Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2019

29 úloh

Úloha 1.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 216 - 144 \div \left( 9+3 \right) = \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} + 4$

Zobrazit odpověď

200

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet závorky

Nejdříve vypočítáme hodnotu v závorce: $9 + 3 = 12$.

Dělení

Podle přednosti operací nyní provedeme dělení: $144 \div 12 = 12$.

Odčítání na levé straně

Nyní odečteme výsledek dělení od prvního čísla: $216 - 12 = 204$. Na levé straně rovnice nám tedy vyšlo číslo $204$.

Určení chybějícího čísla

Rovnice nyní vypadá takto: $204 = \boxed{\phantom{200}} + 4$. Hledáme tedy číslo, které po přičtení $4$ dá výsledek $204$. Toto číslo získáme odečtením: $204 - 4 = 200$.

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo $200$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 9 \cdot 3000 - \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}} = 2400+300$

Zobrazit odpověď

24300

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet levé strany

Nejprve si vypočítáme levou stranu rovnice. Vynásobíme 9 krát 3 000. $9 \cdot 3000 = 27\ 000$

Výpočet pravé strany

Potom sečteme čísla na pravé straně rovnice. $2400 + 300 = 2\ 700$

Doplnění rámečku

Máme tedy rovnost $27\ 000 - \square = 2\ 700$. Abychom zjistili chybějící číslo, odečteme od 27 000 číslo 2 700. $27\ 000 - 2\ 700 = 24\ 300$

Výsledek

Do rámečku patří číslo 24 300.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Automobil široký 1 770 mm jel v jízdním pruhu širokém 3 m 25 cm. Jízdní pruh se zúžil o půl metru.

Vypočtěte, o kolik centimetrů je zúžený jízdní pruh širší než automobil.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Šířka jízdního pruhu v centimetrech

Původní šířka jízdního pruhu je 3 m 25 cm. Pro snadnější výpočet si ji převedeme na centimetry:
3 m = 300 cm
300 cm + 25 cm = 325 cm

Zúžení jízdního pruhu

Jízdní pruh se zúžil o půl metru, což je 50 cm. Novou šířku pruhu zjistíme odečtením:
325 cm - 50 cm = 275 cm

Šířka automobilu v centimetrech

Šířka automobilu je 1 770 mm. Převedeme ji na centimetry (10 mm = 1 cm):
1 770 mm = 177 cm

Výpočet rozdílu

Nakonec zjistíme, o kolik centimetrů je zúžený pruh širší než automobil:
275 cm - 177 cm = 98 cm

Výsledek

Zúžený jízdní pruh je o 98 cm širší než automobil.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Cesta z Prahy do Žiliny autobusem trvala 6 hodin a 20 minut, vlakem jen 4 hodiny a 45 minut.

Vypočtěte, o kolik minut trvala cesta autobusem déle než vlakem.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas cesty autobusem

Nejdříve si oba časy převedeme na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Cesta autobusem trvala 6 hodin a 20 minut, což vypočítáme jako: $6 \cdot 60 + 20 = 360 + 20 = 380$ minut.

Čas cesty vlakem

Podobně převedeme i čas cesty vlakem. Ta trvala 4 hodiny a 45 minut: $4 \cdot 60 + 45 = 240 + 45 = 285$ minut.

Rozdíl v časech

Nyní zjistíme rozdíl v minutách tak, že od delší cesty odečteme tu kratší: $380 - 285 = 95$ minut.

Výsledek

Cesta autobusem trvala o 95 minut déle než cesta vlakem.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Soutěže se zúčastnila čtvrtina žáků školy, ale někteří z nich soutěž nedokončili.
Soutěž dokončilo pouze 76 žáků školy, což je přesně sedmina žáků školy.

Určete počet všech žáků školy.

Zobrazit odpověď

532

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Jedna sedmina školy

Ze zadání víme, že 76 žáků, kteří soutěž dokončili, tvoří přesně jednu sedminu všech žáků školy.

Celkový počet žáků

Pokud jedna sedmina je 76 žáků, pak celkový počet žáků (všech sedm sedmin) zjistíme tak, že tento počet vynásobíme sedmi:
$76 \cdot 7 = 532$

Výpočet si můžeme rozložit: $70 \cdot 7 = 490$ a $6 \cdot 7 = 42$. Dohromady je to $490 + 42 = 532$.

Výsledek

Všech žáků školy je 532.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Soutěže se zúčastnila čtvrtina žáků školy, ale někteří z nich soutěž nedokončili.
Soutěž dokončilo pouze 76 žáků školy, což je přesně sedmina žáků školy.

Určete počet žáků školy, kteří soutěž nedokončili.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků školy

Víme, že 76 žáků tvoří přesně jednu sedminu všech žáků školy. Celkový počet žáků tedy vypočítáme tak, že 76 vynásobíme sedmi:
$76 \cdot 7 = 532$
Ve škole je celkem 532 žáků.

Počet účastníků soutěže

Soutěže se zúčastnila čtvrtina všech žáků školy. Musíme tedy celkový počet žáků (532) vydělit čtyřmi:
$532 \div 4 = 133$
Soutěže se zúčastnilo 133 žáků.

Počet žáků, kteří nedokončili

Známe počet všech účastníků (133) i počet těch, kteří soutěž dokončili (76). Rozdíl těchto dvou čísel nám dá počet žáků, kteří soutěž nedokončili:
$133 - 76 = 57$

Závěr

Soutěž nedokončilo 57 žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Eva s Janou mají dohromady 220 korun.
Václav má o 60 korun více než Jana, ale o 20 korun méně než Eva.

Vypočtěte, o kolik korun se liší částky obou dívek.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání s Václavem

Ze zadání víme, že Václav má o 60 korun více než Jana. Zároveň se dozvídáme, že Václav má o 20 korun méně než Eva. To znamená, že Eva musí mít o těchto 20 korun více než Václav.

Výpočet rozdílu

Když má Václav o 60 korun více než Jana a Eva má ještě o 20 korun více než Václav, zjistíme celkový rozdíl mezi děvčaty tak, že tyto dvě hodnoty sečteme:
$60 + 20 = 80$
Eva má tedy o 80 korun více než Jana.

Závěr

Částky obou dívek se od sebe liší o 80 korun.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Eva s Janou mají dohromady 220 korun.
Václav má o 60 korun více než Jana, ale o 20 korun méně než Eva.

Vypočtěte, kolik korun má Václav.

Zobrazit odpověď

130

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Známe vztahy mezi penězi tří lidí: Evy, Jany a Václava.

Eva a Jana mají dohromady 220 Kč.
Václav má o 60 Kč více než Jana (tedy Jana má o 60 Kč méně než Václav).
Václav má o 20 Kč méně než Eva (tedy Eva má o 20 Kč více než Václav).

Úprava celkové částky

Víme, že Eva a Jana mají dohromady 220 Kč. Zkusíme si představit, že by obě měly stejně peněz jako Václav.

Janě bychom museli 60 Kč přidat, aby měla stejně jako Václav.
Evě bychom museli 20 Kč ubrat, aby měla stejně jako Václav.

Kdyby tedy měly obě stejně jako Václav, jejich společná částka by byla: $220 + 60 - 20 = 260$ Kč.

Výpočet Václavových peněz

Částka 260 Kč nyní odpovídá dvěma stejným dílům (jeden za Evu a jeden za Janu, které jsme si myšlenkově upravili na Václava). Jeden Václavův díl tedy vypočítáme jako: $260 : 2 = 130$ Kč.

Kontrola

Václav má 130 Kč. Jana má $130 - 60 = 70$ Kč. Eva má $130 + 20 = 150$ Kč. Součet peněz Evy a Jany je $150 + 70 = 220$ Kč, což přesně odpovídá zadání.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Od školy k Martinovi domů vede jediná cesta. Tato cesta je dlouhá 450 m. Martin na ní udělá víc kroků než jeho tatínek, neboť Martinův krok měří 60 cm a tatínkův 90 cm.

Vypočtěte, o kolik kroků více udělá na této cestě Martin než tatínek.

Zobrazit odpověď

250

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Abychom mohli snadno počítat, převedeme si délku cesty z metrů na centimetry. Víme, že 1 metr má 100 centimetrů.
450 m = 45 000 cm

Počet Martinových kroků

Celkovou délku cesty (45 000 cm) vydělíme délkou Martinova kroku (60 cm).
45 000 : 60 = 4 500 : 6 = 750
Martin udělá na cestě 750 kroků.

Počet tatínkových kroků

Celkovou délku cesty (45 000 cm) vydělíme délkou tatínkova kroku (90 cm).
45 000 : 90 = 4 500 : 9 = 500
Tatínek udělá na cestě 500 kroků.

Výpočet rozdílu

Nakonec zjistíme, o kolik více kroků udělá Martin. Od Martinova počtu kroků odečteme tatínkův počet kroků.
750 − 500 = 250
Martin udělá o 250 kroků více.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Od školy k Martinovi domů vede jediná cesta. Tato cesta je dlouhá 450 m. Martin na ní udělá víc kroků než jeho tatínek, neboť Martinův krok měří 60 cm a tatínkův 90 cm.

Martin jde opačným směrem než tatínek a oba se od sebe vzdalují.

Vypočtěte, o kolik metrů se od sebe vzdálí, když každý udělá přesně 30 kroků.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Martinova vzdálenost

Martin udělá 30 kroků a každý krok měří 60 cm. Celkovou vzdálenost v centimetrech vypočítáme jako:
$30 \cdot 60 = 1800$ cm.
Protože 100 cm je 1 metr, Martin ujde 18 metrů.

Tatínkova vzdálenost

Tatínek udělá také 30 kroků, ale jeho krok měří 90 cm. Vzdálenost v centimetrech bude:
$30 \cdot 90 = 2700$ cm.
V metrech to je $2700 \div 100$, tedy 27 metrů.

Výpočet vzdálení

Martin a tatínek jdou opačným směrem a vzdalují se od sebe. Abychom zjistili, o kolik metrů se celkem jeden od druhého vzdálí, musíme obě jejich uité vzdálenosti sečíst:
$18 + 27 = 45$ m.

Výsledek

Martin a tatínek se od sebe vzdálí o 45 metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.3

Od školy k Martinovi domů vede jediná cesta. Tato cesta je dlouhá 450 m. Martin na ní udělá víc kroků než jeho tatínek, neboť Martinův krok měří 60 cm a tatínkův 90 cm.

Martin šel od školy domů, odkud mu tatínek vyrazil naproti. Než se setkali, udělali oba stejný počet kroků.

Vypočtěte, kolik kroků udělal Martin od školy k místu setkání.

Zobrazit odpověď

300

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Délka cesty je uvedena v metrech, ale délka kroků v centimetrech. Proto si nejdříve cestu převedeme na centimetry:
450 m = 45 000 cm

Přiblížení jedním krokem

Martin i tatínek udělali stejný počet kroků. S každým jedním krokem, který oba udělají, se k sobě přiblíží o délku svých kroků dohromady:
60 cm + 90 cm = 150 cm

Výpočet počtu kroků

Celou cestu dlouhou 45 000 cm si rozdělíme na tyto „společné úseky“ po 150 cm. Tím zjistíme, kolik kroků musel každý z nich udělat:
45 000 : 150 = 300

Závěr

Martin udělal od školy k místu setkání 300 kroků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Adéla dostala několik stejných papírových proužků tvaru obdélníku. Každý z nich beze zbytku rozstříhala na 8 stejných čtverečků.Adéla z nastříhaných čtverečků sestavovala větší čtverce. Největší čtverec, který bylo možné z nastříhaných čtverečků sestavit, měl v každé řadě 5 čtverečků. Adéla takový čtverec sestavila a ještě několik čtverečků jí zbylo. Obvod největšího sestaveného čtverce byl 40 cm.

Určete, kolik papírových proužků dostala Adéla.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor největšího čtverce

Největší čtverec, který Adéla sestavila, měl v každé řadě 5 malých čtverečků. Takový čtverec se skládá celkem z $5 \cdot 5 = 25$ malých čtverečků.

Ze zadání víme, že Adéla tento velký čtverec sestavila a ještě jí několik malých čtverečků zbylo. Další možný větší čtverec by měl v každé řadě 6 čtverečků, na ten by ale potřebovala $6 \cdot 6 = 36$ malých čtverečků. Celkový počet malých čtverečků, které má Adéla k dispozici, tedy musí být větší než 25 a menší než 36.

Výpočet počtu proužků

Každý papírový proužek Adéla rozstříhala na 8 malých čtverečků. Celkový počet všech malých čtverečků proto musí být násobkem čísla 8 (jsou to čísla 8, 16, 24, 32, 40, ...).

Jediný násobek osmi, který je větší než 25 a menší než 36, je číslo 32. Adéla tedy měla k dispozici celkem 32 malých čtverečků.

Počet papírových proužků pak zjistíme tak, že celkový počet čtverečků vydělíme osmi (protože z jednoho proužku je 8 čtverečků): $32 : 8 = 4$.

Závěr

Adéla dostala 4 papírové proužky.

Poznámka: Údaj o obvodu velkého čtverce (40 cm) v této části úlohy nepotřebujeme. Bude se hodit až v další podúloze.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Určete, kolik čtverečků Adéle zbylo po sestavení největšího čtverce.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor sestaveného čtverce

Adéla sestavila čtverec, který má v každé řadě 5 čtverečků. To znamená, že má 5 řad a v každé je 5 čtverečků. Celkem na něj potřebovala $5 \cdot 5 = 25$ malých čtverečků.

Zjištění celkového počtu čtverečků

Ze zadání víme, že z nastříhaných čtverečků už větší čtverec sestavit nešel. Další větší čtverec by měl v každé řadě 6 čtverečků a potřebovala by na něj $6 \cdot 6 = 36$ čtverečků. Adéla tedy musela mít celkem více než 25 čtverečků (protože jí po sestavení čtverce 5×5 nějaké zbyly), ale určitě méně než 36 čtverečků.

Počet papírových proužků

Každý papírový proužek rozstříhala přesně na 8 čtverečků. Celkový počet čtverečků, které měla k dispozici, tedy musí být násobek osmi. Hledáme násobek osmi, který leží mezi čísly 25 a 36. Násobky osmi jsou: 8, 16, 24, 32, 40... Jediné správné číslo je 32. Adéla měla celkem 32 čtverečků.

Výpočet zbylých čtverečků

Adéla měla celkem 32 čtverečků a na svůj největší čtverec jich spotřebovala 25. Zbylo jí tedy $32 - 25 = 7$ čtverečků.

Poznámka: Údaj o tom, že obvod velkého čtverce je 40 cm, jsme k zodpovězení této otázky vůbec nepotřebovali. Hodí se až pro další části této úlohy.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Vypočtěte v cm obvod jednoho papírového proužku.

Zobrazit odpověď

36 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Strana velkého čtverce

Víme, že obvod největšího sestaveného čtverce je $40$ cm. Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany. Délku jedné jeho strany zjistíme tak, že obvod vydělíme čtyřmi: $40 : 4 = 10$ cm.

Rozměr malého čtverečku

Tento velký čtverec byl sestaven z malých čtverečků a v každé řadě jich bylo 5. To znamená, že stranu dlouhou $10$ cm tvoří 5 malých čtverečků. Délka strany jednoho malého čtverečku je tedy $10 : 5 = 2$ cm.

Rozměry papírového proužku

Ze zadání a popisu obrázku víme, že jeden papírový proužek se skládá z 8 stejných malých čtverečků uspořádaných v řadě za sebou. Šířka proužku je jedna strana malého čtverečku, tedy $2$ cm. Délka proužku je 8 stran malého čtverečku, tedy $8 \cdot 2 = 16$ cm.

Obvod papírového proužku

Proužek má tvar obdélníku s rozměry $16$ cm a $2$ cm. Obvod obdélníku spočítáme tak, že sečteme délky všech jeho čtyř stran: $16 + 2 + 16 + 2 = 36$ cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

Uvnitř kružnice k se středem S leží body A, L. Kružnici k protíná přímka c.

Bod A je vrchol obdélníku ABCD. Strana CD leží na přímce c. Vrchol B leží na kružnici k.

Sestrojte a označte písmeny chybějící vrcholy B, C, D obdélníku ABCD a obdélník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

Uvnitř kružnice k se středem S leží body A, L. Kružnici k protíná přímka c.

Body A, L jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku AKL. Vrchol K leží na kružnici k a strany AL, KL jsou stejně dlouhé.

Sestrojte a označte písmenem chybějící vrchol K trojúhelníku AKL a trojúhelník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Tři obrazce byly složeny z 5 shodných čtverců a 4 shodných rovnoramenných trojúhelníků.(Sousední čtverce a trojúhelníky mají vždy společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod jednoho čtverce je polovinou obvodu 1. obrazce.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obvod čtverce

Čtverec má 4 stejně dlouhé strany. Jeho obvod je tedy tvořen 4 stranami.

Obvod 1. obrazce

Z obrázku vidíme, že 1. obrazec je obdélník složený ze dvou čtverců vedle sebe. Jeho vnější obvod se skládá ze 2 stran nahoře, 2 stran dole, 1 strany vlevo a 1 strany vpravo. Dohromady je obvod 1. obrazce tvořen $2 + 2 + 1 + 1 = 6$ stranami čtverce.

Porovnání obvodů

Polovina obvodu 1. obrazce je $6 : 2 = 3$ strany čtverce.

Obvod jednoho čtverce jsou ale 4 strany.

Vidíme, že 4 strany se nerovnají 3 stranám. Obvod jednoho čtverce tedy není polovinou obvodu 1. obrazce.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Tři obrazce byly složeny z 5 shodných čtverců a 4 shodných rovnoramenných trojúhelníků.(Sousední čtverce a trojúhelníky mají vždy společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod 2. obrazce je stejný jako obvod 1. obrazce.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Tři obrazce byly složeny z 5 shodných čtverců a 4 shodných rovnoramenných trojúhelníků.(Sousední čtverce a trojúhelníky mají vždy společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod 3. obrazce je dvakrát větší než obvod 2. obrazce.

Zobrazit odpověď

Ano

4 body za skupinu

Úloha 9

Na jaře se konal dětský plavecký závod smíšených štafet. Každá štafeta uplavala celkem 48 bazénů. Ve štafetě A bylo o 6 dívek více než chlapců. Každá dívka uplavala 1 bazén a každý chlapec 2 bazény.

Kolik dětí bylo ve štafetě A?

A) méně než 32 dětí
D) 36 dětí
B) 32 dětí
E) více než 36 dětí
C) 34 dětí

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Bazény pro dívky navíc

Ze zadání víme, že ve štafetě bylo o 6 dívek více než chlapců. Každá dívka uplave 1 bazén. Těchto 6 dívek navíc tedy uplave dohromady 6 bazénů ($6 \cdot 1 = 6$).

Zbývající bazény

Celá štafeta uplavala 48 bazénů. Když odečteme 6 bazénů, které uplavaly dívky navíc, zbude nám 42 bazénů ($48 - 6 = 42$). Tyto bazény uplaval stejný počet chlapců a dívek.

Dvojice chlapec–dívka

Můžeme si zbývající děti rozdělit do dvojic (vždy jeden chlapec a jedna dívka). Jedna taková dvojice uplave dohromady 3 bazény (dívka 1 a chlapec 2, tedy $1 + 2 = 3$).

Počet chlapců a dívek

Počet těchto dvojic zjistíme tak, že zbývajících 42 bazénů vydělíme třemi. Vyjde nám 14 dvojic ($42 : 3 = 14$). To znamená, že ve štafetě bylo 14 chlapců a k tomu 14 dívek (plus těch 6 dívek, které jsme si odložili na začátku).

Celkový počet dětí

Ve štafetě bylo 14 chlapců a 20 dívek ($14 + 6 = 20$). Celkem tedy bylo v týmu 34 dětí ($14 + 20 = 34$). To odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

V levé kapse mám o třetinu více mincí než v pravé kapse. Počty mincí v levé a pravé kapse se liší o 4.

Kolik mincí mám dohromady v obou kapsách?

A) 12
D) 28
B) 16
E) jiný počet
C) 20

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl v počtu mincí

V zadání se píše, že v levé kapse je o třetinu více mincí než v pravé. Ten kousek „navíc“ (rozdíl) je tedy přesně jedna třetina z toho, co je v pravé kapse.

Počet mincí v pravé kapse

Víme, že se počty mincí v kapsách liší o 4. To znamená, že ona jedna třetina z pravé kapsy jsou právě 4 mince. Celá pravá kapsa se tedy skládá ze tří takových třetin: $4 \cdot 3 = 12$ mincí.

Počet mincí v levé kapse

V levé kapse je o 4 mince více než v pravé. Vypočítáme to jako $12 + 4 = 16$ mincí. (Můžeme si ověřit, že 16 je skutečně o třetinu více než 12, protože třetina z 12 jsou 4 a $12 + 4 = 16$).

Celkový součet

Dohromady v obou kapsách máme $12 + 16 = 28$ mincí.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Graf udává počty žáků jedné třídy v průběhu šesti let. Některé údaje v grafu chybí.Po doplnění chybějících údajů odpovězte na následující otázky. Při řešení vycházejte pouze z doplněného grafu.

Kolikrát došlo k meziroční změně počtu chlapců v období od 1. do 6. roku?

A) jedenkrát
D) čtyřikrát
B) dvakrát
E) pětkrát
C) třikrát

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Doplnění chybějících údajů o chlapcích

Ze sloupcového grafu známe u každého roku celkový počet žáků. U některých roků chybí počet chlapců, ale známe počet dívek. Počet chlapců dopočítáme tak, že od všech žáků odečteme dívky:

2. rok: 25 žáků celkem − 10 dívek = 15 chlapců
4. rok: 30 žáků celkem − 14 dívek = 16 chlapců
6. rok: 22 žáků celkem − 10 dívek = 12 chlapců

Porovnání meziročních změn

Nyní máme počty chlapců pro všech šest let: 15, 15, 16, 16, 16, 12. Budeme porovnávat vždy dva po sobě jdoucí roky a hledat, kdy se počet chlapců změnil:

Z 1. do 2. roku: z 15 na 15 (beze změny)
Ze 2. do 3. roku: z 15 na 16 (změna)
Ze 3. do 4. roku: z 16 na 16 (beze změny)
Z 4. do 5. roku: z 16 na 16 (beze změny)
Z 5. do 6. roku: z 16 na 12 (změna)

Vidíme, že počet chlapců se meziročně změnil dvakrát.

Závěr

K meziroční změně počtu chlapců došlo dvakrát.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Ve kterém roce byl počet chlapců o čtvrtinu větší než počet dívek?

A) v 1. roce
D) ve 4. roce
B) ve 2. roce
E) v 5. roce
C) ve 3. roce

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

V grafu máme pro každý rok uvedený celkový počet žáků a sloupce pro počty chlapců a dívek. Pokud některý údaj o chlapcích nebo dívkách chybí, můžeme ho snadno dopočítat. Součet chlapců a dívek totiž musí dát celkový počet žáků v daném roce.

Hledání správného roku

Hledáme rok, ve kterém je počet chlapců o čtvrtinu větší než počet dívek. Začneme zkoušet od prvního roku.

1. rok Z grafu přímo přečteme, že dívek bylo 12 a chlapců 15. Vypočítáme čtvrtinu z počtu dívek: $12 : 4 = 3$. Počet chlapců má být o tuto čtvrtinu větší než počet dívek: $12 + 3 = 15$. Výsledek se přesně shoduje s počtem chlapců v 1. roce, který jsme vyčetli z grafu. Podmínka je tedy hned v 1. roce splněna.

Ukázka pro další rok

Pro jistotu si můžeme ukázat, jak by to vypadalo ve 2. roce. Z grafu víme, že všech žáků bylo 25 a dívek bylo 10. Počet chlapců v grafu chybí, ale spočítáme ho jako $25 - 10 = 15$. Když zkusíme spočítat čtvrtinu z počtu dívek ($10 : 4$), nevyjde nám celé číslo. Počet chlapců v tomto roce tedy určitě nemůže být přesně o čtvrtinu větší než počet dívek.

Závěr

Počet chlapců byl o čtvrtinu větší než počet dívek v 1. roce.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Z malých krychliček byly slepeny tři stejné kvádry.Z každého kvádru jsme odstranili dvě malé krychličky a vytvořili tak tři nová tělesa. Na každé nové těleso jsme doprostřed každého čtverečku na jeho povrchu (i zespodu) nalepili jeden černý puntík.

Kolik puntíků je na 1. tělese?

A) 30
D) 34
B) 31
E) 36
C) 32
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor původního kvádru

Původní kvádr byl složen z malých krychliček. Z obrázku a jeho popisu víme, že má 3 krychličky na šířku, 2 na výšku a 2 do hloubky. Nejdříve spočítáme počet čtverečků na povrchu celého tohoto kvádru (ze všech stran):

Přední a zadní stěna: každá má 3 × 2 = 6 čtverečků (dohromady 12).
Horní a dolní stěna: každá má 3 × 2 = 6 čtverečků (dohromady 12).
Levá a pravá stěna: každá má 2 × 2 = 4 čtverečky (dohromady 8).

Celý původní kvádr má na povrchu 12 + 12 + 8 = 32 čtverečků.

Změny po odebrání krychliček

Z původního kvádru jsme u 1. tělesa odstranili dvě krychličky. Konkrétně to jsou dvě krychličky vedle sebe v horní vrstvě zepředu (prostřední a pravá). Při odebrání se část povrchu ztratí, ale zároveň se ukážou nové plošky uvnitř otvoru:

Ztratilo se: 2 čtverečky na horní stěně, 2 na přední stěně a 1 na pravé stěně. To je 5 ztracených čtverečků.
Nově se odkrylo (uvnitř tělesa): 2 čtverečky na vršku spodní vrstvy, 2 čtverečky na přední straně zadní vrstvy a 1 čtvereček z boku u levé horní krychličky. To je 5 nově odkrytých čtverečků.

Jelikož jsme 5 čtverečků odebrali a 5 nových se na tělese objevilo, celkový počet čtverečků na povrchu se vůbec nezměnil.

Závěr

Protože se počet čtverečků po odebrání dvou krychliček z rohu kvádru nezměnil, povrch 1. tělesa tvoří stále 32 čtverečků. Na každém čtverečku je jeden černý puntík, takže na 1. tělese je dohromady 32 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik puntíků je na 2. tělese?

A) 30
D) 34
B) 31
E) 36
C) 32
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Původní kvádr

Původní kvádr se skládá z malých krychliček. Z obrázku a popisu zjistíme jeho rozměry: šířka je 3 krychličky, hloubka 2 krychličky a výška 2 krychličky.

Spočítáme jeho povrch (počet viditelných čtverečků zvenku):

Zepředu a zezadu: $3 \times 2 = 6$ čtverečků (celkem 12)
Shora a zespodu: $3 \times 2 = 6$ čtverečků (celkem 12)
Zleva a zprava: $2 \times 2 = 4$ čtverečky (celkem 8)

Povrch neporušeného kvádru je dohromady $12 + 12 + 8 = 32$ čtverečků.

Rozbor 2. tělesa

Z textu zadání víme, že z kvádru byly odstraněny přesně dvě malé krychličky.

Při pohledu zepředu na 2. těleso vidíme, že chybí pravá horní krychlička (vidíme všechny 3 čtverečky dole, ale jen 2 nahoře). Druhá odstraněná krychlička musí být hned za ní (vpravo nahoře vzadu), protože z pravého boku jsou vidět jen dvě krychličky místo původních čtyř. Odstraněn byl tedy celý horní pravý sloupec o dvou krychličkách.

Výpočet počtu puntíků

Puntíky jsou na každém čtverečku na povrchu nového tělesa (včetně těch, které se obnažily po odebrání krychliček). Spočítáme je ze všech pohledů:

Zepředu: vidíme 5 čtverečků (chybí ten vpravo nahoře).
Zezadu: také vidíme 5 čtverečků (chybí vpravo nahoře).
Shora: vidíme všech 6 čtverečků (4 jsou nahoře a 2 vidíme o patro níž, kde chybí horní vrstva).
Zespodu: vidíme všech 6 čtverečků (spodní vrstva je neporušená).
Zleva: vidíme 4 čtverečky (levá stěna je neporušená).
Zprava: vidíme 4 čtverečky (2 z vnější boční stěny spodní vrstvy a 2 obnažené vnitřní čtverečky ze sousedního sloupce).

Dohromady je to $5 + 5 + 6 + 6 + 4 + 4 = 30$ čtverečků.

Na 2. tělese je celkem 30 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik puntíků je na 3. tělese?

A) 30
D) 34
B) 31
E) 36
C) 32
F) jiný počet

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Povrch původního kvádru

Původní kvádr má rozměry 3 × 2 × 2 krychličky. Nejdříve spočítáme čtverečky na jeho povrchu:

Přední a zadní stěna: každá má 3 × 2 = 6 čtverečků, celkem 12.
Horní a dolní stěna: každá má 3 × 2 = 6 čtverečků, celkem 12.
Levá a pravá stěna: každá má 2 × 2 = 4 čtverečky, celkem 8.

Dohromady tvoří povrch plného kvádru 12 + 12 + 8 = 32 čtverečků. Na tento plný kvádr bychom nalepili 32 puntíků.

Změna povrchu u 3. tělesa

Z původního kvádru byly odstraněny právě dvě krychličky. U 3. tělesa zepředu vidíme, že v dolní řadě chybí prostřední krychlička. Když tuto krychličku odstraníme, zmizí nám 2 venkovní čtverečky (jeden zepředu a jeden zespodu). Zároveň se ale vytvoří výklenek, ve kterém se odhalí 4 nové vnitřní čtverečky (zadní, horní, levý a pravý). Počet čtverečků na povrchu se tak zvětší o 2 (protože $4 - 2 = 2$). Počet čtverečků vzroste na 32 + 2 = 34.

Druhá odstraněná krychlička buď ležela v některém rohu tělesa, nebo sousedila s první odstraněnou krychličkou (čímž by vznikl například tunel naskrz nebo chybějící sloupec). V obou těchto případech se odstraněním takové druhé krychličky celkový počet čtverečků na povrchu už dále nemění. Těleso má tedy celkem 34 čtverečků, a proto je na něm nalepeno 34 puntíků.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.

Vypočtěte, kolik polí čtvercové sítě obsahuje 4. labyrint.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 1. labyrintu

Ze zadání víme, že 1. labyrint obsahuje 4 pole a je tvořen 8 sirkami. Protože se jedná o čtvercový labyrint se středem v uzlovém bodě sítě, musí mít tvar čtverce o straně 2 pole ($2 \times 2 = 4$ pole).

Pravidlo růstu labyrintu

Labyrinty se zvětšují přidáváním dalších úseků sirek, které tvoří spirálu. Aby byl zachován střed a labyrint zůstal čtvercový, musí se strana čtverce v každém kroku zvětšit o 2 pole (vždy o jednu vrstvu polí na každé straně).

Určení rozměrů 4. labyrintu

Sledujeme, jak roste délka strany čtverce v jednotlivých fázích:

1. labyrint: strana 2 pole
2. labyrint: strana 4 pole
3. labyrint: strana 6 polí
4. labyrint: strana 8 polí

Výpočet počtu polí

Počet polí ve čtverci o straně 8 polí vypočítáme jako $8 \times 8 = 64$. 4. labyrint tedy obsahuje 64 polí čtvercové sítě.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Vypočtěte, o kolik polí čtvercové sítě je 7. labyrint větší než 6. labyrint.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor labyrintů

Z textu a popisu obrázků vyplývá, že labyrinty jsou čtvercové a jejich velikost se pravidelně zvětšuje:

1. labyrint (nejmenší) má rozměry $2 \times 2$ pole, obsahuje tedy $2 \cdot 2 = 4$ pole.
2. labyrint má rozměry $4 \times 4$ pole, obsahuje tedy $4 \cdot 4 = 16$ polí.
3. labyrint má rozměry $6 \times 6$ pole, obsahuje tedy $6 \cdot 6 = 36$ polí.

Všimneme si, že strana čtverce je vždy dvojnásobkem pořadí labyrintu. Pro $n$-tý labyrint je tedy strana $2 \cdot n$ polí.

Určení počtu polí pro 6. a 7. labyrint

Pomocí nalezeného pravidla vypočítáme počet polí pro labyrinty ze zadání:

6. labyrint má stranu $2 \cdot 6 = 12$ polí. Počet polí je $12 \cdot 12 = 144$.
7. labyrint má stranu $2 \cdot 7 = 14$ polí. Počet polí je $14 \cdot 14 = 196$.

Výpočet rozdílu

Máme vypočítat, o kolik polí je 7. labyrint větší než 6. labyrint. Odečteme tedy jejich obsahy: $196 - 144 = 52$

7. labyrint je o 52 polí větší než 6. labyrint.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Vypočtěte, kolik sirek musíme přidat, chceme-li zvětšit 9. labyrint na 10. labyrint.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza počtu sirek v labyrintech

Nejdříve si spočítáme, kolik sirek tvoří první tři labyrinty uvedené na obrázku (jedna sirka odpovídá jedné straně čtverečku mřížky):

1. labyrint (mřížka 2×2): úseky mají délky 2, 2, 2, 1, 1. Celkem $2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8$ sirek.
2. labyrint (mřížka 4×4): úseky mají délky 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Celkem $4 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 24$ sirek.
3. labyrint (mřížka 6×6): úseky mají délky 6, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1. Celkem $6 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 48$ sirek.

Krok 2: Určení přírůstku sirek

Podíváme se, o kolik sirek musíme každý labyrint zvětšit, abychom získali následující:

Mezi 1. a 2. labyrintem přibylo: $24 - 8 = 16$ sirek.
Mezi 2. a 3. labyrintem přibylo: $48 - 24 = 24$ sirek.

Krok 3: Odvození pravidla pro zvětšování

Všimneme si, že počet přidaných sirek je vždy násobkem osmi:

Při zvětšení na 2. labyrint jsme přidali $2 \cdot 8 = 16$ sirek.
Při zvětšení na 3. labyrint jsme přidali $3 \cdot 8 = 24$ sirek.

Z toho vyplývá, že pro zvětšení na $n$-tý labyrint musíme přidat $n \cdot 8$ sirek.

Krok 4: Výpočet pro 10. labyrint

Otázka se ptá, kolik sirek musíme přidat, abychom zvětšili 9. labyrint na 10. labyrint. Použijeme naše pravidlo pro $n = 10$: $10 \cdot 8 = 80$

Závěr

K vytvoření 10. labyrintu z 9. labyrintu musíme přidat 80 sirek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body