Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2018

29 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 4 \cdot 16-16 \div 2+0 \cdot 125-25=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Násobení a dělení

Při výpočtu složitějších příkladů musíme dodržovat správné pořadí operací. Násobení a dělení má vždy přednost před sčítáním a odčítáním.
Nejdříve si tedy vypočítáme jednotlivé části:

$4 \cdot 16 = 64$
$16 \div 2 = 8$
$0 \cdot 125 = 0$

Dosazení a sčítání

Vypočítané hodnoty dosadíme zpět do původního příkladu a budeme postupovat zleva doprava:
$64 - 8 + 0 - 25$

Postupné odčítání

Nyní provedeme zbývající operace:

$64 - 8 = 56$
$56 + 0 = 56$
$56 - 25 = 31$

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 31.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 100- \left[ 35- \left( 15+11 \right) \right]-35=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kulatá závorka

Nejdříve vypočítáme součet v kulaté závorce:
$15 + 11 = 26$

Hranatá závorka

Nyní vypočítáme rozdíl v hranaté závorce. Od čísla $35$ odečteme výsledek z předchozího kroku:
$35 - 26 = 9$

Celý příklad

Dosadíme výsledek hranaté závorky zpět do příkladu a vypočítáme ho zleva doprava:
$100 - 9 - 35 = 91 - 35 = 56$

Výsledek

Výsledkem je číslo 56.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

2 m 12 cm $\displaystyle =$ 85 cm $\displaystyle +$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ cm

Zobrazit odpověď

127

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na centimetry

Nejdříve si levou stranu rovnosti vyjádříme v centimetrech. Víme, že 1 metr má 100 centimetrů, takže 2 metry jsou 200 centimetrů. Přičteme k nim 12 centimetrů a dostaneme:
2 m 12 cm = 200 cm + 12 cm = 212 cm

Výpočet chybějící části

Nyní víme, že 212 cm má být stejné jako 85 cm plus číslo v rámečku. Abychom zjistili, kolik musíme k 85 cm přičíst, odečteme 85 od celkových 212:
212 - 85 = 127

Výsledek

Do rámečku musíme doplnit číslo 127.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

26 km $\displaystyle -$ $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \cdot$ 400 m $\displaystyle =$ 9 km 200 m

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na metry

Nejdříve si všechny hodnoty v rovnici převedeme na metry, abychom mohli snadno počítat. Víme, že $1\text{ km} = 1\,000\text{ m}$.
$26\text{ km} = 26\,000\text{ m}$
$9\text{ km } 200\text{ m} = 9\,200\text{ m}$

Zjednodušení rovnice

Rovnici si nyní můžeme přepsat v metrech:
$26\,000\text{ m} - \boxed{\phantom{x}} \cdot 400\text{ m} = 9\,200\text{ m}$

Výpočet rozdílu

Zjistíme, kolik metrů musíme celkem odečíst od $26\,000$, abychom dostali $9\,200$.
$26\,000 - 9\,200 = 16\,800\text{ m}$

Hledané číslo

Víme, že hledané číslo vynásobené $400$ metry musí dát dohromady $16\,800$ metrů. Hledané číslo v rámečku tedy vypočítáme jako:
$16\,800 \div 400 = 168 \div 4 = 42$

Výsledek

Do rámečku patří číslo 42.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 2.3

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ minut $\displaystyle +$ 300 sekund $\displaystyle =$ 1 hodina

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na minuty

Nejdříve si převedeme 300 sekund na minuty. Víme, že jedna minuta má 60 sekund, takže počítáme $300 : 60 = 5$. Zjistili jsme, že 300 sekund je 5 minut.

Cílový čas

Na pravé straně rovnosti máme 1 hodinu. Víme, že 1 hodina má přesně 60 minut.

Výpočet rámečku

Nyní už víme, že $\boxed{\phantom{10}}$ minut + 5 minut se musí rovnat 60 minutám. Abychom zjistili, co patří do rámečku, odečteme od celkových 60 minut těch 5 minut, které už známe: $60 - 5 = 55$.

Výsledek

Do rámečku doplníme číslo 55.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.1

Farmář Malý svou úrodu pšenice plní do malých pytlů. Do každého pytle se vejde 30 kg pšenice. Farmáři zbývá naplnit do pytlů ještě 150 kg pšenice, což je jedna čtvrtina jeho úrody pšenice.
Farmář Velký má o polovinu větší úrodu pšenice než farmář Malý. Celou svou úrodu pšenice již uskladnil ve velkých pytlích. Do každého pytle nasypal 50 kg pšenice.

Vypočtěte, kolik malých pytlů pšenice již farmář Malý naplnil.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková úroda farmáře Malého

Z textu víme, že 150 kg pšenice, které farmáři zbývá naplnit, tvoří jednu čtvrtinu ($\frac{1}{4}$) jeho celkové úrody. Celou úrodu (tedy $\frac{4}{4}$) vypočítáme vynásobením:
$150 \cdot 4 = 600$ kg

Množství již naplněné pšenice

Jestliže farmáři zbývá naplnit 150 kg z celkových 600 kg, pak už naplnil zbytek:
$600 - 150 = 450$ kg pšenice

Výpočet počtu pytlů

Do každého malého pytle se vejde 30 kg pšenice. Počet již naplněných pytlů vypočítáme vydělením množství již naplněné pšenice hmotností jednoho pytle:
$450 : 30 = 15$

Závěr

Farmář Malý již naplnil 15 malých pytlů pšenice.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Vypočtěte, v kolika velkých pytlích uskladnil celou svou úrodu pšenice farmář Velký.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková úroda farmáře Malého

Z textu a obrázku víme, že 150 kg pšenice představuje přesně jednu čtvrtinu ($\frac{1}{4}$) úrody farmáře Malého. Celou jeho úrodu tedy vypočítáme tak, že toto množství vynásobíme čtyřmi:
$150 \cdot 4 = 600$ kg

Celková úroda farmáře Velkého

Farmář Velký má o polovinu větší úrodu než farmář Malý. Nejdříve si tedy vypočítáme, kolik je polovina z úrody farmáře Malého:
$600 : 2 = 300$ kg
Tuto polovinu přičteme k původnímu množství:
$600 + 300 = 900$ kg

Výpočet počtu pytlů

Farmář Velký uskladnil svých 900 kg pšenice do pytlů po 50 kg. Celkový počet pytlů zjistíme dělením:
$900 : 50 = 18$
Farmář Velký uskladnil celou svou úrodu v 18 velkých pytlích.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Aleniny, Bořkovy i Cyrilovy čerstvě nakrájené houby snížily svou hmotnost během první noci o třetinu a po týdnu už měly jen desetinu hmotnosti čerstvě nakrájených hub. Aleniny čerstvě nakrájené houby měly hmotnost 1 650 gramů. Bořkovy nakrájené houby ztratily na váze během první noci 720 gramů a Cyrilovy houby měly po týdnu hmotnost 210 gramů.

Vypočtěte, kolik gramů vážily po první noci Aleniny houby.

Zobrazit odpověď

1100

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost čerstvých hub

Ze zadání víme, že Aleniny čerstvě nakrájené houby měly hmotnost 1 650 gramů.

Ztráta hmotnosti

Během první noci houby snížily svou hmotnost o třetinu. Musíme tedy vypočítat jednu třetinu z původní hmotnosti:
$1\,650 : 3 = 550$ gramů.

Hmotnost po první noci

Hmotnost po první noci zjistíme tak, že od původní hmotnosti odečteme zjištěnou ztrátu:
$1\,650 - 550 = 1\,100$ gramů.

Výsledek

Po první noci vážily Aleniny houby 1 100 g.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 4.2

Vypočtěte, kolik gramů vážily po první noci Bořkovy houby.

Zobrazit odpověď

1440

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Ztráta hmotnosti

Víme, že během první noci houby ztratily jednu třetinu své hmotnosti. Ze zadání se dozvídáme, že Bořkovy houby ztratily právě 720 gramů. Tato hodnota tedy odpovídá jedné třetině původní váhy.

Zbývající hmotnost

Když houby ztratí jednu třetinu, zůstávají po první noci dvě třetiny jejich původní váhy ($1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$).

Hmotnost po první noci

Hmotnost po první noci vypočítáme tak, že váhu jedné třetiny (720 gramů) vynásobíme dvěma (abychom získali dvě třetiny):
$720 \cdot 2 = 1\,440$ gramů.

Výsledek

Po první noci vážily Bořkovy houby 1 440 g.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.3

Vypočtěte, kolik gramů vážily po první noci Cyrilovy houby.

Zobrazit odpověď

1400

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hmotnost čerstvých Cyrilových hub

V zadání se píše, že po týdnu měly Cyrilovy houby jen desetinu své původní hmotnosti, což bylo 210 gramů. Původní hmotnost čerstvých hub tedy zjistíme tak, že 210 gramů vynásobíme deseti. $210 \cdot 10 = 2\ 100$ gramů.

Hmotnost po první noci

Během první noci houby ztratily třetinu své hmotnosti. Musíme tedy z čerstvých hub (2 100 gramů) odečíst jednu třetinu. Nejdříve vypočítáme, kolik je jedna třetina: $2\ 100 : 3 = 700$ gramů. Tuto část odečteme od celku: $2\ 100 - 700 = 1\ 400$ gramů.

Cyrilovy houby po první noci vážily 1 400 gramů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Na stole bylo 10 světlých kuliček a o něco více tmavých kuliček.Ema a Ivo si rozdělili všech 10 světlých kuliček tak, že Ema si vzala o 4 kuličky více než Ivo. Ema si pak vzala ještě několik tmavých kuliček a Ivo si jich vzal dvakrát více než Ema. Dohromady obě děti odebraly jen tolik tmavých kuliček, aby měly celkový počet kuliček stejný.

Vypočtěte, kolik světlých kuliček si vzala Ema.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení světlých kuliček

Víme, že dohromady je 10 světlých kuliček a Ema si jich vzala o 4 více než Ivo. Pokud by si jich vzali oba stejně, měl by každý 5 kuliček (10 : 2 = 5). Protože má mít Ema o 4 více, musíme tyto 4 kuličky spravedlivě rozdělit: k polovině (5) přičteme 2 a od druhé poloviny 2 odečteme.

Výpočet počtu kuliček

Ema si vzala: $5 + 2 = 7$ kuliček.
Ivo si vzal: $5 - 2 = 3$ kuličky.
Zkontrolujeme zadání: $7 + 3 = 10$ (celkem) a $7 - 3 = 4$ (rozdíl). Vše souhlasí.

Závěr

Ema si vzala 7 světlých kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Vypočtěte, kolik tmavých kuliček si vzal Ivo.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení světlých kuliček

Ema a Ivo si rozdělili 10 světlých kuliček tak, že Ema má o 4 více než Ivo. Pokud od celkového počtu 10 kuliček odečteme tento rozdíl (4 kuličky), zbude nám 6 kuliček, které si děti rozdělily rovným dílem:

$10 - 4 = 6$
$6 : 2 = 3$

Ivo si tedy vzal 3 světlé kuličky a Ema $3 + 4 = 7$ světlých kuliček.

Rozdíl v počtu světlých kuliček

Ema má o 4 světlé kuličky více než Ivo. Aby měli nakonec oba stejný celkový počet kuliček, musí Ivo tento rozdíl 4 kuliček dohnat tím, že si vezme o 4 více tmavých kuliček než Ema.

Výpočet počtu tmavých kuliček

Víme, že Ivo si vzal dvakrát více tmavých kuliček než Ema. To znamená, že Ivo má o jeden "balíček" kuliček více (pokud Ema má 1 balíček, Ivo má 2).
Tento jeden balíček navíc musí odpovídat rozdílu 4 kuliček, který jsme vypočítali v předchozím kroku.
Ema si tedy vzala 4 tmavé kuličky a Ivo si jich vzal dvakrát více:
$2 \cdot 4 = 8$

Závěr

Ivo si vzal 8 tmavých kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.3

Vypočtěte, kolik kuliček si celkem vzala Ema.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení světlých kuliček

Ema a Ivo si rozdělili 10 světlých kuliček tak, že Ema jich má o 4 více než Ivo. Pokud by si je rozdělili rovným dílem, měl by každý 5 kuliček (10 : 2 = 5). Aby měla Ema o 4 kuličky více, musí mít o 2 kuličky více než polovinu a Ivo o 2 kuličky méně.

Ema: 5 + 2 = 7 světlých kuliček
Ivo: 5 - 2 = 3 světlé kuličky

(Kontrola: 7 + 3 = 10, Ema má o 4 více.)

Vyrovnání počtu kuliček pomocí tmavých kuliček

Ema má o 4 světlé kuličky více než Ivo. Aby měly obě děti nakonec stejný celkový počet kuliček, musí Ivo dostat o tyto 4 kuličky více v tmavých kuličkách. Víme, že Ivo si vzal dvakrát více tmavých kuliček než Ema. To znamená, že Ivo má o jeden "díl" tmavých kuliček více.

1 díl (rozdíl) = 4 kuličky
Ema si vzala 1 díl = 4 tmavé kuličky
Ivo si vzal 2 díly = 8 tmavých kuliček

(Kontrola: Ivo má o 4 tmavé kuličky více, což přesně vyrovná náskok Emy ve světlých kuličkách.)

Celkový počet kuliček u Emy

Ema si vzala 7 světlých a 4 tmavé kuličky.
7 + 4 = 11
Ema si celkem vzala 11 kuliček.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6

Jana si nahrála na několik CD všechny lekce angličtiny, a to postupně od první lekce do poslední. Jednotlivá CD zaplňovala rovněž v pořadí od prvního do posledního CD.
Na každém CD je stejný počet lekcí.
Lekce číslo 49 je v pořadí na pátém CD.

Určete, kolik lekcí může být na jednom CD.

Uveďte všechna možná řešení.

Zobrazit odpověď

10, 11, 12

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení zadání

Jana nahrává lekce popořadě na CD a na každém CD je stejný počet lekcí. Víme, že 49. lekce se už nevešla na první čtyři CD a je umístěna na pátém CD. To znamená, že na prvních čtyřech CD musí být dohromady méně než 49 lekcí, ale na pěti CD musí být alespoň 49 lekcí.

Hledání možného počtu lekcí

Budeme postupně zkoušet, kolik lekcí by mohlo být na jednom CD:

Kdyby bylo na CD 10 lekcí: Na 4 CD se vejde 40 lekcí ($4 \cdot 10 = 40$). Páté CD začíná lekcí 41 a končí lekcí 50. Lekce 49 je tedy na pátém CD. (Vyhovuje)
Kdyby bylo na CD 11 lekcí: Na 4 CD se vejde 44 lekcí ($4 \cdot 11 = 44$). Páté CD začíná lekcí 45 a končí lekcí 55. Lekce 49 je tedy na pátém CD. (Vyhovuje)
Kdyby bylo na CD 12 lekcí: Na 4 CD se vejde 48 lekcí ($4 \cdot 12 = 48$). Páté CD začíná lekcí 49 a končí lekcí 60. Lekce 49 je tedy na pátém CD. (Vyhovuje)

Ověření dalších možností

Zkusíme, zda existují i jiné možnosti:

Kdyby bylo na CD 9 lekcí: Na 5 CD by se vešlo jen 45 lekcí ($5 \cdot 9 = 45$). Lekce 49 by tak musela být až na šestém CD. (Nevyhovuje)
Kdyby bylo na CD 13 lekcí: Na 4 CD se vejde 52 lekcí ($4 \cdot 13 = 52$). Lekce 49 by tak byla už na čtvrtém CD. (Nevyhovuje)

Závěr

Na jednom CD může být 10, 11 nebo 12 lekcí.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 7.1

V rovině leží přímky b, c, d a mimo ně bod R.

V průsečíku přímek b, c je vrchol A obdélníku ABCD. Vrchol B téhož obdélníku leží na přímce b, vrchol C na přímce c a vrchol D na přímce d.

Sestrojte chybějící vrcholy obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží přímky b, c, d a mimo ně bod R.

V průsečíku přímek b, c je vrchol A obdélníku ABCD. Vrchol B téhož obdélníku leží na přímce b, vrchol C na přímce c a vrchol D na přímce d.

Na přímce c sestrojte bod S tak, aby obrazec ARS byl pravoúhlý trojúhelník. Bod S označte a trojúhelník ARS narýsujte.

Najděte všechna řešení.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm a obsahem 1 cm². Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je 10 cm².

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obsah obrazce A ve čtvercové síti můžeme určit několika způsoby. Nejjednodušší je vnímat obrazec A jako lichoběžník, jehož základny tvoří vodorovné linky sítě.
Z obrázku a popisu vyčteme:

Horní základna má délku 4 cm (odpovídá 4 políčkům).
Dolní základna má délku 1 cm (odpovídá 1 políčku).
Výška lichoběžníku (vzdálenost mezi základnami) jsou 4 cm (4 políčka).

Výpočet obsahu

Obsah lichoběžníku vypočítáme podle vzorce:
$S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}$
Dosadíme zjištěné hodnoty:
$S = \frac{(4 + 1) \cdot 4}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}^2$

Závěr

Výpočtem jsme ověřili, že obsah obrazce A je skutečně 10 cm². Tvrzení uvedené v zadání je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm a obsahem 1 cm². Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je třikrát menší než obsah obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A je lichoběžník. Horní základna má délku 4 cm (4 políčka) a dolní základna má délku 1 cm (1 políčko). Výška lichoběžníku jsou 4 políčka, tedy 4 cm. Obsah vypočítáme tak, že sečteme délky základen, vynásobíme je výškou a výsledek vydělíme dvěma: $(4 + 1) \cdot 4 : 2 = 5 \cdot 4 : 2 = 20 : 2 = 10$ cm².

Obsah obrazce B

Obrazec B je trojúhelník. Jeho horní strana (základna) má délku 2 cm (2 políčka) a výška trojúhelníku jsou 4 políčka, tedy 4 cm. Obsah trojúhelníku vypočítáme jako základna krát výška děleno dvěma: $2 \cdot 4 : 2 = 8 : 2 = 4$ cm².

Porovnání obsahů

V zadání se píše, že obsah obrazce B (4 cm²) je třikrát menší než obsah obrazce A (10 cm²). Pokud by to byla pravda, muselo by platit $10 : 3 = 4$, což neplatí ($10 : 3 = 3,33...$). Tvrzení je tedy nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm a obsahem 1 cm². Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod obrazce B je o 4 cm menší než obvod obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Obrazec A je lichoběžník. Z popisu obrázku víme, že jeho horní základna má délku 6 cm a dolní základna 2 cm. Výška lichoběžníku jsou 4 políčka (4 cm).
Pro výpočet obvodu musíme sečíst délky všech stran. Jedna strana je svislá (4 cm). Druhá strana je šikmá a spojuje body, které jsou od sebe vzdálené o 4 cm vodorovně a o 4 cm svisle (tvoří úhlopříčku čtverce o straně 4 cm).
Délka této šikmé strany je přibližně 5,66 cm.
Obvod A $\approx 6 + 2 + 4 + 5,66 = 17,66$ cm.

Rozbor obrazce B

Obrazec B je trojúhelník. Jeho horní strana (základna) má délku 2 cm a výška k této straně jsou 4 políčka (4 cm).
Strany trojúhelníku jsou šikmé. Jedna strana je přeponou v pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnami 3 cm a 4 cm, takže její délka je přesně 5 cm. Druhá šikmá strana spojuje body vzdálené o 1 cm vodorovně a 4 cm svisle (její délka je přibližně 4,12 cm).
Obvod B $\approx 2 + 5 + 4,12 = 11,12$ cm.

Porovnání obvodů

Nyní zjistíme rozdíl v obvodech obou obrazců:
$17,66 - 11,12 = 6,54$ cm.
V zadání se píše, že obvod obrazce B je o 4 cm menší než obvod obrazce A. Náš výpočet ukazuje, že rozdíl je přibližně 6,5 cm, nikoli 4 cm.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Chlapci a dívky ve třídě vytvořili beze zbytku pětice, v nichž jsou 2 dívky a 3 chlapci. K vytvoření smíšených párů (1 chlapec a 1 dívka) chybí 6 dívek.

Kolik dívek je ve třídě?

A) méně než 10
D) více než 11
B) 10
E) Nelze jednoznačně určit.
C) 11

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Složení pětic

V každé pětici jsou 2 dívky a 3 chlapci. To znamená, že v každé takové skupině je o jednoho chlapce více než dívek ($3 - 2 = 1$).

Počet skupin

Chceme-li vytvořit dvojice (1 chlapec a 1 dívka), každý „chlapec navíc“ z každé pětice potřebuje k sobě jednu další dívku. Protože celkem chybí 6 dívek, musí být v celé třídě přesně 6 takových „chlapců navíc“. A protože v každé pětici je právě jeden chlapec navíc, musí být pětic celkem 6.

Celkový počet dívek

Víme, že pětic je 6 a v každé z nich jsou 2 dívky. Celkový počet dívek ve třídě tedy vypočítáme jako $6 \cdot 2 = 12$.

Závěr

Ve třídě je 12 dívek, což odpovídá možnosti D (více než 11).

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Koberec je ručně vázaný. Každý měsíc se zhotovil stejný díl koberce. Vázání pětiny koberce trvalo půl roku.

Kolik měsíců trvalo vázání poloviny koberce?

A) méně než 14 měsíců
D) 16 měsíců
B) 14 měsíců
E) jiný počet měsíců
C) 15 měsíců

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Půl roku v měsících

V zadání se mluví o půl roce, ale otázka se ptá na počet měsíců. Nejdříve si tedy převedeme časový údaj: půl roku má 6 měsíců.

Vázání celého koberce

Víme, že vázání jedné pětiny koberce trvalo 6 měsíců. Celý koberec tvoří pět takových pětin, jeho vázání tedy trvalo pětkrát déle:
$5 \cdot 6 = 30$ měsíců.

Vázání poloviny koberce

Otázka zní, kolik měsíců trvalo vázání poloviny koberce. Protože celý koberec trvá 30 měsíců, polovinu vypočítáme jako:
$30 : 2 = 15$ měsíců.

Výsledek

Vázání poloviny koberce trvalo 15 měsíců, což odpovídá možnosti C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Třída 5. A s 20 žáky spořila půl roku na podporu adoptovaného hrocha.
Všichni žáci přispívali rovným dílem, ale každý měsíc vyšší částkou. Příspěvek žáka se každý měsíc zvyšoval o stejnou částku.
Z grafu lze vyčíst, jak v průběhu pěti měsíců narůstala naspořená částka celé třídy 5. A. Např. za 3 měsíce (tj. za 1., 2. a 3. měsíc) třída naspořila celkem 600 korun.

O kolik korun se každý měsíc zvýšil příspěvek jednoho žáka třídy 5. A?

A) o 5 korun
D) o 20 korun
B) o 10 korun
E) o více než 20 korun
C) o 15 korun

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu a naspořených částek

Z grafu vyčteme celkovou částku, kterou třída (20 žáků) naspořila kumulativně za jednotlivé měsíce:

Za 1. měsíc: 100 Kč
Za 2 měsíce: 300 Kč
Za 3 měsíce: 600 Kč
Za 4 měsíce: 1000 Kč
Za 5 měsíců: 1500 Kč

Výpočet příspěvku celé třídy v každém měsíci

Abychom zjistili, kolik třída naspořila v každém konkrétním měsíci, odečteme od sebe sousední hodnoty z grafu:

1. měsíc: 100 Kč
2. měsíc: 300 – 100 = 200 Kč
3. měsíc: 600 – 300 = 300 Kč
4. měsíc: 1000 – 600 = 400 Kč
5. měsíc: 1500 – 1000 = 500 Kč

Vidíme, že příspěvek celé třídy se každý měsíc zvýšil o 100 Kč (200 - 100 = 100, 300 - 200 = 100 atd.).

Výpočet zvýšení příspěvku na jednoho žáka

Víme, že ve třídě je 20 žáků a všichni přispívali rovným dílem. Pokud se příspěvek celé třídy zvýšil o 100 Kč měsíčně, musíme tuto částku rozdělit mezi všech 20 žáků:
100 : 20 = 5 Kč
Příspěvek jednoho žáka se tedy každý měsíc zvýšil o 5 Kč.

Závěr a odpověď

Každý měsíc se příspěvek jednoho žáka zvýšil o 5 korun. Správná je tedy možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Třída 5. A s 20 žáky spořila půl roku na podporu adoptovaného hrocha. Všichni žáci přispívali rovným dílem, ale každý měsíc vyšší částkou. Příspěvek žáka se každý měsíc zvyšoval o stejnou částku. Z grafu lze vyčíst, jak v průběhu pěti měsíců narůstala naspořená částka celé třídy 5. A. Např. za 3 měsíce (tj. za 1., 2. a 3. měsíc) třída naspořila celkem 600 korun.

Kolik korun třída 5. A uspořila za půl roku (celkem za 6 měsíců)?

A) méně než 2 100 korun
D) 2 300 korun
B) 2 100 korun
E) více než 2 300 korun
C) 2 200 korun

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme celkovou naspořenou částku v jednotlivých měsících. Hodnoty jsou kumulativní (sčítají se):

Za 1 měsíc: 100 Kč
Za 2 měsíce: 300 Kč
Za 3 měsíce: 600 Kč
Za 4 měsíce: 1 000 Kč
Za 5 měsíců: 1 500 Kč

Výpočet měsíčních příspěvků

Nyní zjistíme, kolik třída naspořila v každém jednotlivém měsíci tak, že odečteme předchozí celkovou částku:

1. měsíc: 100 Kč
2. měsíc: 300 − 100 = 200 Kč
3. měsíc: 600 − 300 = 300 Kč
4. měsíc: 1 000 − 600 = 400 Kč
5. měsíc: 1 500 − 1 000 = 500 Kč

Vidíme, že měsíční příspěvek celé třídy se každý měsíc zvyšuje o 100 Kč (což odpovídá zadání, že příspěvek každého žáka roste o stejnou částku).

Doplnění 6. měsíce

Podle vypozorovaného pravidla (přírůstek 100 Kč měsíčně) naspoří třída v 6. měsíci o 100 Kč více než v 5. měsíci:

6. měsíc: 500 + 100 = 600 Kč

Celková částka za půl roku

K celkové částce naspořené za 5 měsíců přičteme příspěvek za 6. měsíc:

Celkem za 6 měsíců: 1 500 + 600 = 2 100 Kč

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Krychle vlevo byla slepena ze 125 bílých krychliček, má tedy v každé řadě 5 krychliček. Krychle je na povrchu obarvena na šedo.
Když se z každého rohu a ze středu každé stěny této krychle odebere jedna krychlička, vznikne těleso vpravo.

Kolik krychliček v tělese vpravo má právě jednu stěnu obarvenou na šedo?

A) 27
D) 41
B) 30
E) 48
C) 36
F) jiný počet krychliček

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor původní krychle

Původní velká krychle se skládá ze 125 malých krychliček, což znamená, že má rozměry 5 × 5 × 5 krychliček. Na povrchu je obarvena šedě. Krychličky s právě jednou šedou stěnou jsou ty, které se nacházejí ve středech stěn velké krychle (nejsou na hranách ani v rozích).

Počet krychliček s jednou šedou stěnou

Na každé stěně velké krychle (o rozměru 5 × 5) tvoří tyto krychličky vnitřní čtverec o rozměru 3 × 3. Na jedné stěně jich je tedy $3 \times 3 = 9$. Protože má krychle 6 stěn, celkový počet krychliček s jednou šedou stěnou v původní krychli je $6 \times 9 = 54$.

Vliv odebrání krychliček

Podle zadání se z tělesa odeberou všechny rohy a středy stěn.

Odebrání rohů: Rohové krychličky mají 3 šedé stěny. Jejich odstranění tedy počet krychliček s jednou šedou stěnou neovlivní.
Odebrání středů stěn: Ze středu každé ze 6 stěn se odebere jedna krychlička. Tato středová krychlička patří právě mezi ty, které měly jednu šedou stěnu. Celkem tedy odebereme 6 takových krychliček.

Výpočet výsledku

Od původního počtu krychliček s jednou šedou stěnou odečteme ty, které byly odstraněny: $54 - 6 = 48$. Žádné nové šedé stěny odebráním nevznikly, protože vnitřek krychle byl bílý.

Závěr

V tělese vpravo má právě jednu stěnu obarvenou na šedo 48 krychliček. Správná odpověď je tedy E.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik krychliček v tělese vpravo má právě dvě stěny obarvené na šedo?

A) 27
D) 41
B) 30
E) 48
C) 36
F) jiný počet krychliček

Zobrazit odpověď

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Kolik krychliček v tělese vpravo nemá obarvenou žádnou stěnu na šedo?

A) 27
D) 41
B) 30
E) 48
C) 36
F) jiný počet krychliček

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor původní krychle

Původní velká krychle se skládá ze $125$ malých bílých krychliček ($5 \times 5 \times 5$). Tato krychle byla na svém povrchu obarvena na šedo. To znamená, že všechny krychličky, které tvořily povrch, mají alespoň jednu stěnu šedou.

Vnitřní (neobarvené) krychličky

Krychličky, které nemají žádnou stěnu obarvenou, jsou ty, které se nacházely uvnitř velké krychle a netvořily její povrch. V krychli o hraně $5$ tvoří vnitřek menší blok o rozměrech $3 \times 3 \times 3$ (protože od každého rozměru odečteme dvě krajní vrstvy: $5 - 2 = 3$). Počet těchto vnitřních neobarvených krychliček je tedy $3 \times 3 \times 3 = 27$.

Vliv odebrání krychliček

Z tělesa bylo odebráno $8$ rohových krychliček a $6$ krychliček ze středů stěn. Všechny tyto odebrané krychličky se nacházely na povrchu původní velké krychle, takže byly alespoň z jedné strany obarvené. Žádná z vnitřních $27$ neobarvených krychliček nebyla odebrána.

Závěr

V novém tělese zůstalo všech $27$ krychliček, které nemají žádnou stěnu obarvenou na šedo. I když se odebráním některých povrchových krychliček odkryly stěny vnitřních krychliček, tyto stěny nejsou obarvené, protože k barvení povrchu došlo ještě před odebráním krychliček. Správná odpověď je tedy 27.

Pomohlo vám toto řešení?

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla zvětší – v modrém poli o 1 a v červeném o 3.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 49 a současně v červeném poli
číslo 129.

Určete, jaké číslo je v modrém poli na počátku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl při každém pípnutí

Na začátku jsou obě čísla stejná, jejich rozdíl je tedy 0. Při každém pípnutí se číslo v modrém poli zvětší o 1 a v červeném o 3. Rozdíl mezi nimi se tedy každým pípnutím zvětší o 2 (protože $3 - 1 = 2$).

Celkový rozdíl

Víme, že v jednu chvíli je v modrém poli 49 a v červeném 129. Rozdíl mezi těmito čísly je 80 (vypočítáme jako $129 - 49 = 80$).

Počet pípnutí

Protože se rozdíl každým pípnutím zvětšil o 2 a celkový rozdíl je 80, musel počítač pípnout celkem 40krát ($80 : 2 = 40$).

Počáteční číslo

V modrém poli je nakonec číslo 49. Víme, že toto číslo vzniklo po 40 pípnutích, kdy se pokaždé přičetla 1. Celkem se tedy přičetlo 40. Počáteční číslo v modrém poli bylo 9 (vypočítáme jako $49 - 40 = 9$).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Určete číslo v modrém poli v okamžiku, kdy je o 30 menší než číslo v červeném poli.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi poli

Při každém pípnutí se číslo v modrém poli zvětší o 1 a v červeném o 3. To znamená, že s každým pípnutím se rozdíl mezi červeným a modrým polem zvětší o 2 (protože $3 - 1 = 2$).

Počáteční stav

Víme, že v jednu chvíli je v modrém poli 49 a v červeném 129. Rozdíl mezi nimi je v tu chvíli $129 - 49 = 80$. Protože se rozdíl zvětšoval o 2 při každém pípnutí, muselo od začátku proběhnout $80 \div 2 = 40$ pípnutí. Pokud je po 40 pípnutích v modrém poli 49, muselo tam na začátku být číslo $49 - 40 = 9$.

Hledaný okamžik

Hledáme chvíli, kdy je v modrém poli o 30 méně než v červeném, tedy kdy je rozdíl mezi poli přesně 30. Protože se rozdíl zvětšuje o 2 při každém pípnutí, muselo jich proběhnout $30 \div 2 = 15$.

Výpočet čísla v modrém poli

Na začátku bylo v modrém poli číslo 9. Po 15 pípnutích se toto číslo zvětšilo o 15 (pokaždé o 1). V modrém poli tedy bude $9 + 15 = 24$.

Výsledek

V modrém poli bude číslo 24.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Určete číslo v červeném poli v okamžiku, kdy je součet čísel v obou polích 2 018.

Zobrazit odpověď

1509

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl mezi čísly

Na začátku byla obě čísla stejná. Při každém pípnutí se modré číslo zvětší o 1 a červené o 3. To znamená, že při každém pípnutí se červené číslo „vzdálí“ od modrého o 2 (protože $3 - 1 = 2$).

Počet pípnutí

Víme, že v jeden okamžik je v modrém poli 49 a v červeném 129. Rozdíl mezi nimi je $129 - 49 = 80$. Protože se tento rozdíl zvětšoval po 2 při každém pípnutí, muselo do této chvíle proběhnout celkem 40 pípnutí ($80 : 2 = 40$).

Počáteční stav

Modré číslo narostlo o 40, takže na začátku v něm muselo být číslo 9 (protože $49 - 40 = 9$). Protože na začátku byla obě čísla stejná, v obou polích bylo na začátku číslo 9. Součet obou čísel na úplném začátku byl tedy 18 ($9 + 9 = 18$).

Cílový součet

Při každém pípnutí se modré číslo zvětší o 1 a červené o 3, takže jejich součet naroste o 4 ($1 + 3 = 4$). Chceme zjistit, kdy bude součet 2 018. Od začátku (kdy byl součet 18) musí součet narůst o 2 000 ($2\,018 - 18 = 2\,000$). To se stane po 500 pípnutích ($2\,000 : 4 = 500$).

Výpočet červeného pole

V červeném poli bylo na začátku číslo 9. Po 500 pípnutích, kdy se pokaždé zvětšilo o 3, v něm bude:
$9 + 500 \cdot 3 = 9 + 1\,500 = 1\,509$
V červeném poli bude číslo 1 509.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body