Načítání…
Matikárna logo
Matikárna
Přijímačky systematicky
Členská sekceMatematika
← Zpět

Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2018

30 úloh

PDF+Klíč
Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 16 \cdot \left( 100+20+3 \right) - \left( 3+20+100 \right) \cdot 10+6 \cdot \left( 3+20+100 \right) - \left( 100+20+3 \right) \cdot 0=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součet v závorkách

Nejdříve si všimneme, že ve všech závorkách je stejný součet, jen čísla jsou v jiném pořadí:
$100 + 20 + 3 = 123$
$3 + 20 + 100 = 123$
Celý příklad si tedy můžeme přepsat jednodušeji:
$16 \cdot 123 - 123 \cdot 10 + 6 \cdot 123 - 123 \cdot 0$

Počet dvanáctitrojek

Místo abychom vše násobili složitě zvlášť, spočítáme si, kolikrát tam číslo $123$ celkem máme. Poslední část $- 123 \cdot 0$ je nula, tu můžeme vynechat.
Počítáme: $16 - 10 + 6 = 12$
Číslo $123$ tam máme celkem $12$krát.

Konečný výpočet

Nyní už jen vynásobíme $12 \cdot 123$. Můžeme si to rozložit:
$10 \cdot 123 = 1230$
$2 \cdot 123 = 246$
Dohromady: $1230 + 246 = 1476$.
Výsledek příkladu je $1476$.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1476

Stav úlohy
2 body
Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 8000 \div \left[400 \div \left( 200 \div 8 \right) \right]=$

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Vnitřní závorka

Nejdříve vypočítáme příklad v nejvnitřnější kulaté závorce:
$200 \div 8 = 25$

Hranatá závorka

Výsledek z kulaté závorky (25) použijeme pro výpočet v hranaté závorce:
$400 \div 25 = 16$
(Pomůžeme si tím, že ve stovce je číslo 25 obsaženo čtyřikrát, ve čtyřech stovkách to tedy bude $4 \cdot 4 = 16$.)

Závěrečný výpočet

Nakonec vydělíme číslo 8000 výsledkem z hranaté závorky:
$8000 \div 16 = 500$
Výsledek celého příkladu je tedy 500.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

500

Stav úlohy
2 body
Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \frac{1}{4}$ hodiny $\displaystyle +$ 300 sekund $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ minut

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čtvrtina hodiny

Nejdříve si převedeme čtvrtinu hodiny na minuty. Víme, že jedna hodina má 60 minut. Čtvrtinu vypočítáme tak, že 60 vydělíme čtyřmi:
60 : 4 = 15 minut

Sekundy na minuty

Dále převedeme 300 sekund na minuty. Víme, že jedna minuta má 60 sekund. Zjistíme, kolikrát se 60 vejde do 300:
300 : 60 = 5 minut

Celkový součet

Nyní oba údaje v minutách sečteme:
15 + 5 = 20 minut

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 20.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

20

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \frac{1}{2}$ km $\displaystyle =$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 20 m

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na metry

Nejprve si převedeme kilometry na metry. Víme, že 1 kilometr má 1000 metrů. Polovina kilometru ($\frac{1}{2}$ km) je tedy 500 metrů.

Hledané číslo

Hledáme číslo, kterým musíme vynásobit 20 metrů, abychom dostali 500 metrů. To zjistíme tak, že 500 metrů vydělíme 20 metry.

Výpočet

Při dělení číslem 20 si můžeme u obou čísel škrtnout jednu nulu. Počítáme tedy $50 \div 2$.
$50 \div 2 = 25$

Závěr

Do rámečku patří číslo 25.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

25

Stav úlohy
1 bod
Úloha 2.3

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

1500 mm $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ cm $\displaystyle =$ 15 m

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na centimetry

Abychom mohli s čísly snadno pracovat, převedeme si všechny zadané hodnoty na stejnou jednotku, v tomto případě na centimetry (cm), protože v těchto jednotkách máme uvést výsledek.

Převod milimetrů

Víme, že 10 milimetrů tvoří 1 centimetr. Proto 1500 mm převedeme na centimetry tak, že číslo vydělíme deseti:
1500 mm = 150 cm

Převod metrů

Víme, že 1 metr má 100 centimetrů. Proto 15 metrů převedeme na centimetry tak, že číslo vynásobíme stem:
15 m = 1500 cm

Výpočet chybějícího čísla

Nyní vypadá náš příklad takto:
150 cm +
?
cm = 1500 cm
Chybějící číslo zjistíme tak, že od celkového výsledku odečteme první sčítanec:
1500 - 150 = 1350

Výsledek

Do rámečku patří číslo 1350.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

1350

Stav úlohy
1 bod
Úloha 3

Jana si nahrála na několik CD všechny lekce němčiny, a to postupně od první lekce
do poslední. Jednotlivá CD zaplňovala rovněž v pořadí od prvního do posledního CD.
Na každém CD je stejný počet lekcí - nejméně 5, ale nejvíce 10.
Jen jediná dvojice ze čtyř lekcí 11, 13, 31 a 33 je nahraná na stejném CD.

Určete, kolik lekcí může být na jednom CD.

Uveďte všechna možná řešení.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Které dvojice připadají v úvahu

Na jednom CD je nejvýše 10 lekcí. Spolu tedy mohou být jen lekce 11 a 13 nebo lekce 31 a 33. Právě jednu z těchto dvojic musí rozdělit konec CD.

Rozdělení lekcí 11 a 13

Konec CD musí připadnout na lekci 11 nebo 12. Počet lekcí na CD musí být dělitelem tohoto čísla. Číslo 11 lze rozdělit jen do skupin po 1 nebo 11. Rozklady čísla 12 na stejné skupiny jsou 1 · 12, 2 · 6 a 3 · 4. V povoleném rozmezí 5 až 10 tak vychází pouze 6 lekcí na CD.

Rozdělení lekcí 31 a 33

Zde musí CD končit lekcí 31 nebo 32. Číslo 31 má jen dělitele 1 a 31; číslo 32 je 2 · 2 · 2 · 2 · 2, takže jeho dělitelé jsou 1, 2, 4, 8, 16 a 32. V rozmezí 5 až 10 vychází pouze 8 lekcí na CD.

Ověření odvozených výsledků

Při 6 lekcích končí CD lekcí 12, ale lekce 31 i 33 jsou na CD s lekcemi 31–36. Při 8 lekcích končí CD lekcí 32, ale lekce 11 i 13 jsou na CD s lekcemi 9–16. V obou případech je spolu právě jedna dvojice. Odpověď je 6 nebo 8.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

6, 8

Stav úlohy
3 body
Úloha 4.1

Dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky.Jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů.

Vypočtěte, o kolik gramů méně váží jedna topinka než jedna houska.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl u dvou dvojic

Víme, že dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky. To znamená, že kdybychom dali na jednu misku vah dvě housky a na druhou dvě topinky, museli bychom k topinkám přidat závaží 10 gramů, aby byly váhy v rovnováze.

Rozdíl u jednoho kusu

Protože máme na obou stranách stejný počet kusů (dvě housky a dvě topinky), bude u jednoho kusu rozdíl přesně poloviční. Polovina z 10 gramů je 5 gramů ($10 \div 2 = 5$). Jedna houska je tedy o 5 gramů těžší než jedna topinka.

Závěr

Otázka zní, o kolik gramů méně váží jedna topinka než jedna houska. Protože je houska o 5 gramů těžší, topinka musí vážit o 5 gramů méně.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

5

Stav úlohy
1 bod
Úloha 4.2

Dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky.Jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů.

Vypočtěte, kolik gramů váží tři topinky.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi houskou a topinkou

Ze zadání víme, že dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky. Z toho vyplývá, že jedna houska váží o 5 gramů více než jedna topinka ($10 \div 2 = 5$).

Nahrazení housky topinkou

Víme, že jedna houska a dvě topinky váží dohromady 110 gramů. Pokud bychom místo housky vzali topinku, byla by celková váha o 5 gramů nižší (protože topinka je o 5 gramů lehčí než houska).

Váha tří topinek

Tři topinky tedy váží dohromady o 5 gramů méně než 110 gramů:
$110 - 5 = 105$
Tři topinky váží 105 gramů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

105

Stav úlohy
2 body
Úloha 4.3

Dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky.Jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů.

Vypočtěte, kolik gramů váží jedna houska.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání housek a topinek

Ze zadání víme, že dvě housky váží o 10 gramů více než dvě topinky. To znamená, že dvě topinky váží stejně jako dvě housky, od kterých bychom odečetli 10 gramů.

Nahrazení v celkové váze

Víme, že jedna houska a dvě topinky váží celkem 110 gramů. Když dvě topinky nahradíme dvěma houskami (které jsou ale dohromady o 10 gramů těžší než dvě topinky), bude celková váha tří housek o 10 gramů vyšší než původních 110 gramů.

Váha tří housek

Tři housky tedy váží dohromady: $110 + 10 = 120$ gramů.

Výpočet pro jednu housku

Váhu jedné housky zjistíme tak, že celkovou váhu tří housek vydělíme třemi:
$120 \div 3 = 40$ gramů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

40

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.1

Maminka dala všechny upečené koláče na dva talíře ve stejném počtu. Jarda z prvního talíře 5 koláčů snědl a potom na něj přendal 3 koláče z druhého talíře. Emilka pak z talíře s větším počtem koláčů odebrala třetinu koláčů a dala si je do krabičky. Odnesla si tak v krabičce celkem 5 koláčů.

Určete počet všech upečených koláčů (tj. na obou talířích dohromady).

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet koláčů u Emilky

Emilka si vzala třetinu koláčů z talíře, na kterém jich bylo více. V krabičce měla 5 koláčů. Pokud 5 koláčů tvoří jednu třetinu, pak na celém talíři muselo být třikrát více koláčů:
3 · 5 = 15 koláčů

Původní počet na jednom talíři

Na talíři, ze kterého Emilka brala, bylo 15 koláčů. Tento počet tam byl poté, co na něj Jarda přendal 3 koláče z druhého talíře. Před tímto přendáním tam tedy bylo:
15 – 3 = 12 koláčů
Těchto 12 koláčů tam zbylo poté, co Jarda 5 koláčů snědl. Na začátku tedy na tomto talíři muselo být:
12 + 5 = 17 koláčů

Celkový počet upečených koláčů

Maminka rozdělila všechny koláče na dva talíře tak, aby na obou byl stejný počet. Na prvním talíři bylo na začátku 17 koláčů, na druhém tedy muselo být také 17 koláčů. Celkem maminka upekla:
17 + 17 = 34 koláčů
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

34

Stav úlohy
2 body
Úloha 5.2

Maminka dala všechny upečené koláče na dva talíře ve stejném počtu. Jarda z prvního talíře 5 koláčů snědl a potom na něj přendal 3 koláče z druhého talíře. Emilka pak z talíře s větším počtem koláčů odebrala třetinu koláčů a dala si je do krabičky. Odnesla si tak v krabičce celkem 5 koláčů.

Určete počet koláčů, které zbyly na druhém talíři.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kolik bylo na talíři před Emilkou

Emilka si vzala z talíře s větším počtem koláčů jednu třetinu a bylo to 5 koláčů. Celý tento talíř tedy musel obsahovat $3 \cdot 5 = 15$ koláčů.

Který talíř měl více koláčů

Na začátku měly oba talíře stejný počet koláčů. Jarda z prvního talíře 5 snědl a 3 na něj přidal (celkem mu ubyly 2 koláče). Z druhého talíře Jarda jen 3 koláče vzal (ubyly mu 3 koláče). Více koláčů tedy zůstalo na prvním talíři, a to právě těch 15.

Počet koláčů na začátku

Jestliže na prvním talíři bylo 15 koláčů a víme, že z něj celkem 2 ubyly, muselo jich tam být na začátku $15 + 2 = 17$. Na druhém talíři bylo na začátku také 17 koláčů.

Zbytek na druhém talíři

Z druhého talíře Jarda odebral 3 koláče a dal je na první talíř. Emilka si brala koláče z prvního talíře, takže druhého se už nedotkla. Na druhém talíři tedy zbylo $17 - 3 = 14$ koláčů.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

14

Stav úlohy
2 body
Úloha 6.1

Část plochy hladiny rybníka je znečištěná. Za každý den (24 hodin) se velikost znečištěné plochy zdvojnásobí.

Vypočtěte, kolikrát se zvětší velikost znečištěné plochy za dva dny.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První den

Ze zadání víme, že každý den se plocha znečištění zdvojnásobí. Po prvním dni tedy bude plocha 2krát větší než na začátku.

Druhý den

Během druhého dne se tato už zdvojnásobená plocha opět zdvojnásobí. Musíme tedy počet zvětšení z prvního dne vynásobit dvěma.

Celkové zvětšení

Výpočet je tedy: $2 \cdot 2 = 4$. Plocha bude po dvou dnech 4krát větší než na úplném začátku.

Výsledek

Velikost znečištěné plochy se za dva dny zvětší 4krát.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

4

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.2

Část plochy hladiny rybníka je znečištěná. Za každý den (24 hodin) se velikost znečištěné plochy zdvojnásobí.

Vypočtěte, kolikrát menší byla velikost znečištěné plochy před třemi dny.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Princip zdvojnásobování

V zadání se píše, že se plocha znečištění každý den zdvojnásobí. To znamená, že pokud se díváme o jeden den zpět do minulosti, musela být plocha poloviční (tedy 2krát menší).

Před jedním a dvěma dny

Před jedním dnem byla plocha 2krát menší než dnes.
Před dvěma dny byla plocha poloviční oproti včerejšku, tedy 4krát menší než dnes ($2 \cdot 2 = 4$).

Před třemi dny

Před třemi dny byla plocha opět poloviční oproti stavu před dvěma dny. Musíme tedy znovu násobit dvěma:
$4 \cdot 2 = 8$

Závěr

Před třemi dny byla znečištěná plocha 8krát menší než dnes.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

8

Stav úlohy
1 bod
Úloha 6.3

Část plochy hladiny rybníka je znečištěná. Za každý den (24 hodin) se velikost znečištěné plochy zdvojnásobí.

Znečištěná plocha pokrývá osminu hladiny rybníka.

Vypočtěte, za kolik dnů se znečištěná plocha rozšíří na celou plochu hladiny rybníka.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pravidlo zdvojnásobení

Víme, že se znečištěná plocha každý den zdvojnásobí. Začínáme se znečištěním na jedné osmině ($\frac{1}{8}$) rybníka.

Z osminy na čtvrtinu

Po prvním dni se plocha zdvojnásobí. Dvě osminy jsou to samé jako jedna čtvrtina ($\frac{1}{4}$) rybníka.

Ze čtvrtiny na polovinu

Po druhém dni se plocha opět zdvojnásobí. Dvě čtvrtiny tvoří přesně polovinu ($\frac{1}{2}$) rybníka.

Z poloviny na celek

Po třetím dni se plocha znovu zdvojnásobí. Dvě poloviny už tvoří jeden celek, tedy celou hladinu rybníka.

Počet dnů

K zaplnění celého rybníka jsou tedy potřeba 3 dny.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

3

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.1

V rovině leží body A, F, G.

Bod A je vrchol čtverce ABCD. Na polopřímce AF leží vrchol B tohoto čtverce a uvnitř strany CD tohoto čtverce leží bod G.

Sestrojte chybějící vrcholy B, C, D čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 7.1 a 7.2 a 7.3 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 6 body.

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 6 bodů.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 7

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
3 body
Úloha 7.2

V rovině leží body A, F, G.

Bod A je vrchol čtverce ABCD. Na polopřímce AF leží vrchol B tohoto čtverce a uvnitř strany CD tohoto čtverce leží bod G.

Na úsečce AD sestrojte a označte bod E, který je vrchol rovnoramenného trojúhelníku EFG (se základnou EG) a trojúhelník EFG narýsujte.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 7.1 a 7.2 a 7.3 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 6 body.

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 6 bodů.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 7

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
2 body
Úloha 7.3

V rovině leží body A, F, G.

Bod A je vrchol čtverce ABCD. Na polopřímce AF leží vrchol B tohoto čtverce a uvnitř strany CD tohoto čtverce leží bod G.

Sestrojte a označte přímku o, která prochází bodem F a je kolmá k přímce EG.

Kontrola odpovědi
Automatická kontrola není dostupná.
Zobrazit odpověď
Odpověď

Hodnocení podle rozšířeného klíče CERMAT

Úlohy 7.1 a 7.2 a 7.3 se hodnotí společně. Celkové hodnocení se započítá pouze jednou, maximálně 6 body.

Oficiální klíč neobsahuje textová kritéria pro dílčí body. Porovnejte svou konstrukci se vzorovým řešením a body určete sami.

Dílčí body se sčítají, nejvýše do 6 bodů.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Vzorové řešení výše.

Zdroj: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2018, úloha 7

Výčet hodnocených situací v oficiálním klíči nemusí být úplný.

Stav úlohy
1 bod
Úloha 8.1
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky.
s délkou strany 1 cm a obsahem 1 cm².
Ve čtvercové síti jsou zakresleny
bílé obrazce A,B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzením, zda je pravdivé (A),či nikoliv (N).

Obsah obrazce A, je stejný jako obsah obrazce B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Doplň A na obdélník široký 5 políček a vysoký 6 políček. Jeho obsah je 30 cm². Vlevo mimo A je polovina obdélníku 3 × 6, tedy 9 cm². Vpravo nahoře je polovina obdélníku 1 × 4, tedy 2 cm². Vpravo dole je obdélník 1 × 2, tedy 2 cm². Dole zbývá polovina obdélníku 4 × 2, tedy 4 cm². Obsah A je $30 - 9 - 2 - 2 - 4 = 13$ cm².

Obsah obrazce B

Doplň B na obdélník široký 4 políčka a vysoký 6 políček. Má obsah 24 cm². Mimo B je vpravo polovina obdélníku 3 × 6, tedy 9 cm², a vlevo nahoře polovina obdélníku 1 × 4, tedy 2 cm². Obsah B je $24 - 9 - 2 = 13$ cm².

Porovnání

Oba obrazce mají obsah 13 cm². Tvrzení o stejném obsahu platí (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 8.2
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky.
s délkou strany 1 cm a obsahem 1 cm².
Ve čtvercové síti jsou zakresleny
bílé obrazce A,B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzením, zda je pravdivé (A),či nikoliv (N).

Obsah obrazce A je vetší než 12 cm².

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (2 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Doplň A na obdélník široký 5 políček a vysoký 6 políček. Jeho obsah je 30 cm². Vlevo mimo A je polovina obdélníku 3 × 6, tedy 9 cm². Vpravo nahoře je polovina obdélníku 1 × 4, tedy 2 cm². Vpravo dole je obdélník 1 × 2, tedy 2 cm². Dole zbývá polovina obdélníku 4 × 2, tedy 4 cm². Obsah A je $30 - 9 - 2 - 2 - 4 = 13$ cm².

Porovnání

Obsah A je 13 cm², což je více než 12 cm². Tvrzení platí (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 8.3
skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky.
s délkou strany 1 cm a obsahem 1 cm².
Ve čtvercové síti jsou zakresleny
bílé obrazce A,B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzením, zda je pravdivé (A),či nikoliv (N).

Obvod obrazce A je větší než obvod obrazce B.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dvě dvojice stejně dlouhých stran

Dlouhá levá strana A a dlouhá pravá strana B překonávají 3 políčka vodorovně a 6 svisle. Pravá strana A a horní šikmá část levé strany B překonávají 1 políčko vodorovně a 4 svisle. V každé dvojici jde o úhlopříčky stejně velkých obdélníků, takže mají stejnou délku.

Zbytek obvodu A

U A zbývá horní strana dlouhá 2 cm a dolní šikmá strana. Ta překonává 4 políčka vodorovně a 2 svisle, takže je delší než samotné vodorovné 4 cm. Tyto dvě strany dohromady měří více než $2 + 4 = 6$ cm.

Zbytek obvodu B

U B zbývají horní strana dlouhá 3 cm, dolní strana dlouhá 1 cm a svislá část levé strany dlouhá 2 cm. Celkem měří $3 + 1 + 2 = 6$ cm.

Závěr

Dvě dvojice stran mají stejné délky, ale zbytek obvodu A je delší než zbytek obvodu B. Obvod A je tedy větší a tvrzení platí (A).
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

Ano

Stav úlohy
4 body za skupinu
Úloha 9

Teta při práci spotřebuje jedno klubko provázku během každých 20 minut.
Teta pracovala 2 hodiny a první hodinu současně s ní pracoval ještě strýc. Dohromady tak za 2 hodiny spotřebovali 10 klubek provázku.

Kolik klubek spotřeboval za první hodinu práce samotný strýc?

  • A) o 1 klubko víc než za stejnou dobu teta
  • D) o 1 klubko méně než za stejnou dobu teta
  • B) stejný počet klubek jako za stejnou donu teta
  • E) o 2 klubka méně než za stejnou dobu teta
  • C) ani jedno klubko
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Spotřeba tety

Teta spotřebuje jedno klubko za 20 minut. Za jednu hodinu (60 minut) tedy spotřebuje 3 klubka (protože $60 : 20 = 3$).
Za celé dvě hodiny (120 minut) práce teta spotřebovala 6 klubek provázku ($120 : 20 = 6$).

Spotřeba strýce

Dohromady teta se strýcem spotřebovali 10 klubek. Víme, že teta sama za celé dvě hodiny spotřebovala 6 klubek.
Na strýce tedy připadají zbývající 4 klubka ($10 - 6 = 4$). Protože strýc pracoval pouze první hodinu, spotřeboval tato 4 klubka během ní.

Porovnání

Během první hodiny spotřeboval strýc 4 klubka, zatímco teta spotřebovala 3 klubka. Strýc tedy spotřeboval o 1 klubko více než teta za stejnou dobu ($4 - 3 = 1$).

Závěr

Správná je možnost A.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

A

Stav úlohy
2 body
Úloha 10

Jan, Petr a Alena česali třešně. Do každého košíku načesali 3 kg třešní.
Každý z chlapců naplnil o polovinu větší počet košíků než Alena.
Do večera načesali všichni tři dohromady 72 kg třešní.

Kolik košíků načesala Alena?

  • A) méně než 4
  • D) 6
  • B) 4
  • E) více než 6
  • C) 5
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet košíků

Víme, že dohromady všichni tři načesali 72 kg třešní a do každého košíku se vejdou právě 3 kg. Nejdříve vypočítáme, kolik košíků naplnili celkem:
$72 \div 3 = 24$ košíků.

Porovnání počtu košíků

Jan i Petr (chlapci) naplnili každý o polovinu více košíků než Alena. Můžeme si to představit pomocí dílků:
Pokud má Alena 2 dílky, pak Jan i Petr mají každý o 1 dílek (polovinu ze dvou) více, tedy 3 dílky.
Dohromady mají všichni: $2 + 3 + 3 = 8$ dílků.

Výpočet pro Alenu

Víme, že těchto 8 stejných dílků odpovídá celkem 24 košíkům. Jeden dílek tedy představuje:
$24 \div 8 = 3$ košíky.
Alena naplnila 2 dílky, vypočítáme tedy:
$2 \cdot 3 = 6$ košíků.

Ověření a odpověď

Alena má 6 košíků. Chlapci mají o polovinu více, tedy $6 + 3 = 9$ košíků.
Celkem: $6 + 9 + 9 = 24$ košíků.
$24 \cdot 3 = 72$ kg.
Alena načesala 6 košíků, což odpovídá možnosti D.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

D

Stav úlohy
2 body
Úloha 11

V krychli slepené ze 125 krychliček (po 5 v každé řadě) se vytvoří 9 otvorů skrz naskrz (ústí každého otvoru je vyznačeno tmavě.)
V první fázi se vytvoří svislé otvory tak, že se vytlačí celkem 15 krychliček ze tří svislých sloupců.
Ve druhé fázi se prorazí tři otvory směřující zepředu dozadu. Ve třetí fázi se vytlačí poslední krychličky tak, aby vznikly tři otvory směřující zprava doleva.

Kolik krychliček se vytlačí ve 2.fázi?

  • A) méně než 11
  • D) 13
  • B) 11
  • E) více než 13
  • C) 12
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor 2. fáze

Ve 2. fázi se do krychle o rozměrech $5 \times 5 \times 5$ prorážejí 3 otvory směřující zepředu dozadu. Každý takový otvor prochází řadou 5 malých krychliček. Kdyby byla krychle plná, vytlačilo by se celkem $3 \times 5 = 15$ krychliček.

Průniky s 1. fází

Na přední stěně jsou dva otvory ve 3. sloupci zleva a jeden ve 2. sloupci. Na horní stěně vidíme ve 3. sloupci dva svislé otvory; ve 2. sloupci žádný není. Každý ze dvou předních otvorů ve 3. sloupci proto potká dvě prázdná místa. Přední otvor ve 2. sloupci nepotká žádné. Dohromady už chybí 2 + 2 + 0 = 4 krychličky.

Výpočet

Počet skutečně vytlačených krychliček ve 2. fázi získáme tak, že od celkového počtu 15 odečteme 4 krychličky, které už byly odstraněny dříve:
15 − 4 = 11

Závěr

Ve druhé fázi se vytlačí 11 krychliček.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
2 body
Úloha 12

V krychli slepené ze 125 krychliček (po 5 v každé řadě) se vytvoří 9 otvorů skrz naskrz (ústí každého otvoru je vyznačeno tmavě.)
V první fázi se vytvoří svislé otvory tak, že se vytlačí celkem 15 krychliček ze tří svislých sloupců.
Ve druhé fázi se prorazí tři otvory směřující zepředu dozadu. Ve třetí fázi se vytlačí poslední krychličky tak, aby vznikly tři otvory směřující zprava doleva.

Kolik krychliček zbyde v krychli po vytvoření všech 9 otvorů?

  • A) 87
  • D) 90
  • B) 88
  • E) jiný počet krychliček
  • C) 89
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet krychliček a první fáze

Původně je v krychli 5 · 5 · 5 = 125 krychliček. Ve třech svislých otvorech se odstraní 3 · 5 = 15 krychliček.

Druhá fáze

Sloupce počítej zleva, vrstvy shora a hloubku odpředu. Na přední stěně jsou otvory ve 3. sloupci ve 2. a 4. vrstvě a ve 2. sloupci ve 3. vrstvě. Na horní stěně jsou dva otvory ve 3. sloupci (ve 2. a 4. řadě odpředu) a jeden ve 4. sloupci (ve 3. řadě odpředu). Oba přední tunely ve 3. sloupci potkají po dvou prázdných místech; tunel ve 2. sloupci žádné. Nově odstraníme 15 − 2 − 2 = 11 krychliček.

Třetí fáze

Na pravé stěně je horní otvor ve 2. vrstvě a 3. řadě odpředu. Potká dvě různá prázdná místa: ve 4. sloupci svislý tunel a ve 3. sloupci přední tunel. Prostřední otvor je ve 3. vrstvě a 4. řadě odpředu. Také potká dvě různá prázdná místa: ve 3. sloupci svislý tunel a ve 2. sloupci přední tunel. Dolní otvor je ve 4. vrstvě a 2. řadě odpředu. Oba starší tunely tu procházejí týmž místem ve 3. sloupci, takže chybí jen jedna krychlička. Nově odstraníme (5 − 2) + (5 − 2) + (5 − 1) = 10 krychliček.

Kolik zbude

Zůstane 125 − 15 − 11 − 10 = 89 krychliček. To je možnost C.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
2 body
Úloha 13.1
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Páté třídy (5.A, 5.B. a 5.C) uspořádaly sběr papíru.
V 5.A dívky nasbíraly o 30 kg papíru více než chlapci, tedy o pětinu více než chlapci.
V 5.B nasbírali žáci celkem 480 kg papíru, přičemž dívky nasbíraly dvakrát více než chlapci.
V 5.C je celkem 27 žáků. Každý žák přinesl stejné množství papíru. Chlapců je o 3 více než dívek, proto chlapci nasbírali celkem o 72 kg papíru více než dívky.

Kolik kg papíru nasbírali žáci 5.A celkem?

  • A) méně než 320 kg
  • D) 350 kg
  • B) 320 kg
  • E) 360 kg
  • C) 330 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání pro 5.A

Ze zadání víme, že dívky v 5.A nasbíraly o 30 kg papíru více než chlapci. Zároveň je tento rozdíl roven jedné pětině množství, které nasbírali chlapci.

Výpočet množství u chlapců

Pokud 30 kg odpovídá jedné pětině množství chlapců, pak celé množství chlapců vypočítáme jako:
5 × 30 kg = 150 kg

Výpočet množství u dívek

Dívky nasbíraly o 30 kg více než chlapci:
150 kg + 30 kg = 180 kg

Celkový součet pro 5.A

Sečteme množství papíru od chlapců a od dívek:
150 kg + 180 kg = 330 kg
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

C

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 13.2
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Páté třídy (5.A, 5.B. a 5.C) uspořádaly sběr papíru.
V 5.A dívky nasbíraly o 30 kg papíru více než chlapci, tedy o pětinu více než chlapci.
V 5.B nasbírali žáci celkem 480 kg papíru, přičemž dívky nasbíraly dvakrát více než chlapci.
V 5.C je celkem 27 žáků. Každý žák přinesl stejné množství papíru. Chlapců je o 3 více než dívek, proto chlapci nasbírali celkem o 72 kg papíru více než dívky.

Kolik kg papíru nasbíraly dívky 5.B?

  • A) méně než 320 kg
  • D) 350 kg
  • B) 320 kg
  • E) 360 kg
  • C) 330 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (5 kroků)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání pro třídu 5. B

Ze zadání a tabulky víme, že žáci třídy 5. B nasbírali celkem 480 kg papíru. Dále je uvedeno, že dívky nasbíraly dvakrát více papíru než chlapci.

Rozdělení na díly

Protože dívky nasbíraly dvakrát více než chlapci, můžeme si celkové množství představit jako rozdělené na 3 stejné díly:
  • 1 díl připadá na chlapce,
  • 2 díly připadají na dívky.
Dohromady jsou to tedy $1 + 2 = 3$ stejné díly.

Výpočet jednoho dílu

Jeden díl vypočítáme tak, že celkovou hmotnost papíru vydělíme počtem dílů:
$480 : 3 = 160$ kg.
Jeden díl (množství chlapců) tedy váží 160 kg.

Výpočet množství papíru u dívek

Dívky nasbíraly dva tyto díly:
$2 \times 160 = 320$ kg.

Závěr

Dívky ze třídy 5. B nasbíraly celkem 320 kg papíru. Správná je tedy možnost B.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

B

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 13.3
skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Páté třídy (5.A, 5.B. a 5.C) uspořádaly sběr papíru.
V 5.A dívky nasbíraly o 30 kg papíru více než chlapci, tedy o pětinu více než chlapci.
V 5.B nasbírali žáci celkem 480 kg papíru, přičemž dívky nasbíraly dvakrát více než chlapci.
V 5.C je celkem 27 žáků. Každý žák přinesl stejné množství papíru. Chlapců je o 3 více než dívek, proto chlapci nasbírali celkem o 72 kg papíru více než dívky.

Kolik kg papíru nasbírali chlapci 5.C?

  • A) méně než 320 kg
  • D) 350 kg
  • B) 320 kg
  • E) 360 kg
  • C) 330 kg
  • F) jiný počet kg
Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Video řešení

Pro zobrazení video řešení se zdarma zaregistrujte.

Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění počtu chlapců a dívek

Víme, že ve třídě 5. C je celkem 27 žáků a chlapců je o 3 více než dívek. Kdyby byl počet chlapců i dívek stejný, bylo by jich dohromady o 3 méně, tedy $27 - 3 = 24$. Počet dívek je pak polovina z tohoto čísla, tedy $24 : 2 = 12$. Chlapců je o 3 více, tedy $12 + 3 = 15$.

Výpočet množství papíru na jednoho žáka

Každý žák přinesl stejné množství papíru. Chlapci nasbírali o 72 kg více než dívky právě proto, že je jich o 3 více. Tito 3 chlapci „navíc“ tedy museli nasbírat oněch 72 kg. Jeden žák tedy přinesl $72 : 3 = 24$ kg papíru.

Výpočet celkového množství papíru chlapců

Nyní už jen vynásobíme počet chlapců množstvím papíru, které přinesl jeden žák. Chlapců je 15 a každý přinesl 24 kg. Celkem tedy chlapci v 5. C nasbírali $15 \cdot 24 = 360$ kg papíru.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

E

Stav úlohy
5 bodů za skupinu
Úloha 14.1

Ze stejně velkých čtverečků se podle jednotného pravidla sestavují obdélníky.První obdélník obsahuje 2 čtverečky. Každý další obdélník vznikne tak, že se k předchozímu obdélníku přidá nejprve dole jedna řada tmavých čtverečků a poté vpravo jeden sloupec bílých čtverečků. Číslo nahoře nad obdélníkem vždy uvádí počet všech čtverečků v obdélníku, číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců. U každého z následujících obdélníků je chybějící počet nahrazen otazníkem.

Obdélník obsahuje celkem 110 čtverečků.

Určete počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor pravidla

Podle obrázku a zadání vidíme, jak se obdélníky zvětšují. Číslo nahoře uvádí celkový počet čtverečků. Číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v posledním přidaném sloupci.
  • U 1. obdélníku je celkem 2 čtverečky (horní číslo) a vpravo by bylo číslo 1. Platí: $2 = 1 × 2$.
  • U 2. obdélníku je celkem 6 čtverečků a vpravo je číslo 2. Platí: $6 = 2 × 3$.
  • U 3. obdélníku je celkem 12 čtverečků a vpravo je číslo 3. Platí: $12 = 3 × 4$.
  • U 4. obdélníku je celkem 20 čtverečků a vpravo je číslo 4. Platí: $20 = 4 × 5$.
Celkový počet čtverečků tedy vždy vypočítáme tak, že číslo vpravo vynásobíme číslem o jedna větším.

Výpočet pro 110 čtverečků

Šířka obdélníku je vždy o jeden čtvereček větší než jeho výška. Platí $110 = 10 \times 11$: 11 desítek je 110. Rozměry jsou tedy 10 řad a 11 sloupců. Menší výška by dala menší obdélník a větší výška větší obdélník, takže tento výsledek je jediný. Poslední bílý sloupec má 10 čtverečků.

Závěr

V obdélníku, který obsahuje celkem 110 čtverečků, je v nejdelším z přidaných sloupců 10 bílých čtverečků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

10

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.2

Ze stejně velkých čtverečků se podle jednotného pravidla sestavují obdélníky.První obdélník obsahuje 2 čtverečky.
Každý další obdélník vznikne tak, že se k předchozímu obdélníku přidá nejprve dole jedna řada tmavých čtverečků a poté vpravo jeden sloupec bílých čtverečků.
Číslo nahoře nad obdélníkem vždy uvádí počet všech čtverečků v obdélníku, číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců.
U každého z následujících obdélníků je chybějící počet nahrazen otazníkem.

Nejdelší z přidaných sloupců obsahuje 20 bílých čtverečků.

Určete počet všech čtverečků v obdélníku.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (3 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a pravidla

Když se podíváme na první čtyři obdélníky v zadání, můžeme si všimnout, jak se postupně zvětšují:
  • 1. obdélník: má 1 řadu a 2 sloupce (celkem $1 \cdot 2 = 2$ čtverečky).
  • 2. obdélník: má 2 řady a 3 sloupce (celkem $2 \cdot 3 = 6$ čtverečků). Číslo vpravo je 2.
  • 3. obdélník: má 3 řady a 4 sloupce (celkem $3 \cdot 4 = 12$ čtverečků). Číslo vpravo je 3.
  • 4. obdélník: má 4 řady a 5 sloupců (celkem $4 \cdot 5 = 20$ čtverečků). Číslo vpravo je 4.


Odhalili jsme důležité pravidlo:
  • Číslo vpravo (počet bílých čtverečků v nejdelším sloupci) je stejné jako celkový počet řad v obdélníku.
  • Počet sloupců obdélníku je vždy o 1 větší než počet řad.
  • Celkový počet všech čtverečků zjistíme, když vynásobíme počet řad počtem sloupců.

Výpočet čtverečků

Zadání po nás chce zjistit celkový počet čtverečků v obdélníku, kde nejdelší z přidaných sloupců obsahuje 20 bílých čtverečků. Toto číslo je napsáno vpravo vedle obdélníku.

Podle našeho pravidla to znamená, že tento velký obdélník má přesně 20 řad. Sloupců bude o 1 více, tedy $20 + 1 = 21$ sloupců.

Celkový počet všech čtverečků vypočítáme vynásobením počtu řad a sloupců:
$20 \cdot 21 = 420$

Závěr

Tento obdélník obsahuje celkem 420 čtverečků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

420

Stav úlohy
1 bod
Úloha 14.3

Ze stejně velkých čtverečků se podle jednotného pravidla sestavují obdélníky.První obdélník obsahuje 2 čtverečky. Každý další obdélník vznikne tak, že se k předchozímu obdélníku přidá nejprve dole jedna řada tmavých čtverečků a poté vpravo jeden sloupec bílých čtverečků. Číslo nahoře nad obdélníkem vždy uvádí počet všech čtverečků v obdélníku, číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců. U každého z následujících obdélníků je chybějící počet nahrazen otazníkem.

Počet čtverečků v obdélníku je vetší než 900, ale menší než 1 000.

Určete přesný počet čtverečků v obdélníku.

Najděte všechna možná řešení.

Kontrola odpovědi
Připravuji zadání…
Zobrazit postup řešení (4 kroky)
Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Podle zadání a obrázku si můžeme zapsat rozměry prvních několika obdélníků:
  • 1. obdélník: má strany $2$ a $1$, celkem je v něm $2 \cdot 1 = 2$ čtverečky.
  • 2. obdélník: má strany $3$ a $2$, celkem je v něm $3 \cdot 2 = 6$ čtverečků.
  • 3. obdélník: má strany $4$ a $3$, celkem je v něm $4 \cdot 3 = 12$ čtverečků.
  • 4. obdélník: má strany $5$ a $4$, celkem je v něm $5 \cdot 4 = 20$ čtverečků.

Nalezení pravidla

Vidíme, že celkový počet čtverečků v obdélníku získáme vždy vynásobením dvou čísel jdoucích hned po sobě (délky a šířky obdélníku).

Hledání řešení

Obdélník má vždy o jeden sloupec více než řad. Čtverec $30 \times 30$ má 900 políček. Obdélník nad touto mezí proto musí mít alespoň 30 řad. Čtverec $32 \times 32$ má 1024 políček, tedy více než 1000; obdélník proto musí mít méně než 32 řad. Výška tak patří do přesně určeného rozmezí 30 až 31 řad. Tomu odpovídají rozměry 30 × 31 a 31 × 32 a počty $30 \times 31 = 930$ a $31 \times 32 = 992$. Oba leží v požadovaném rozmezí; žádná další celočíselná výška mezi 30 a 31 není.

Závěr

Obdélník může mít buď $930$, nebo $992$ čtverečků.
Pomohlo vám toto řešení?
Zobrazit odpověď

930, 992

Stav úlohy
2 body