Na pláncích jiné stavby jsou tři čísla zakryta šedými kartičkami K, L, M.

Jaké číslo je zakryté kartičkou L?

  • A) 0
  • D) 3
  • B) 1
  • E) 4
  • C) 2
  • F) 5
Zobrazit odpověď

D

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení plánků

Plánek „shora“ nám ukazuje, kolik krychliček stojí na sobě v každém poli podložky. Plánek „zepředu“ nám pak říká, kolik krychliček vidíme za sebou v jednotlivých patrech stavby.

Například ve spodní řadě plánku „zepředu“ (1. patro) je číslo, které odpovídá počtu políček v daném sloupci, ve kterých stojí alespoň jedna krychlička. V prostřední řadě (2. patro) vidíme počet políček, kde stojí alespoň dvě krychličky nad sebou, a v horní řadě (3. patro) počet políček, kde stojí alespoň tři krychličky.

Hledání čísla pod kartičkou L

Kartička L se nachází v plánku „zepředu“ ve druhém sloupci a ve spodní řadě (1. patro).

Podíváme se tedy na druhý sloupec v plánku „shora“. Jsou v něm tato čísla:
  • 3
  • 3
  • 1


Vidíme, že ve všech třech polích tohoto sloupce stojí alespoň jedna krychlička (protože všechna čísla jsou rovna 1 nebo jsou větší). To znamená, že v 1. patře uvidíme 3 krychličky za sebou.

Výsledek

Pod kartičkou L se nachází číslo 3.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Na podložce stavíme různé stavby ze stejných krychliček. Každá krychlička stavby stojí buď na podložce, nebo na jiné krychličce.
Stavbu z krychliček popisujeme dvěma plánky.
Na prvním plánku jsou v jednotlivých polích uvedeny počty krychliček nad sebou při pohledu shora. Na druhém plánku jsou počty krychliček za sebou při pohledu zepředu.Na pláncích jiné stavby jsou tři čísla zakryta šedými kartičkami K, L, M.

Jaký je součet čísel zakrytých kartičkami L a M?

  • A) 0
  • D) 3
  • B) 1
  • E) 4
  • C) 2
  • F) 5
Zobrazit odpověď

F

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Porozumění plánkům

První plánek (shora) nám říká, kolik krychliček je v každém poli postaveno na sobě. Druhý plánek (zepředu) nám říká, kolik krychliček vidíme „za sebou“ v jednotlivých patrech (řádcích) a sloupcích stavby.
  • Spodní řádek plánku „zepředu“ odpovídá 1. patru (krychličky přímo na podložce).
  • Prostřední řádek odpovídá 2. patru (krychličky ve výšce 2).
  • Horní řádek odpovídá 3. patru (krychličky ve výšce 3).

Krok 2: Určení hodnot L a M

Kartičky L a M se nacházejí ve druhém sloupci plánku „zepředu“. Budeme tedy pracovat s čísly ve druhém sloupci plánku „shora“, což jsou hodnoty 3, 3 a 1.
  • M je v horním řádku (3. patro). Hledáme, kolik polí ve sloupci má výšku aspoň 3 krychličky. Jsou to dvě pole (hodnoty 3 a 3), tedy M = 2.
  • L je ve spodním řádku (1. patro). Hledáme, kolik polí ve sloupci má výšku aspoň 1 krychličku. Jsou to všechna tři pole (hodnoty 3, 3 a 1), tedy L = 3.

Krok 3: Výpočet součtu

Otázka zní na součet čísel zakrytých kartičkami L a M:
L + M = 3 + 2 = 5
Součet čísel zakrytých kartičkami L a M je 5.
Pomohlo vám toto řešení?
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.

Určete, v kolikátém kroku přidá obkladač k mozaice 18 dlaždic.

Zobrazit odpověď

9

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza prvních kroků

Podíváme se, kolik dlaždic obkladač přidává v jednotlivých krocích:
  • 1. krok: Položil 2 šedé dlaždice.
  • 2. krok: Přidal vrstvu bílých dlaždic. Původní obdélník 1×2 se změnil na 2×3. Celkem je v něm 6 dlaždic, takže přibyly 4 dlaždice ($6 - 2 = 4$).
  • 3. krok: Přidal vrstvu šedých dlaždic. Rozměry se změnily na 3×4. Celkem je v něm 12 dlaždic, takže přibylo 6 dlaždic ($12 - 6 = 6$).
  • 4. krok: Přidal vrstvu bílých dlaždic. Rozměry se změnily na 4×5. Celkem je v něm 20 dlaždic, takže přibylo 8 dlaždic ($20 - 12 = 8$).

Vypozorování pravidla

Všimneme si, že počet přidaných dlaždic je vždy dvojnásobkem čísla kroku:
  • 1. krok: $2 \times 1 = 2$
  • 2. krok: $2 \times 2 = 4$
  • 3. krok: $2 \times 3 = 6$
  • 4. krok: $2 \times 4 = 8$
Počet přidaných dlaždic se v každém dalším kroku zvýší o 2.

Výpočet kroku pro 18 dlaždic

Hledáme krok, ve kterém obkladač přidá přesně 18 dlaždic. Protože počet přidaných dlaždic je dvojnásobkem čísla kroku, stačí vydělit 18 dvěma: $18 : 2 = 9$

Odpověď

Obkladač přidá k mozaice 18 dlaždic v 9. kroku.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.2

Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.

Určete, kolik dlaždic dohromady bude obsahovat dokončená mozaika (s 20 řadami).

Zobrazit odpověď

420

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor růstu mozaiky

V každém kroku se k mozaice přidává jedna vrstva dlaždic ve tvaru písmene L (zleva a shora). Tím se celkový rozměr mozaiky v každém kroku zvětší o jednu řadu a jeden sloupec.
  • V 1. kroku máme 1 řadu a 2 sloupce.
  • Ve 2. kroku máme 2 řady a 3 sloupce.
  • Ve 3. kroku máme 3 řady a 4 sloupce.
  • Ve 4. kroku máme 4 řady a 5 sloupců.

Rozměry mozaiky s 20 řadami

Z předchozího rozboru vidíme, že počet sloupců je v každém kroku o 1 větší než počet řad. Počet řad v mozaice přitom odpovídá číslu kroku. Mozaika, která má 20 řad, bude mít tedy o jeden sloupec více: $20 + 1 = 21$ sloupců.

Výpočet celkového počtu dlaždic

Mozaika tvoří obdélník. Celkový počet dlaždic v obdélníku zjistíme vynásobením počtu řad a počtu sloupců: $20 \cdot 21 = 420$

Dokončená mozaika bude obsahovat celkem 420 dlaždic.
Pomohlo vám toto řešení?
1 bod
Úloha 14.3

Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.

Určete, kolik šedých dlaždic bude v dokončené mozaice (s 20 řadami) v 11. řadě zdola.

Zobrazit odpověď

16

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza vzoru

Mozaika se rozrůstá v krocích. V 1. kroku máme 2 šedé dlaždice. V každém dalším kroku $n$ se přidá nová vrstva dlaždic (ve tvaru L) shora a zleva. Barvy se střídají: v lichých krocích (1., 3., 5., ...) přidáváme šedé dlaždice, v sudých krocích (2., 4., 6., ...) přidáváme bílé dlaždice.

Vznik 11. řady

11. řada zdola vznikne v 11. kroku jako horní vodorovná část nové vrstvy. Protože 11 je liché číslo, je celá tato nová vrstva šedá. Podle zadání má mozaika v $n$-tém kroku $n+1$ sloupců. V 11. kroku má tedy 11. řada přesně 12 dlaždic a všechny jsou šedé.

Rozšíření mozaiky do 20. řady

Mozaika pokračuje až do 20. řady. To znamená, že po 11. kroku proběhne ještě dalších 9 kroků (12. až 20. krok). V každém z těchto kroků se k 11. řadě přidá jedna nová dlaždice zleva. Musíme zjistit, kolik z nich bude šedých.

Barvy dlaždic přidaných zleva

Zleva se k 11. řadě přidají dlaždice z následujících kroků:
  • 12. krok: bílá
  • 13. krok: šedá
  • 14. krok: bílá
  • 15. krok: šedá
  • 16. krok: bílá
  • 17. krok: šedá
  • 18. krok: bílá
  • 19. krok: šedá
  • 20. krok: bílá
Celkem tedy v těchto krocích přibudou 4 šedé dlaždice.

Celkový počet šedých dlaždic

V 11. řadě máme 12 původních šedých dlaždic z 11. kroku a 4 přidané šedé dlaždice z pozdějších kroků.
Celkem: $12 + 4 = 16$.
Pomohlo vám toto řešení?
2 body