Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2016

31 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle 80-15 \cdot 5-5 \div 5=$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pořadí operací

V příkladu musíme nejprve vypočítat násobení a dělení, protože tyto operace mají přednost před odčítáním. Příklad si tedy můžeme rozdělit na části:

$15 \cdot 5 = 75$
$5 \div 5 = 1$

Postupné odčítání

Nyní výsledky násobení a dělení odečteme od čísla 80 ve správném pořadí:
$80 - 75 - 1 = 5 - 1 = 4$

Výsledek

Výsledkem celého příkladu je číslo 4.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Vypočtěte, kolikrát je třeba k číslu 750 přičíst číslo 10, abychom získali číslo 7 500.

Zobrazit odpověď

675

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozdíl čísel

Nejdříve musíme zjistit, o kolik se má původní číslo zvětšit. Od cílového čísla 7 500 odečteme počáteční číslo 750:
7 500 − 750 = 6 750

Počet desítek

Víme, že celkem musíme přičíst 6 750. Protože pokaždé přičítáme číslo 10, zjistíme počet přičtení tak, že celkový rozdíl vydělíme deseti:
6 750 : 10 = 675

Výsledek

Číslo 10 je třeba přičíst 675krát.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.1

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle \left( 60-24 \right) \div 4= \left( 60-24 \div 4 \right) \div \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Levá strana rovnosti

Nejdříve vypočítáme hodnotu na levé straně. Podle pravidel o přednosti operací nejdříve vypočítáme závorku:
$60 - 24 = 36$
Tento výsledek pak vydělíme čtyřmi:
$36 \div 4 = 9$
Levá strana se tedy rovná 9.

Závorka na pravé straně

Nyní vypočítáme hodnotu v závorce na pravé straně. V závorce má dělení přednost před odčítáním:
$24 \div 4 = 6$
$60 - 6 = 54$
Závorka na pravé straně má tedy hodnotu 54.

Doplnění rámečku

Rovnice má nyní tvar $9 = 54 \div \boxed{\phantom{10}}$. Musíme tedy zjistit, jakým číslem musíme vydělit 54, abychom dostali 9. To zjistíme snadno:
$54 \div 9 = 6$
Do rámečku patří číslo 6.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3.2

Doplňte do rámečku takové číslo, aby platila rovnost:

$\displaystyle 10+12 \cdot 3=10+ \left( 12 \cdot 3 \right) + \boxed{\vphantom{10}\hphantom{10}}$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet levé strany

Nejdříve si vypočítáme hodnotu na levé straně rovnosti: $10 + 12 \cdot 3$.
Podle pravidel o přednosti operací musíme nejdříve násobit a až potom sčítat:
1) $12 \cdot 3 = 36$
2) $10 + 36 = 46$
Levá strana se tedy rovná 46.

Výpočet pravé strany

Nyní se podíváme na pravou stranu: $10 + (12 \cdot 3) + \boxed{\dots}$.
Vypočítáme část, kterou známe. Závorka $(12 \cdot 3)$ je $36$.
$10 + 36 = 46$.

Doplnění čísla do rámečku

Rovnost má nyní tvar: $46 = 46 + \boxed{\dots}$.
Vidíme, že obě strany už jsou si rovny (obě mají hodnotu 46). Aby rovnost platila i nadále, musíme do rámečku doplnit číslo 0.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4

Nahraďte každou hvězdičku (*) takovou číslicí, aby byl součin co nejmenší.

$\displaystyle \begin{array}{r} & & * & * & * & * \\ & & & & \cdot & 2 \\ \hline & 1 & * & * & 5 & 2 \\ \end{array}$

Zobrazit odpověď

5 026 · 2 = 10 052

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Kde začít

Představme si klasické násobení pod sebou. Začneme odzadu, od řádu jednotek.

Máme: (poslední horní hvězdička) $\cdot\,2 =$ něco, co končí na číslici 2. Které číslo, když ho vynásobíme dvěma, končí na 2? Jsou to pouze čísla 1 ($1 \cdot 2 = 2$) a 6 ($6 \cdot 2 = 12$). Horní číslo tedy končí jedničkou nebo šestkou.

Druhý sloupeček zprava

Co kdyby poslední číslice byla 1? Pak bychom počítali $1 \cdot 2 = 2$ a dál si nic nepamatovali. Druhý sloupeček zprava by znamenal: (další hvězdička) $\cdot\,2 =$ něco, co končí na 5. Ale to nejde! Násobky dvou jsou sudá čísla (0, 2, 4, 6, 8), takže nemohou končit na pětku.

Na konci tedy musí být číslice 6. Počítáme $6 \cdot 2 = 12$. Dvojku napíšeme pod čáru (ta už tam je) a jedničku si pamatujeme (držíme na prstu do dalšího sloupečku).

Třetí krok

Ve druhém sloupečku zprava počítáme: (hvězdička) $\cdot\,2$ a k tomu přičteme 1 z prstu. Výsledek má končit na 5. To znamená, že samotné násobení (hvězdička) $\cdot\,2$ musí končit na 4 (protože $4 + 1 = 5$). Které číslo po vynásobení dvěma končí na 4? Jsou to čísla 2 ($2 \cdot 2 = 4$) a 7 ($7 \cdot 2 = 14$). Naše horní číslo tedy zatím vypadá takto: končí buď na $...26$ nebo na $...76$.

Podmínka nejmenšího součinu

Zadání říká, že součin (výsledek pod čarou) má být co nejmenší. Aby byl výsledek co nejmenší, musíme násobit co nejmenším horním číslem. Z možností $...26$ a $...76$ si proto vybereme tu menší, a na konec napíšeme $26$.

Při násobení ve druhém sloupečku budeme mít $2 \cdot 2 = 4$, plus 1 z prstu je dohromady 5. Výsledek přesně sedí a do dalšího sloupečku si už nic nepamatujeme.

Doplnění prvních číslic

Výsledek pod čarou má 5 číslic a začíná jedničkou ($1**52$). Horní číslo má jen 4 číslice. Abychom ze čtyřciferného čísla udělali násobením dvěma pěticiferné, musí první číslice být alespoň 5 (protože $5 \cdot 2 = 10$, zatímco $4 \cdot 2 = 8$, což by dalo jen čtyřciferný výsledek).

Hledáme co nejmenší číslo, takže první číslice bude rovnou 5. Na zbývající volné místo (druhá číslice) dáme také co nejmenší číslici, a to 0. Horní číslo je tedy $5026$.

Ověříme si to: $5026 \cdot 2 = 10\,052$. To přesně sedí do zadání $1**52$. Náš hledaný nejmenší součin je tedy $10\,052$.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 5.1

Na talíři bylo 12 koláčů. Dan z nich snědl třetinu.
Eva snědla stejný počet koláčů jako Dan, ale vzala si je z mísy. Počet koláčů na míse se tak zmenšil o pětinu.

Vypočtěte, kolik koláčů zbylo na talíři.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Danovy koláče

Dan snědl třetinu z 12 koláčů, které byly na talíři. Jednu třetinu vypočítáme tak, že celkový počet vydělíme třemi:
12 : 3 = 4
Dan tedy snědl 4 koláče.

Zbytek na talíři

Od původního počtu 12 koláčů na talíři odečteme ty, které snědl Dan:
12 − 4 = 8

Výsledek

Na talíři zbylo 8 koláčů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 5.2

Na talíři bylo 12 koláčů. Dan z nich snědl třetinu.
Eva snědla stejný počet koláčů jako Dan, ale vzala si je z mísy. Počet koláčů na míse se tak zmenšil o pětinu.

Vypočtěte, kolik koláčů bylo v míse, než je Eva začala jíst.

Zobrazit odpověď

20 m

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Danovy koláče

Dan snědl třetinu ze 12 koláčů na talíři. Jeden dílek (třetinu) ze 12 vypočítáme jako $12 \div 3 = 4$. Dan tedy snědl 4 koláče.

Eviny koláče

Eva snědla stejný počet koláčů jako Dan, tedy také 4 koláče. Tyto koláče si ale vzala z mísy.

Počet koláčů v míse

Víme, že 4 koláče, které Eva snědla, představují pětinu počtu koláčů v míse. Pokud jeden dílek (pětina) jsou 4 koláče, pak celá mísa (pět pětin) musela obsahovat $5 \cdot 4 = 20$ koláčů.

Závěr

V míse bylo původně 20 koláčů.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

Na trase Bor–Raná jezdí proti sobě dva vlaky. Při každé cestě oba vlaky vyjíždějí ve stejnou dobu a potkávají se pravidelně v polovině doby jízdy.
Hodiny nyní ukazují 18:05 a naposledy se oba vlaky potkaly před čtvrt hodinou. Vlak do Rané přijede v 18:10.

Zapište, v kolik hodin se oba vlaky naposledy potkaly.

Zobrazit odpověď

17:50

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Aktuální čas

Víme, že hodiny právě teď ukazují 18:05.

Časový údaj v zadání

V zadání se píše, že se vlaky naposledy potkaly před čtvrt hodinou. Čtvrt hodina je přesně 15 minut.

Odečtení času

Abychom zjistili, kdy se potkaly, musíme od aktuálního času odečíst 15 minut:
18:05 − 5 minut = 18:00
18:00 − 10 minut = 17:50

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 6.2

Vypočtěte, jak dlouho trvá cesta vlakem z Boru do Rané.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas setkání vlaků

Víme, že nyní je 18:05 a vlaky se naposledy potkaly před čtvrt hodinou (což je 15 minut).
Čas setkání tedy byl: 18:05 − 15 minut = 17:50.

Doba od setkání do cíle

Vlak do Rané přijede v 18:10. Spočítáme, jak dlouho mu cesta ze společného setkání do cíle trvala:
18:10 − 17:50 = 20 minut.

Celková doba jízdy

V zadání je uvedeno, že se vlaky potkávají pravidelně v polovině doby jízdy. To znamená, že cesta ze setkání do cíle (20 minut) představuje přesně polovinu celé cesty.

Výpočet

Celá cesta tedy trvá dvakrát déle než cesta z poloviny do cíle:
2 · 20 minut = 40 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

Na přímce o leží bod C, mimo ni bod B.

Narýsujte přímku p, která prochází bodem B a je kolmá k přímce o.

Průsečík přímek o, p označte S.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.2

Na přímce o leží bod C, mimo ni bod B.

Přímka o rozděluje rovnoramenný trojúhelník ABC na dvě shodné části.

Sestrojte chybějící vrchol A trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.3

Na přímce o leží bod C, mimo ni bod B.

Trojúhelník ABC leží uvnitř čtverce BCDE.

Sestrojte dva chybějící vrcholy D, E čtverce BCDE a čtverec narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.4

Na přímce o leží bod C, mimo ni bod B.

Sestrojte přímku m, která prochází bodem B a je rovnoběžná s přímkou AC.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 8.1

Obrazec je vytvořen ze 2 rovnostranných a 2 rovnoramenných trojúhelníků.
Obvod šedého trojúhelníku je 18 cm. O délkách vyznačených stran a, b, c víme, že b je polovinou c a dvojnásobkem a.

Vypočítejte obvod černého trojúhelníku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza délek stran

Ze zadání víme, že délka strany $b$ je polovinou délky $c$ a zároveň dvojnásobkem délky $a$. To si můžeme zapsat jako:

$b = 2 \cdot a$
$c = 2 \cdot b$

Celý obrazec je složen ze dvou rovnostranných a dvou rovnoramenných trojúhelníků. Tyto trojúhelníky na sebe navazují a sdílejí společné strany.

Výpočet délky strany b

Šedý trojúhelník má obvod 18 cm. Aby vycházely délky stran podle zadaných poměrů a zároveň byly v obrazci právě dva rovnostranné trojúhelníky, musí být šedý trojúhelník rovnostranný (všechny jeho strany mají délku $b$). $3 \cdot b = 18\text{ cm}$ $b = 18 : 3 = 6\text{ cm}$

Výpočet délky strany a

Pomocí vztahu ze zadání vypočítáme délku strany $a$: $a = b : 2$ $a = 6 : 2 = 3\text{ cm}$

Obvod černého trojúhelníku

Černý trojúhelník sdílí jednu stranu s malým bílým trojúhelníkem (strana $a = 3\text{ cm}$) a druhou stranu s šedým trojúhelníkem (strana $b = 6\text{ cm}$).

Protože je černý trojúhelník rovnoramenný, jeho třetí strana musí být shodná s jednou z těchto dvou délek. Máme dvě možnosti:

Strany jsou $3, 3, 6$. Součet dvou stran by byl $3 + 3 = 6$, což není více než délka třetí strany. Takový trojúhelník nelze sestrojit.
Strany jsou $3, 6, 6$. Tento trojúhelník je v pořádku ($3 + 6 > 6$).

Strany černého trojúhelníku jsou tedy $3\text{ cm}, 6\text{ cm}$ a $6\text{ cm}$. $\text{Obvod} = 3 + 6 + 6 = 15\text{ cm}$

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.2

Vypočítejte obvod celého obrazce.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Určení délek stran ze zadání

Ze zadání víme, že obrazec obsahuje dva rovnostranné trojúhelníky. Šedý trojúhelník má obvod 18 cm. Protože je rovnostranný, všechny jeho tři strany jsou stejně dlouhé. Délka jedné jeho strany (v nákresu označená jako b) je tedy:
18 : 3 = 6 cm

Krok 2: Výpočet délek stran a, c

Nyní využijeme vztahy pro ostatní strany:
• Strana b (6 cm) je polovinou strany c. To znamená, že strana c je dvakrát delší: 6 · 2 = 12 cm.
• Strana b (6 cm) je zároveň dvojnásobkem strany a. To znamená, že strana a je poloviční: 6 : 2 = 3 cm.

Krok 3: Analýza obvodu celého obrazce

Obvod celého obrazce tvoří vnější strany trojúhelníků, které k sobě přiléhají. Podle obrázku a zadání (2 rovnostranné a 2 rovnoramenné trojúhelníky) tvoří vnější hranici:
• dvě strany malého bílého trojúhelníku (2 · a = 2 · 3 cm = 6 cm),
• jedna vnější strana černého trojúhelníku (je rovnoramenný, jeho vnější strana má délku b = 6 cm),
• jedna vnější strana šedého trojúhelníku (délka b = 6 cm),
• dvě strany velkého bílého trojúhelníku (2 · c = 2 · 12 cm = 24 cm).

Krok 4: Celkový výpočet

Sečteme všechny vnější délky dohromady:
6 + 6 + 6 + 24 = 42 cm

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 9.1

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Čtvrtina jednoho kg je 250 g.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod kilogramů na gramy

Nejdříve si připomeneme, kolik gramů má jeden kilogram. Víme, že 1 kg = 1000 g.

Výpočet čtvrtiny

Čtvrtinu získáme tak, že celek rozdělíme na čtyři stejné díly. Budeme tedy počítat $1000 : 4$.
$1000 : 4 = 250$.
Můžeme si to také ověřit: $250 + 250 + 250 + 250 = 500 + 500 = 1000$.

Závěr

Zjistili jsme, že čtvrtina z 1000 gramů je skutečně 250 gramů. Tvrzení v zadání je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9.2

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

400 m je možné rozdělit na 1 000 stejných dílů délky 40 cm.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod metrů na centimetry

Nejdříve si převedeme 400 metrů na centimetry, abychom měli stejné jednotky. Víme, že 1 metr má 100 centimetrů.
$400 \text{ m} = 400 \cdot 100 \text{ cm} = 40\,000 \text{ cm}$

Výpočet délky 1 000 dílů

Nyní zjistíme, jakou celkovou délku má 1 000 dílů, z nichž každý měří 40 cm. Počet dílů vynásobíme délkou jednoho dílu.
$1\,000 \cdot 40 \text{ cm} = 40\,000 \text{ cm}$

Porovnání a závěr

Obě hodnoty jsou stejné (40 000 cm). To znamená, že 400 metrů lze skutečně rozdělit přesně na 1 000 dílů po 40 centimetrech. Tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9.3

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Čtyři čtverce o obsahu 25 cm² mají dohromady obsah 1 m².

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah čtyř čtverců

Nejdříve spočítáme, jaký je celkový obsah všech čtyř čtverců v centimetrech čtverečních (cm²). Pokud má jeden čtverec obsah 25 cm², potom čtyři čtverce mají dohromady: $4 \cdot 25 = 100\text{ cm}^2$.

Převod na metry čtvereční

Nyní si musíme uvědomit, kolik centimetrů čtverečních má jeden metr čtvereční (1 m²). Víme, že 1 metr má 100 centimetrů. Jeden metr čtvereční si můžeme představit jako čtverec o straně 100 cm, takže jeho obsah je $100 \cdot 100 = 10\,000\text{ cm}^2$.

Porovnání výsledků

Zjistili jsme, že čtyři čtverce mají dohromady 100 cm². Ale 1 m² je 10 000 cm². Protože 100 cm² je mnohem méně než 10 000 cm², tvrzení v zadání není pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 10.1

Oddělením dvou trojúhelníků AFD a BCE z obdélníku ABCD vznikne bílý obrazec ABEF.Všechny uvedené body jsou v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah trojúhelníku AFD je 2krát menší než obsah trojúhelníku BCE.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Z obrázku a popisu vidíme, že obdélník $ABCD$ je rozdělen čtvercovou sítí na malé čtverečky. Výška obdélníku (strany $AD$ a $BC$) odpovídá 3 polím sítě. Na horní straně $DC$ jsou vyznačeny body $F$ a $E$. Úsečka $DF$ má délku 1 pole a úsečka $CE$ má délku 2 pole.

Obsah trojúhelníku AFD

Trojúhelník $AFD$ je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu $D$. Jeho odvěsny mají délky 1 pole ($DF$) a 3 pole ($AD$). Obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu obsahu obdélníku o těchto stranách:
$(1 \times 3) : 2 = 1,5$ čtverečku.

Obsah trojúhelníku BCE

Trojúhelník $BCE$ je také pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu $C$. Jeho odvěsny mají délky 2 pole ($CE$) a 3 pole ($BC$). Obsah vypočítáme obdobně:
$(2 \times 3) : 2 = 3$ čtverečky.

Porovnání obsahů

Nyní porovnáme oba výsledky. Obsah trojúhelníku $AFD$ je 1,5 čtverečku a obsah trojúhelníku $BCE$ je 3 čtverečky. Protože $3 : 1,5 = 2$, je obsah trojúhelníku $AFD$ skutečně 2krát menší než obsah trojúhelníku $BCE$.

Závěr

Tvrzení je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 10.2

Oddělením dvou trojúhelníků AFD a BCE z obdélníku ABCD vznikne bílý obrazec ABEF.Všechny uvedené body jsou v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah bílého obrazce ABEF je 9krát větší než obsah trojúhelníku AFD.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor čtvercové sítě

Z popisu obrázku vidíme, že celý obdélník $ABCD$ má šířku 5 políček a výšku 3 políčka. Jeho celkový obsah je tedy $5 \times 3 = 15$ čtverečků.

Výpočet obsahu trojúhelníku AFD

Trojúhelník $AFD$ je pravoúhlý s odvěsnami o délkách 1 políčko ($DF$) a 3 políčka ($AD$). Obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu obsahu obdélníku se stejnými stranami: $(1 \times 3) : 2 = 1{,}5$ čtverečku.

Výpočet obsahu trojúhelníku BCE

Trojúhelník $BCE$ je také pravoúhlý. Jeho odvěsny mají délky 2 políčka ($CE$) a 3 políčka ($BC$). Jeho obsah je tedy: $(2 \times 3) : 2 = 3$ čtverečky.

Výpočet obsahu bílého obrazce ABEF

Bílý obrazec $ABEF$ vznikne, když od celého obdélníku odečteme oba šedé trojúhelníky: Obsah $ABEF = 15 - (1{,}5 + 3) = 15 - 4{,}5 = 10{,}5$ čtverečku.

Ověření tvrzení

Máme zjistit, zda je obsah obrazce $ABEF$ ($10{,}5$ čtverečku) 9krát větší než obsah trojúhelníku $AFD$ ($1{,}5$ čtverečku). Vypočítáme: $9 \times 1{,}5 = 13{,}5$. Protože $10{,}5$ se nerovná $13{,}5$, tvrzení je nepravdivé.

Závěr

Tvrzení je nepravdivé (N).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 10.3

Oddělením dvou trojúhelníků AFD a BCE z obdélníku ABCD vznikne bílý obrazec ABEF.Všechny uvedené body jsou v mřížových bodech čtvercové sítě.

Rozhodněte o tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod bílého obrazce ABEF je stejný jako součet obvodů trojúhelníků AFD a BCE.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor stran v mřížce

Podle obrázku a popisu čtvercové sítě si určíme délky stran vyjádřené počtem dílků mřížky:

Strany AD a BC mají délku 3 dílky.
Strana DF má délku 1 dílek.
Strana CE má délku 2 dílky.
Strana AB má délku 6 dílků.
Strana EF má délku 3 dílky (celá horní strana má 6 dílků: $6 - 1 - 2 = 3$).

Úsečky AF a BE jsou šikmé a jejich délku v dílcích přímo neurčíme, ale víme, že jsou součástí obvodů.

Součet obvodů obou trojúhelníků

Obvod trojúhelníku AFD je součet délek stran $AD + DF + AF$. Obvod trojúhelníku BCE je součet délek stran $BC + CE + BE$.

Součet obou obvodů je: $(3 + 1 + AF) + (3 + 2 + BE) = 9 + AF + BE$

Obvod bílého obrazce ABEF

Bílý obrazec ABEF je čtyřúhelník se stranami AB, BE, EF a FA.

Jeho obvod vypočítáme jako: $AB + BE + EF + FA = 6 + BE + 3 + AF = 9 + BE + AF$

Porovnání a závěr

Vidíme, že v obou případech jsme dospěli ke stejnému výsledku:

Součet obvodů trojúhelníků: $9 + AF + BE$
Obvod obrazce ABEF: $9 + BE + AF$

Tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 11

Na knižní veletrh šli tři kamarádi. Dva z nich měli vstup za plnou cenu a jeden za poloviční cenu. Na veletrhu si všichni tři koupili stejnou knihu.
Jedna kniha a jeden vstup za plnou cenu stály celkem 250 Kč, další dvě knihy a oba zbývající vstupy 470 Kč.

Kolik korun stála jedna kniha?

A) méně než 190 Kč
D) 210 Kč
B) 190 Kč
E) více než 210 Kč
C) 200 Kč

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Celková útrata

Z textu víme, že:

1 kniha + 1 plný vstup = 250 Kč
2 knihy + zbývající 2 vstupy (1 plný a 1 poloviční) = 470 Kč

Dohromady za všechny tři kamarády (3 knihy, 2 plné vstupy a 1 poloviční vstup) zaplatili:
250 + 470 = 720 Kč

Cena za plné vstupy

První kamarád (1 kniha + 1 plný vstup) zaplatil 250 Kč. Kdyby si i druhý kamarád koupil to samé, stálo by to také 250 Kč. Dohromady by to bylo 500 Kč za 2 knihy a 2 plné vstupy.

Poloviční vstup

Víme, že 2 knihy a oba zbývající vstupy (1 plný a 1 poloviční) stály 470 Kč. Oproti dvěma plným vstupům s knihami (500 Kč) je to o 30 Kč méně (500 - 470 = 30). Těchto 30 Kč je právě rozdíl mezi plným a polovičním vstupem.

Cena vstupu a knihy

Jestliže polovina vstupu je 30 Kč, pak celý vstup stojí 60 Kč (2 · 30 = 60).
Protože jedna kniha a jeden plný vstup stály 250 Kč, samotná kniha stála:
250 - 60 = 190 Kč

Výsledek

Jedna kniha stála 190 Kč. Správná možnost je tedy B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

Školy K, L, M, N a O v letech 2013–2015 soutěžily ve sběru papíru. V roce 2014 nasbíralo všech pět škol dohromady 30 tun papíru.

Vítězem soutěže se stala škola, která za 3 roky nasbírala nejvíce papíru.

Kolik tun papíru nasbírala za 3 roky vítězná škola?

A) méně než 10 tun
D) 20 tun
B) 10 tun
E) více než 20 tun
C) 18 tun

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Zjištění hodnoty jednoho dílku

V grafu vidíme sloupce pro 5 škol (K, L, M, N, O) a 3 roky. Svislá osa nemá čísla, ale je rozdělena na stejné dílky. Víme, že v roce 2014 (světle šedé sloupce) nasbíralo všech pět škol dohromady 30 tun papíru.
Spočítáme si výšku světle šedých sloupců v dílcích:
K = 1 dílek, L = 2 dílky, M = 3 dílky, N = 4 dílky, O = 5 dílků.
Dohromady: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ dílků.
Jestliže 15 dílků odpovídá 30 tunám, pak 1 dílek odpovídá 2 tunám ($30 : 15 = 2$).

Výpočet celkového sběru pro jednotlivé školy

Nyní spočítáme celkový počet dílků za všechny 3 roky pro každou školu:

Škola K: $3 + 1 + 5 = 9$ dílků
Škola L: $4 + 2 + 4 = 10$ dílků
Škola M: $3 + 3 + 3 = 9$ dílků
Škola N: $1 + 4 + 1 = 6$ dílků
Škola O: $1 + 5 + 3 = 9$ dílků

Určení vítěze a výsledku

Vítězem je škola, která nasbírala nejvíce dílků, což je škola L s 10 dílky.
Jeden dílek jsou 2 tuny, takže škola L nasbírala:
$10 \cdot 2 = 20$ tun.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13

Lukáš si postavil z kostek pravidelnou dvoupatrovou stavbu. Ema si v rohu místnosti postavila jen část této stavby.

O kolik kostek se obě stavby liší?

A) méně než o 15
D) o 17
B) o 15
E) více než o 17
C) o 16

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 14

Lukáš si postavil z kostek pravidelnou dvoupatrovou stavbu. Ema si v rohu místnosti postavila jen část této stavby.

Jaký nejmenší počet kostek potřebuje Ema k doplnění své stavby na krychli?

A) 7
D) 17
B) 11
E) jiný počet
C) 16

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku

Podle popisu obrázku se těleso skládá ze tří vrstev. V základně je 5 kostek uspořádaných do tvaru kříže. V prostřední vrstvě jsou 4 kostky a v nejvyšší, třetí vrstvě je 1 středová kostka. Celkem se tedy stavba skládá z $5 + 4 + 1 = 10$ kostek.

Určení rozměrů cílové krychle

Stavba má na šířku 3 kostky, na hloubku 3 kostky a na výšku také 3 kostky. Nejmenší možná krychle, do které lze tuto stavbu doplnit, musí mít tedy hranu dlouhou 3 kostky (rozměry $3 \times 3 \times 3$).

Výpočet celkového počtu kostek v krychli

Plná krychle s hranou o délce 3 kostky se skládá z celkového počtu kostek: $3 \times 3 \times 3 = 27$ Krychle bude tedy celkem obsahovat 27 kostek.

Výpočet chybějících kostek

Ema již má postaveno 10 kostek. K vytvoření celé krychle o 27 kostkách jí tedy zbývá doplnit: $27 - 10 = 17$ Ema potřebuje k doplnění své stavby na krychli nejméně 17 kostek.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.1

Adéla přečetla 20 stran knihy, Dana 40 stran a Petr 60 stran.

V nedokončené větě doplňte chybějící část (A–F) tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení.

Adéla přečetla…

A) o polovinu více než Dana.
D) o třetinu méně než Petr.
B) o třetinu více než Dana.
E) pětinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady.
C) o polovinu více než Adéla.
F) třetinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet přečtených stran

Ze zadání víme, kolik stran přečetly jednotlivé děti:

Adéla: 20 stran
Dana: 40 stran
Petr: 60 stran

Součet stran ostatních dětí

V otázce se zajímáme o to, co přečetla Adéla. Podíváme se na možnost E a F, které porovnávají Adélu se zbývajícími dvěma dětmi (Danou a Petrem) dohromady. Nejdříve spočítáme, kolik stran přečetli Dana a Petr společně: $40 + 60 = 100$ stran.

Podíl Adély na součtu

Nyní zjistíme, jakou část z tohoto součtu (100 stran) tvoří Adéliných 20 stran. Víme, že $100 \div 5 = 20$, takže 20 stran je přesně jedna pětina ze 100 stran.

Závěr

Adéla tedy přečetla pětinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady. Tomu odpovídá možnost E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.2

Adéla přečetla 20 stran knihy, Dana 40 stran a Petr 60 stran.

V nedokončené větě doplňte chybějící část (A–F) tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení.

Dana přečetla…

A) o polovinu více než Dana.
D) o třetinu méně než Petr.
B) o třetinu více než Dana.
E) pětinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady.
C) o polovinu více než Adéla.
F) třetinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Přehled přečtených stran

Ze zadání víme, kolik stran přečetlo každé z dětí:

Adéla: 20 stran
Dana: 40 stran
Petr: 60 stran

Výpočet pro možnost D

Možnost D říká, že Dana přečetla o třetinu méně než Petr. Musíme tedy vypočítat třetinu z Petrova počtu stran: $60 \div 3 = 20$

Nyní tuto třetinu odečteme od celkového počtu Petrových stran: $60 - 20 = 40$

Závěr

Vyšlo nám, že o třetinu méně než Petr je 40 stran. To přesně odpovídá počtu stran, které přečetla Dana. Správná je tedy možnost D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.3

Adéla přečetla 20 stran knihy, Dana 40 stran a Petr 60 stran.

V nedokončené větě doplňte chybějící část (A–F) tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení.

Petr přečetl…

A) o polovinu více než Dana.
D) o třetinu méně než Petr.
B) o třetinu více než Dana.
E) pětinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady.
C) o polovinu více než Adéla.
F) třetinu toho, co přečetly zbývající dvě děti dohromady.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet stran dětí

Ze zadání víme, kolik stran každé dítě přečetlo: Adéla 20 stran, Dana 40 stran a Petr 60 stran.

Porovnání s Danou

Zkusíme porovnat Petrův počet stran s Daniným (možnost A). Petr přečetl 60 stran a Dana 40 stran. Petr tedy přečetl o 20 stran více:
$60 - 40 = 20$

Určení poloviny

Nyní zjistíme, kolik je polovina z počtu stran, které přečetla Dana (40 stran):
$40 \div 2 = 20$
Vidíme, že rozdíl 20 stran je přesně polovina Danina počtu.

Výsledek

Petr tedy přečetl o polovinu více než Dana. Tvrzení doplňuje možnost A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.1

Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.

Vypočtěte délku strany čtverce, který má celkem 9 tmavých čtverečků.

Zobrazit odpověď

20 cm

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza počtu čtverečků

Víme, že tmavé čtverečky pokrývají obě úhlopříčky čtverce. Pokud má čtverec lichý počet čtverečků na straně, obě úhlopříčky se protnou v jednom společném středovém čtverečku. Pokud má čtverec na straně 5 čtverečků (jako na levém obrázku v zadání), každá úhlopříčka má 5 čtverečků. Celkový počet tmavých čtverečků je tedy $5 + 5 - 1 = 9$ (středový čtvereček počítáme jen jednou).

Určení rozměrů

Z analýzy vyplývá, že čtverec s 9 tmavými čtverečky na úhlopříčkách má na každé straně právě 5 malých čtverečků. Zadání uvádí, že každý malý tmavý čtvereček má délku strany 4 cm.

Výpočet délky strany

Délku strany celého čtverce vypočítáme tak, že vynásobíme počet čtverečků na straně délkou strany jednoho malého čtverečku: $5 \times 4\text{ cm} = 20\text{ cm}$

Závěr

Délka strany čtverce je 20 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.2

Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.

Vypočtěte délku strany čtverce, který má celkem 29 tmavých čtverečků.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza počtu čtverečků

Tmavé čtverečky tvoří obě úhlopříčky velkého čtverce (tvar písmene „X“). Tyto dvě úhlopříčky se protínají přesně v jednom společném středovém čtverečku. Pokud má velký čtverec stranu tvořenou $n$ malými čtverečky, má každá úhlopříčka také $n$ čtverečků.

Určení počtu čtverečků na straně

Celkový počet tmavých čtverečků (29) získáme tak, že sečteme čtverečky na obou úhlopříčkách a odečteme ten jeden, který mají společný:
$(n + n) - 1 = 29$
$2 \cdot n - 1 = 29$
$2 \cdot n = 30$
$n = 15$
Strana velkého čtverce je tedy tvořena řadou 15 malých tmavých čtverečků.

Výpočet délky strany

Víme, že strana jednoho malého tmavého čtverečku měří 4 cm. Celkovou délku strany velkého čtverce vypočítáme vynásobením počtu čtverečků jejich délkou:
$15 \cdot 4 = 60$
Strana čtverce měří 60 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.3

Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.

Vypočtěte celkový počet tmavých čtverečků, je-li délka strany čtverce 140 cm.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor počtu čtverečků na straně

Nejdříve musíme zjistit, kolik malých tmavých čtverečků se vejde podél jedné strany velkého čtverce. Víme, že velký čtverec má stranu dlouhou 140 cm a každý malý čtvereček má stranu dlouhou 4 cm.
Výpočet: $140 : 4 = 35$.
Podél každé strany (i na každé úhlopříčce) je tedy přesně 35 malých čtverečků.

Analýza úhlopříček

Čtverec má dvě úhlopříčky. Protože je počet čtverečků na straně lichý (35), obě úhlopříčky se protínají přesně v jednom společném čtverečku uprostřed (podobně jako u čtverce 5×5 na obrázku, kde je uprostřed také jeden společný čtvereček).

Výpočet celkového počtu tmavých čtverečků

Na každé úhlopříčce je 35 čtverečků. Pokud bychom je jen sečetli ($35 + 35 = 70$), započítali bychom ten prostřední čtvereček dvakrát. Proto ho musíme jednou odečíst.
Výpočet: $35 + 35 - 1 = 69$.

Závěr

Celkový počet tmavých čtverečků ve čtverci o straně 140 cm je 69.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body