Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2017

27 úloh

Úloha 1.1

Vypočtěte:

$\displaystyle \left( 112 - 112 \div 7 \right) \div 6 =$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Dělení v závorce

Nejdříve musíme vypočítat to, co je v závorce. V závorce má přednost dělení před odčítáním. Vypočítáme tedy $112 \div 7$.
Číslo $112$ si můžeme rozložit na $70$ a $42$.
$70 \div 7 = 10$
$42 \div 7 = 6$
Dohromady je tedy $112 \div 7 = 16$.

Odčítání v závorce

Nyní dokončíme výpočet v závorce tak, že od čísla $112$ odečteme náš výsledek dělení ($16$).
$112 - 16 = 96$.

Závěrečné dělení

Výsledek ze závorky ($96$) nyní musíme vydělit číslem $6$, které je v příkladu za závorkou.
$96 \div 6 = 16$ (protože $60 \div 6 = 10$ a zbývá nám $36 \div 6 = 6$).

Výsledek

Po všech krocích nám vyšel výsledek $16$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 1.2

Vypočtěte:

$\displaystyle 9 \cdot 20 - 10 \cdot \left( 6 \cdot 4 - 3 \cdot 8 \right) =$

Zobrazit odpověď

180

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Nejdříve vypočítáme to, co je v závorce. Musíme pamatovat na to, že násobení má přednost před odčítáním. Vynásobíme tedy $6 \cdot 4 = 24$ a $3 \cdot 8 = 24$. Celá závorka je pak $24 - 24 = 0$.

Násobení

Teď vynásobíme čísla před závorkou a za ní. Máme $9 \cdot 20 = 180$ a potom $10 \cdot 0 = 0$ (protože cokoli krát nula je nula).

Odečtení výsledků

Nakonec od sebe oba výsledky odečteme: $180 - 0 = 180$.

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo $180$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.1

Neznámé číslo zvětšené o 4 stovky a 5 desítek je rovno číslu vytvořenému ze 4 tisíců a 5 jednotek.

Vypočtěte neznámé číslo.

Zobrazit odpověď

3555

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozluštění čísel

Nejdříve si napíšeme čísla, o kterých se v zadání mluví, pomocí číslic:

„4 stovky a 5 desítek“ je 450.
„4 tisíce a 5 jednotek“ je 4 005 (pozor, na místě stovek a desítek jsou nuly).

Jak najít neznámé číslo

V zadání se píše, že neznámé číslo se zvětšilo o 450 a vyšlo 4 005. To znamená, že původní číslo muselo být o 450 menší než 4 005. Budeme tedy odčítat:

$4 005 - 450 = ?$

Výpočet

Příklad si můžeme vypočítat pod sebou nebo si ho rozložit:

$4 005 - 400 = 3 605$
$3 605 - 50 = 3 555$

Výsledek

Neznámé číslo je 3 555.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2.2

Neznámé číslo zvětšené o 4 stovky a 5 desítek je rovno číslu vytvořenému ze 4 tisíců a 5 jednotek.

Číslo vytvořené ze 4 tisíců a 5 jednotek zaokrouhlete na desítky.

Zobrazit odpověď

4010

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Sestavení čísla

Nejdříve si sestavíme číslo ze zadání. Máme 4 tisíce a 5 jednotek. Na místě stovek a desítek jsou nuly. Číslo tedy zapíšeme jako 4 005.

Zaokrouhlení na desítky

Při zaokrouhlování na desítky se díváme na poslední číslici (jednotky). V našem čísle 4 005 je na místě jednotek číslice 5. Protože je to 5 nebo více, musíme zaokrouhlit nahoru.

Výsledek

Když číslo 4 005 zaokrouhlíme nahoru na nejbližší desítku, dostaneme číslo 4 010.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.1

Děti hledaly inspiraci v písničkách a sestavily úlohu:
Babka s dědkem sbírali jablka. Babka nasbírala 35 jablek. Kdyby z nich dala pětinu dědkovi, měli by oba stejný počet jablek.

Vypočtěte, kolik jablek by měla dát babka dědkovi, aby měli oba stejně.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet pětiny jablek

Babka nasbírala celkem 35 jablek. Víme, že dědkovi má dát pětinu ze svých jablek, aby měli oba stejně. Pětinu z libovolného čísla vypočítáme tak, že toto číslo vydělíme pěti:
$35 \div 5 = 7$

Počet jablek k předání

Pětina z 35 jablek je 7 jablek. Pokud babka dá dědkovi právě těchto 7 jablek, budou mít oba stejný počet.

Odpověď

Babka by měla dát dědkovi 7 jablek.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 3.2

Děti hledaly inspiraci v písničkách a sestavily úlohu:
Babka s dědkem sbírali jablka. Babka nasbírala 35 jablek. Kdyby z nich dala pětinu dědkovi, měli by oba stejný počet jablek.

Vypočtěte, kolik jablek nasbíral dědek.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pětina jablek od babky

Babka nasbírala 35 jablek. Nejdříve zjistíme, kolik jablek by dala dědkovi. Má to být pětina jejích jablek, tedy:
$35 \div 5 = 7$ jablek.

Stav po darování

Kdyby babka těchto 7 jablek dědkovi dala, zbylo by jí:
$35 - 7 = 28$ jablek.
V tu chvíli by měli oba stejně, takže i dědek by měl v tu chvíli 28 jablek.

Původní počet u dědka

Dědek by měl 28 jablek poté, co by jich 7 dostal od babky. Původně jich tedy musel mít o 7 méně:
$28 - 7 = 21$ jablek.

Závěr

Dědek nasbíral 21 jablek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.1

Běžec udržuje stejné tempo. První kilometr uběhl za 3 minuty a 40 sekund.

Určete v minutách a sekundách dobu, za kterou by měl uběhnout vzdálenost 2 km.

Upozornění: Sekundy uvedené za minutami smí vyjadřovat pouze dobu kratší než minutu (např. zápis „7 min 110 s“ je nepřípustný).

Zobrazit odpověď

7:20 minut

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zdvojnásobení času

Běžec běží 2 km místo 1 km a udržuje stejné tempo, proto mu cesta bude trvat přesně dvakrát déle. Musíme tedy čas 3 minuty a 40 sekund vynásobit dvěma.

Samostatný výpočet

Nejdříve si vynásobíme minuty a sekundy zvlášť:

$3 \text{ min} \cdot 2 = 6 \text{ min}$
$40 \text{ s} \cdot 2 = 80 \text{ s}$

Převod sekund na minuty

Protože 60 sekund tvoří jednu celou minutu, převedeme 80 sekund na minuty a sekundy: $80 \text{ s} = 1 \text{ min } 20 \text{ s}$.

Celkový výsledek

Nakonec oba časy sečteme dohromady: $6 \text{ min} + 1 \text{ min } 20 \text{ s} = 7 \text{ min } 20 \text{ s}$.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4.2

Běžec udržuje stejné tempo. První kilometr uběhl za 3 minuty a 40 sekund.

Určete v minutách a sekundách dobu, za kterou by měl uběhnout vzdálenost 1 600 m.

Upozornění: Sekundy uvedené za minutami smí vyjadřovat pouze dobu kratší než minutu (např. zápis „7 min 110 s“ je nepřípustný).

Zobrazit odpověď

5:52 minut

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas na 1 km v sekundách

Běžec uběhne 1 km (tedy 1000 metrů) za 3 minuty a 40 sekund. Aby se nám lépe počítalo, převedeme si tento čas na sekundy:
$3 \times 60 + 40 = 180 + 40 = 220$ sekund.

Čas na 100 metrů

Pokud 1000 metrů trvá 220 sekund, pak na desetinu této vzdálenosti (100 metrů) běžec potřebuje desetinu času:
$220 \div 10 = 22$ sekund.

Čas na 1 600 metrů

Vzdálenost 1 600 metrů se skládá z 16 úseků po 100 metrech. Celkový čas tedy získáme vynásobením času na 100 metrů šestnácti:
$16 \times 22 = 352$ sekund.
(Počítáme jako $10 \times 22 + 6 \times 22 = 220 + 132 = 352$)

Převod na minuty a sekundy

Nyní převedeme 352 sekund zpět na minuty a sekundy. Víme, že $5 \times 60 = 300$ a $6 \times 60 = 360$. Čas je tedy 5 minut a zbývá:
$352 - 300 = 52$ sekund.

Výsledek

Běžec by měl vzdálenost 1 600 m uběhnout za 5 min 52 s.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.1

Všech 29 žáků třídy je zapsáno v třídní knize podle abecedy.
Počet žáků zapsaných před Pavlem je 3krát větší než počet žáků za ním.

Vypočtěte, kolik žáků je zapsáno za Pavlem.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celkový počet žáků bez Pavla

Ve třídě je celkem 29 žáků. Pokud nebudeme počítat Pavla, zůstane nám ve třídě 28 ostatních žáků (29 - 1 = 28). Těchto 28 žáků je rozděleno na dvě skupiny: ti, co jsou v seznamu před Pavlem, a ti, co jsou za ním.

Rozdělení na díly

Víme, že před Pavlem je 3krát více žáků než za ním. Můžeme si to tedy představit jako díly: za Pavlem je 1 díl žáků a před ním jsou 3 stejné díly. Dohromady je to tedy 4 díly (1 + 3 = 4).

Výpočet jednoho dílu

Těchto 28 žáků musíme rozdělit na 4 stejné díly. Jeden díl tedy tvoří 7 žáků (28 : 4 = 7).

Počet žáků za Pavlem

Protože za Pavlem je přesně 1 díl žáků, je za ním zapsáno 7 žáků. Pro kontrolu můžeme dopočítat, že před Pavlem je 21 žáků (3 * 7 = 21). Dohromady i s Pavlem je to 21 + 1 + 7 = 29 žáků, což sedí.

Výsledek

Za Pavlem je zapsáno 7 žáků.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Všech 29 žáků třídy je zapsáno v třídní knize podle abecedy.
Počet žáků zapsaných před Emou je o 6 menší než počet žáků za ní.

Vypočtěte, na kolikátém místě je zapsána Ema.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet žáků bez Emy

Ve třídě je celkem 29 žáků. Pokud odečteme Emu, zbývá nám 28 ostatních žáků, kteří jsou zapsáni buď před ní, nebo za ní.
$29 - 1 = 28$

Rozdělení žáků před a za Emou

Víme, že před Emou je o 6 žáků méně než za ní. Pokud si tento rozdíl (6 žáků) nejdříve odložíme stranou, zbylých 22 žáků by bylo rozděleno do dvou stejných skupin.
$28 - 6 = 22$
$22 : 2 = 11$

Počet žáků před Emou

Těchto 11 žáků představuje menší skupinu, tedy ty, kteří jsou zapsáni před Emou. (Za Emou je pak $11 + 6 = 17$ žáků.)

Emino místo

Protože je před Emou přesně 11 žáků, Ema musí být v abecedním seznamu hned další, tedy na 12. místě.
$11 + 1 = 12$
Ema je zapsána na 12. místě.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na první číselné ose jsou vyznačeny tři stejně velké díly, na druhé ose čtyři. A, B, C, D představují čtyři neznámá čísla.

Určete neznámá čísla A a B.

Zobrazit odpověď

18, 24

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Určení čísla A

Na první číselné ose vede šipka od čísla A k číslu 36 a je označena násobením dvěma. Platí tedy: $A \cdot 2 = 36$ $A = 36 \div 2 = 18$

Velikost jednoho dílu

Mezi číslem A a číslem 36 jsou vyznačeny tři stejně velké díly. Rozdíl těchto čísel je: $36 - 18 = 18$ Jeden díl má tedy velikost: $18 \div 3 = 6$

Určení čísla B

Číslo B leží o jeden díl vpravo od čísla A. Přičteme tedy velikost jednoho dílu: $18 + 6 = 24$ Číslo B je 24.

Závěr

Neznámá čísla jsou A = 18 a B = 24.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

Na první číselné ose jsou vyznačeny tři stejně velké díly, na druhé ose čtyři. A, B, C, D představují čtyři neznámá čísla.

Určete neznámá čísla C a D.

Zobrazit odpověď

32, 59

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Velikost jednoho dílu

Na druhé číselné ose vede šipka od prvního dílku k číslu D a je označena přičtením 36. Tato vzdálenost je rozdělena na čtyři stejně velké díly. $36 \div 4 = 9$ Jeden díl má tedy velikost 9.

Určení čísla C

Číslo C leží o dva díly vlevo od čísla 50. Odečteme proto dva díly: $50 - 2 \cdot 9 = 50 - 18 = 32$ Číslo C je 32.

Určení čísla D

Číslo D leží o jeden díl vpravo od čísla 50. Přičteme proto jeden díl: $50 + 9 = 59$ Číslo D je 59.

Závěr

Neznámá čísla jsou C = 32 a D = 59.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

V rovině leží dvě různoběžné přímky p, r a bod D.

Bod D je vrchol trojúhelníku BCD.
Strana BD leží na rovnoběžce s přímkou r.
Strana CD leží na kolmici k přímce p.
Strana BC leží na přímce p.

Sestrojte trojúhelník BCD a označte všechny jeho vrcholy.

Zobrazit odpověď

3 body

Úloha 7.2

V rovině leží dvě různoběžné přímky p, r a bod D.

Bod D je vrchol trojúhelníku BCD.
Strana BD leží na rovnoběžce s přímkou r.
Strana CD leží na kolmici k přímce p.
Strana BC leží na přímce p.

K bodům B, C, D doplňte takový bod A, aby byl obrazec ABCD obdélník. Obdélník ABCD narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.3

V rovině leží dvě různoběžné přímky p, r a bod D.

Bod D je vrchol trojúhelníku BCD.
Strana BD leží na rovnoběžce s přímkou r.
Strana CD leží na kolmici k přímce p.
Strana BC leží na přímce p.

Sestrojte střed obdélníku ABCD a označte jej S.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 8.1

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou umístěny tři tmavé obrazce A, B a C.
Obsah jednoho čtverečku ve čtvercové síti je 1 cm².Krajní body úseček jsou v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce A je 4 cm².

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce A

Z obrázku a jeho popisu vidíme, že obrazec A je kosodélník. Jeho horní a dolní strana leží na vodorovných liniích čtvercové sítě a každá má délku 3 dílky.

Určení výšky

Svislá vzdálenost mezi horní a dolní stranou (výška kosodélníku) jsou 2 dílky sítě.

Výpočet obsahu

Obsah jednoho čtverečku sítě je $1 \text{ cm}^2$. Obsah kosodélníku vypočítáme jako součin délky strany a výšky k této straně: $3 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm}^2$.

Závěr

Obsah obrazce A je $6 \text{ cm}^2$, což neodpovídá tvrzení v zadání ($4 \text{ cm}^2$). Tvrzení je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.2

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou umístěny tři tmavé obrazce A, B a C.
Obsah jednoho čtverečku ve čtvercové síti je 1 cm².Krajní body úseček jsou v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce B je o 1 cm² menší než obsah obrazce A.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obrazce A

Obrazec A je rovnoběžník. Z obrázku vidíme, že jeho vodorovná strana (základna) měří 3 cm (3 čtverečky) a výška obrazce jsou 2 cm (2 čtverečky). Obsah vypočítáme vynásobením základny a výšky: $3 \cdot 2 = 6\text{ cm}^2$.

Obsah obrazce B

Obrazec B je také rovnoběžník. Jeho základna měří 2 cm (2 čtverečky) a výška jsou opět 2 cm (2 čtverečky). Obsah obrazce B vypočítáme stejným způsobem: $2 \cdot 2 = 4\text{ cm}^2$.

Porovnání obsahů

Nyní oba obsahy porovnáme. Obsah obrazce A je $6\text{ cm}^2$ a obsah obrazce B je $4\text{ cm}^2$. Rozdíl mezi nimi vypočítáme jako $6 - 4 = 2\text{ cm}^2$. To znamená, že obrazec B je o $2\text{ cm}^2$ menší než obrazec A.

Závěr

Tvrzení v zadání říká, že obsah obrazce B je o $1\text{ cm}^2$ menší než obsah obrazce A. Protože náš výpočet ukázal rozdíl $2\text{ cm}^2$, je toto tvrzení nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 8.3

skupina úloh: 3 správně = 4 body; 2 správně = 2 body; 1 správně = 0 bodů

Ve čtvercové síti jsou umístěny tři tmavé obrazce A, B a C.
Obsah jednoho čtverečku ve čtvercové síti je 1 cm².Krajní body úseček jsou v mřížových bodech.

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obrazce C je 5 cm².

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrazce

Obrazec C má tvar kříže a uprostřed má prázdný čtvercový otvor. Celý obrazec se skládá ze čtyř stejných ramen, která obklopují středový otvor o velikosti $2 \times 2$ čtverečky.

Výpočet obsahu

Nejprve si určíme obsah celého kříže, jako by v něm nebyl otvor. Kříž se vejde do čtverce $4 \times 4$, kterému chybí 4 rohové čtverečky. Celkový počet čtverečků by byl $16 - 4 = 12$. Od tohoto čísla odečteme obsah bílého otvoru uprostřed: $12 - 4 = 8$. Obrazec C tedy zabírá 8 čtverečků.

Závěr

Protože každý čtvereček v síti má obsah 1 cm², má obrazec C obsah 8 cm². Tvrzení v zadání říká, že obsah je 5 cm², což není pravda.

Pomohlo vám toto řešení?

4 body za skupinu

Úloha 9

Chlapec trénoval střelbu na koš. Z prvních 12 pokusů se 9krát netrefil.
Ve všech dalších pokusech byl s výjimkou jediného, předposledního hodu úspěšný.
Dosáhl tak přesně poloviční úspěšnosti (v polovině pokusů se trefil do koše).

Kolikrát chlapec vystřelil na koš?

A) méně než 22krát
D) více než 23krát
B) 22krát
E) Poloviční úspěšnosti nebylo možné dosáhnout.
C) 23krát

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Prvních 12 hodů

Z prvních 12 hodů se chlapec 9krát netrefil. To znamená, že koš dal pouze 3krát (výpočet: $12 - 9 = 3$).

Všechny další hody

Víme, že v dalších hodech už se chlapec trefil skoro pokaždé. Jedinou výjimkou byl předposlední hod, kdy koš nedal. Celkem za celé trénování se tedy netrefil 10krát (9krát na začátku a 1krát ke konci).

Poloviční úspěšnost

V zadání je řečeno, že chlapec měl nakonec přesně poloviční úspěšnost. To znamená, že počet zásahů se musí rovnat počtu netrefení.

Výpočet celku

Když víme, že neúspěšných hodů bylo celkem 10, musí být i zásahů celkem 10. Celkový počet hodů chlapce je tedy $10 + 10 = 20$.

Správná odpověď

Chlapec vystřelil celkem 20krát. Číslo 20 je méně než 22, což odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 10

Děti si na výletě rozebraly 48 banánů.
Některé děti si vzaly po jednom banánu, o 6 dětí méně si vzalo po dvou banánech a poslední, Anička, si jako jediná nevzala ani jeden banán.

Kolik dětí bylo na výletě?

A) méně než 35
D) 37
B) 35
E) více než 37
C) 36

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdělení dětí

Děti si banány rozdělily do tří skupin:

Děti, které si vzaly 1 banán.
Děti, které si vzaly 2 banány (těch je o 6 méně než v první skupině).
Anička, která si jako jediná nevzala žádný banán.

Hledání počtu dětí

Celkem děti rozebraly 48 banánů. Můžeme vyzkoušet různé počty dětí v první skupině a dopočítat, kolik banánů by to bylo dohromady:

Kdyby 1 banán mělo 15 dětí, pak by 2 banány mělo 9 dětí (o 6 méně). Celkem banánů: $15 + 9 \cdot 2 = 15 + 18 = 33$. To je málo.
Zkusíme 20 dětí s 1 banánem. Pak by 2 banány mělo 14 dětí ($20 - 6$). Celkem banánů: $20 + 14 \cdot 2 = 20 + 28 = 48$.

Tento počet dětí přesně odpovídá zadání.

Celkový počet dětí

Nyní už stačí sečíst děti ze všech skupin:

20 dětí s jedním banánem,
14 dětí se dvěma banány,
1 dítě (Anička) bez banánu.

Celkem bylo na výletě $20 + 14 + 1 = 35$ dětí. Správná je tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 11

Katka strávila prázdniny na několika místech.
Nejprve byla doma.
Na táboře strávila o třetinu více času než doma.
U babičky byla o čtvrtinu kratší dobu než na táboře.
Pak zůstala u kamarádky.
Od ní odjela na chatu, kde pobývala o polovinu delší dobu než u kamarádky.
V grafu je vyznačen tmavými pásy počet dnů strávených doma a na chatě, další údaje chybí.

Kolik dnů strávila Katka u babičky?

A) 6 dnů
D) 9 dnů
B) 7 dnů
E) jiný počet dnů
C) 8 dnů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor grafu

Z grafu vyčteme počet dnů strávených doma. Pruh pro položku doma končí na svislé čáře, která odpovídá hodnotě 9. Katka tedy strávila doma 9 dnů.

Výpočet času na táboře

Na táboře strávila o třetinu více času než doma. Nejdříve vypočítáme třetinu z 9 dnů:
9 : 3 = 3 dny.
Tento čas přičteme k počtu dnů strávených doma:
9 + 3 = 12 dnů na táboře.

Výpočet času u babičky

U babičky byla o čtvrtinu kratší dobu než na táboře. Vypočítáme čtvrtinu z času na táboře (12 dnů):
12 : 4 = 3 dny.
Tuto dobu odečteme od času na táboře:
12 - 3 = 9 dnů.

Závěr

Katka strávila u babičky celkem 9 dnů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Kolik dnů strávila Katka u kamarádky?

A) 6 dnů
D) 9 dnů
B) 7 dnů
E) jiný počet dnů
C) 8 dnů

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení počtu dnů z grafu

Z grafu zjistíme délku vyplněných (šedých) pruhů. U kategorie doma končí pruh na hodnotě 9 a u kategorie na chatě končí na hodnotě 12. Víme tedy, že Katka byla doma 9 dnů a na chatě 12 dnů.

Krok 2: Výpočet času na táboře

Podle zadání byla na táboře o třetinu déle než doma. Třetina z 9 dnů jsou 3 dny ($9 : 3 = 3$). Na táboře tedy strávila o 3 dny více než doma:
$9 + 3 = 12$ dnů.

Krok 3: Výpočet času u babičky

U babičky byla o čtvrtinu kratší dobu než na táboře. Čtvrtina z 12 dnů jsou 3 dny ($12 : 4 = 3$). U babičky tedy byla o 3 dny méně než na táboře:
$12 - 3 = 9$ dnů.

Krok 4: Výpočet času u kamarádky

Ze zadání víme, že na chatě pobývala o polovinu delší dobu než u kamarádky. To znamená, že doba na chatě (12 dnů) odpovídá době u kamarádky plus jedné její polovině.
Pokud si dobu u kamarádky rozdělíme na dva stejné díly (dvě poloviny), doba na chatě pak odpovídá třem takovým dílům ($2 + 1 = 3$).
Tři díly = 12 dnů.
Jeden díl = $12 : 3 = 4$ dny.
U kamarádky (dva díly) = $4 \times 2 = 8$ dnů.

Krok 5: Závěr

Katka strávila u kamarádky 8 dnů. Správná je tedy možnost C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.1

Těleso na obrázku je slepeno z devíti stejně velkých krychlí.

K situaci přiřaďte odpovídající obrazec (A–F).

pohled na těleso zepředu

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Při pohledu zepředu musíme určit, kolik krychliček vidíme v jednotlivých sloupcích (zleva doprava) a jak jsou vysoké. Těleso se skládá ze tří sloupců.

Určení výšky sloupců

Levý sloupec: Vidíme tři krychličky nad sebou (spodní, prostřední a horní vrstva).
Prostřední sloupec: Také vidíme tři krychličky nad sebou. Jedna z nich sice vystupuje dopředu, ale při pohledu přímo zepředu se nám jeví jako součást jednoho sloupce o výšce 3.
Pravý sloupec: Zde vidíme dvě krychličky nad sebou (spodní a prostřední vrstva, horní vrstva vpravo chybí).

Výběr správného obrazce

Hledáme tedy obrazec, který má v levém sloupci 3 čtverce, v prostředním sloupci 3 čtverce a v pravém sloupci 2 čtverce. Tomuto popisu přesně odpovídá obrazec E.

Závěr

Pohled na těleso zepředu odpovídá obrazci E.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 13.2

Těleso na obrázku je slepeno z devíti stejně velkých krychlí.

K situaci přiřaďte odpovídající obrazec (A–F).

pohled na těleso shora

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza pohledu shora

Při pohledu shora nás zajímá, kolik sloupců krychlí těleso tvoří a jak jsou tyto sloupce rozmístěny v půdorysu (v rovině). Každá viditelná horní plocha krychle v nákresu představuje jeden čtverec v našem výsledném obrazci.

Určení půdorysu

Podle obrázku tělesa vidíme:

V zadní řadě jsou dva sloupce krychlí vedle sebe (jeden je vyšší, tvořený dvěma krychlemi nad sebou).
Před levým zadním sloupcem se nachází další sloupec krychlí.
Vlevo od tohoto předního sloupce vyčnívá ještě jedna krychle (v nejnižší vrstvě).

Celkem tedy shora uvidíme obrazec složený ze šesti čtverců (pokud počítáme i ty skryté pod horními, které tvoří sloupce).

Přiřazení obrazce

Pohled shora tvoří souvislou plochu. V prostředním sloupci jsou tři čtverce nad sebou (zepředu dozadu). V levém sloupci jsou dva čtverce, které sousedí s horními dvěma čtverci prostředního sloupce. V pravém sloupci je jeden čtverec, který sousedí s nejspodnějším čtvercem prostředního sloupce. Toto uspořádání přesně odpovídá obrazci v možnosti D.

Závěr

Pohledu na těleso shora odpovídá obrazec D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13.3

Těleso na obrázku je slepeno z devíti stejně velkých krychlí.

K situaci přiřaďte odpovídající obrazec (A–F).

pohled na těleso zprava

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor tělesa

Těleso na obrázku je složeno z několika sloupců krychlí. Pro určení pohledu zprava musíme zjistit, jak jsou tyto sloupce vysoké a jak se nám budou jevit při pohledu z pravé strany (ve směru šipky „zprava“). Podle nákresu a popisu má těleso tři hlavní části:

Levý sloupec o výšce 2 krychle.
Prostřední sloupec o výšce 3 krychle.
Pravý sloupec o výšce 1 krychle.

Pohled zprava

Při pohledu zprava vidíme boční stěny těchto sloupců. Protože jsou sloupce v prostoru rozmístěny tak, že vidíme jejich jednotlivé profily, bude výsledný obrazec obsahovat tři sloupce čtverců s výškami odpovídajícími výškám sloupců tělesa.

Přiřazení obrazce

Hledáme obrazec, který má tři sloupce s výškami 2, 3 a 1 čtverec (v libovolném pořadí odpovídajícím orientaci pohledu).

Obrazec C má v levém sloupci 2 čtverce, v prostředním 3 čtverce a v pravém sloupci 1 čtverec.

Ostatní nabízené obrazce mají buď jiný počet čtverců, nebo jiné výšky sloupců (např. obrazce A a F mají výšky 1, 3 a 2, ale v jiném uspořádání).

Závěr

Pohledu na těleso zprava odpovídá obrazec C.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.1

Obrazovka monitoru je prázdná. Po zaznění zvukového signálu se každou sedmou sekundu objeví na obrazovce 4 nová kolečka. Každou jedenáctou sekundu naopak 3 kolečka z obrazovky zmizí. Pokud by měly obě akce proběhnout ve stejném okamžiku, počet koleček na obrazovce se nezmění.

Určete počet koleček na obrazovce 1 minutu po zaznění zvukového signálu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přibývání koleček

Jedna minuta má 60 sekund. Kolečka přibývají každou sedmou sekundu, tedy v časech 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 a 56 sekund. To se stane celkem 8krát. Při každém takovém okamžiku přibudou 4 kolečka: $8 \cdot 4 = 32$.

Mizení koleček

Kolečka mizí každou jedenáctou sekundu, tedy v časech 11, 22, 33, 44 a 55 sekund. To se stane celkem 5krát. Při každém zmizení ubydou 3 kolečka: $5 \cdot 3 = 15$.

Celkový počet

Na začátku byla obrazovka prázdná. Po jedné minutě vypočítáme počet koleček tak, že od všech přibylých koleček odečteme ta, která zmizela:

$32 - 15 = 17$

Všimneme si, že v první minutě se žádné časy nepřekrývají (nejmenší společný násobek 7 a 11 je až 77), takže na obrazovce bude 17 koleček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14.2

Určete počet koleček na obrazovce 5 minut po zaznění zvukového signálu.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod času

Nejdříve si převedeme 5 minut na sekundy, abychom mohli počítat v jednotkách, ve kterých se objevují a mizí kolečka.
5 minut = 5 × 60 sekund = 300 sekund.

Přidávání koleček

Kolečka se objevují každou sedmou sekundu. Zjistíme, kolikrát se tak stane během 300 sekund:
300 : 7 = 42 (zbytek 6)
Kolečka přibudou celkem 42krát. Protože pokaždé přibudou 4 nová kolečka, celkem by jich přibylo:
42 × 4 = 168 koleček.

Mizení koleček

Kolečka mizí každou jedenáctou sekundu. Zjistíme, kolikrát během 300 sekund proběhne tato akce:
300 : 11 = 27 (zbytek 3)
Kolečka zmizí celkem 27krát. Pokaždé zmizí 3 kolečka, takže celkem by jich ubylo:
27 × 3 = 81 koleček.

Společné okamžiky

Nyní musíme určit, kolikrát se obě akce potkají ve stejnou sekundu. To se stane v násobcích společného nejmenšího násobku čísel 7 a 11, což je 77 (7 × 11 = 77).
Násobky 77 do 300 jsou: 77, 154 a 231. To jsou celkem 3 okamžiky.
V zadání je uvedeno, že v těchto společných okamžicích se počet koleček nezmění. My jsme ale pro tyto časy v předchozích krocích započítali jak přidání 4 koleček, tak zmizení 3 koleček (což je dohromady +1). Aby se počet nezměnil, musíme tuto „jedničku“ pro každý ze 3 případů odečíst.

Výsledný počet

Od celkového počtu přidaných koleček odečteme ta, která zmizela, a nakonec opravíme výsledek o společné okamžiky:
168 − 81 − 3 = 84
Po 5 minutách bude na obrazovce 84 koleček.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body