Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 2. řádný termín 2017

29 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle 200 \cdot 4 \cdot 60+60-60 \cdot 2 \cdot 400=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První část výpočtu

Nejdříve si vypočítáme první část příkladu před prvním znaménkem plus. Postupujeme zleva doprava:
$200 \cdot 4 = 800$
$800 \cdot 60 = 48\,000$

Druhá část výpočtu

Dále vypočítáme část příkladu za znaménkem minus. Opět násobíme postupně:
$60 \cdot 2 = 120$
$120 \cdot 400 = 48\,000$

Doplnění do příkladu

Teď oba výsledky dosadíme zpět do původního příkladu:
$48\,000 + 60 - 48\,000$

Finální výsledek

Všimneme si, že od $48\,000$ odečítáme stejných $48\,000$, takže nám zbude jen prostřední číslo:
$48\,000 + 60 - 48\,000 = \mathbf{60}$

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 51+51+7 \cdot 51+51=$

Zobrazit odpověď

510

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Úprava výrazu

Všimneme si, že se v příkladu $51+51+7 \cdot 51+51$ opakuje číslo $51$. Můžeme si to představit jako sčítání hromádek po $51$ kusech. Máme jednu hromádku, druhou hromádku, pak sedm hromádek a nakonec ještě jednu hromádku.

Počet hromádek

Celkový počet hromádek (nebo kolikrát tam číslo $51$ vlastně je) spočítáme jako:
$1 + 1 + 7 + 1 = 10$.

Výpočet

Celý příklad tedy můžeme zapsat jako $10 \cdot 51$. Násobení deseti je snadné, stačí k číslu připsat nulu:
$10 \cdot 51 = 510$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

V zápisu výpočtu chybí u dvou čísel poslední číslice.

Doplňte číslice tak, aby obě dělení vyšla beze zbytku, a příklad vypočtěte:

136 $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \div$ 11 $\displaystyle +$ 229 $\displaystyle \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$ $\displaystyle \div$ 11 $\displaystyle =$

Zobrazit odpověď

1 364 : 11 + 2 299 : 11 = 333

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

První číslo

Nejprve najdeme poslední číslici prvního čísla $136\square$. Číslo dělíme 11 a sledujeme zbytky:
1. $13 \div 11 = 1$, zbytek $2$.
2. Sepíšeme 6: $26 \div 11 = 2$, zbytek $4$.
Aby bylo výsledné číslo dělitelné 11 beze zbytku, musí být poslední dvojčíslí $44$. Doplníme tedy číslici 4.
První dělení je: $1364 \div 11 = 124$.

Druhé číslo

Podobně najdeme poslední číslici druhého čísla $229\square$:
1. $22 \div 11 = 2$, zbytek $0$.
2. Sepíšeme 9: $9 \div 11 = 0$, zbytek $9$.
Aby bylo číslo dělitelné 11 beze zbytku, musí být poslední dvojčíslí $99$. Doplníme tedy číslici 9.
Druhé dělení je: $2299 \div 11 = 209$.

Součet

Nakonec oba výsledky sečteme:
$124 + 209 = 333$
Výsledkem celého příkladu je číslo 333.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 3.1

Medvědí dvojice jí jablka stále stejným tempem. Medvěd sní za stejnou dobu dvakrát více jablek než medvědice. Medvědice spořádá 5 jablek za 40 sekund.

Určete, za kolik sekund sní medvěd jedno jablko.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas medvědice na jedno jablko

Medvědice sní 5 jablek za 40 sekund. Abychom zjistili, jak dlouho jí trvá jedno jablko, vydělíme celkový čas počtem jablek:
40 : 5 = 8 sekund.

Srovnání medvěda a medvědice

Medvěd sní za stejnou dobu dvakrát více jablek než medvědice. To znamená, že jí dvakrát rychleji. Zatímco medvědice sní za 40 sekund 5 jablek, medvěd jich za stejnou dobu sní 10:
2 · 5 = 10 jablek.

Čas medvěda na jedno jablko

Když medvěd sní 10 jablek za 40 sekund, jedno jablko mu trvá:
40 : 10 = 4 sekundy.

Výsledek

Medvěd sní jedno jablko za 4 sekundy.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Medvědí dvojice jí jablka stále stejným tempem. Medvěd sní za stejnou dobu dvakrát více jablek než medvědice. Medvědice spořádá 5 jablek za 40 sekund.

Určete, kolik jablek sní medvědice za 4 minuty.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času

Nejdříve si převedeme 4 minuty na sekundy. Víme, že jedna minuta má 60 sekund, takže:
4 minuty = 4 × 60 = 240 sekund.

Počet intervalů

Medvědice sní 5 jablek za 40 sekund. Zjistíme, kolikrát se těchto 40 sekund vejde do celkových 240 sekund:
240 : 40 = 6.
To znamená, že medvědice má k jídlu 6 stejně dlouhých časových úseků.

Výpočet jablek

Za každý úsek sní 5 jablek, celkem jich tedy bude:
6 × 5 = 30.

Výsledek

Medvědice sní za 4 minuty 30 jablek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Na plánku lyžařské běžecké trati je vyznačeno místo startu, stanoviště A, B a stánek.Start je od stanoviště B třikrát dále než od stanoviště A. Stánek je o 4 km blíž ke stanovišti A než ke stanovišti B.

Určete v km vzdálenost startu od stanoviště B.

Zobrazit odpověď

27 km

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z plánku lyžařské trati vidíme, že stanoviště a stánek jsou umístěny mezi stanovištěm B a startem v tomto pořadí: stanoviště B – stánek – stanoviště A – start. Mezi stanovištěm B a A je na plánku vyznačena vzdálenost 18 km.

Vztah mezi vzdálenostmi

Víme, že start je od stanoviště B třikrát dále než od stanoviště A. Pokud si vzdálenost od stanoviště A ke startu představíme jako jeden „dílek“, pak vzdálenost od stanoviště B ke startu musí odpovídat 3 těmto dílkům.

Určení velikosti jednoho dílku

Cesta ze stanoviště B ke startu se skládá z úseku B–A (který měří 18 km) a úseku A–start (náš 1 dílek).
Tedy platí: $18\text{ km} + 1\text{ dílek} = 3\text{ dílky}$.
Z toho vidíme, že 18 km musí odpovídat 2 dílkům ($3 - 1 = 2$). Jeden dílek tedy vypočítáme jako:
$18 \div 2 = 9\text{ km}$

Výpočet vzdálenosti startu od B

Celkovou vzdálenost startu od stanoviště B určíme tak, že ke vzdálenosti B–A přičteme vypočítanou vzdálenost A–start:
$18 + 9 = 27\text{ km}$

Závěr

Vzdálenost startu od stanoviště B je 27 km.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Určete v km vzdálenost stánku od stanoviště A.

Zobrazit odpověď

7 km

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z plánku lyžařské trati víme (z předchozí části úlohy), že vzdálenost mezi stanovištěm A a stanovištěm B je 18 km. Stánek se nachází na úseku mezi těmito dvěma stanovišti.

Vyjádření rozdílu vzdáleností

Víme, že stánek je o 4 km blíž ke stanovišti A než ke stanovišti B. To znamená, že vzdálenost od stánku k bodu B je o 4 km delší než vzdálenost od stánku k bodu A.

Výpočet vzdálenosti

Celkovou vzdálenost 18 km si můžeme rozdělit. Pokud bychom od 18 km odečetli ten 4km rozdíl, zbyla by nám vzdálenost, kterou by si oba úseky (ke stanovišti A i B) rozdělily rovným dílem:

$18 - 4 = 14\text{ km}$
$14 \div 2 = 7\text{ km}$

Vzdálenost k bližšímu stanovišti A je tedy 7 km. (Pro kontrolu: vzdálenost k B je $7 + 4 = 11\text{ km}$ a $7 + 11 = 18\text{ km}$.)

Závěr

Vzdálenost stánku od stanoviště A je 7 km.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Tři stejně těžké bedny váží tolik jako pět stejných krabic. Nejtěžší náklad, který se smí převážet ve výtahu, váží tolik jako 35 krabic.

Určete největší počet beden, které se smí naložit do prázdného výtahu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Porovnání beden a krabic

Ze zadání víme, že 3 stejně těžké bedny váží stejně jako 5 stejných krabic.

Rozdělení nosnosti na skupiny

Nosnost výtahu je 35 krabic. Zjistíme, kolikrát se do tohoto nákladu vejde skupina 5 krabic, protože víme, že každých 5 krabic můžeme nahradit 3 bednami:
$35 \div 5 = 7$

Výpočet počtu beden

Zjistili jsme, že nosnost výtahu odpovídá 7 skupinám po 5 krabicích. Každou takovou skupinu můžeme nahradit 3 bednami. Celkový počet beden tedy vypočítáme jako:
$7 \cdot 3 = 21$

Závěr

Do výtahu se smí naložit nejvýše 21 beden.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Tři stejně těžké bedny váží tolik jako pět stejných krabic. Nejtěžší náklad, který se smí převážet ve výtahu, váží tolik jako 35 krabic.

Určete největší počet krabic, které se smí do výtahu přidat k 6 bednám.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod beden na krabice

Z textu víme, že 3 stejně těžké bedny váží stejně jako 5 krabic. My máme ve výtahu 6 beden, což je dvakrát více než 3 bedny ($6 = 2 \cdot 3$). Těchto 6 beden tedy váží tolik jako 10 krabic ($2 \cdot 5 = 10$).

Maximální náklad výtahu

Maximální náklad výtahu je 35 krabic. Pokud už v něm máme 6 beden (což odpovídá 10 krabicím), musíme zjistit, kolik krabic se tam ještě vejde do celkového počtu 35.

Výpočet zbývajících krabic

Od celkové kapacity 35 krabic odečteme 10 krabic (hmotnost 6 beden vyjádřenou v krabicích):
$35 - 10 = 25$
Ke 6 bednám můžeme do výtahu přidat ještě nejvýše 25 krabic.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Tři tyče dlouhé 112 cm, 72 cm a 56 cm byly beze zbytku rozřezány na stejně dlouhé špalíčky. Vzniklo tak 60 špalíčků. Ze všech těchto špalíčků děti postavily 12 stejně vysokých sloupků.

Určete v cm délku jednoho špalíčku.

Zobrazit odpověď

4 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková délka tyčí

Nejdříve spočítáme celkovou délku všech tří tyčí, které děti rozřezaly. Sečteme délky jednotlivých tyčí: 112 cm, 72 cm a 56 cm.
112 + 72 + 56 = 240 cm

Délka jednoho špalíčku

Víme, že z celkové délky 240 cm vzniklo přesně 60 stejně dlouhých špalíčků. Abychom zjistili délku jednoho z nich, musíme celkovou délku vydělit počtem špalíčků.
240 : 60 = 4 cm

Ověření

Můžeme si ověřit, že to vychází: z první tyče vzniklo 28 špalíčků (112 : 4 = 28), z druhé 18 (72 : 4 = 18) a ze třetí 14 (56 : 4 = 14). Celkem jich je opravdu 60 (28 + 18 + 14 = 60).

Závěr

Jeden špalíček měří 4 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Určete, z kolika špalíčků se skládá jeden sloupek.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet špalíčků

V zadání je uvedeno, že rozřezáním tyčí vzniklo celkem 60 špalíčků.

Počet sloupků

Děti ze všech těchto špalíčků postavily 12 stejně vysokých sloupků. Protože jsou všechny špalíčky stejně dlouhé, musí mít každý sloupek stejný počet špalíčků.

Výpočet počtu špalíčků

Abychom zjistili počet špalíčků v jednom sloupku, musíme celkový počet špalíčků rozdělit počtem sloupků:
$60 : 12 = 5$

Výsledek

Jeden sloupek se skládá z 5 špalíčků.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.3

Určete v cm výšku jednoho sloupku.

Zobrazit odpověď

20 cm

1 bod

Úloha 6.4

Určete počet špalíčků, které vznikly rozřezáním nejkratší tyčky.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková délka tyčí

Nejprve musíme zjistit, jakou délku mají všechny tři tyče dohromady. Sečteme délky jednotlivých tyčí:
$112 + 72 + 56 = 240$ cm.
Všechny tyče dohromady měří $240$ cm.

Délka jednoho špalíčku

Víme, že tyto tyče byly rozřezány na $60$ stejně dlouhých špalíčků a nic nezbylo. Abychom zjistili délku jednoho špalíčku, vydělíme celkovou délku počtem špalíčků:
$240 : 60 = 4$ cm.
Každý špalíček je tedy dlouhý $4$ cm.

Počet špalíčků z nejkratší tyče

Nejkratší tyč měří $56$ cm. Chceme vědět, kolik $4$cm špalíčků z ní vzniklo. Vydělíme délku nejkratší tyče délkou jednoho špalíčku:
$56 : 4 = 14$.
Z nejkratší tyče tedy vzniklo $14$ špalíčků.

Výsledek

Počet špalíčků z nejkratší tyče je 14.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 7.1

V rovině leží bod S a přímka p, která prochází bodem N.

Sestrojte kružnici k se středem S, která prochází bodem N. Další průsečík kružnice k a přímky p označte K.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.2

V rovině leží bod S a přímka p, která prochází bodem N.

Body K, N jsou dva ze čtyř vrcholů obdélníku KLMN. Všechny vrcholy tohoto obdélníku leží na kružnici k.

Sestrojte chybějící vrcholy L, M a obdélník narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.3

V rovině leží bod S a přímka p, která prochází bodem N.

Body M, N jsou vrcholy trojúhelníku MNO, který má stejně dlouhé strany MN a NO. Chybějící vrchol O leží na polopřímce SN.

Sestrojte bod O a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Vzdálenost 32 cm je 4krát větší než vzdálenost 128 mm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Abychom mohli obě vzdálenosti porovnat, převedeme je na stejné jednotky. Víme, že 1 cm má 10 mm. Proto 32 cm odpovídá 320 mm ($32 \cdot 10 = 320$).

Výpočet násobku

Nyní ověříme, zda je 320 mm opravdu 4krát více než 128 mm. Vynásobíme 128 mm čtyřmi:
$4 \cdot 128 = 512$

Porovnání výsledků

Zatímco 32 cm je 320 mm, čtyřnásobek 128 mm je 512 mm. Protože se tyto hodnoty nerovnají, tvrzení je nepravdivé.

Závěr

Správná odpověď je N.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Vzdálenost 128 mm je 4krát větší než vzdálenost 32 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převedení jednotek

Abychom mohli obě vzdálenosti porovnat, musíme je mít ve stejných jednotkách. Víme, že 1 cm má 10 mm. Vzdálenost 32 cm si tedy převedeme na milimetry:
$32 \cdot 10 = 320 \text{ mm}$

Porovnání vzdáleností

Nyní porovnáme 128 mm a 320 mm. Vidíme, že 128 mm je menší než 320 mm. Tvrzení v zadání říká, že 128 mm je 4krát větší, což ale není pravda, protože je to ve skutečnosti méně než 320 mm.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé. Správná odpověď je tedy N.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Čtverec se stranou délky 6 cm je možné rozdělit na 9 čtverců se stranou délky 20 mm.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Nejdříve si převedeme stranu velkého čtverce na stejné jednotky, v jakých je zadána strana malého čtverce. Víme, že 1 cm = 10 mm, proto má velký čtverec stranu dlouhou 60 mm.

Počet čtverečků v jedné řadě

Zjistíme, kolik malých čtverečků se stranou 20 mm se vejde podél jedné strany velkého čtverce: $60 : 20 = 3$. Podél jedné strany se tedy vejdou právě 3 malé čtverečky.

Celkový počet čtverečků

Protože velký čtverec můžeme rozdělit na 3 řady a v každé řadě budou 3 malé čtverečky, celkový počet bude: $3 \cdot 3 = 9$. Velký čtverec lze tedy rozdělit přesně na 9 malých čtverců se stranou 20 mm.

Závěr

Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Ve kterém z pěti obrázků je dvojice útvarů souměrná podle vyznačené osy souměrnosti o?

A) jen v obrázku 1
D) ve třech z pěti obrázků
B) jen v obrázku 2
E) ve čtyřech z pěti obrázků
C) ve dvou z pěti obrázků

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 10

Každé ze 100 dětí uvedlo jednu aktivitu, kterou má ze všech nabízených aktivit nejraději. Výsledky jsou vyznačeny v diagramu.Bylo zjištěno, že lezení, nebo kino má nejraději polovina všech dotázaných dětí.
Dětí, které mají nejraději fotbal, je dvakrát více než těch, které mají nejraději cyklistiku.

Kolik dětí má nejraději fotbal?

A) 12 dětí
D) 18 dětí
B) 14 dětí
E) 20 dětí
C) 16 dětí

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Ze zadání a z grafu si vypíšeme vše, co už víme:

Celkem se průzkumu zúčastnilo 100 dětí.
Plavání má nejraději 26 dětí.
Lezení má nejraději 19 dětí.

Výpočet dětí pro kino

Víme, že lezení nebo kino má nejraději polovina všech dotázaných dětí. Polovina ze 100 je 50.
Lezení (19) + Kino = 50
Kino = 50 − 19 = 31 dětí.

Kolik dětí zbývá na fotbal a cyklistiku

Sečteme děti, u kterých už počet známe (kino, plavání, lezení):
31 + 26 + 19 = 76
Od celkového počtu 100 dětí odečteme tyto známé aktivity, abychom zjistili, kolik dětí zbývá na fotbal a cyklistiku dohromady:
100 − 76 = 24 dětí.

Rozdělení pro fotbal a cyklistiku

Víme, že dětí na fotbal je dvakrát více než těch na cyklistiku. Celkem tedy těchto 24 dětí rozdělíme na 3 stejné díly (2 díly pro fotbal a 1 díl pro cyklistiku):
24 : 3 = 8
Jeden díl (cyklistika) je 8 dětí.
Fotbal (dva díly) je 2 × 8 = 16 dětí.

Závěr

Nejraději má fotbal 16 dětí.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Ve čtvercové síti jsou zakresleni tři trpaslíci s šedými čepicemi A, B, C.

Která ze zakreslených čepic pokrývá na obrázku největší část plochy?

A) čepice A
D) dvě ze tří čepic pokrývají stejně velké části plochy, jedna pokrývá menší část
B) čepice B
E) čepice A, B i C pokrývají stejně velké části plochy
C) čepice C

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor čepic v mřížce

Podíváme se na tvary šedých čepic v čtvercové síti. Všechny tři čepice mají stejnou základnu o délce 5 políček a stejnou výšku 5 políček.

Obsah čepic A a C

Čepice A i C mají tvar trojúhelníku. Obsah trojúhelníku v mřížce vypočítáme jako polovinu obsahu obdélníku (v tomto případě čtverce 5 × 5), do kterého je vepsán. Každá z těchto čepic tedy pokrývá 12,5 políčka (polovinu z 25).

Obsah čepice B

Čepice B má tvar kosodélníku. Obsah kosodélníku je stejný jako obsah obdélníku se stejnou základnou a výškou. Čepice B tedy pokrývá celých 25 políček (5 × 5).

Porovnání a závěr

Čepice B (25 políček) pokrývá dvakrát větší plochu než čepice A (12,5 políčka) a čepice C (12,5 políčka). Největší část plochy tedy pokrývá čepice B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Letos do taneční skupiny přibylo 6 dívek a 6 chlapců. Oproti předešlému roku se tak počet dívek zvýšil o polovinu a počet chlapců na dvojnásobek.

Kolik dětí je letos v taneční skupině?

A) méně než 20 dětí
D) 30 dětí
B) 20 dětí
E) jiný počet dětí
C) 25 dětí

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet dívek

Víme, že letos přibylo 6 dívek a tím se jejich počet zvýšil o polovinu. To znamená, že těchto 6 dívek tvoří polovinu původního počtu. Původně tedy v kroužku bylo 12 dívek ($6 \cdot 2 = 12$). Letos je jich o 6 více, tedy 18 dívek ($12 + 6 = 18$).

Počet chlapců

Přibylo také 6 chlapců a jejich počet se tím zdvojnásobil. Pokud se počet zdvojnásobí přičtením určitého čísla, musí být toto číslo stejné jako původní počet. Původně tedy bylo v kroužku 6 chlapců. Letos je jich dvakrát více, tedy 12 chlapců ($6 \cdot 2 = 12$).

Celkový počet dětí

Abychom zjistili, kolik dětí je v taneční skupině letos, sečteme letošní počet dívek a chlapců:
$18 + 12 = 30$
V taneční skupině je letos 30 dětí, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Čtyři různé díly stavebnice jsou složené z 1–4 kostek.Z těchto dílů je možné postavit několika způsoby pět staveb.

Vyberte všechny stavby, které splňují následující podmínku, a uveďte jejich počet (A–F).

Stavbu je možné postavit jen z druhých dílů stavebnice.

A) pět staveb
D) dvě stavby
B) čtyři stavby
E) jedna stavba
C) tři stavby
F) žádná stavba

Zobrazit odpověď

5 bodů za skupinu

Úloha 13.2

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Čtyři různé díly stavebnice jsou složené z 1–4 kostek.Z těchto dílů je možné postavit několika způsoby pět staveb.

Vyberte všechny stavby, které splňují následující podmínku, a uveďte jejich počet (A–F).

Ve stavbě je možné použít čtvrtý díl stavebnice.

A) pět staveb
D) dvě stavby
B) čtyři stavby
E) jedna stavba
C) tři stavby
F) žádná stavba

Zobrazit odpověď

5 bodů za skupinu

Úloha 13.3

skupina úloh: 3 správně = 5 bodů; 2 správně = 3 body; 1 správně = 1 bod

Čtyři různé díly stavebnice jsou složené z 1–4 kostek.Z těchto dílů je možné postavit několika způsoby pět staveb.

Vyberte všechny stavby, které splňují následující podmínku, a uveďte jejich počet (A–F).

Ve stavbě je možné použít dvakrát třetí díl stavebnice (a případně i jiné díly).

A) pět staveb
D) dvě stavby
B) čtyři stavby
E) jedna stavba
C) tři stavby
F) žádná stavba

Zobrazit odpověď

5 bodů za skupinu

Úloha 14.1

Uvnitř šedého čtverce je umístěn bílý čtverec. Vrcholy bílého čtverce rozdělují každou stranu šedého čtverce na dva úseky dlouhé 1 cm a 2 cm.Obdobným způsobem se umístí větší počet stejných bílých čtverců v řadě do šedého obdélníku. S přibývajícím počtem bílých čtverců se mění i délky stran šedého obdélníku.
Rozměry v obrázcích jsou v cm.

Určete v cm délky stran šedého obdélníku se dvěma bílými čtverci.

Zobrazit odpověď

4, 5 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor základního čtverce

Z obrázku s jedním bílým čtvercem vidíme, že vrcholy bílého čtverce dělí každou stranu šedého čtverce na úseky $1\text{ cm}$ a $2\text{ cm}$. Celková délka strany šedého čtverce je tedy $1 + 2 = 3\text{ cm}$. Rozměry šedého obrazce pro jeden čtverec jsou $3\text{ cm} \times 3\text{ cm}$.

Změna rozměrů při přidání čtverce

Při přidání každého dalšího bílého čtverce do řady se šedý obrazec prodlouží. Z popisků u obdélníku se dvěma čtverci vidíme, že uspořádání úseků se opakuje. Každý další čtverec zvětší jeden rozměr o $2\text{ cm}$ a druhý rozměr o $1\text{ cm}$.

Výpočet rozměrů pro dva čtverce

K původním rozměrům ($3\text{ cm} \times 3\text{ cm}$) přičteme nárůst způsobený přidáním druhého čtverce:

První rozměr (šířka): $3\text{ cm} + 2\text{ cm} = 5\text{ cm}$
Druhý rozměr (výška): $3\text{ cm} + 1\text{ cm} = 4\text{ cm}$

Závěr

Délky stran šedého obdélníku se dvěma bílými čtverci jsou $4\text{ cm}$ a $5\text{ cm}$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.2

Určete v cm délky stran šedého obdélníku s pěti bílými čtverci.

Zobrazit odpověď

7, 11 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního obrazce

V prvním případě máme jeden bílý čtverec uvnitř šedého čtverce. Vrcholy bílého čtverce rozdělují každou stranu šedého čtverce na dva úseky o délkách 1 cm a 2 cm. Celková délka strany šedého čtverce je tedy 1 cm + 2 cm = 3 cm.

Analýza řady čtverců

Když přidáváme bílé čtverce do řady, výška šedého obdélníku zůstává stejná (stále 3 cm), protože čtverce se řadí vedle sebe. Mění se pouze šířka obdélníku. Podle obrázku a popisu vidíme, že každý další bílý čtverec přidá k délce šedého obdélníku stejnou část, jakou tvoří jeden čtverec v řadě.

Výpočet délky pro 5 čtverců

Při jednom čtverci je délka 3 cm (1 + 2). Při dvou čtvercích se délka zvětší o další úseky. Z nákresu vyplývá, že každý čtverec v řadě „zabere“ na délku úsek odpovídající součtu 1 + 2 (tedy 3 cm), ale musíme si dát pozor na to, jak na sebe navazují. Pro 5 čtverců v řadě bude délka složena z úseků: krajní úsek (1 cm), pak 5 úseků odpovídajících „vnitřním“ posunům (každý o 2 cm) a závěrečný úsek (2 cm) – nebo jednodušeji: první čtverec přidá 3 cm a každý další přidá úsek odpovídající posunu vrcholů. Pro 5 čtverců bude délka strany rovna 1 + 5 × 2 + 2 = 13 cm (nebo 1 + 2 + 5 × 2 = 13 cm podle toho, jak se díváme na nákres, kde se úseky 1 a 2 střídají).

Závěr

Šedý obdélník s pěti bílými čtverci bude mít rozměry 3 cm (výška) a 13 cm (délka).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 14.3

Delší strana šedého obdélníku měří 85 cm. Určete délku kratší strany tohoto obdélníku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor prvního a druhého obrázku

U jednoho čtverce tvoří stranu šedého čtverce úseky 1 cm a 2 cm. Celá strana má tedy 3 cm (obě strany jsou stejné, protože jde o čtverec).
U dvou čtverců vidíme, že se delší strana prodloužila o 2 cm (z 3 cm na 5 cm) a kratší strana se prodloužila o 1 cm (z 3 cm na 4 cm).

Vypozorování pravidla

S každým dalším bílým čtvercem v řadě se delší strana obdélníku zvětší o 2 cm a kratší strana o 1 cm. Můžeme si to vypsat:

1 čtverec: 3 cm a 3 cm
2 čtverce: 5 cm a 4 cm
3 čtverce: 7 cm a 5 cm
4 čtverce: 9 cm a 6 cm

Výpočet počtu čtverců

Víme, že delší strana měří 85 cm. Zjistíme, o kolik cm je delší než u jednoho čtverce:
$85 - 3 = 82$ cm.
Protože se každým dalším čtvercem (po tom prvním) délka zvětší o 2 cm, vydělíme tento rozdíl dvěma:
$82 : 2 = 41$.
To znamená, že k prvnímu čtverci bylo přidáno 41 dalších čtverců. Celkem je jich tedy 42.

Určení kratší strany

Kratší strana u prvního čtverce měřila 3 cm. S každým z 41 přidaných čtverců se zvětšila o 1 cm:
$3 + 41 = 44$ cm.

Závěr

Kratší strana šedého obdélníku měří 44 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body