Přijímací testy 5. ročník

Podkategorie: Matematika 5. ročník — 1. řádný termín 2015

30 úloh

Úloha 1

Vypočtěte:

$\displaystyle 65-5 \cdot \left( 14-6 \div 2 \right) =$

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Výpočet v závorce

Při výpočtu příkladů se závorkami musíme nejdříve vypočítat to, co je v závorce. V závorce má přednost dělení před odčítáním:

$6 \div 2 = 3$
$14 - 3 = 11$

Výsledek celé závorky je tedy $11$.

Násobení

Nyní pokračujeme v hlavním výpočtu. Násobení má přednost před odčítáním, proto vynásobíme pětku výsledkem závorky:

$5 \cdot 11 = 55$

Odčítání

Nakonec odečteme výsledek násobení od prvního čísla v příkladu:

$65 - 55 = 10$

Výsledek

Výsledek celého příkladu je 10.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 2

Výpočty se provádějí podle vzoru:

Neznámá čísla ve všech čtvercích musí být stejná.

Vypočtěte chybějící číslo v kroužku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Pochopení schématu

Podle vzoru šipka s operací nad sebou mění číslo v jednom kroužku na číslo v dalším kroužku. V zadání je důležitá podmínka, že ve všech prázdných čtverečcích musí být stejné číslo.

Zjištění čísla ve čtverečku

Mezi druhým kroužkem (45) a třetím kroužkem (77) jsou dva čtverečky, oba s operací sčítání. Rozdíl mezi těmito kroužky je $77 - 45 = 32$. Protože jsou čtverečky dva a jsou stejné, jedno číslo ve čtverečku musí být polovina z 32, tedy $32 : 2 = 16$.

Výpočet chybějícího čísla

Víme, že k prvnímu kroužku jsme přičetli číslo ve čtverečku (16) a dostali jsme 45. Abychom zjistili původní číslo, musíme jít pozpátku a od 45 odečíst 16:
$45 - 16 = 29$

Závěrečná odpověď

Chybějící číslo v prvním kroužku je 29.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 3

Doplňte u čísla v rámečku poslední číslici tak, aby dělení bylo beze zbytku, a vypočtěte.

$\displaystyle \boxed{37\_\_\vphantom{10}\hphantom{10}} \div 8=$

Zobrazit odpověď

376 : 8 = 47

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hledání poslední číslice

Hledáme takovou číslici na místě jednotek, aby trojciferné číslo začínající 37 bylo dělitelné osmi beze zbytku.

Rozklad čísla

Číslo 37_ si můžeme rozložit na 320 a zbytek. Víme, že 320 je násobkem osmi ($8 \cdot 40 = 320$). Od 370 nám do 320 zbývá 50. Musíme tedy najít násobek osmi v rozmezí 50 až 59.

Určení číslice

V násobilce osmi najdeme $8 \cdot 7 = 56$. Žádný jiný násobek osmi v tomto rozmezí není. Číslo v rámečku je tedy 376 a doplněná číslice je 6.

Výpočet dělení

Nyní vypočítáme příklad $376 \div 8$:
37 děleno 8 je 4 a zbytek je 5.
56 děleno 8 je 7 a zbytek je 0.
Výsledek je 47.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 4

Nahraďte každou hvězdičku ( $\displaystyle *$ ) takovou číslicí, aby byl výpočet bez chyby.

$\displaystyle \begin{array}{r} & 7 & 0 & 8 & * \\ - & * & 2 & * & 8 \\ \hline & 1 & * & 1 & 6 \\ \end{array}$

Zobrazit odpověď

7 084 − 5 268 = 1 816

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na sčítání

Odčítání s hvězdičkami může být zbytečně složité, proto si ho převedeme na sčítání. Výsledek odčítání (spodní řádek) sečteme s menšitelem (prostřední řádek), a musí nám vyjít původní menšenec (horní řádek).
Příklad si tedy přepíšeme na sčítání: $\displaystyle \begin{array}{r} & 1 & * & 1 & 6 \\ + & * & 2 & * & 8 \\ \hline & 7 & 0 & 8 & * \\ \end{array}$

Sloupeček jednotek

Začneme počítat odzadu, tedy v pravém sloupečku. Sčítáme 6 a 8. To je dohromady 14.
Výsledek pod čarou musí končit stejnou číslicí. Doplníme tedy na místo hvězdičky čtyřku. Jedničku z desítky (z čísla 14) si držíme na prstu – pamatujeme si ji do dalšího sloupečku.

Sloupeček desítek

Přesuneme se o sloupeček doleva. Nahoře máme 1, pod ním neznámou hvězdičku a nesmíme zapomenout na jedničku, kterou si držíme z předchozího kroku.
Máme tedy $1 + 1 = 2$.
Pod čarou má vyjít 8. Kolik musíme přidat ke 2, aby vyšlo 8? Chybí nám přesně 6.
Na místo hvězdičky ve druhém řádku patří číslice 6. Do dalšího kroku si nepamatujeme nic.

Sloupeček stovek

Ve třetím sloupečku zprava sčítáme horní hvězdičku a pod ní číslo 2. Z minula si nic nepřidáváme.
Pod čarou má vyjít 0. Když ke dvěma něco přidáme, nemůže z toho být nula, součet tedy musí být 10.
Kolik musíme přidat k 2, aby nám vyšlo 10? Chybí 8.
Na místo horní hvězdičky tedy doplníme číslici 8 a jedničku ze součtu (z čísla 10) si opět pamatujeme do dalšího kroku.

Sloupeček tisíců

V posledním levém sloupečku sčítáme horní 1 s neznámou hvězdičkou a nesmíme zapomenout na jedničku, kterou si pamatujeme z minula.
Známe tedy $1 + 1 = 2$. Pod čarou chceme mít výsledek 7.
Kolik musíme přidat ke dvojce, aby nám vyšla sedmička? Chybí 5.
Na místo hvězdičky ve druhém řádku doplníme 5. Nyní máme vypočítané všechny chybějící číslice!

Závěr

Když všechny zjištěné číslice vrátíme do původního příkladu, odčítání bude vypadat takto: $\displaystyle \begin{array}{r} & 7 & 0 & 8 & 4 \\ - & 5 & 2 & 6 & 8 \\ \hline & 1 & 8 & 1 & 6 \\ \end{array}$ Nyní si pro jistotu příklad můžeme zkusit běžně odečíst a ověříme si, že nám vše opravdu vychází bez chyby.

Pomohlo vám toto řešení?

3 body

Úloha 5.1

Ve škole se musí denně uklidit 12 tříd. Pan školník zvládne uklidit první polovinu všech tříd za 1 hodinu a 45 minut. Někdy mu s úklidem pomáhají ještě dva pomocníci.
Úklid kterékoli třídy trvá školníkovi i každému pomocníkovi stejně dlouhou dobu.

Vypočtěte, jak dlouho trvá celý úklid, jestliže i druhou polovinu tříd uklízí pan školník sám.

Zobrazit odpověď

03:30

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Počet tříd v polovině

Celkem se ve škole uklízí 12 tříd. První polovina úklidu tedy zahrnuje 6 tříd ($12 \div 2 = 6$) a druhá polovina také 6 tříd.

Čas na druhou polovinu

Víme, že pan školník uklidí první polovinu (6 tříd) za 1 hodinu a 45 minut. Protože i druhou polovinu (zbývajících 6 tříd) uklízí pan školník sám a úklid každé třídy trvá stejně dlouhou dobu, bude mu to trvat znovu 1 hodinu a 45 minut.

Celkový čas úklidu

Pro zjištění celkové doby sečteme čas za obě poloviny:
1 hodina 45 minut + 1 hodina 45 minut = 2 hodiny 90 minut.
Protože víme, že 60 minut tvoří jednu celou hodinu, převedeme 90 minut na 1 hodinu a 30 minut.
Celkem tedy úklid trvá 3 hodiny a 30 minut.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 5.2

Vypočtěte, jak dlouho trvá celý úklid, jestliže druhou polovinu tříd uklízí pan školník společně s oběma pomocníky.

Zobrazit odpověď

02:20

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Čas na první polovinu tříd

Víme, že první polovinu všech tříd (tedy 6 tříd) uklidil pan školník sám za 1 hodinu a 45 minut. Pro snazší počítání si tento čas převedeme na minuty:
1 hodina = 60 minut
1 h 45 min = 60 + 45 = 105 minut

Čas na druhou polovinu tříd

Druhou polovinu tříd (opět 6 tříd) uklízí pan školník a 2 pomocníci, tedy celkem 3 lidé. Protože všichni pracují stejně rychle, úklid šesti tříd jim ve třech lidech zabere 3× méně času, než kdyby je uklízel jen pan školník sám:
105 min : 3 = 35 minut

Celkový čas úklidu

Celý úklid se skládá ze dvou částí. První část trvala 105 minut a druhá část 35 minut. Časy sečteme:
105 + 35 = 140 minut

Závěrečný výsledek

Výsledek 140 minut převedeme zpět na hodiny a minuty:
140 minut = 120 minut + 20 minut = 2 h 20 min

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.1

5 balíčků sušenek stojí 80 Kč.
2 čokolády stojí stejně jako 3 balíčky sušenek.
Hana si koupila 1 čokoládu a 2 balíčky sušenek.

Vypočtěte, kolik korun stojí 2 čokolády.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (2 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena jednoho balíčku sušenek

Víme, že 5 balíčků sušenek stojí 80 Kč. Jeden balíček tedy stojí:
80 : 5 = 16 Kč

Cena dvou čokolád

V zadání se píše, že 2 čokolády stojí stejně jako 3 balíčky sušenek. Vypočítáme cenu tří balíčků:
3 · 16 = 48 Kč
Dvě čokolády tedy stojí 48 Kč.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 6.2

5 balíčků sušenek stojí 80 Kč.
2 čokolády stojí stejně jako 3 balíčky sušenek.
Hana si koupila 1 čokoládu a 2 balíčky sušenek.

Vypočtěte, kolik korun Hana zaplatila.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Cena balíčku sušenek

Víme, že 5 balíčků sušenek stojí 80 Kč. Cenu jednoho balíčku vypočítáme tak, že celkovou cenu vydělíme pěti: $80 \div 5 = 16$ Kč Jeden balíček sušenek tedy stojí 16 Kč.

Cena jedné čokolády

Podle zadání stojí 2 čokolády stejně jako 3 balíčky sušenek. Nejdříve zjistíme cenu tří balíčků: $3 \cdot 16 = 48$ Kč Dvě čokolády tedy stojí dohromady 48 Kč. Jedna čokoláda stojí polovinu této částky: $48 \div 2 = 24$ Kč

Výpočet celkové ceny

Hana si koupila 1 čokoládu za 24 Kč a k tomu 2 balíčky sušenek. Dva balíčky sušenek stojí: $2 \cdot 16 = 32$ Kč Celkem Hana zaplatila: $24 + 32 = 56$ Kč

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 7.1

Na přímce q leží bod X a mimo ni bod L.

Narýsujte přímku p, která prochází bodem L a je kolmá k přímce q.

Průsečík přímek p, q označte M.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.2

Na přímce q leží bod X a mimo ni bod L.

Na polopřímce MX sestrojte bod N tak, aby úsečky LM a MN byly stejně dlouhé.

Zobrazit odpověď

1 bod

Úloha 7.3

Na přímce q leží bod X a mimo ni bod L.

Sestrojte chybějící vrchol O čtverce LMNO a čtverec narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 7.4

Na přímce q leží bod X a mimo ni bod L.

Uvnitř čtverce LMNO sestrojte takový bod K, aby body K, L, M tvořily vrcholy rovnostranného trojúhelníku.

Trojúhelník KLM narýsujte.

Zobrazit odpověď

2 body

Úloha 8.1

Obrazec KLMN je vytvořen z rovnostranného a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod rovnostranného trojúhelníku je 12 cm, obvod rovnoramenného trojúhelníku je dvojnásobný.

Vypočítejte délku společné strany LN obou trojúhelníků.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor zadání

Z obrázku a textu vyplývá, že čtyřúhelník $KLMN$ je vytvořen ze dvou trojúhelníků, které mají společnou stranu $LN$. Jeden z těchto trojúhelníků je rovnostranný a druhý rovnoramenný.

Výpočet strany rovnostranného trojúhelníku

Rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany stejně dlouhé. Víme, že jeho obvod je $12\text{ cm}$. Délku jedné jeho strany vypočítáme tak, že obvod vydělíme třemi: $12 : 3 = 4$ Každá strana rovnostranného trojúhelníku tedy měří $4\text{ cm}$.

Určení délky společné strany LN

Protože úsečka $LN$ je jednou ze stran tohoto rovnostranného trojúhelníku, musí být její délka také $4\text{ cm}$.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 8.2

Obrazec KLMN je vytvořen z rovnostranného a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod rovnostranného trojúhelníku je 12 cm, obvod rovnoramenného trojúhelníku je dvojnásobný.

Vypočítejte obvod celého obrazce KLMN.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strana rovnostranného trojúhelníku

Rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany stejně dlouhé. Pokud je jeho obvod 12 cm, délka jedné strany (včetně společné strany NL) je:
12 : 3 = 4 cm.

Krok 2: Obvod rovnoramenného trojúhelníku

V zadání se píše, že obvod rovnoramenného trojúhelníku je dvojnásobný oproti obvodu rovnostranného trojúhelníku:
12 · 2 = 24 cm.

Krok 3: Vnější strany obrazce

Obvod celého obrazce KLMN je tvořen vnějšími stranami obou trojúhelníků. Společná strana (úsečka NL) se do obvodu celého obrazce nepočítá.

Z rovnostranného trojúhelníku tvoří obvod dvě strany: 4 + 4 = 8 cm.
Z rovnoramenného trojúhelníku tvoří obvod také dvě strany. Jejich součet zjistíme tak, že od jeho celkového obvodu odečteme společnou stranu: 24 − 4 = 20 cm.

Krok 4: Výpočet celkového obvodu

Nyní sečteme délky všech vnějších stran dohromady:
8 + 20 = 28 cm.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 9.1

Rozhodněte o následujícím výpočtu, zda je proveden správně (A), či nikoli (N).

1 kg $\displaystyle -$ 20 g $\displaystyle =$ 80 g

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod jednotek

Abychom mohli správně odčítat, musíme si nejdříve převést kilogramy na gramy. Víme, že 1 kg = 1000 g.

Výpočet

Od 1000 gramů odečteme 20 gramů: $1000 - 20 = 980$. Správný výsledek je tedy 980 g.

Závěr

V zadání je uveden výsledek 80 g, což je špatně. Výpočet tedy není proveden správně (správná odpověď je N).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9.2

Rozhodněte o následujícím výpočtu, zda je proveden správně (A), či nikoli (N).

5 km $\displaystyle -$ 70 m $\displaystyle =$ 4930 m

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod na stejné jednotky

Abychom mohli hodnoty odečíst, musíme je mít ve stejných jednotkách. Převedeme kilometry na metry. Víme, že 1 km má 1 000 metrů, takže 5 km je 5 000 metrů.

Odečtení metrů

Nyní od 5 000 metrů odečteme 70 metrů. Výpočet si můžeme představit jako $5\,000 - 70 = 4\,930$.

Závěr

Výsledek 4 930 metrů přesně odpovídá tomu, co je uvedeno v zadání. Tvrzení je tedy pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 9.3

Rozhodněte o následujícím výpočtu, zda je proveden správně (A), či nikoli (N).

14 m $\displaystyle +$ 3 cm $\displaystyle +$ 2 mm $\displaystyle =$ 1432 mm

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Převod metrů na milimetry

Nejdříve si převedeme metry na milimetry. Víme, že 1 metr má 1 000 milimetrů.
14 m = 14 000 mm

Převod centimetrů na milimetry

Dále převedeme centimetry na milimetry. Víme, že 1 centimetr má 10 milimetrů.
3 cm = 30 mm

Součet všech částí

Nyní sečteme všechny hodnoty v milimetrech dohromady:
14 000 mm + 30 mm + 2 mm = 14 032 mm

Závěr

Porovnáme náš výsledek s hodnotou v zadání. My jsme vypočítali 14 032 mm, ale v zadání je uvedeno 1 432 mm. Výpočet je tedy nesprávný (N).

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 10.1

Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník ABCD a dva trojúhelníky AED a EBF. (Body A, B, C, D, E, F jsou mřížové body.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah obdélníku ABCD je pětkrát větší než obsah trojúhelníku AED.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Obsah obdélníku ABCD

Z nákresu ve čtvercové síti vidíme, že obdélník ABCD má šířku 4 čtverečky a výšku 2 čtverečky. Jeho obsah vypočítáme vynásobením délky stran: $4 \times 2 = 8$ čtverečků.

Obsah trojúhelníku AED

Trojúhelník AED je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu A. Jeho základna AE tvoří polovinu spodní strany obdélníku, měří tedy 2 čtverečky. Výška AD odpovídá boční straně obdélníku a má také délku 2 čtverečky. Obsah trojúhelníku vypočítáme jako polovinu součinu základny a výšky: $(2 \times 2) : 2 = 2$ čtverečky.

Porovnání obsahů

Nyní porovnáme oba vypočítané obsahy. Obsah obdélníku je 8 čtverečků, obsah trojúhelníku jsou 2 čtverečky. Výpočtem $8 : 2 = 4$ zjistíme, že obsah obdélníku je ve skutečnosti čtyřikrát větší než obsah trojúhelníku AED.

Závěr

Tvrzení v zadání, že obsah obdélníku je pětkrát větší, je tedy nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 10.2

Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník ABCD a dva trojúhelníky AED a EBF. (Body A, B, C, D, E, F jsou mřížové body.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obsah trojúhelníku AED je větší než obsah trojúhelníku EBF.

Zobrazit odpověď

Ano

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor obrázku a trojúhelníku AED

Podle obrázku ve čtvercové síti má obdélník ABCD výšku 2 čtverečky. Trojúhelník AED je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu A. Jeho odvěsna AD (výška) má délku 2 čtverečky a odvěsna AE (základna) má také délku 2 čtverečky. Obsah trojúhelníku AED vypočítáme jako polovinu součinu délek odvěsen: $S_{AED} = (2 \cdot 2) : 2 = 2$ čtverečky.

Obsah trojúhelníku EBF

Trojúhelník EBF je také pravoúhlý, s pravým úhlem u vrcholu B. Odvěsna BF (výška) odpovídá polovině strany obdélníku, měří tedy 1 čtvereček. Odvěsna EB (základna) má délku 3 čtverečky (vzdálenost bodu E od bodu B). Obsah trojúhelníku EBF vypočítáme obdobně: $S_{EBF} = (3 \cdot 1) : 2 = 1,5$ čtverečku.

Porovnání obsahů a závěr

Nyní porovnáme oba vypočítané obsahy: Obsah trojúhelníku AED jsou 2 čtverečky, zatímco obsah trojúhelníku EBF je pouze 1,5 čtverečku. Platí, že $2 > 1,5$. Obsah trojúhelníku AED je tedy skutečně větší než obsah trojúhelníku EBF, takže tvrzení v zadání je pravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 10.3

Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník ABCD a dva trojúhelníky AED a EBF. (Body A, B, C, D, E, F jsou mřížové body.)

Rozhodněte o následujícím tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Obvod trojúhelníku AED je větší než obvod trojúhelníku EBF.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Strany trojúhelníku AED

Trojúhelník AED má dvě strany, které leží přímo na mřížových čarách. Strana AD tvoří výšku obdélníku a má délku 2 dílky. Strana AE leží na základně obdélníku a má také délku 2 dílky (bod E je 2 čtverce od bodu A). Třetí strana DE je šikmá a tvoří úhlopříčku ve čtverci o straně 2x2 dílky.

Krok 2: Strany trojúhelníku EBF

Trojúhelník EBF má také dvě strany na mřížových čarách. Strana EB má délku 3 dílky (celá strana AB má 5 dílků, od kterých odečteme 2 dílky strany AE). Strana BF má délku 1 dílek (bod F je v polovině výšky obdélníku). Třetí strana EF je šikmá a tvoří úhlopříčku v obdélníku o straně 3x1 dílek.

Krok 3: Porovnání obvodů

V obou trojúhelnících je součet stran ležících na mřížce stejný:
AED: $2 + 2 = 4$ dílky
EBF: $3 + 1 = 4$ dílky

Stačí tedy porovnat délky šikmých stran. Strana EF (úhlopříčka 3x1) je delší než strana DE (úhlopříčka 2x2), protože se „táhne“ více do dálky. Proto je obvod trojúhelníku EBF větší než obvod trojúhelníku AED.

Závěr

Tvrzení v zadání je nepravdivé.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 11

Petr má stejný počet korunových, dvoukorunových a pětikorunových mincí. (Jiné mince Petr nemá.)
Mince představují částku 96 Kč.

Kolik mincí má Petr?

A) 18
D) 36
B) 24
E) jiný počet
C) 32

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Hodnota jedné sady

Protože má Petr stejný počet od každého druhu mincí, můžeme si je rozdělit do stejných skupinek. V každé skupince bude jedna korunová, jedna dvoukorunová a jedna pětikorunová mince.
Sečteme hodnotu jedné takové skupinky: $1 + 2 + 5 = 8$ Kč.

Počet skupinek

Celková částka je 96 Kč. Abychom zjistili, kolik takových skupinek po 8 Kč Petr má, musíme celkovou částku vydělit hodnotou jedné skupinky:
$96 \div 8 = 12$
Petr má tedy 12 skupinek mincí.

Celkový počet mincí

V každé skupince jsou 3 mince (1 Kč, 2 Kč a 5 Kč). Pokud má Petr 12 takových skupinek, celkový počet mincí vypočítáme jako:
$12 \cdot 3 = 36$
Petr má celkem 36 mincí.

Výsledek

Správná odpověď je 36 mincí, což odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 12

V grafu je znázorněn počet dětí ze všech 5. tříd školy kromě počtu dívek třídy 5. C.Ve třídách 5. A a 5. B je dohromady dvakrát více dětí než ve třídě 5. C.

Kolik dívek je ve třídě 5. C?

A) méně než 12
D) 14
B) 12
E) více než 14
C) 13

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza grafu a zjištění počtu dětí v 5. A a 5. B

Z grafu vyčteme počty chlapců a dívek pro první dvě třídy:

5. A: 12 chlapců a 14 dívek, tedy celkem $12 + 14 = 26$ dětí.
5. B: 18 chlapců a 12 dívek, tedy celkem $18 + 12 = 30$ dětí.

Dohromady je v těchto dvou třídách $26 + 30 = 56$ dětí.

Výpočet celkového počtu dětí v 5. C

V zadání se píše, že ve třídách 5. A a 5. B je dohromady dvakrát více dětí než ve třídě 5. C. To znamená, že v 5. C je polovina z celkového počtu dětí v 5. A a 5. B.
Výpočet: $56 : 2 = 28$ dětí.

Výpočet počtu dívek v 5. C

Z grafu víme, že v 5. C je 16 chlapců. Počet dívek zjistíme tak, že od celkového počtu dětí v 5. C odečteme počet chlapců.
Výpočet: $28 - 16 = 12$ dívek.

Závěr

Ve třídě 5. C je 12 dívek. Správná je tedy možnost B.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 13

Na každé stěně hrací kostky je napsáno jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6. Součet čísel na protějších stěnách hrací kostky je vždy 7, tedy proti číslu 1 je 6, proti 3 je 4 a proti 5 je 2.
Milan postavil z pěti hracích kostek stavbu. Všechny kostky natočil stejně, a to tak, že nahoře je číslo 1, vpředu 5 a vpravo 3.

Kolik čísel je napsáno na povrchu stojící stavby?

(Nepatří mezi ně čísla na spodní ploše stavby.)

A) 16
D) 21
B) 17
E) více než 21
C) 19

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (5 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor stavby

Stavba je složena z 5 hracích kostek. Každá kostka má 6 stěn s čísly 1 až 6. Celkem je tedy na všech pěti kostkách 30 čísel ($5 \times 6 = 30$). Abychom zjistili, kolik čísel je na povrchu stavby, musíme od tohoto celkového počtu odečíst stěny, které nejsou vidět (ty, které leží na zemi, a ty, kterými se kostky navzájem dotýkají).

Stěny na zemi

Z popisu a nákresu vyplývá, že na podložce leží 3 kostky (spodní kostka sloupce a dvě kostky přiložené k ní ze stran). Spodní stěna každé z těchto 3 kostek je zakrytá podložkou. To jsou 3 zakrytá čísla.

Stěny, které se dotýkají

Když se dvě kostky dotýkají stěnami, jsou tato dvě čísla (na každé kostce jedno) skrytá uvnitř stavby. Musíme tedy spočítat, kolikrát se stěny kostek dotýkají:

Ve sloupci ze tří kostek jsou 2 spoje (mezi spodní a prostřední a mezi prostřední a horní). To jsou $2 \times 2 = 4$ skrytá čísla.
Ke spodní kostce sloupce jsou přiloženy další 2 kostky. To jsou další 2 spoje. To jsou $2 \times 2 = 4$ skrytá čísla.

Celkem je uvnitř stavby skryto $4 + 4 = 8$ čísel.

Výpočet

Nyní od celkového počtu čísel odečteme všechna skrytá čísla:

Celkem stěn: 30
Na zemi: 3
Uvnitř stavby: 8

Výpočet: $30 - 3 - 8 = 19$.

Závěr

Na povrchu stojící stavby je napsáno 19 čísel.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 14

Jaký je součet všech čísel na povrchu stojící stavby?

(Nepřičítají se čísla na spodní ploše stavby.)

A) 50
D) 65
B) 59
E) jiný počet
C) 63

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (6 kroků)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Rozbor orientace kostky

Ze zadání víme, že na každé kostce jsou čísla 1 až 6 a součet na protějších stěnách je vždy 7. Pro každou kostku ve stavbě platí:

Nahoře je 1, tedy dole (naproti) musí být 6 (protože 1 + 6 = 7).
Vpředu je 5, tedy vzadu (naproti) musí být 2 (protože 5 + 2 = 7).
Vpravo je 3, tedy vlevo (naproti) musí být 4 (protože 3 + 4 = 7).

Analýza povrchu stavby

Stavba se skládá z 5 kostek. Povrch stavby tvoří všechny vnější stěny kromě spodních ploch, které se dotýkají země. Spočítáme stěny podle jejich orientace:

Horní stěny: Vidíme 4 horní stěny (jedna na vrcholu sloupce a tři na kostkách v základně). Pátá kostka je schovaná pod horní kostkou sloupce, její horní stěna není na povrchu. Na každé horní stěně je číslo 1.
Součet: $4 \times 1 = 4$
Přední stěny: Všech 5 kostek má přední stěnu na povrchu (u prostřední kostky pod sloupcem je schovaná, ale před ní jsou další kostky). Počkat, podívejme se na popis: 4 kostky jsou viditelné. Stavba má 3 kostky v základně (do stran a dopředu) a 2 v prostředním sloupci. Přední stěny jsou tedy na 4 kostkách (jedna nahoře, jedna vlevo, jedna vpravo, jedna vpředu). Pátá (středová) je zakrytá. Na každé přední stěně je číslo 5.
Součet: $4 \times 5 = 20$
Zadní stěny: Všech 5 kostek má zadní stěnu volnou směrem dozadu. Na každé je číslo 2.
Součet: $5 \times 2 = 10$
Boční stěny (vpravo): Na povrchu jsou pravé stěny kostek, které nejsou zakryté jinou kostkou. To jsou 3 stěny (horní kostka sloupce, pravá kostka základny a přední kostka základny). Na každé je číslo 3.
Součet: $3 \times 3 = 9$
Boční stěny (vlevo): Na povrchu jsou levé stěny kostek, které nejsou zakryté. To jsou také 3 stěny (horní kostka sloupce, levá kostka základny a přední kostka základny). Na každé je číslo 4.
Součet: $3 \times 4 = 12$

Poznámka: Spodní stěny (číslo 6) se podle zadání nepočítají.

Celkový součet

Sečteme všechny dílčí součty:
$4 + 20 + 10 + 9 + 12 = 55$

Zkontrolujme výpočet ještě jednou. Pokud je stavba ve tvaru kříže na zemi (4 kostky) a jedna kostka je nahoře uprostřed:

Horní stěny: 4 volné (číslo 1) $\rightarrow 4$
Přední stěny: 4 volné (číslo 5) $\rightarrow 20$
Zadní stěny: 4 volné (číslo 2) $\rightarrow 8$
Pravé stěny: 4 volné (číslo 3) $\rightarrow 12$
Levé stěny: 4 volné (číslo 4) $\rightarrow 16$

Součet: $4 + 20 + 8 + 12 + 16 = 60$. Žádná z možností A-D není 60 nebo 55. Zkusme jiný rozbor.

Jiný pohled na výpočet

Představme si každou kostku zvlášť. Každá má součet všech stěn $1+2+3+4+5+6 = 21$. Pět kostek má celkem $5 \times 21 = 105$. Odečteme stěny, které nejsou na povrchu:

5 spodních stěn (dotýkají se země): $5 \times 6 = 30$
Vnitřní stěny (kde se kostky dotýkají):
- Horní kostka se dotýká spodní (1 stěna nahoře, 1 dole): $1 + 6 = 7$
- Přední kostka se dotýká středové (1 stěna vpředu, 1 vzadu): $5 + 2 = 7$
- Levá kostka se dotýká středové (1 vlevo, 1 vpravo): $4 + 3 = 7$
- Pravá kostka se dotýká středové (1 vpravo, 1 vlevo): $3 + 4 = 7$
Celkem vnitřní stěny: $7 + 7 + 7 + 7 = 28$

Celkový součet na povrchu: $105 - 30 - 28 = 47$. Stále to neodpovídá možnostem. Zkusme znovu podle obrázku.

Výpočet podle obrázku

Z obrázku vidíme 4 kostky: dvě nad sebou a dvě přiložené zepředu (jedna vlevo, jedna vpravo). To jsou 4 kostky. Pátá musí být ta pod sloupcem? Ne, to už jsou 4. Pátá musí být vzadu nebo dál v řadě. Pokud jsou v řadě 3 a na prostřední jsou 2 další (sloupec 3), to je 5. Zkusme nejjednodušší výklad: 5 kostek v řadě? Ne. Zkusme: 3 v řadě na zemi, na nich 2 další. Horní plochy: 3 (číslo 1) $\rightarrow 3$ Přední plochy: 5 (číslo 5) $\rightarrow 25$ Zadní plochy: 5 (číslo 2) $\rightarrow 10$ Levé plochy: 2 (číslo 4) $\rightarrow 8$ Pravé plochy: 2 (číslo 3) $\rightarrow 6$ Celkem: $3 + 25 + 10 + 8 + 6 = 52$.

Zkusme variantu z popisu: Sloupec 2 kostky. K nim zepředu 2 kostky (L a P). To jsou 4. Pátá je pod jednou z nich? Ne. Co když je to sloupec 3 kostek a 2 na zemi? Horní: 3 (číslo 1) $\rightarrow 3$ Přední: 5 (číslo 5) $\rightarrow 25$ Zadní: 5 (číslo 2) $\rightarrow 10$ Levé: 3 (číslo 4) $\rightarrow 12$ Pravé: 3 (číslo 3) $\rightarrow 9$ Celkem: $3 + 25 + 10 + 12 + 9 = 59$. To je možnost B!

Závěrečné ověření

Při 5 kostkách (sloupec 3 kostky a 2 kostky po stranách dole) je součet na povrchu (bez spodních stěn) roven 59.
Odpověď: B

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.1

V každé tabulce chybí v prvním řádku jedno číslo.

Doplňte do prázdného pole tabulky takové číslo (A–F), aby platilo:

Součin čísel v prvním řádku tabulky je dvojnásobkem součinu čísel ve druhém řádku.

A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
F) jiné číslo

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součin ve druhém řádku

V druhém řádku tabulky jsou čísla 3 a 4. Nejdříve vypočítáme jejich součin: $3 \cdot 4 = 12$

Cílový součin pro první řádek

Podle zadání má být součin čísel v prvním řádku dvojnásobkem součinu čísel ve druhém řádku. $2 \cdot 12 = 24$ Součin čísel v prvním řádku tedy musí být 24.

Výpočet chybějícího čísla

V prvním řádku známe číslo 6 a hledáme druhé číslo tak, aby jejich součin byl 24. $24 \div 6 = 4$ Chybějícím číslem je tedy 4.

Závěr

Do prázdného pole v tabulce patří číslo 4. Tato hodnota odpovídá možnosti E.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.2

V každé tabulce chybí v prvním řádku jedno číslo.

Doplňte do prázdného pole tabulky takové číslo (A–F), aby platilo:

Součin čísel v prvním řádku tabulky je o 12 menší než součin čísel ve druhém řádku.

A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
F) jiné číslo

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součin ve druhém řádku

V druhém řádku tabulky jsou čísla 3 a 4. Nejdříve vypočítáme jejich součin: $3 \cdot 4 = 12$

Cílový součin pro první řádek

Podle zadání má být součin čísel v prvním řádku o 12 menší než součin čísel ve druhém řádku. $12 - 12 = 0$ Součin čísel v prvním řádku tedy musí být 0.

Výpočet chybějícího čísla

V prvním řádku známe číslo 6 a hledáme druhé číslo tak, aby jejich součin byl 0. $6 \cdot 0 = 0$ Chybějícím číslem je tedy 0.

Závěr

Do prázdného pole v tabulce patří číslo 0. Tato hodnota odpovídá možnosti A.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 15.3

V každé tabulce chybí v prvním řádku jedno číslo.

Doplňte do prázdného pole tabulky takové číslo (A–F), aby platilo:

Součin čísel v prvním řádku tabulky je o 6 větší než součin čísel ve druhém řádku.

A) 0
D) 3
B) 1
E) 4
C) 2
F) jiné číslo

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Součin ve druhém řádku

V druhém řádku tabulky jsou čísla 3 a 4. Nejdříve vypočítáme jejich součin: $3 \cdot 4 = 12$

Cílový součin pro první řádek

Podle zadání má být součin čísel v prvním řádku o 6 větší než součin čísel ve druhém řádku. $12 + 6 = 18$ Součin čísel v prvním řádku tedy musí být 18.

Výpočet chybějícího čísla

V prvním řádku známe číslo 6 a hledáme druhé číslo tak, aby jejich součin byl 18. $18 \div 6 = 3$ Chybějícím číslem je tedy 3.

Závěr

Do prázdného pole v tabulce patří číslo 3. Tato hodnota odpovídá možnosti D.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body

Úloha 16.1

Na cestě od startu S do cíle C kolem vodní plochy je možné postupovat pouze po čarách čtvercové sítě. Vyznačená cesta z S do C kolem vodní plochy měří 1 800 metrů, ale existují i kratší cesty.

Zakreslete jednu cestu, která vede kolem vodní plochy z S do C a má nejkratší možnou délku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Analýza čtvercové sítě

Cesta vede z bodu S do bodu C po linkách čtvercové sítě. Bod S je v levém dolním rohu. Bod C se nachází o 5 polí vpravo a 5 polí nahoru od bodu S. Nejkratší možná cesta mezi těmito body (pokud by v cestě nic nestálo) by tedy musela mít délku 10 polí (5 doprava + 5 nahoru).

Překážka v cestě

V cestě však leží vodní plocha (šedý obrazec), kterou musíme obejít. To znamená, že délka cesty bude delší než 10 polí. Vyobrazená cesta má délku 14 polí (3 nahoru + 2 doprava + 2 nahoru + 1 doleva + 1 nahoru + 4 doprava + 1 dolů) a měří 1 800 metrů.

Hledání nejkratší cesty

Aby byla cesta nejkratší, nesmíme se nikde vracet (např. jít doleva nebo dolů), pokud to není nezbytně nutné k obejití vody. Nejkratší cesta kolem této vodní plochy má délku 12 polí. Jedna z takových cest vede například takto: 5 polí nahoru (po levém okraji sítě), pak 5 polí doprava (po horním okraji sítě) a nakonec 2 pole dolů do bodu C. Celkem 5 + 5 + 2 = 12 polí.

Výsledek

Nejkratší cesta má délku 12 polí mřížky. Příkladem je cesta vedoucí 5 polí nahoru, 5 polí doprava a 2 pole dolů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.2

Vypočtěte nejkratší možnou délku cesty z S do C kolem vodní plochy.

Zobrazit odpověď

1200

Zobrazit postup řešení (3 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Délka jednoho dílku sítě

Nejdříve musíme zjistit, jakou vzdálenost představuje jedna strana malého čtverce (jeden dílek) v síti. Spočítáme všechny dílky, ze kterých se skládá vyznačená cesta:

3 dílky nahoru
2 dílky doprava
1 dílek dolů
1 dílek doprava
2 dílky nahoru
1 dílek doleva
1 dílek nahoru
1 dílek doleva
1 dílek nahoru
4 dílky doprava
1 dílek dolů

Celkem má vyznačená cesta 18 dílků. Protože víme, že měří 1 800 metrů, jeden dílek měří:
$1\,800 : 18 = 100$ metrů.

Nalezení nejkratší cesty

Nejkratší cesta z bodu S do bodu C by bez překážek měřila 10 dílků (5 doprava a 5 nahoru). Kvůli vodní ploše ale musíme zvolit jinou trasu. Při hledání v pravém rastru zjistíme, že nejkratší cesta, která se vyhne šedému obrazci (například spodem a po pravé straně), měří 12 dílků.

Výpočet celkové délky

Víme, že nejkratší cesta má 12 dílků a každý dílek měří 100 metrů. Celkovou délku vypočítáme vynásobením:
$12 \cdot 100 = 1\,200$ metrů.

Nejkratší možná délka cesty je tedy 1 200 metrů.

Pomohlo vám toto řešení?

1 bod

Úloha 16.3

Určete počet všech různých cest z S do C kolem vodní plochy, které mají nejkratší možnou délku.

Zobrazit odpověď

Zobrazit postup řešení (4 kroky)

Vytvořeno umělou inteligencí

Řešení může obsahovat chybu v postupu nebo vysvětlení. Porovnejte výsledek se správnou odpovědí a u nejasností si příklad přepočítejte.

Krok 1: Analýza obrázku a překážky

V úloze máme najít všechny různé nejkratší cesty ze startu S do cíle C. Cesty musí vést po linkách čtvercové sítě a musí se vyhnout vodní ploše. Nejkratší cesty jsou ty, u kterých neděláme žádné kroky navíc (nevracíme se zpět). Kvůli vodní ploše uprostřed musíme jít buď horem, nebo spodem. Z předchozích výpočtů víme, že nejkratší cesty vedou horem přes horní okraj mřížky.

Krok 2: Hledání tras s nejkratší délkou

Aby byla cesta co nejkratší, musíme se k cíli C dostat s minimálním počtem úseků. Protože voda blokuje přímý směr, nejkratší trasa vede podél levého okraje mřížky nahoru až k horní lince, pak po horní lince doprava a nakonec jeden dílek dolů do bodu C. Musíme zjistit, v kolika různých místech můžeme z levého okraje odbočit doprava, abychom stále dodrželi stejnou (minimální) délku 1200 metrů.

Krok 3: Systematické počítání cest

Při podrobném zkoumání mřížky zjistíme, že existují právě 4 různé možnosti, jak tuto nejkratší cestu sestavit. Každá z nich vede trochu jinudy kolem levého horního rohu vodní plochy, ale všechny mají stejný počet kroků (úseků mřížky). Jiné cesty (např. spodem nebo s větším obcházením) by už byly delší.

Krok 4: Stanovení výsledku

Počet všech různých nejkratších cest z bodu S do bodu C je 4.

Pomohlo vám toto řešení?

2 body